聶宏展，鄭鵬飛，李 帥，馬迎東

(東北電力大學(xué)電氣工程學(xué)院，吉林省吉林市132012)

0 引言

輸電網(wǎng)規(guī)劃是一個多目標(biāo)問題，傳統(tǒng)的規(guī)劃在考慮單一經(jīng)濟性的同時，導(dǎo)致線路潮流分布不均衡，造成線路負載率過低或過高［1］。線路負載率過低會導(dǎo)致電網(wǎng)的經(jīng)濟運行差，而線路負載率過高會導(dǎo)致電網(wǎng)安全性降低。針對這類問題，建立適當(dāng)、合理的數(shù)學(xué)模型可以有效避免上述問題的出現(xiàn)。但輸電網(wǎng)規(guī)劃模型求解過程中通過傳統(tǒng)優(yōu)化算法很難獲得綜合滿意度最高的解。智能算法(如人工魚算法［2-4］，粒子群算法［5，6］，蟻群算法［7］等)的出現(xiàn)，為解決這類問題擴展了思路。

本文采用的差分進化算法(Differential Evolution Algorithm，DEA)是一種新興的基于群體智能理論的進化計算技術(shù)，具有較強的全局收斂能力和魯棒性，但易陷入局部極值?；煦鐑?yōu)化算法(Chaotic Optimization Algorithm，COA)利用自身的隨機性、遍歷性和對初值的敏感性特點進行尋優(yōu)，具有很強的局部跳躍能力。因此，在以上兩種算法的基礎(chǔ)上，提出了混沌差分算法(Chaotic Differential Evolution Algorithm，CDEA)，用于輸電網(wǎng)規(guī)劃求解。

對于規(guī)劃模型，本文將綜合投資運行費用與支路負載率方差作為目標(biāo)函數(shù)，在滿足規(guī)劃方案對經(jīng)濟性、安全性要求的同時［8，9］，滿足線路功率傳輸?shù)木庑裕咕W(wǎng)絡(luò)潮流分布更加合理。針對所建模型采用混沌差分進化算法進行計算，獲得規(guī)劃方案及目標(biāo)函數(shù)值，同時對算法的有效性進行驗證。

1 輸電網(wǎng)規(guī)劃模型

1.1 目標(biāo)函數(shù)

隨著經(jīng)濟的快速發(fā)展，電網(wǎng)建設(shè)正在不斷加快，輸電走廊的獲取日益困難，同時工程建設(shè)成本也在不斷提升，從而導(dǎo)致輸電走廊費用占綜合費用的比重增加，影響電網(wǎng)建設(shè)的經(jīng)濟性，因此將輸電走廊費用加入到目標(biāo)函數(shù)中，同時增加輸電網(wǎng)擴建線路投資費用、輸電網(wǎng)線路運行維護費用、網(wǎng)損費用，從而構(gòu)成綜合投資運行費用。在目標(biāo)函數(shù)中加入N約束及N－1約束的過負荷罰函數(shù)可以使目標(biāo)函數(shù)保證線路不會出現(xiàn)過負荷現(xiàn)象或過負荷量很少。

傳統(tǒng)情況下，單一追求經(jīng)濟性會造成個別線路出現(xiàn)重載或輕載的現(xiàn)象，重載線路會導(dǎo)致電網(wǎng)安全性降低，輕載線路會導(dǎo)致電網(wǎng)的經(jīng)濟運行差。因此，規(guī)劃后形成的方案不僅要滿足經(jīng)濟性要求，同時提高電網(wǎng)的安全性、供電質(zhì)量和避免規(guī)劃后支路出現(xiàn)輕載和重載現(xiàn)象的出現(xiàn)顯得尤為重要。本文采用的目標(biāo)函數(shù)使得在方案綜合投資運行費用相差不大的情況下支路負載率相對均衡，利用率更加合理。

目標(biāo)函數(shù)為:

