莫維平

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)較理想的狀態(tài)是能夠從有限的例題出發(fā)舉一反三，同時(shí)讓學(xué)生體驗(yàn)自行編題的樂(lè)趣，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和學(xué)習(xí)能力，真正達(dá)到“授人以漁”的目的.這里筆者以在上課時(shí)講授的一道例題為例，談?wù)勅绾巫寣W(xué)生嘗試發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題.

在選修2-1第2章的復(fù)習(xí)課上，我舉了如下例題：

例1：已知過(guò)拋物線y■=2px（p>0）焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于M，N兩點(diǎn)，B（-■，0），求證：直線BM與直線BN的斜率互為相反數(shù).

解：設(shè)直線的方程為x=my+■，M（x■，y■），N（x■，y■）

則k■+k■=■+■=■+■

=■

聯(lián)立方程組x=my+■y■=2px

則y■-2pmy-p■=0

∵2my■y■+p（y■+y■）=2m（-p■）+p■pm=0

∴k■+k■=0，即直線BM與直線BN的斜率互為相反數(shù).

一般情況下，到此一些數(shù)學(xué)教師認(rèn)為已完成了學(xué)習(xí)任務(wù)，失去了繼續(xù)探索的機(jī)會(huì).

此題一出，接下去便是見(jiàn)證學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力與創(chuàng)新能力的時(shí)候了.

讓學(xué)生思考：你可以編出怎樣的題目？此時(shí)有同學(xué)提出如下問(wèn)題，這里我們記為推廣1.

推廣1：已知過(guò)拋物線y■=2px（p>0）焦點(diǎn)F的直線交拋物線于M，N兩點(diǎn)，是否在平面上能找一定點(diǎn)B，使直線BM與直線BN的斜率互為相反數(shù).若存在，求出B的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：如果存在，根據(jù)對(duì)稱性，該點(diǎn)一定在對(duì)稱軸（即軸）上，設(shè)B（a，0）

設(shè)直線的方程為x=my+■，M（x■，y■），N（x■，y■）

則k■+k■=■+■=■+■=0

∴2my■y■+（■-a）（y■+y■）=0

聯(lián)立方程組x=my+■y■=2px

則y■-2pmy-p■=0

∴-2mp■+2pm（■-a）=0，對(duì)任何實(shí)數(shù)m恒成立；即a=-■，

即存在一定點(diǎn)B（-■，0），使直線BM與直線BN的斜率互為相反數(shù)恒成立.

完成此題的解答后，思維開(kāi)始活躍，有的同學(xué)認(rèn)為此題也可以推廣為下列命題：

推廣2：已知拋物線y■=2px（p>0），點(diǎn)M為拋物線的對(duì)稱軸與其準(zhǔn)線的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作斜率互為相反數(shù)兩直線l■，l■與拋物線分別相交于A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)，其中A、C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，求證直線AD經(jīng)過(guò)一定點(diǎn).

解答可得直線AD必定經(jīng)過(guò)此拋物線的焦點(diǎn).

到此有的同學(xué)已經(jīng)非常滿意這樣的結(jié)論與推廣，但有同學(xué)立刻提出這樣的想法，上述過(guò)焦點(diǎn)的直線是否可以改成過(guò)對(duì)稱軸上定點(diǎn)A（a，0），（a>0），上述的性質(zhì)是否也存在？經(jīng)過(guò)思考的確具有同樣的結(jié)論.

推廣3：已知拋物線y■=2px（p>0），過(guò)點(diǎn)A（a，0），（a>0）直線l交拋物線于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)B為點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，求證：直線BM與直線BN的斜率互為相反數(shù).

推廣4：已知過(guò)拋物線y■=2px（p>0），過(guò)點(diǎn)A（a，0），（a>0）直線l交拋物線于M，N兩點(diǎn)，是否在x軸上能找一點(diǎn)B，使直線BM與直線BN的斜率互為相反數(shù).若存在，求出B的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

此題可求得B（-a，0）.

推廣5：已知拋物線y■=-2px（p>0），點(diǎn)m（-a，0），（a>0），過(guò)點(diǎn)M作斜率互為相反數(shù)兩直線l■，l■與拋物線分別相交于A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)，其中A、C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，求證直線AD經(jīng)過(guò)一定點(diǎn).

