徐大剛

摘 要： 平面向量進(jìn)入中學(xué)教材，為考生使用代數(shù)方法研究問題提供了強(qiáng)有力的工具.近幾年高中改革的趨勢是幾何問題代數(shù)化，對于向量而言，它具有“雙重身份”，不僅像數(shù)一樣滿足“運(yùn)算性質(zhì)”進(jìn)行代數(shù)形式的運(yùn)算，而且能利用幾何意義進(jìn)行幾何形式的變換.于是，它越來越頻繁地成為聯(lián)系多種知識的媒介.本文就平面向量自身的優(yōu)越性例談它在解決一些問題中的妙用.

關(guān)鍵詞： 平面向量 證明 巧用

一、證明等式

例1：設(shè)（x■+y■）（m■+n■）=（mx+ny）■（mn？堍0），求證：■=■.

分析：由條件知x■+y■，m■+n■分別是坐標(biāo)（x，y），（m，n）對應(yīng)模的平方，而結(jié)論的變形nx-my=0是這兩個向量共線的充要條件，從而可以構(gòu)造向量求解.

證明：若x=y=0，結(jié)論顯然成立.

若x，y不全為零，不妨設(shè)■=（x，y），■=（m，n），則cos<■，■>=■=■=1

∴<■，■>=0或<■，■>=π

∴■∥■ nx-my=0

∵mn≠0

∴■=■

二、證明不等式

例2：設(shè)-■≤a≤■，b≠0，a，b∈R，求（a-b）■+（■-■）■的最小值.

解：設(shè)■=（a，■）

∴|■|=■=■

■=（b，■） |■|=■

■-■=（a-b，■-■）

∵|■-■|≥|■|-|■|

∴■≥■-■≥3■-■=2■

即（a-b）■+（■-■）■≥8當(dāng)且僅當(dāng)b■=■即b=±3時取等號

故（a-b）■+（■-■）■的最小值為8.

例3：證明柯西-施瓦茲（Cauchy-Schwarz）不等式（■a■·b■）■≤■a■■·■b■■

證明：設(shè)■={a■，a■，a■，…，a■}，■={b■，b■，b■，…，b■}

∵■·■=■a■·b■ |■|=■ |■|=■

又∵|■·■|≤|■|·|■|

∴|■a■·b■|≤■

∴（■a■·b■）■≤■a■■·■b■■

評注：用向量證明不等式或用向量求函數(shù)的最值（或值域）的依據(jù)是我們常用的幾個結(jié)論：

（1）由■·■=|■|·|■|·cosθ（其中θ是兩向量的夾角）可知：

①■·■=|■|·|■|（當(dāng)且僅當(dāng)■，■同向時取等號）；

②|■·■|≤|■|·|■|（當(dāng)且僅當(dāng)■，■平行時取等號）；

③（■·■）≤|■|■·|■|■（當(dāng)且僅當(dāng)■，■平行時取等號）.

（2）|■|-|■|≤|■+■|≤|■|+|■|，當(dāng)■，■同向時右邊不等式取等號，當(dāng)■，■反向時左邊不等式取等號.

（3）|■|-|■|≤|■-■|≤|■|+|■|，當(dāng)■，■反向時右邊不等式取等號，當(dāng)■，■同向時左邊不等式取等號.

三、在三角函數(shù)中的應(yīng)用

問題的解決必須找到最佳切入點(diǎn)，用向量解決問題.最佳切入口是分析向量結(jié)構(gòu)，即研究向量之間關(guān)系.

例4：證明cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ

分析：可以用類比聯(lián)想的方法把cosαcosβ+sinαsinβ與x■x■+y■y■看做向量■=（x■，y■）與■=（x■，y■）的數(shù)量積，即■·■=x■x■+y■y■.因此cosαcosβ+sinαsinβ可以看做是兩個向量的數(shù)量積.又從cos（α-β）入手，可以把（α-β）看做向量夾角.由數(shù)量積公式■·■=|■|·|■|·cos<■，■>，若|■|=1，■=1，則有■·■=cos<■·■>，利用單位圓即可解決.

