藺小林， 鄧雄峰

(1.陜西科技大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院， 陜西 西安 710021； 2.陜西科技大學(xué) 陜西省造紙技術(shù)及特種紙品開發(fā)重點實驗室， 陜西 西安 710021 )

0 引言

PID控制器作為一種經(jīng)典的控制器，由于其原理簡單，使用方便，被廣泛地應(yīng)用于工業(yè)過程控制系統(tǒng)中.PID控制器雖然不依賴于對象模型，卻受其比例系數(shù)(Kp)、微分系數(shù)(Ki)、積分系數(shù)(Kd)影響較大.怎樣才能獲得PID參數(shù)的最優(yōu)組合，工程中整定PID參數(shù)出現(xiàn)過憑借經(jīng)驗調(diào)試的經(jīng)驗方法，利用理論公式設(shè)計的理論方法，以及加入智能算法的智能搜索方法.目前，利用智能方法研究PID參數(shù)整定已成為一大熱點，例如模糊控制算法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法、遺傳算法，蟻群優(yōu)化算法等都已用在了PID參數(shù)整定研究之中.

差分進(jìn)化算法(Differential Evolution，DE)是Rainer Storn和Kenneth Price在1996年為求解切比雪夫多項式而提出的一種方法[1]，是一種基于群體差異的啟發(fā)式隨機(jī)搜索方法，原理簡單，受控參數(shù)少.這種差分進(jìn)化算法由于具有較強(qiáng)的全局搜索能力及高效的收斂性、魯棒性等優(yōu)點，從而在約束、離散優(yōu)化計算、化工、機(jī)器人、信號處理、系統(tǒng)辨識等方面得到廣泛的應(yīng)用[2].

本文在標(biāo)準(zhǔn)差分進(jìn)化算法的基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，提出一種自調(diào)整放縮因子(F)的改進(jìn)DE算法，結(jié)合性能指標(biāo)函數(shù)(ITAE)，將這種新的方法應(yīng)用于PID參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計，并進(jìn)行了實例仿真.

1 標(biāo)準(zhǔn)差分進(jìn)化算法概述

1.1 標(biāo)準(zhǔn)差分進(jìn)化算法的基本原理

差分進(jìn)化算法是一種基于群體的演化算法，基本思想在于應(yīng)用當(dāng)前種群個體的差異來重新組合，通過交叉操作、選擇操作，得到中間群體，然后應(yīng)用于子代和父代個體競爭來獲得新一代種群[3-5].

(1)生成初始種群：

采用公式(1)產(chǎn)生初始種群：

(1)

其中rand(0,1)是[0,1]服從均勻分布的隨機(jī)數(shù).

(2)變異操作

變異操作是差分進(jìn)化算法中的關(guān)鍵步驟，是從種群NP中隨機(jī)選擇3個個體，設(shè)為a1,a2,a3,并且a1≠a2≠a3≠i，則：

hij=xa1j+F(xa2j-xa3j)

(2)

這里的F是放縮因子，hij是新產(chǎn)生的變異個體.

(3)交叉操作

交叉操作是增加種群的多樣性，操作如下：

vij(g+1)=

(3)

式中的CR為交叉概率，取[0,1]之間的數(shù)；rand(0,1)是[0,1]上服從均勻分布的隨機(jī)數(shù)；randint(1,1,n)是(1,n)之間的一個隨機(jī)整數(shù)；n是個體維數(shù)，這種交叉策略可以保證vij(g+1)中至少有一個分量由hij(g)提供.

(4)選擇操作

通過調(diào)用適應(yīng)度函數(shù)對向量vij(g+1)和向量xij(g)進(jìn)行比較，作出選擇，如公式(4).

(4)

這里的f(·)為調(diào)用的適應(yīng)度函數(shù).

1.2 差分進(jìn)化算法控制策略

Rainer Storn和Kenneth Price針對差分進(jìn)化算法還提出了多種控制策略[4,6]，通式表示為DE/x/y，這里：

DE：表示差分進(jìn)化算法；

x：表示限定當(dāng)前被變異的向量是“隨機(jī)的”還是“最佳的”；

y：表示所利用的差向量的個數(shù).

常見的變異控制策略如表1所示.

表1 常見變異控制策略

xbestj代表第g代中最好的個體，a1,a2,a3,a4是從種群NP隨機(jī)選擇的四個個體，并且a1≠a2≠a3≠a4≠i,i是種群NP中的第i個個體，j表示某個個體的第j維.此文選取的策略是DE/rand/1.