解答可得直線AD必定經(jīng)過(guò)（a，0）.

到此似乎非常完美了，但有學(xué)生提出在橢圓或雙曲線也有類似結(jié)論，答案是肯定的，的確存在類似結(jié)論，下面以橢圓為背景推廣之.

例2：已知過(guò)橢圓■+■=1（a>b>0）的右焦點(diǎn)F的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，B（■，0），其中（c=■），求證：直線BM與直線BN的斜率互為相反數(shù).

解：設(shè)直線的方程為x=my+c，M（x■，y■），N（x■，y■）

x=my+c■+■=1得（a■+b■m■）y■+2mcb■y-b■=0

∴y■+y■=-■

∴y■·y■=■

則k■+k■=■+■

∵y■·（x■-■）+y■·（x■-■）=2my■y■+（c-■）（y■+y■）

=2m·■-■（-■）=0

∴k■+k■=0

即命題得證.

完成此題的解答后，學(xué)生思維第2次開(kāi)始活躍，有的同學(xué)認(rèn)為此題也可以推廣為下列命題：

推廣6：已知過(guò)橢圓■+■=1（a>b>0）的右焦點(diǎn)F的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，是否在x軸上能找一點(diǎn)B，使直線BM與直線BN的斜率互為相反數(shù).若存在，求出B的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

結(jié)論同樣成立.

此題的解法可結(jié)合例2及推廣1即可證明，存在B（■，0）.

以下推廣7和8均可自行證明，這里不再證明.

推廣7：已知橢圓■+■=1（a>b>0），點(diǎn)M為橢圓的對(duì)稱軸與其右準(zhǔn)線的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作斜率互為相反數(shù)兩直線l■，l■與橢圓分別相交于A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)，其中A、C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，求證直線AD經(jīng)過(guò)一定點(diǎn).

推廣8：已知橢圓■+■=1（a>b>0），過(guò)點(diǎn)A（m，0）（m>0）直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，是否可以在x軸上能找一點(diǎn)B，使直線BM與直線BN的斜率互為相反數(shù).若存在，求出B的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

推廣9：已知橢圓■+■=1（a>b>0），過(guò)點(diǎn)M（m，0）（m>a）作斜率互為相反數(shù)的兩直線l■，l■與橢圓分別相交于A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)，其中A、C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，求證：直線AD經(jīng)過(guò)一定點(diǎn).

解：設(shè)直線l■：y=k（x-m），由y=k（x-m）■+■=1

得（b■+a■k■）x■-2ma■k■x+a■k■m■-a■b■=0

設(shè)A（x■，y■），B（x■，y■），則根據(jù)對(duì)稱性C（x■，-y■），D（x■，-y■）

∴x■+x■=■

x■·x■=■

直線AD若過(guò)定點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性，則定點(diǎn)在軸上，不妨設(shè)點(diǎn)為N（n，0）.

則有k■=k■，對(duì)所有適合題意的實(shí)數(shù)k均成立.

則■=■，∴-k（k■-m）（x■-n）=k（x■-n）=k（x■-m）（x■-n）

即2x■x■-（m+n）（x■+x■）+2mn=0

∴2（a■k■m■-a■b■）-（m+n）·2ma■k■+2mn（b■+a■k■）=0

得n=■則直線AD經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)（■，0）.

由此可知上述推廣7即為此推廣的特例.

當(dāng)然還可以作進(jìn)一步推廣，如在雙曲線中是否也有此類性質(zhì)，等等；探究發(fā)現(xiàn)這些性質(zhì)均具備，有興趣的同學(xué)可自行操作.限于篇幅，本文不再對(duì)雙曲線中有關(guān)的性質(zhì)作推廣.

課后同學(xué)們意猶未盡，紛紛作出各種嘗試，得出不少新的結(jié)論與推廣，這對(duì)于提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自覺(jué)性和實(shí)踐性等大有益處.有利于學(xué)生樹(shù)立正確的價(jià)值觀，并讓學(xué)生學(xué)以致用，并真正體會(huì)數(shù)學(xué)是自然的，以上這些是自然而然的推廣而已.endprint

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)較理想的狀態(tài)是能夠從有限的例題出發(fā)舉一反三，同時(shí)讓學(xué)生體驗(yàn)自行編題的樂(lè)趣，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和學(xué)習(xí)能力，真正達(dá)到“授人以漁”的目的.這里筆者以在上課時(shí)講授的一道例題為例，談?wù)勅绾巫寣W(xué)生嘗試發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題.

