宋海珍 王愛華 趙彤帆 李根全

（1南陽師范學院物理與電子工程學院，河南 南陽 473061；2河南省教育廳電教館，河南 鄭州 450004）

當前地方高等師范院校的理論力學教學中，由于師資質(zhì)量和實踐條件相對不足，知識的傳授與掌握仍是教學目標的主要部分，傳統(tǒng)的知識傳授模式仍是主要的課堂教學模式.這種模式追求知識的完整系統(tǒng)而忽視探索過程、重視理論而忽視實踐，它無法適應(yīng)學生實踐創(chuàng)新能力培養(yǎng)的現(xiàn)實需求［1］.案例教學作為一種典型的師生互動教學模式，可以彌補傳統(tǒng)教學模式的缺陷，是創(chuàng)新本科課堂教學模式的有效途徑［2-6］.理論力學作為高師物理學專業(yè)學生接觸的第一門理論物理課程，其突出特點是理論性強，具有高度的抽象性和概括性，側(cè)重于以嚴密的邏輯推理建立完整的理論體系.如何取舍內(nèi)容，整合知識點，使之成為一個案例，直接影響到案例教學的成敗.我們以周衍柏老師理論力學教材中“小振動”內(nèi)容為基礎(chǔ)［7］，聯(lián)系我院實際，構(gòu)成“保守系統(tǒng)平衡位置微振動”案例，對案例教學進行了探索和嘗試.

1 案例教學的定義

案例教學是教師組織學生通過對案例的閱讀、思考、分析、討論、交流和評價等活動，提高學生分析、解決問題能力的一種教學模式［8］.它主要包括以下幾個環(huán)節(jié)：（1）提出問題，介紹案例；（2）分析案例，提煉理論；（3）應(yīng)用理論，審視案例；（4）評價總結(jié)，形成體系.通過這4個環(huán)節(jié)完成教學內(nèi)容.

2 提出問題，介紹案例

為何討論微振動？因為振動在機械、電磁（包括光）、原子和分子的運動中都普遍存在，它們具有許多相同的規(guī)律［9］.大多數(shù)機械振動的力學系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)，不太可能對其運動得出完整的一般解，作為求解的試探，常常是對系統(tǒng)在平衡位置有微小偏離的運動求解，使非線性問題近似成為線性問題達到求解的目的，況且有些系統(tǒng)本身就是在平衡位置附近做微振動，例如分子或晶格處的原子［10］.對一維單自由度的振子，在無耗微振動時符合簡諧振動的規(guī)律.如圖1所示，一個彈簧和一個質(zhì)點構(gòu)成單自由度彈簧振子，兩個彈簧和一個質(zhì)點仍構(gòu)成單自由度彈簧振子，對3個彈簧和兩個質(zhì)點構(gòu)成的系統(tǒng)，是兩個彈簧振子通過彈簧耦合的自由度為2的振動系統(tǒng).對N＋1個彈簧和N個質(zhì)點構(gòu)成的系統(tǒng)就是N個彈簧振子的耦合系統(tǒng)，自由度為N［11-14］.（圖中所有彈簧都相同，倔強系數(shù)為k，小球質(zhì)量為m，彈簧質(zhì)量、小球半徑及水平面的摩擦均不計）.

對于兩個或多個彈簧振子耦合在一起所構(gòu)成的系統(tǒng)，各個振子可能有不同的固有頻率，整個系統(tǒng)將怎樣運動？它們將按某個或某幾個統(tǒng)一頻率振動？還是系統(tǒng)內(nèi)各部分各行其是呢［15］？“保守系統(tǒng)平衡位置微振動”閱讀思考提綱：（1）基本概念和方程：微振動、平衡位置、線性化近似、固有頻率、簡正頻率、簡正模式，拉格朗日方程、微振動方程、頻率方程.（2）通過單個彈簧振子的求解得出單個自由度系統(tǒng)微振動理論.（3）通過兩個彈簧振子耦合的求解，得出兩個自由度系統(tǒng)微振動理論.（4）應(yīng)用理論對N個彈簧振子耦合系統(tǒng)求解，檢驗完善理論.（5）評價總結(jié)，給出多自由度微振動的理論體系.