證明：如圖，設(shè)角α，β的終邊與單位圓相交于A、B，則向量：

■=（cosα，sinα），■=（cosβ，sinβ），于是：

■·■=|■|·|■|·cos（α-β）=cos（α-β）

又∵■·■=cosαcosβ+sinαsinβ

∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ

例5：證明余弦定理

證明：如圖所示設(shè)■=■，■=■，■=■

由■+■+■=■，得-■=■+■

∴（-■）■=（■+■）■

∴（■）■=（■）■+（■）■+2■·■

=（■）■+（■）■+2|■|·|■|cos（π-C）

=|■|■+|■|■+2|■|·|■|·cosc

∴c■=a■+b■-2abcosC

同理可得：a■=b■+c■-2bccosA b■=c■+a■-2cacosB

評注：通過構(gòu)造向量解決三角函數(shù)問題，解法新穎而精巧，成功地將較繁瑣的三角函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為向量問題，解法簡潔流暢.解這類問題時，關(guān)鍵是要熟練地掌握向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，通過公式，將向量問題轉(zhuǎn)化為一般的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行求解，體現(xiàn)了“向量問題函數(shù)化，函數(shù)問題向量化”的等價轉(zhuǎn)化思想.其中，模的平方與向量數(shù)量積之間的關(guān)系|■|■=■·■=x■+y■，■=（x，y）是向量與實(shí)數(shù)互換的依據(jù)和橋梁，也是重要的轉(zhuǎn)化思想.

四、在平面幾何中的應(yīng)用

例6：（點(diǎn)到直線的距離公式的證明）

問題：已知點(diǎn)P（x■，y■）到直線l：Ax+By+C=0的距離為d，求證：d=■.

證明：設(shè)Q（x，y），Q■（x■，y■）是直線l上任意兩個不同的點(diǎn)，則■■=（x-x■，y-y■）

∵A、B不同時為零

∴記非零向量■=（A，B）endprint

∵Q■，Q都是直線l上的點(diǎn)

∴Ax+By+C=0Ax■+By■+C=0

∴A（x-x■）+B（y-y■）=0即■·■■=0

∴■與直線l垂直

設(shè)■·■=|■|·cosθ，則點(diǎn)P到l的距離為：

d=|QP|·cosθ=■=■=■

例7：已知一個圓的直徑的端點(diǎn)分別為A（x■y■），B（x■，y■），求證：圓的方程是（x-x■）（x-x■）+（y-y■）（y-y■）=0.

證明：設(shè)P（x，y）是圓上任意一點(diǎn)，則

■=（x-x■，y-y■） ■=（x-x■，y-y■）

∵■⊥■

∴■·■=0即（x-x■）（x-x■）+（y-y■）（y-y■）=0

評注：用向量方法處理幾何問題，既能反映對象之間的數(shù)量關(guān)系，又能體現(xiàn)它們之間的位置關(guān)系，從而能運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法研究幾何問題.但是利用向量方法解決幾何問題時，要注意緊密結(jié)合平面圖形中的已知的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，如有垂直關(guān)系時，應(yīng)注意聯(lián)想應(yīng)用向量的數(shù)量積等于0；與線段比值有關(guān)的問題，應(yīng)注意聯(lián)想定比分點(diǎn)知識或者共線向量；與夾角有關(guān)時，應(yīng)注意聯(lián)想應(yīng)用向量的數(shù)量積的定義等進(jìn)行求解.

五、在數(shù)列中的應(yīng)用

例8：等差數(shù)列{a■}中，已知a■=p，a■=q（m≠n），求a■的值.

分析：由通項(xiàng)公式a■=a■+（n-1）d可整理為a■=dn+a■-d可知點(diǎn)列（n，a■）n∈n■均落在直線y=dx-a■-d，即直線的斜率即為公差，可用向量共線處理.

解：由題意知A（m，a■），B（n，a■），C（m+n，a■）

即A（m，p），B（n，q），C（m+n，a■）共線

∵■=（n-m，q-p） ■=（n，a■-p）

又∵■∥■

∴（n-m）（a■-p）=n（q-p）

∵m≠n

解得a■=■n+p

例9：給定正整數(shù)n和正數(shù)M，對滿足條件a■■+a■■≤M的所有等差數(shù)列a■，a■，a■，…，，試求S=a■+a■+a■+…+a■的最大值.

解：由等差數(shù)列可知S=■

∵a■+a■=2a■

∴S=■（3a■-a■）

于是設(shè)■=（3，1），■=（a■，a■）

∵|■·■|≤|■|·|■|

∴■|3a■-a■|≤■■·■≤■■

當(dāng)3a■-a■>0，3a■=-a■且a■■+a■■=M時

上式兩等號同時成立，此時S■=■（3a■-a■）=■■.

評注：用向量的方法解決數(shù)列結(jié)合的問題，首先就是利用“坐標(biāo)”，進(jìn)而運(yùn)用平面向量的模、數(shù)量積等相關(guān)知識，實(shí)現(xiàn)形到數(shù)的轉(zhuǎn)化，但是在轉(zhuǎn)化過程中要注意，向量的坐標(biāo)表示向量的大小和方向，并不表示向量的位置，這與點(diǎn)的坐標(biāo)的意義是不同的.