在選修2-1第2章的復(fù)習(xí)課上，我舉了如下例題：

例1：已知過(guò)拋物線y■=2px（p>0）焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于M，N兩點(diǎn)，B（-■，0），求證：直線BM與直線BN的斜率互為相反數(shù).

解：設(shè)直線的方程為x=my+■，M（x■，y■），N（x■，y■）

則k■+k■=■+■=■+■

=■

聯(lián)立方程組x=my+■y■=2px

則y■-2pmy-p■=0

∵2my■y■+p（y■+y■）=2m（-p■）+p■pm=0

∴k■+k■=0，即直線BM與直線BN的斜率互為相反數(shù).

一般情況下，到此一些數(shù)學(xué)教師認(rèn)為已完成了學(xué)習(xí)任務(wù)，失去了繼續(xù)探索的機(jī)會(huì).

此題一出，接下去便是見(jiàn)證學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力與創(chuàng)新能力的時(shí)候了.

讓學(xué)生思考：你可以編出怎樣的題目？此時(shí)有同學(xué)提出如下問(wèn)題，這里我們記為推廣1.

推廣1：已知過(guò)拋物線y■=2px（p>0）焦點(diǎn)F的直線交拋物線于M，N兩點(diǎn)，是否在平面上能找一定點(diǎn)B，使直線BM與直線BN的斜率互為相反數(shù).若存在，求出B的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：如果存在，根據(jù)對(duì)稱性，該點(diǎn)一定在對(duì)稱軸（即軸）上，設(shè)B（a，0）

設(shè)直線的方程為x=my+■，M（x■，y■），N（x■，y■）

則k■+k■=■+■=■+■=0

∴2my■y■+（■-a）（y■+y■）=0

聯(lián)立方程組x=my+■y■=2px

則y■-2pmy-p■=0

∴-2mp■+2pm（■-a）=0，對(duì)任何實(shí)數(shù)m恒成立；即a=-■，

即存在一定點(diǎn)B（-■，0），使直線BM與直線BN的斜率互為相反數(shù)恒成立.

完成此題的解答后，思維開(kāi)始活躍，有的同學(xué)認(rèn)為此題也可以推廣為下列命題：

推廣2：已知拋物線y■=2px（p>0），點(diǎn)M為拋物線的對(duì)稱軸與其準(zhǔn)線的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作斜率互為相反數(shù)兩直線l■，l■與拋物線分別相交于A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)，其中A、C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，求證直線AD經(jīng)過(guò)一定點(diǎn).

解答可得直線AD必定經(jīng)過(guò)此拋物線的焦點(diǎn).

到此有的同學(xué)已經(jīng)非常滿意這樣的結(jié)論與推廣，但有同學(xué)立刻提出這樣的想法，上述過(guò)焦點(diǎn)的直線是否可以改成過(guò)對(duì)稱軸上定點(diǎn)A（a，0），（a>0），上述的性質(zhì)是否也存在？經(jīng)過(guò)思考的確具有同樣的結(jié)論.

推廣3：已知拋物線y■=2px（p>0），過(guò)點(diǎn)A（a，0），（a>0）直線l交拋物線于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)B為點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，求證：直線BM與直線BN的斜率互為相反數(shù).

推廣4：已知過(guò)拋物線y■=2px（p>0），過(guò)點(diǎn)A（a，0），（a>0）直線l交拋物線于M，N兩點(diǎn)，是否在x軸上能找一點(diǎn)B，使直線BM與直線BN的斜率互為相反數(shù).若存在，求出B的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

此題可求得B（-a，0）.

推廣5：已知拋物線y■=-2px（p>0），點(diǎn)m（-a，0），（a>0），過(guò)點(diǎn)M作斜率互為相反數(shù)兩直線l■，l■與拋物線分別相交于A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)，其中A、C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，求證直線AD經(jīng)過(guò)一定點(diǎn).