圖1 彈簧振子系統(tǒng)

3 分析討論案例，提煉理論

對“微振動”力學問題的分析，應(yīng)向?qū)W生提出以下問題：（1）解決問題有幾種途徑？（2）各種途徑的優(yōu)劣比較？解決問題有矢量力學和分析力學兩種理論.矢量力學求解時可用牛頓運動定律也可以用能量守恒；分析力學求解時可用拉格朗日方程也可用哈密頓方程.對自由度比較小的力學系統(tǒng)，牛頓運動定律和拉格朗日方程求解無大區(qū)別，對于自由度比較多的系統(tǒng)，拉格朗日方程相對牛頓運動定律來說較容易.

3.1 單個自由度微振動

3.1.1 兩種途徑求解

矢量力學求解：以圖1（b）為例，選平衡位置為坐標原點，x為相對平衡位置的位移.只要彈簧是嚴格線性的，則f＝-2kx，由牛頓定律-2kx＝m，運動微分方程為

3.1.2 引導討論

（1）平衡分幾種類型？對振動問題有實際意義的是哪種平衡？保守系統(tǒng)穩(wěn)定平衡所滿足的條件？平衡分為穩(wěn)定平衡（勢能取極小值）、不穩(wěn)定平衡（勢能取極大值）和隨遇平衡（勢能取常數(shù)）3種類型.對振動問題有實際意義的是穩(wěn)定平衡.保守系統(tǒng)穩(wěn)定平衡位置需滿足拉格朗日定理：自由度為1時，勢能V滿足是穩(wěn)定平衡.對多自由度體系也有是穩(wěn)定平衡.

（2）牛頓方程求解力的線性表示是微振動條件，而拉格朗日方程求解中動能、勢能為、q的二次函數(shù)是微振動條件，兩種條件等價嗎？原因如何？為何要強調(diào)可線性化的微振動？兩種條件等價，因拉格朗日方程中動、勢能要對、q求偏導數(shù).可線性化的微振動系統(tǒng)是經(jīng)典力學中少有的可通過積分求嚴格解析解的幾個系統(tǒng)之一（其他可積分系統(tǒng)如平方反比律作用的系統(tǒng)、自由剛體問題、對稱陀螺等），不能線性化的振動系統(tǒng)需借助數(shù)值計算的方法確定系統(tǒng)運動情況，有興趣的同學可編程計算單擺小角擺動、大角擺動運動微分方程的求解.

3.1.3 提煉理論

對于單個自由度的保守系統(tǒng)，q為廣義坐標，則將勢能V（q）在q0＝0附近作泰勒展開，選q0處為零勢能點，僅保留q的二階項：由拉格朗日方程得到：方程的解為：

3.2 兩個自由度微振動

兩個彈簧振子的運動是耦合的，方程也是耦合的，求解方程組（2）的方法有幾種呢？答案是3種.方法一為試探解，是一種基本方法；方法二是對微分方程分析變形；方法三是動、勢能化為平方和的形式.

3.2.1 3種方法求解方程組

方法一：設(shè)試探解為

式（3）代入式（2）得到A1、A2的代數(shù)方程組得

式（4）有解的條件是

式（6）代入式（4），對ω1，有A1＝A2；對ω2，有A1＝-A2，微分方程組（2）的通解為

方法二：直接對方程組（2）變形求解，對方程組（2）中的兩個方程分別相加、減得到

式（9）的通解是兩個諧振動

方法三：直接把動、勢能化為平方和.一般情況下，根據(jù)線性代數(shù)理論，如果兩個二次型的系數(shù)是實對稱的，其中一個是正定的，則一定可以找到一個線性變換，使兩個二次型同時變?yōu)槠椒胶?微振動的動、勢能滿足條件，一定存在一個x和ξ的線性變換，代入動、勢能中讓交叉項系數(shù)等于零，就可把動、勢能化為平方和的形式，進而用拉格朗日方程得到單一振動模式的動力學方程.設(shè)組（9）.

