任紅飛,魏子卿,周慶勇

1.地理信息工程國家重點實驗室,陜西西安 710054;2.西安測繪研究所,陜西西安 710054

相對論框架下脈沖星導(dǎo)航的2PN觀測方程

任紅飛1,2,魏子卿1,2,周慶勇1,2

1.地理信息工程國家重點實驗室,陜西西安 710054;2.西安測繪研究所,陜西西安 710054

介紹了脈沖星導(dǎo)航的研究進展,顧及天體的四極矩和角動量,推導(dǎo)了脈沖星導(dǎo)航的2PN觀測方程,對導(dǎo)航觀測方程中的2PN相對論效應(yīng)進行數(shù)值分析。結(jié)果表明:在脈沖星導(dǎo)航中,太陽系天體的四極矩和角動量導(dǎo)致的時間延遲在10－13s量級;太陽對信號傳播的引力彎曲不足1 ns,太陽系行星對信號的引力彎曲以木星為最大,量級為10－18s。

脈沖星導(dǎo)航;觀測方程;相對論效應(yīng)

1 引 言

關(guān)于脈沖星導(dǎo)航的構(gòu)想最早產(chǎn)生于1974年[1]。天文觀測衛(wèi)星發(fā)射以后,文獻[2]提出了用X射線脈沖星為近地衛(wèi)星乃至星際飛行器導(dǎo)航的構(gòu)想;文獻[3]用HEAO-A1衛(wèi)星實測數(shù)據(jù)對X射線脈沖星定姿方法進行驗證;斯坦福大學(xué)線性加速器中心和美國海軍實驗室開展了USA試驗,主要目的是驗證脈沖星導(dǎo)航的可行性[4]。目前,世界主要大國都開展了相關(guān)的研究計劃。美國DARPA于2005年提出了XNAV計劃[5],最終目的是實現(xiàn)10 m(3σ)的定位精度;2004年,歐空局完成了脈沖星導(dǎo)航可行性研究[6];2009年,俄羅斯披露了其在該領(lǐng)域的一些研究進展,2012年3月30日,德國馬克斯-普朗克研究院報道了其在脈沖星導(dǎo)航方面的研究進展。

導(dǎo)航觀測方程是研究脈沖星導(dǎo)航的理論基礎(chǔ)。文獻[7—8]推導(dǎo)了1PN度規(guī)形式下的脈沖星計時觀測方程;文獻[14]推導(dǎo)脈沖星天文定時觀測中的高階相對論效應(yīng);文獻[10]給出了1PN度規(guī)形式下的脈沖星導(dǎo)航觀測方程;文獻[15]研究了X射線脈沖星導(dǎo)航的測量方程和相對論修正公式。隨著脈沖星觀測精度的提高,觀測方程的精度也要相應(yīng)提高。在1PN度規(guī)形式下,脈沖星導(dǎo)航觀測方程的理論精度約為10－9s[14,16],為滿足更高精度的觀測需求,就要考慮觀測方程的高階相對論效應(yīng)。在2PN導(dǎo)航觀測方程的研究方面,文獻[15]中僅考慮了太陽和地球的自轉(zhuǎn),沒有考慮四極矩,文獻[11,17]沒有考慮時空交叉項的影響。

2 2PN導(dǎo)航觀測方程的推導(dǎo)

由于時空特性由度規(guī)確定,因此脈沖星導(dǎo)航觀測方程的推導(dǎo)需以確定的度規(guī)形式為前提。觀測方程推導(dǎo)的基本思路為:首先確定太陽系各個天體的度規(guī)2PN形式,然后將局部參考系下度規(guī)勢轉(zhuǎn)換到整體參考系下,再利用測地線方程推導(dǎo)光子的光行時,進而得到2PN導(dǎo)航觀測方程。