解答可得直線AD必定經(jīng)過(guò)（a，0）.

到此似乎非常完美了，但有學(xué)生提出在橢圓或雙曲線也有類似結(jié)論，答案是肯定的，的確存在類似結(jié)論，下面以橢圓為背景推廣之.

例2：已知過(guò)橢圓■+■=1（a>b>0）的右焦點(diǎn)F的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，B（■，0），其中（c=■），求證：直線BM與直線BN的斜率互為相反數(shù).

解：設(shè)直線的方程為x=my+c，M（x■，y■），N（x■，y■）

x=my+c■+■=1得（a■+b■m■）y■+2mcb■y-b■=0

∴y■+y■=-■

∴y■·y■=■

則k■+k■=■+■

∵y■·（x■-■）+y■·（x■-■）=2my■y■+（c-■）（y■+y■）

=2m·■-■（-■）=0

∴k■+k■=0

即命題得證.

完成此題的解答后，學(xué)生思維第2次開(kāi)始活躍，有的同學(xué)認(rèn)為此題也可以推廣為下列命題：

推廣6：已知過(guò)橢圓■+■=1（a>b>0）的右焦點(diǎn)F的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，是否在x軸上能找一點(diǎn)B，使直線BM與直線BN的斜率互為相反數(shù).若存在，求出B的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

結(jié)論同樣成立.

此題的解法可結(jié)合例2及推廣1即可證明，存在B（■，0）.

以下推廣7和8均可自行證明，這里不再證明.

推廣7：已知橢圓■+■=1（a>b>0），點(diǎn)M為橢圓的對(duì)稱軸與其右準(zhǔn)線的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作斜率互為相反數(shù)兩直線l■，l■與橢圓分別相交于A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)，其中A、C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，求證直線AD經(jīng)過(guò)一定點(diǎn).

推廣8：已知橢圓■+■=1（a>b>0），過(guò)點(diǎn)A（m，0）（m>0）直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，是否可以在x軸上能找一點(diǎn)B，使直線BM與直線BN的斜率互為相反數(shù).若存在，求出B的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

推廣9：已知橢圓■+■=1（a>b>0），過(guò)點(diǎn)M（m，0）（m>a）作斜率互為相反數(shù)的兩直線l■，l■與橢圓分別相交于A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)，其中A、C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，求證：直線AD經(jīng)過(guò)一定點(diǎn).

解：設(shè)直線l■：y=k（x-m），由y=k（x-m）■+■=1

得（b■+a■k■）x■-2ma■k■x+a■k■m■-a■b■=0

設(shè)A（x■，y■），B（x■，y■），則根據(jù)對(duì)稱性C（x■，-y■），D（x■，-y■）

∴x■+x■=■

x■·x■=■

直線AD若過(guò)定點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性，則定點(diǎn)在軸上，不妨設(shè)點(diǎn)為N（n，0）.

則有k■=k■，對(duì)所有適合題意的實(shí)數(shù)k均成立.

則■=■，∴-k（k■-m）（x■-n）=k（x■-n）=k（x■-m）（x■-n）

即2x■x■-（m+n）（x■+x■）+2mn=0

∴2（a■k■m■-a■b■）-（m+n）·2ma■k■+2mn（b■+a■k■）=0

得n=■則直線AD經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)（■，0）.

由此可知上述推廣7即為此推廣的特例.

當(dāng)然還可以作進(jìn)一步推廣，如在雙曲線中是否也有此類性質(zhì)，等等；探究發(fā)現(xiàn)這些性質(zhì)均具備，有興趣的同學(xué)可自行操作.限于篇幅，本文不再對(duì)雙曲線中有關(guān)的性質(zhì)作推廣.

課后同學(xué)們意猶未盡，紛紛作出各種嘗試，得出不少新的結(jié)論與推廣，這對(duì)于提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自覺(jué)性和實(shí)踐性等大有益處.有利于學(xué)生樹(shù)立正確的價(jià)值觀，并讓學(xué)生學(xué)以致用，并真正體會(huì)數(shù)學(xué)是自然的，以上這些是自然而然的推廣而已.endprint

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)較理想的狀態(tài)是能夠從有限的例題出發(fā)舉一反三，同時(shí)讓學(xué)生體驗(yàn)自行編題的樂(lè)趣，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和學(xué)習(xí)能力，真正達(dá)到“授人以漁”的目的.這里筆者以在上課時(shí)講授的一道例題為例，談?wù)勅绾巫寣W(xué)生嘗試發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題.