3.2.2 引導討論

（1）總結(jié)簡正頻率、簡正坐標、簡正模式的概念，分析為何試探解式（3）中cos（ωt＋φ）都相同呢？不同行嗎？答案是必須相同.從數(shù)學上講，這正是線性齊次微分方程的特點，用不同的cos（ωt＋φ）則不能滿足方程組，方程組（2）各項含t的因子不能相消，最多只能在某些時刻為零.從物理上講，不同的ω對應(yīng)不同的振動頻率，若式（3）中各項的ω不同，則它們對應(yīng)不同頻率的振動，不同頻率振動的任意線性組合都不可能等于零，即方程組（2）中各個方程不能成立.

（2）兩個簡正振動模式分別代表何種運動？對簡正振動模式ω1：ξ1＝x1＋x2＝A1cos若表示兩質(zhì)點同相振動，反映整體振動情況.對簡正振動模式ω2：若x1（0）＝則有ξ1＝0，ξ2＝2x0cosω2t，表示兩質(zhì)點反相振動時的相對運動，ξ2表示1對2的相對運動，反映兩個振子通過中間彈簧耦合的情況.

（3）系統(tǒng)的任一振動與簡正振動的關(guān)系？系統(tǒng)的任一種振動狀態(tài)是各種簡正振動的線性疊加，看初始時哪些被激發(fā)，哪些沒有激發(fā)？若初始只激發(fā)一個，其余沒有激發(fā)，就只有一個簡正模式振動，簡正坐標不僅使方程求解容易，而且反映了系統(tǒng)振動的物理本質(zhì).對于一個微觀系統(tǒng)，由于熱運動引起的能量漲落，以致溫度足夠高，各簡正模式都會在一定程度上激發(fā)起來.在這種意義下，簡正模是凝聚態(tài)物理學中重要概念“元激發(fā)”的萌芽.

（4）耦合效應(yīng)使共同頻率ω0分成兩個不同本征頻率ω1和ω2，若m2固定，m1振動，則ω0＝固定，m2振動，則兩個振子沒有耦合時振動情況完全相同，具有相同的振動頻率ω0，耦合效應(yīng)使ω0分成ω2和ω1兩個頻率.

圖2 耦合彈簧振子的頻率

如圖2（a）所示，這種頻率的分裂類似于原子光譜中的塞曼效應(yīng)，在那里相互作用是通過施加磁場.如果對于3個質(zhì)點，4個彈簧構(gòu)成的系統(tǒng)，通過類比猜想或求解，也得到本征頻率分成圖2（b）所示.

3.2.3 提煉理論

對兩個自由度的保守系統(tǒng)，q1，q2為廣義坐標，勢能在平衡位置處展開，線性近似略去高于二階的微量，引入對穩(wěn)定約束力學系統(tǒng)：利 用廣義速 度變換，代入拉格朗日方程

式（12）有解的條件是

4 應(yīng)用理論，審視案例

4.1 應(yīng)用理論

通過類比，把兩個微振動求解理論應(yīng)用到N個自由度微振動系統(tǒng)，如圖1（d）所示，選qs（表示某一瞬時第s個質(zhì)點偏離平衡位置位移，s＝1，2，…，N）為廣義坐標，因邊界是固定的，q0＝qN＋1

設(shè)試探解為

在近代物理中，用復數(shù)表示簡諧振動比較方便，復數(shù)的實部或虛部就是經(jīng)典力學中的諧振動.

式（15）的A可以是復數(shù)，與位置無關(guān)，qs＝sa是第s個質(zhì)點平衡時的位置，a是平衡時相鄰兩質(zhì)點間的距離.k波（波矢）和φ（相位）由邊界條件決定.確定ω：式（15）代入式（14）得mω2＋k（e-ik波a-2＋確定φ：由q0任何時候都成立，得eiφ＝0，或它們的奇數(shù)倍，取保證式（15）中qs實部不出現(xiàn)負號.確定k波：由qN＋1＝任何時候都成立，則k波（N＋1）a＝απ，α＝1，2，…，N.得其中，α＝1，2，…，N，式（15）的實部解為

可見，對N個自由度的系統(tǒng)，解決的方法步驟與兩個質(zhì)點完全相同，有幾個自由度，就有幾個簡正頻率，也就有幾個簡正模式和簡正坐標.