2.1 度規(guī)勢及其轉(zhuǎn)換

在廣義相對論理論中,考慮太陽的自轉(zhuǎn)與四極矩,并假定太陽的自轉(zhuǎn)軸與對稱軸重合,太陽的2 PN度規(guī)為[9,14]

式中,r為場點到太陽質(zhì)心的距離;c為真空光速;G為引力常數(shù);MS為太陽質(zhì)量;C2S為太陽無量綱四極矩;RS為太陽半徑;JSj為太陽的角動量在j方向的分量;θS為場點位矢與太陽對稱軸之間的夾角;ξijk為Levi-Civita記號。

由于太陽系各行星與太陽較為相似,同樣可以寫出顧及行星自轉(zhuǎn)和四極矩的2PN度規(guī)。但這個度規(guī)局限于各個天體局部坐標系,在討論整個太陽系的度規(guī)形式時,需要將各個天體的局部度規(guī)和時空坐標轉(zhuǎn)換到整體坐標系下。DSX體系下,局部度規(guī)勢與整體度規(guī)勢之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為[18]

2.2 脈沖信號的TOA方程

由于太陽系各行星與太陽較為相似,因此在局部坐標系下,太陽系行星的度規(guī)形式與式(1)—式(3)相似,在討論整個太陽系的度規(guī)形式時,需要將各個天體的局部度規(guī)和時空坐標轉(zhuǎn)換到整體坐標系下。由于度規(guī)勢轉(zhuǎn)換對脈沖TOA的影響微小,在此可將整個太陽系的2 PN度規(guī)可寫為

式中,BSS為太陽系天體總數(shù);Mp為太陽系中第p個天體的質(zhì)量;x為場點相對于太陽質(zhì)心的位矢;xP為第p個天體的質(zhì)心相對于太陽質(zhì)心的位矢;C2p為第p個天體的四極矩常數(shù);Jpj為第p個天體的角動量在j方向的分量。

X射線脈沖星的輪廓由若干光子的TOA按照一定的時間間隔折疊得到,每個光子在空間沿自己的世界線傳播。根據(jù)相對論理論,電磁信號在時空中傳播的世界線為零測地線,滿足以下表達式[19]

脈沖星距離地球十分遙遠,其信號傳播路徑上所有物質(zhì)(包括天體和介質(zhì)等)的位置、速度、質(zhì)量等參數(shù)很難精確確定,因此理論上很難精確確定脈沖星信號從脈沖星到地球的傳播路徑。但太陽系以外的天體對信號傳播的相對論效應(yīng)在幾十年的時間段內(nèi)可視為常數(shù)[7-8],因此僅需考慮太陽系內(nèi)天體對信號傳播的相對論效應(yīng)。另外,太陽系天體時刻都處于運動狀態(tài),而脈沖星信號在太陽系內(nèi)以光速傳播,掠過太陽系需要一定時間,而在討論相對論問題時,需要用到某一時刻的太陽系天體位置,考慮到太陽系天體的公轉(zhuǎn)周期相對較長,信號傳播時間很短,在短時間段內(nèi)太陽系天體的位置變化很小,不會影響相對論效應(yīng)的估計,因此可假定太陽系天體位置的時標為信號到達觀測者的時刻。

為推導(dǎo)信號傳播的TOA方程,現(xiàn)建立如圖1所示的坐標系,以太陽質(zhì)心、脈沖星和飛行器3點所確定的平面為xy平面,并且取x軸平行于信號傳播方向,y、z坐標軸按右手定則確定。其中d為太陽質(zhì)心至信號傳播路徑的距離,di為太陽系內(nèi)天體Mi至信號傳播路徑的距離,一般不在xy平面內(nèi)。

圖1 信號由脈沖星到達飛行器的示意圖Fig.1 The path of signals from pulsar to the spacecraft

由x軸平行于信號傳播方向可得如下表達式近似取v＝c(,0,0),將式(9)中代入式(8),可得考慮到式(5)—式(7),式(10)可進一步寫為

式(11)準確到O 4()后,可改寫為又有信號傳播路徑滿足類光測地線方程[7]