向量是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要標(biāo)志之一，被引入中學(xué)教材后，大大豐富了中學(xué)數(shù)學(xué)知識和結(jié)構(gòu)體系，拓展了中學(xué)數(shù)學(xué)問題的思維空間.由于向量融數(shù)與形于一體，因此成了中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個重要工具，得到了廣泛應(yīng)用.

參考文獻(xiàn)：

[1]全日制普通高級中學(xué)教科書數(shù)學(xué)第一冊（下）.人民教育出版社.

[2]黃愛民.向量的數(shù)量積求解數(shù)學(xué)問題的探究.試題與研究.中學(xué)學(xué)習(xí)報(bào)社.

[3]莊瑞國.向量數(shù)量積的一個性質(zhì)的應(yīng)用.高中數(shù)學(xué)教與學(xué).endprint

∵Q■，Q都是直線l上的點(diǎn)

∴Ax+By+C=0Ax■+By■+C=0

∴A（x-x■）+B（y-y■）=0即■·■■=0

∴■與直線l垂直

設(shè)■·■=|■|·cosθ，則點(diǎn)P到l的距離為：

d=|QP|·cosθ=■=■=■

例7：已知一個圓的直徑的端點(diǎn)分別為A（x■y■），B（x■，y■），求證：圓的方程是（x-x■）（x-x■）+（y-y■）（y-y■）=0.

證明：設(shè)P（x，y）是圓上任意一點(diǎn)，則

■=（x-x■，y-y■） ■=（x-x■，y-y■）

∵■⊥■

∴■·■=0即（x-x■）（x-x■）+（y-y■）（y-y■）=0

評注：用向量方法處理幾何問題，既能反映對象之間的數(shù)量關(guān)系，又能體現(xiàn)它們之間的位置關(guān)系，從而能運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法研究幾何問題.但是利用向量方法解決幾何問題時，要注意緊密結(jié)合平面圖形中的已知的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，如有垂直關(guān)系時，應(yīng)注意聯(lián)想應(yīng)用向量的數(shù)量積等于0；與線段比值有關(guān)的問題，應(yīng)注意聯(lián)想定比分點(diǎn)知識或者共線向量；與夾角有關(guān)時，應(yīng)注意聯(lián)想應(yīng)用向量的數(shù)量積的定義等進(jìn)行求解.

五、在數(shù)列中的應(yīng)用

例8：等差數(shù)列{a■}中，已知a■=p，a■=q（m≠n），求a■的值.

分析：由通項(xiàng)公式a■=a■+（n-1）d可整理為a■=dn+a■-d可知點(diǎn)列（n，a■）n∈n■均落在直線y=dx-a■-d，即直線的斜率即為公差，可用向量共線處理.

解：由題意知A（m，a■），B（n，a■），C（m+n，a■）

即A（m，p），B（n，q），C（m+n，a■）共線

∵■=（n-m，q-p） ■=（n，a■-p）

又∵■∥■

∴（n-m）（a■-p）=n（q-p）

∵m≠n

解得a■=■n+p

例9：給定正整數(shù)n和正數(shù)M，對滿足條件a■■+a■■≤M的所有等差數(shù)列a■，a■，a■，…，，試求S=a■+a■+a■+…+a■的最大值.

解：由等差數(shù)列可知S=■

∵a■+a■=2a■

∴S=■（3a■-a■）

于是設(shè)■=（3，1），■=（a■，a■）

∵|■·■|≤|■|·|■|

∴■|3a■-a■|≤■■·■≤■■

當(dāng)3a■-a■>0，3a■=-a■且a■■+a■■=M時

上式兩等號同時成立，此時S■=■（3a■-a■）=■■.

評注：用向量的方法解決數(shù)列結(jié)合的問題，首先就是利用“坐標(biāo)”，進(jìn)而運(yùn)用平面向量的模、數(shù)量積等相關(guān)知識，實(shí)現(xiàn)形到數(shù)的轉(zhuǎn)化，但是在轉(zhuǎn)化過程中要注意，向量的坐標(biāo)表示向量的大小和方向，并不表示向量的位置，這與點(diǎn)的坐標(biāo)的意義是不同的.

向量是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要標(biāo)志之一，被引入中學(xué)教材后，大大豐富了中學(xué)數(shù)學(xué)知識和結(jié)構(gòu)體系，拓展了中學(xué)數(shù)學(xué)問題的思維空間.由于向量融數(shù)與形于一體，因此成了中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個重要工具，得到了廣泛應(yīng)用.