1.3 差分進(jìn)化算法中的參數(shù)選取

要想得到理想的結(jié)果，參數(shù)的選擇很重要，差分進(jìn)化算法中涉及到的參數(shù)主要有群體規(guī)模NP，放縮因子F，交叉概率CR，個體維數(shù)n.NP一般介于5n與10n之間，但不能少于4，否則無法進(jìn)行變異操作；F一般在(0,2)之間選擇；CR只在[0,1]之間選擇，CR增大后收斂速度會加快，但容易發(fā)生早熟現(xiàn)象；n視實際問題而定.

以上參數(shù)的選取只是經(jīng)驗上的選擇，對于具體問題，還要進(jìn)一步研究確定.

2 改進(jìn)的差分算法對PID參數(shù)的優(yōu)化

2.1 PID參數(shù)的優(yōu)化設(shè)置

PID控制器作為一種線性的控制，通過給定的輸入與實際輸出構(gòu)成控制偏差，然后求取偏差的比例、微分、積分，再進(jìn)行線性組合，作為被控對象的輸入，其一般表達(dá)式為：

式中Kp、Ki、Kd分別表示比例系數(shù)、微分系數(shù)和積分系數(shù).PID參數(shù)優(yōu)化的目的就是通過優(yōu)化這三個參數(shù)，以期得到最佳控制參數(shù)，在滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下，保證控制系統(tǒng)的某種性能最佳.

2.2 改進(jìn)差分進(jìn)化算法

對于標(biāo)準(zhǔn)的差分進(jìn)化算法，在變異操作中，放縮因子F，通常是選取一個固定的參數(shù)來參與變異.這種選擇，表現(xiàn)不出在每次迭代中對變異及后面的交叉、選擇操作的影響.又由于種群在進(jìn)化的早期具有多樣性，放縮因子F宜取大一些；在進(jìn)化的后期應(yīng)集中搜索，F(xiàn)宜取小一些[7].基于上述思想，標(biāo)準(zhǔn)差分進(jìn)化算法在變異操作時，對放縮因子F，進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整，在此選取三種自適應(yīng)函數(shù)：凹函數(shù)、線性函數(shù)和凸函數(shù)，分別對放縮因子F進(jìn)行自調(diào)整[4,5,8,9].

(1)凹函數(shù)

選取的凹函數(shù)為指數(shù)函數(shù)：

(5)

記作F1-DE，C是一個常數(shù)，這里取為20.

(2)線性函數(shù)

線性函數(shù)選取為一次函數(shù)：

(6)

記作F2-DE.

(3)凸函數(shù)

凸函數(shù)選取為開口向下的二次函數(shù)：

(7)

記作F3-DE.

標(biāo)準(zhǔn)的差分進(jìn)化算法記作F0-DE.上述各函數(shù)中的Fmax和Fmin分別表示放縮因子F的最大值和最小值，t和Tmax分別表示當(dāng)前迭代次數(shù)和最大迭代次數(shù).

2.3 基于改進(jìn)的差分進(jìn)化算法的PID優(yōu)化方法設(shè)計

這里以待優(yōu)化的PID控制參數(shù)Kp，Ki，Kd為分量構(gòu)成一個三維行向量.即組成差分進(jìn)化算法的個體.參數(shù)搜索范圍是根據(jù)Z-N法獲得的參數(shù)，向兩邊擴(kuò)展選取.以最大迭代次數(shù)為終止條件.以常用的系統(tǒng)性能指標(biāo)函數(shù)ITAE，即時間和絕對誤差的乘積積分作為適應(yīng)度函數(shù)，其公式如下，ts為調(diào)節(jié)時間.

則改進(jìn)后的算法流程如下：

(1)對PID控制參數(shù)Kp、Ki、Kd進(jìn)行實數(shù)編碼，設(shè)計種群個體，以Z-N法獲得的參數(shù)，設(shè)計搜索空間，根據(jù)性能指標(biāo)要求，設(shè)計適應(yīng)度函數(shù)，選擇控制策略；

(2)對差分進(jìn)化算法進(jìn)行參數(shù)設(shè)置，包括種群規(guī)模NP，放縮因子F的最大值Fmax，最小值Fmin，交叉因子CR，最大迭代次數(shù)Tmax；

(3)隨機(jī)產(chǎn)生初始化種群；

(4)利用公式(5)或(6)或(7)調(diào)整放縮因子，根據(jù)公式(2)，采用DE/rand/1控制策略進(jìn)行變異操作；

(5)根據(jù)公式(3)進(jìn)行交叉操作；

(6)根據(jù)公式(4)進(jìn)行選擇操作；

(7)判斷是否到達(dá)最大迭代次數(shù)，沒有，轉(zhuǎn)至(4)，已達(dá)到，則執(zhí)行(8)；

(8)輸出最優(yōu)結(jié)果.