式中,GM為天體的度規(guī)勢。根據(jù)初始條件d y/ d x＝0、x＝Dx、y＝d,可解得信號傳播的空間軌跡的一階攝動解為

式中,D為矢量D的模,對式(12)兩邊關(guān)于x求導(dǎo)數(shù),得到

將式(15)代入式(12)中,可得

由于xy平面與太陽的自轉(zhuǎn)軌道面一般不重合,因此有

因為信號傳播路徑近似平行于x軸,其差異對到達時間的影響為O 5(),在此可忽略,因此有y＝ d、z＝0,故式(17)可進一步改寫為

式中的dp為常數(shù),代表第p個天體到信號傳播路徑的距離。將式(18)代入式(16)后可得

T為信號發(fā)射時刻,t為接收時刻。式(19)的積分結(jié)果為

式中

仿真分析導(dǎo)航觀測方程中的2PN相對論效應(yīng)。

3 2PN相對論效應(yīng)的數(shù)值分析

3.1 數(shù)值條件

為分析脈沖星導(dǎo)航中的相對論效應(yīng),給定以下計算條件:①模擬繞地飛行器的軌道根數(shù)見表1;②3顆脈沖星的參數(shù)信息見表2;③太陽系內(nèi)各個天體的位置由JPL DE405歷表給出。

在二體力學(xué)模型下,根據(jù)表1中6個軌道根數(shù)可以仿真計算出飛行器在任一時刻的位置和速度。表2中3顆脈沖星的參數(shù)可參見文獻[12—13],由地面射電觀測獲得。

表1 飛行器軌道根數(shù)Tab.1 Orbit elements of the spacecraft

表2 X射線脈沖星的參數(shù)值Tab.2 Parameters of X-ray pulsars

注:距離單位kpc為千秒差距(1 kpc＝3260光年＝3.08×1019m);MJD表示約化儒略日。

需要指出的是,這里之所以采用數(shù)值仿真是由于相對論問題通常要在較大尺度的時空范圍內(nèi)考慮,且2PN相對論效應(yīng)量級較小,飛行器的位置誤差不會影響相對論效應(yīng)的評估,同時采用數(shù)值仿真更有利于分析2PN相對論效應(yīng)的長期變化情況。

3.2 計算結(jié)果

3.2.1 太陽系天體的四極矩和角動量導(dǎo)致的時間延遲

圖2為自2012年1月1日起,觀測脈沖星B0531＋21 2000 d,太陽、地球、月球以及木星的四極矩和角動量導(dǎo)致的時間延遲。由圖可見,太陽和地球的自轉(zhuǎn)和四極矩和角動量導(dǎo)致的時間延遲在量級上相當(dāng),且呈現(xiàn)周期性變化。

圖2 不同太陽系天體的四極矩和角動量所導(dǎo)致的時間延遲Fig.2 Time delay due to angular momentum and quadruple moment of different celestial bodies in solar system

圖3為觀測不同脈沖星時,太陽系內(nèi)天體的自轉(zhuǎn)和四極矩所導(dǎo)致的時間延遲。由圖可見,觀測不同脈沖星,太陽系天體的四極矩和角動量所導(dǎo)致的時間延遲在量級上相當(dāng)。

圖3 觀測不同脈沖星時太陽系天體的四極矩和角動量所導(dǎo)致的時間延遲Fig.3 Time delay due to angular momentum and quadruple moment of celestial bodies in solar system for different pulsars

綜合以上兩圖可知在基于脈沖星觀測的近地飛行器自主導(dǎo)航中,太陽系天體的四極矩和角動量所導(dǎo)致的時間延遲在10－13s量級,不同脈沖星的時間延遲量級基本一致,且存在周期性變化。