4.2 拓展與延伸

N個質(zhì)點系統(tǒng)在固體物理中用來研究一維晶體振動性質(zhì)，它反映系統(tǒng)在最近鄰相互作用下的特性：

不出現(xiàn)質(zhì)點的序號s，證明系統(tǒng)中所有質(zhì)點都具有這種頻率與波矢的關(guān)系，通常稱為色散關(guān)系.ωα的最大值表示質(zhì)點振動頻率增加到（ωα）max時自然截止，頻率大于（ωα）max的振動不可能在一維系統(tǒng)中存在并傳播.

（3）經(jīng)典力學方法求解一維N體振動，其結(jié)果部分說明晶體的性質(zhì)，對晶體性質(zhì)的全面描述，必須用量子理論描述.簡正坐標描述的一維諧振子，量子力學處理方法中把力學量用算符表示，得到量子力學描述，諧振子能量是分立的，定義分立能量hωα為聲子，聲子是晶格集體激發(fā)的玻色型準粒子，它具有能量hωα和準動量hk波.

（4）對兩個或多個彈簧振子耦合的系統(tǒng)，整個系統(tǒng)不按某個或某幾個振子的頻率振動，而是存在簡正振動模式，且按簡正頻率振動，系統(tǒng)任意振動是這一系列簡正振動的線性疊加.

5 評價總結(jié)，形成理論體系

結(jié)合單自由度、兩個自由度微振動的處理方法，我們用拉格朗日方程給出s個自由度保守系統(tǒng)微振動的一般理論.對s個自由度的力學系統(tǒng)，受保守力穩(wěn)定約束，相對平衡位置qα0＝0的廣義坐標qα，α＝1，2，…，s，勢能在qα0附近展開，線性近似后，設(shè)有V＝將L＝T-V代入拉格朗日方程，得到設(shè)試探解qβ＝Aβcos（ωt＋α），β＝1，2，…，s，代入運動微分方程得這是關(guān)于振幅Aβ的方程組，Aβ有非零解必須滿足頻率方程

小振動的頻率不能任意取值，只能由頻率方程確定.它是ω2的s次方程，一般有s個根，這些根與振動的初始條件無關(guān)，僅決定于慣性和勁度系數(shù)，也叫力學系統(tǒng)的固有頻率，固有頻率求出后，代入振幅Aβ方程，確定s個Aβ的比值，進而得到對應(yīng)的某一頻率的特解.因微振動的動力學方程是線性的，故整個力學系統(tǒng)的解一定是這些特解的線性組合.理論的使用條件是：保守系統(tǒng)，穩(wěn)定約束，可線性化處理.

6 結(jié)語

地方高等師范院校專業(yè)課中的案例教學，有利于從問題出發(fā)，促成學生成功的體驗，激發(fā)主動學習的積極性，提高學生的綜合素質(zhì)和創(chuàng)新實踐能力.通過多階段的案例分析實踐過程，不僅使理論來源于實踐，應(yīng)用于實踐，在實踐中強化理論的應(yīng)用和理解.而且通過案例整合知識，使知識應(yīng)用整體化，打破了力學、理論力學和固體物理學中各部分知識相對獨立的局面.同時對師范生的教育教學技能進行了培養(yǎng)，起到了示范課的作用.但由于案例教學的難度大，需要教師廣博深厚的專業(yè)知識，花費更多時間，投入更多的精力.需要學生做好課前閱讀和思考，才能達到較好的效果.在地方高師院校中，部分學生有畏難情緒，放棄課前閱讀思考，教師要對課前閱讀思考狀況準確地把握及時指導，課堂上才會有較好的交流互動.

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