在選修2-1第2章的復(fù)習(xí)課上，我舉了如下例題：

例1：已知過(guò)拋物線y■=2px（p>0）焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于M，N兩點(diǎn)，B（-■，0），求證：直線BM與直線BN的斜率互為相反數(shù).

解：設(shè)直線的方程為x=my+■，M（x■，y■），N（x■，y■）

則k■+k■=■+■=■+■

=■

聯(lián)立方程組x=my+■y■=2px

則y■-2pmy-p■=0

∵2my■y■+p（y■+y■）=2m（-p■）+p■pm=0

∴k■+k■=0，即直線BM與直線BN的斜率互為相反數(shù).

一般情況下，到此一些數(shù)學(xué)教師認(rèn)為已完成了學(xué)習(xí)任務(wù)，失去了繼續(xù)探索的機(jī)會(huì).

此題一出，接下去便是見(jiàn)證學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力與創(chuàng)新能力的時(shí)候了.

讓學(xué)生思考：你可以編出怎樣的題目？此時(shí)有同學(xué)提出如下問(wèn)題，這里我們記為推廣1.

推廣1：已知過(guò)拋物線y■=2px（p>0）焦點(diǎn)F的直線交拋物線于M，N兩點(diǎn)，是否在平面上能找一定點(diǎn)B，使直線BM與直線BN的斜率互為相反數(shù).若存在，求出B的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：如果存在，根據(jù)對(duì)稱性，該點(diǎn)一定在對(duì)稱軸（即軸）上，設(shè)B（a，0）

設(shè)直線的方程為x=my+■，M（x■，y■），N（x■，y■）

則k■+k■=■+■=■+■=0

∴2my■y■+（■-a）（y■+y■）=0

聯(lián)立方程組x=my+■y■=2px

則y■-2pmy-p■=0

∴-2mp■+2pm（■-a）=0，對(duì)任何實(shí)數(shù)m恒成立；即a=-■，

即存在一定點(diǎn)B（-■，0），使直線BM與直線BN的斜率互為相反數(shù)恒成立.

完成此題的解答后，思維開(kāi)始活躍，有的同學(xué)認(rèn)為此題也可以推廣為下列命題：

推廣2：已知拋物線y■=2px（p>0），點(diǎn)M為拋物線的對(duì)稱軸與其準(zhǔn)線的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作斜率互為相反數(shù)兩直線l■，l■與拋物線分別相交于A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)，其中A、C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，求證直線AD經(jīng)過(guò)一定點(diǎn).

解答可得直線AD必定經(jīng)過(guò)此拋物線的焦點(diǎn).

到此有的同學(xué)已經(jīng)非常滿意這樣的結(jié)論與推廣，但有同學(xué)立刻提出這樣的想法，上述過(guò)焦點(diǎn)的直線是否可以改成過(guò)對(duì)稱軸上定點(diǎn)A（a，0），（a>0），上述的性質(zhì)是否也存在？經(jīng)過(guò)思考的確具有同樣的結(jié)論.

推廣3：已知拋物線y■=2px（p>0），過(guò)點(diǎn)A（a，0），（a>0）直線l交拋物線于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)B為點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，求證：直線BM與直線BN的斜率互為相反數(shù).

推廣4：已知過(guò)拋物線y■=2px（p>0），過(guò)點(diǎn)A（a，0），（a>0）直線l交拋物線于M，N兩點(diǎn)，是否在x軸上能找一點(diǎn)B，使直線BM與直線BN的斜率互為相反數(shù).若存在，求出B的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

此題可求得B（-a，0）.

推廣5：已知拋物線y■=-2px（p>0），點(diǎn)m（-a，0），（a>0），過(guò)點(diǎn)M作斜率互為相反數(shù)兩直線l■，l■與拋物線分別相交于A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)，其中A、C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，求證直線AD經(jīng)過(guò)一定點(diǎn).