3.2.2 太陽系天體引力彎曲導(dǎo)致的時間延遲

圖4為自2010年1月1日起,觀測3顆脈沖星1000 d,太陽引力彎曲導(dǎo)致的時間延遲。

圖4 太陽引力彎曲Fig.4 Time delay of the path bending due to the Sun

由圖4可見,在1000 d的仿真時間內(nèi),太陽引力彎曲導(dǎo)致的時間延遲不足1 ns。

圖5為自2010年1月1日始,觀測脈沖星B0531＋21 10 000 d,太陽系行星引力彎曲導(dǎo)致的時間延遲。

由圖可見對于近地飛行器,木星的引力彎曲最大,量級為10－18s。由于影響微小,因此所有行星的引力時延可忽略。

圖5 行星引力彎曲Fig.5 Time delay of the path bending due to planets in solar system

4 結(jié) 論

觀測方程是脈沖星導(dǎo)航理論研究的重要部分。論文介紹了脈沖星導(dǎo)航的研究進展,顧及天體的四極矩和角動量,推導(dǎo)相對論框架下脈沖星導(dǎo)航的2PN觀測方程,對導(dǎo)航觀測方程中的2PN相對論效應(yīng)進行數(shù)值分析。結(jié)果表明:在脈沖星導(dǎo)航中,太陽系行星對信號的引力彎曲以木星為最大,量級僅10－18s;太陽對信號傳播的引力彎曲在1 ns以內(nèi),太陽系行星的四極矩和角動量導(dǎo)致的時間延遲在10－13s量級。綜合以上因素,脈沖星導(dǎo)航中,2PN相對論效應(yīng)的影響不足1 ns。

目前,已有觀測方程中考慮了部分高階相對論效應(yīng),如Tempo2脈沖星計時軟件中就考慮了太陽引力時延影響[20]。由于空間觀測水平的限制,當(dāng)前脈沖星導(dǎo)航觀測方程中還未考慮2PN相對論效應(yīng),但隨著觀測水平的提高,2PN相對論效應(yīng)將會成為高精度觀測方程的組成部分。此外,從理論研究角度看,脈沖星導(dǎo)航中的2PN相對論效應(yīng)也是從實踐上驗證廣義相對論理論的又一途徑。

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(責(zé)任編輯:宋啟凡)

The 2PN Observation Equation for Pulsar Navigation in Framework of General Relativity

REN Hongfei1,2,WEI Ziqing1,2,ZHOU Qingyong1,2
1.National Key Laboratory of Geo-Information Engineering,Xi’an 710054,China;2.Xi’an Research Institute of Surveying and Mapping,Xi’an 710054,China

Advance of theory and applications in the pulsar navigation are first briefly reviewed,then considering the angular momentum and quadruple moment of celestial bodies in solar system,the 2PN observation equation for pulsar navigation is derived,and the numerical simulations for 2PN relativistic effects are analyzed.Results show that the relativistic effects of angular momentum and quadruple moment of celestial bodies in solar system are about 10－13s,the light ray bending due to the sun is less than 1 ns, the light ray bending due to the Jupiter is 10－18s,which is the largest among the solar system planets.

pulsar navigation;observation equation;relativistic effects

REN Hongfei(1984—),male,PhD,majors in space geodesy and navigation.

P228

A

1001-1595(2014)10-1025-07

2013-07-20

任紅飛(1984—),男,博士,研究方向為空間大地測量與導(dǎo)航。

E-mail:renhongfei336＠163.com

REN Hongfei,WEI Ziqing,ZHOU Qingyong.The 2PN Observation Equation for Pulsar Navigation in Framework of General Relativity[J].Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2014,43(10):1025-1031.(任紅飛,魏子卿,周慶勇.相對論框架下脈沖星導(dǎo)航的2PN觀測方程[J].測繪學(xué)報,2014,43(10):1025-1031.)

10.13485/j.cnki.11-2089.2014.0142

修回日期:2013-12-20