式中，f1為綜合投資運行費用，包括建設(shè)費用、運行維護費用、網(wǎng)損費用及輸電走廊費用;CLij為從節(jié)點i到節(jié)點j新建線路單位公里建設(shè)費用;xij為從節(jié)點i到節(jié)點j新建線路公里數(shù);Ω為新建線路集;β為運行維護費用比例系數(shù);k2為年網(wǎng)損費用系數(shù);n為規(guī)劃方案線路集;ri為支路i的電阻;Pi為正常運行情況下支路i輸送的有功功率;針對N約束及N－1約束，將約束條件以罰函數(shù)形式計入目標(biāo)函數(shù)，即將N約束情況下的網(wǎng)絡(luò)過負荷量W乘以過負荷罰系數(shù)k3及N－1約束情況下的網(wǎng)絡(luò)過負荷量W'乘以懲罰系數(shù)k4引入目標(biāo)函數(shù);αi為單位面積輸電走廊綜合成本;wi為輸電走廊寬度;li為規(guī)劃方案支路i線路長度;f2表示支路負載率方差;Pi為支路i傳輸?shù)挠泄β?P－i為支路i允許的最大傳輸功率;P^為支路傳輸功率均值;通過設(shè)置負載率方差來體現(xiàn)支路負荷波動限制，可以有效避免線路重載和輕載的出現(xiàn)。

1.2 約束條件

正常N約束:

N－1約束:

式中，正常N約束情況下，式(3)為直流潮流約束，式(4)為支路功率不等式約束，式(5)為新增線路約束，式(6)為支路潮流約束，式(7)為總過負荷量。B為系統(tǒng)節(jié)點導(dǎo)納矩陣;θ為節(jié)點相角矢量;PL為負荷矢量;PG為發(fā)電機出力矢量;Pmax為支路功率矢量;Bl為由各支路導(dǎo)納組成的對角矩陣;A為系統(tǒng)關(guān)聯(lián)矩陣;ximax為支路i可以新增線路的上限;Φ為過負荷線路集合。通過設(shè)置相對較大的罰函數(shù)使規(guī)劃方案有冗余，但不會出現(xiàn)過負荷現(xiàn)象。

N－1約束情況下，式(8)為直流潮流約束，式(9)為支路功率不等式約束，式(10)為支路潮流約束，式(11)為總過負荷量。B'為N－1時系統(tǒng)節(jié)點導(dǎo)納矩陣;θ'為節(jié)點相角矢量;P'L為負荷矢量;P'G為發(fā)電機出力矢量;P'max為支路功率矢量;B'l為由各支路導(dǎo)納組成的對角矩陣;A'為系統(tǒng)關(guān)聯(lián)矩陣;P'i為N－1運行方式下線路傳輸功率;P－'i為線路i的傳輸功率上限;Φ'為N－1情況下過負荷線路集合，設(shè)置相對較大的罰函數(shù)從而使系統(tǒng)滿足N－1要求，體現(xiàn)電網(wǎng)的安全性要求。

1.3 適應(yīng)度函數(shù)

針對不同性質(zhì)的目標(biāo)函數(shù)，引入適應(yīng)度函數(shù)，使兩目標(biāo)能夠相互影響，從而避免針對單一目標(biāo)的極值優(yōu)化。

通過采用式(12)適應(yīng)度函數(shù)獲得全局非劣解。

2 混沌差分進化算法(CDEA)

2.1 基于貓(cat)映射混沌優(yōu)化算法簡介(COA)

混沌優(yōu)化算法是一種隨機的優(yōu)化算法，它利用Logistic映射進行搜索，此映射為滿映射也為單映射，搜索最優(yōu)的過程中具有遍歷性［10］。同時，該算法還有隨機性和對初值的敏感性的特點。它的遍歷性特點可作為避免陷入局部極值的一種優(yōu)化機制。但由于Logistic映射產(chǎn)生的混沌序列遍歷不均勻性，從而造成尋優(yōu)速度受到影響，而cat映射產(chǎn)生的混沌序列分布均勻，有利于尋優(yōu)速度的提高［11］。

cat映射方程為:

cat映射的初始值可以取0或1，這是Logistic映射無法比擬的。

針對兩種映射進行50000次迭代得到如下［0，1］之間分布圖，如圖1所示。

通過比較分析二者的遍歷性存在極大差別，cat映射的遍歷性更均勻，更有利于輸電網(wǎng)規(guī)劃的計算。

因此，針對輸電網(wǎng)規(guī)劃其尋優(yōu)基本步驟為:

圖1 兩種映射迭代分布圖Fig.1 Distribution map of two mappings’iteration

(1)隨機產(chǎn)生一組初始混沌變量 (Xk，nn，Yk，nn)，Xk，nn=(xk，1，xk，2…xk，nn)，Yk，nn=(yk，1，yk，2…yk，nn)，每個元素在 (0，1)區(qū)間上且不為 0.25，0.5，0.75，nn為決策變量維數(shù)，k為尋優(yōu)迭代次數(shù)，初始迭代次數(shù)為1。

(2)將(1)中生成的混沌變量轉(zhuǎn)化為優(yōu)化變量即 0 － 1 變量，此解為初始解 (X'k，nn，Y'k，nn)，其中X'k，nn為初始規(guī)劃方案，Y'k，nn作為輔助變量，將此方案進行計算獲得初始最優(yōu)值F，記為最優(yōu)值，將X'k，nn賦給最優(yōu)解 X*。

(3)運用cat映射方程實現(xiàn)混沌變量迭代，并用(2)中方式轉(zhuǎn)化成規(guī)劃方案 X″k+1，nn及輔助變量Y″k+1，nn。

(4)將新的規(guī)劃方案 X″k+1，nn代入規(guī)劃模型中生成新的目標(biāo)函數(shù)值F'，比較F與F'，將兩者最小值賦給F，同時將最小值對應(yīng)的規(guī)劃方案賦給最優(yōu)解X*。

(5)k=k+1，若k＜kmax重復(fù)步驟(3)～(5)，直至滿足終止條件，輸出最優(yōu)值F及最優(yōu)解X*。

2.2 差分進化算法簡介(DEA)

DEA是一種基于實數(shù)編碼的用于優(yōu)化函數(shù)最小值的進化算法。通過初始化獲得初始種群，得到初始最優(yōu)值，通過對初始種群進行變異、交叉操作獲得新的個體，采用基于貪婪選擇模式的選擇操作，對新的子代種群進行評價獲得新的最優(yōu)值及下次迭代的種群。算法流程包括初始化種群、變異、交叉和選擇等，具體步驟參見文獻［12，13］。

2.3 混沌差分進化算法

為了克服DEA容易陷入早熟的缺點，引入混沌的思想，對整個算法進行了改進，提出了基于cat映射的混沌差分進化算法，CDEA采用與DEA相同的編碼方式，算法從以下方面進行改進:

1)初始種群:采用cat映射形成解空間均勻的初始種群，提高尋優(yōu)速度。

2)針對變異操作，改進變異策略。采用如下變異法則:

在變異過程中，采用如上變異策略來提高種群的局部及全局搜索能力。其中變異算子F及F0改進如下:

3)通過對交叉操作分析，交叉算子CR雖然控制著種群的交叉程度，但去掉交叉操作后對算法的求解沒有太大影響，因此在CDEA算法中取消交叉操作。

4)混動擾動過程

γ為擾動概率參數(shù)，由于rand產(chǎn)生的是(0，1)之間的均勻分布的隨機數(shù)，為使混沌擾動過程具有隨機雙向?qū)?yōu)能力且正向、反向概率相同，設(shè)定擾動概率參數(shù)值γ為0.5。

②將混沌化后新形成的種群X'i，nn代入評價函數(shù)中計算獲得最優(yōu)值f'*與最優(yōu)方案，與原最優(yōu)值f*比較，輸出兩者最小值。

CDEA步驟如下:

1)設(shè)置種群數(shù)Np，最大迭代次數(shù)Gm，變異率Fmin，F(xiàn)max，局部混沌擾動次數(shù)k等;

2)隨機產(chǎn)生初始種群，采用cat映射形成混沌初始解，將混沌初始解代入輸電網(wǎng)規(guī)劃模型，形成初始最優(yōu)解G=1;

3)根據(jù)式(14)、式(15)進行變異操作形成新的個體;

4)進行選擇操作，將變異操作形成的新種群代入輸電網(wǎng)規(guī)劃模型中獲得新的最優(yōu)解;

5)對于獲得的新的最優(yōu)方案進行k次混沌擾動，將k次擾動形成的方案代入模型中獲得解集與當(dāng)前最優(yōu)解比較，輸出最小值，若最小值滿足約束條件則轉(zhuǎn)步驟7)，否則進行步驟6);

6)G=G+1，返回步驟3);

7)輸出最優(yōu)值及最優(yōu)方案。

改進后的CDEA流程圖如圖2所示:

圖2 算法框圖Fig.2 Flow chart of algorithm

3 算例分析

根據(jù)《國家電網(wǎng)公司輸變電工程通用造價220kV輸電線路分冊造價》及文獻［14］相關(guān)數(shù)據(jù)確定αi的取值，取單回線輸電走廊綜合成本為1.45元/m2，取雙回線輸電走廊綜合成本為1.32元/m2，取三回線輸電走廊綜合成本為1.25元/m2，取四回線輸電走廊綜合成本為1.20元/m2。單位輸電線路造價為74.48萬元/km，年網(wǎng)損費用系數(shù)為0.35，運行維護費用比例系數(shù)取0.1。

采用IEEE-18節(jié)點系統(tǒng)進行試驗，該系統(tǒng)共有18個節(jié)點，9條已建輸電線路及33條待選輸電線路，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及相關(guān)參數(shù)請參見文獻［15］。

經(jīng)過調(diào)試混沌差分進化算法種群數(shù)取Np=250，變異因子 Fmin=0.2，F(xiàn)max=2，k=6，最大迭代次數(shù)為Gm=1000。

方案1為本文模型求解得到的最優(yōu)方案，方案2為相同條件下求解單目標(biāo)綜合投資運行費用最小模型得到的方案。兩者方案比較見表1。

表1 18節(jié)點系統(tǒng)規(guī)劃方案比較Tab.1 Comparison of transmission expansion planning schemes for 18-bus system

在綜合投資運行費用相差不大的情況下，考慮負載率獲得的規(guī)劃方案1的負載率波動性小，優(yōu)于方案2?？紤]負載率規(guī)劃的方案新建支路最小負載率得到明顯提升。

圖3 支路負載率分布圖Fig.3 Distribution mapping of branch load rate

圖3中前9個點為已建線路負載率，從圖中明顯看出方案1中新建支路的負載率波動性較方案2小，這表明方案1的新建支路傳輸功率分布更均勻。同時針對各條支路負載率比較發(fā)現(xiàn)，方案1各支路的負載率較合理，而方案2中個別支路存在負載率嚴(yán)重偏低現(xiàn)象。

為了突出基于cat映射的混沌差分進化算法的優(yōu)越性，采用文獻［10］模型對算法進行比較，最優(yōu)值為40375，分析結(jié)果見表2。

表2 結(jié)果比較(算例1)Tab.2 Comparison of results(Example 1)

通過表2可以看出在求解18節(jié)點系統(tǒng)上，CDEA較DEA可以短時間求得最優(yōu)結(jié)果，經(jīng)過30次運算無論是在最優(yōu)解出現(xiàn)代數(shù)上還是在運算時間上，CDEA都具有很大的優(yōu)勢，可以快速有效地得到最優(yōu)結(jié)果。

圖4 CDEA和DEA的收斂曲線Fig.4 Convergence curves of CDEA and DEA

由圖4可知，CDEA的收斂性較DEA好，在相同條件下，CDEA可以快速收斂到最優(yōu)解，而DEA在經(jīng)過10多代之后便陷入局部極值，在經(jīng)歷了大約60代左右才跳出該極值點，大大影響了算法的收斂時間。

4 結(jié)論

輸電網(wǎng)規(guī)劃模型采用綜合投資運行費用與支路負載率方差作為目標(biāo)函數(shù)，在滿足規(guī)劃的經(jīng)濟性、安全性要求的同時，優(yōu)化了支路負載率分布，改善了電網(wǎng)運行環(huán)境，重載及輕載線路的負載率得到有效均衡，提高了網(wǎng)絡(luò)功率傳輸水平。

18節(jié)點算例結(jié)果表明，支路負載率水平比單目標(biāo)優(yōu)化方案有明顯改善，所建模型通過合理的網(wǎng)架擴建，有效地改善了系統(tǒng)運行環(huán)境，使支路潮流分布更加合理，得到的輸電網(wǎng)規(guī)劃方案具有較好的適應(yīng)性和靈活性，考慮負載率優(yōu)化對于電網(wǎng)建設(shè)具有重要的指導(dǎo)意義，貼切實際需求。

針對差分進化算法進行改進，通過采用貓映射來替代傳統(tǒng)的Logistic映射，改變變異、交叉策略，增加混沌擾動獲得的CDEA在收斂性及收斂速度上獲得有效提高，通過算例測試，驗證了算法的有效性。

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