解答可得直線AD必定經(jīng)過(guò)（a，0）.

到此似乎非常完美了，但有學(xué)生提出在橢圓或雙曲線也有類似結(jié)論，答案是肯定的，的確存在類似結(jié)論，下面以橢圓為背景推廣之.

例2：已知過(guò)橢圓■+■=1（a>b>0）的右焦點(diǎn)F的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，B（■，0），其中（c=■），求證：直線BM與直線BN的斜率互為相反數(shù).

解：設(shè)直線的方程為x=my+c，M（x■，y■），N（x■，y■）

x=my+c■+■=1得（a■+b■m■）y■+2mcb■y-b■=0

∴y■+y■=-■

∴y■·y■=■

則k■+k■=■+■

∵y■·（x■-■）+y■·（x■-■）=2my■y■+（c-■）（y■+y■）

=2m·■-■（-■）=0

∴k■+k■=0

即命題得證.

完成此題的解答后，學(xué)生思維第2次開(kāi)始活躍，有的同學(xué)認(rèn)為此題也可以推廣為下列命題：

推廣6：已知過(guò)橢圓■+■=1（a>b>0）的右焦點(diǎn)F的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，是否在x軸上能找一點(diǎn)B，使直線BM與直線BN的斜率互為相反數(shù).若存在，求出B的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

結(jié)論同樣成立.

此題的解法可結(jié)合例2及推廣1即可證明，存在B（■，0）.

以下推廣7和8均可自行證明，這里不再證明.

推廣7：已知橢圓■+■=1（a>b>0），點(diǎn)M為橢圓的對(duì)稱軸與其右準(zhǔn)線的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作斜率互為相反數(shù)兩直線l■，l■與橢圓分別相交于A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)，其中A、C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，求證直線AD經(jīng)過(guò)一定點(diǎn).

推廣8：已知橢圓■+■=1（a>b>0），過(guò)點(diǎn)A（m，0）（m>0）直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，是否可以在x軸上能找一點(diǎn)B，使直線BM與直線BN的斜率互為相反數(shù).若存在，求出B的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

推廣9：已知橢圓■+■=1（a>b>0），過(guò)點(diǎn)M（m，0）（m>a）作斜率互為相反數(shù)的兩直線l■，l■與橢圓分別相交于A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)，其中A、C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，求證：直線AD經(jīng)過(guò)一定點(diǎn).

解：設(shè)直線l■：y=k（x-m），由y=k（x-m）■+■=1

得（b■+a■k■）x■-2ma■k■x+a■k■m■-a■b■=0

設(shè)A（x■，y■），B（x■，y■），則根據(jù)對(duì)稱性C（x■，-y■），D（x■，-y■）

∴x■+x■=■

x■·x■=■

直線AD若過(guò)定點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性，則定點(diǎn)在軸上，不妨設(shè)點(diǎn)為N（n，0）.

則有k■=k■，對(duì)所有適合題意的實(shí)數(shù)k均成立.

則■=■，∴-k（k■-m）（x■-n）=k（x■-n）=k（x■-m）（x■-n）

即2x■x■-（m+n）（x■+x■）+2mn=0

∴2（a■k■m■-a■b■）-（m+n）·2ma■k■+2mn（b■+a■k■）=0

得n=■則直線AD經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)（■，0）.

由此可知上述推廣7即為此推廣的特例.

當(dāng)然還可以作進(jìn)一步推廣，如在雙曲線中是否也有此類性質(zhì)，等等；探究發(fā)現(xiàn)這些性質(zhì)均具備，有興趣的同學(xué)可自行操作.限于篇幅，本文不再對(duì)雙曲線中有關(guān)的性質(zhì)作推廣.

課后同學(xué)們意猶未盡，紛紛作出各種嘗試，得出不少新的結(jié)論與推廣，這對(duì)于提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自覺(jué)性和實(shí)踐性等大有益處.有利于學(xué)生樹(shù)立正確的價(jià)值觀，并讓學(xué)生學(xué)以致用，并真正體會(huì)數(shù)學(xué)是自然的，以上這些是自然而然的推廣而已.endprint