參考文獻(xiàn)：

[1]全日制普通高級中學(xué)教科書數(shù)學(xué)第一冊（下）.人民教育出版社.

[2]黃愛民.向量的數(shù)量積求解數(shù)學(xué)問題的探究.試題與研究.中學(xué)學(xué)習(xí)報(bào)社.

[3]莊瑞國.向量數(shù)量積的一個性質(zhì)的應(yīng)用.高中數(shù)學(xué)教與學(xué).endprint

∵Q■，Q都是直線l上的點(diǎn)

∴Ax+By+C=0Ax■+By■+C=0

∴A（x-x■）+B（y-y■）=0即■·■■=0

∴■與直線l垂直

設(shè)■·■=|■|·cosθ，則點(diǎn)P到l的距離為：

d=|QP|·cosθ=■=■=■

例7：已知一個圓的直徑的端點(diǎn)分別為A（x■y■），B（x■，y■），求證：圓的方程是（x-x■）（x-x■）+（y-y■）（y-y■）=0.

證明：設(shè)P（x，y）是圓上任意一點(diǎn)，則

■=（x-x■，y-y■） ■=（x-x■，y-y■）

∵■⊥■

∴■·■=0即（x-x■）（x-x■）+（y-y■）（y-y■）=0

評注：用向量方法處理幾何問題，既能反映對象之間的數(shù)量關(guān)系，又能體現(xiàn)它們之間的位置關(guān)系，從而能運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法研究幾何問題.但是利用向量方法解決幾何問題時，要注意緊密結(jié)合平面圖形中的已知的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，如有垂直關(guān)系時，應(yīng)注意聯(lián)想應(yīng)用向量的數(shù)量積等于0；與線段比值有關(guān)的問題，應(yīng)注意聯(lián)想定比分點(diǎn)知識或者共線向量；與夾角有關(guān)時，應(yīng)注意聯(lián)想應(yīng)用向量的數(shù)量積的定義等進(jìn)行求解.

五、在數(shù)列中的應(yīng)用

例8：等差數(shù)列{a■}中，已知a■=p，a■=q（m≠n），求a■的值.

分析：由通項(xiàng)公式a■=a■+（n-1）d可整理為a■=dn+a■-d可知點(diǎn)列（n，a■）n∈n■均落在直線y=dx-a■-d，即直線的斜率即為公差，可用向量共線處理.

解：由題意知A（m，a■），B（n，a■），C（m+n，a■）

即A（m，p），B（n，q），C（m+n，a■）共線

∵■=（n-m，q-p） ■=（n，a■-p）

又∵■∥■

∴（n-m）（a■-p）=n（q-p）

∵m≠n

解得a■=■n+p

例9：給定正整數(shù)n和正數(shù)M，對滿足條件a■■+a■■≤M的所有等差數(shù)列a■，a■，a■，…，，試求S=a■+a■+a■+…+a■的最大值.

解：由等差數(shù)列可知S=■

∵a■+a■=2a■

∴S=■（3a■-a■）

于是設(shè)■=（3，1），■=（a■，a■）

∵|■·■|≤|■|·|■|

∴■|3a■-a■|≤■■·■≤■■

當(dāng)3a■-a■>0，3a■=-a■且a■■+a■■=M時

上式兩等號同時成立，此時S■=■（3a■-a■）=■■.

評注：用向量的方法解決數(shù)列結(jié)合的問題，首先就是利用“坐標(biāo)”，進(jìn)而運(yùn)用平面向量的模、數(shù)量積等相關(guān)知識，實(shí)現(xiàn)形到數(shù)的轉(zhuǎn)化，但是在轉(zhuǎn)化過程中要注意，向量的坐標(biāo)表示向量的大小和方向，并不表示向量的位置，這與點(diǎn)的坐標(biāo)的意義是不同的.

向量是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要標(biāo)志之一，被引入中學(xué)教材后，大大豐富了中學(xué)數(shù)學(xué)知識和結(jié)構(gòu)體系，拓展了中學(xué)數(shù)學(xué)問題的思維空間.由于向量融數(shù)與形于一體，因此成了中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個重要工具，得到了廣泛應(yīng)用.

參考文獻(xiàn)：

[1]全日制普通高級中學(xué)教科書數(shù)學(xué)第一冊（下）.人民教育出版社.

[2]黃愛民.向量的數(shù)量積求解數(shù)學(xué)問題的探究.試題與研究.中學(xué)學(xué)習(xí)報(bào)社.

[3]莊瑞國.向量數(shù)量積的一個性質(zhì)的應(yīng)用.高中數(shù)學(xué)教與學(xué).endprint