3 改進(jìn)的差分進(jìn)化算法優(yōu)化參數(shù)的仿真和比較

以某二階系統(tǒng)為控制對象進(jìn)行仿真研究，其傳遞函數(shù)為：

改進(jìn)的差分進(jìn)化算法參數(shù)選?。悍N群規(guī)模NP取為40；放縮因子F采用公式(5)、(6)或(7)的自調(diào)整公式；交叉概率CR取為0.1；個體維數(shù)n取為3；最大迭代次數(shù)Tmax取為200.

根據(jù)文獻(xiàn)[6]的研究，考慮到放縮因子的取值范圍為(0,2)以及收斂效果，這里最大放縮因子Fmax取為1.90，最小放縮因子Fmax取為0.40.

標(biāo)準(zhǔn)的差分進(jìn)化算法參數(shù)選取，放縮因子F取為0.4，其他參數(shù)與改進(jìn)的差分進(jìn)化算法的一致.優(yōu)化參數(shù)的取值范圍:Kp為[0,40]，Ki為[0,20]，Kd為[0,2].在這里還選取一組非差分進(jìn)化算法獲得的常規(guī)參數(shù)，根據(jù)文獻(xiàn)[4]的理論設(shè)計方法，取Kp為3.98，Ki為6.78，Kp為4.26.根據(jù)差分進(jìn)化流程，編程仿真，所得仿真圖如圖1，圖2所示.

圖1顯示的是標(biāo)準(zhǔn)差分進(jìn)化算法與常規(guī)算法的仿真輸出曲線；圖2顯示的是不同放縮因子下的仿真輸出曲線.

圖1 常規(guī)算法與標(biāo)準(zhǔn)DE算法的仿真輸出

由圖1可知，差分進(jìn)化算法對PID參數(shù)的優(yōu)化效果要好于常規(guī)算法.響應(yīng)速率要快于常規(guī)算法，有效的減小了超調(diào)量和調(diào)節(jié)時間，過渡過程相對比較平滑.

由圖2可知，在不同放縮因子的調(diào)節(jié)作用下，所得不同的優(yōu)化參數(shù)組合，相對于F0-DE而言，三種改進(jìn)的DE算法作用效果均要優(yōu)于F0-DE，其中F1-DE速率快，過渡時間短，魯棒性最好；F2-DE和F3-DE的作用效果次之，響應(yīng)速率較快，具有一定的超調(diào)量，調(diào)節(jié)過程出現(xiàn)了輕微震蕩，魯棒性較好；而F0-DE效果最差，超調(diào)量最大，調(diào)節(jié)過程出現(xiàn)了明顯的震蕩，魯棒性差.

圖2 不同放縮因子下的仿真輸出

4 結(jié)束語

對標(biāo)準(zhǔn)差分進(jìn)化算法中的放縮因子F，引入三種不同類型的函數(shù)對其進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整，將各自獲得的一組最優(yōu)參數(shù)，作為PID的控制參數(shù)，作用于被控對象，所得到的仿真圖顯示，不管是標(biāo)準(zhǔn)的DE算法還是改進(jìn)的DE算法都要優(yōu)于常規(guī)的算法；在改進(jìn)的DE算法中采用指數(shù)函數(shù)優(yōu)化的F效果最好，響應(yīng)速率快，魯棒性好.采用線性函數(shù)和凹函數(shù)優(yōu)化的F響應(yīng)速率和過渡過程大致相當(dāng)，差異不是很大.差分進(jìn)化算法能克服傳統(tǒng)算法不能尋優(yōu)的缺點，而改進(jìn)的差分進(jìn)化算法具有的自調(diào)整特點，能自調(diào)整放縮因子，是標(biāo)準(zhǔn)DE算法所不能做到的，因此能滿足一定的需求，有一定的參考意義.

[1] Storn R,Price K.Differential evolution-a simple and efficient heuristic for global optimization over continuous spaces[J].Journal of Global Optimization，1997(11)：341-359.

[2] 劉 波，王 凌，金以慧.差分進(jìn)化算法研究進(jìn)展[J].控制與決策，2007，22(7)：722-729.

[3] 姜立強(qiáng)，劉光斌，郭 靜.基于差分進(jìn)化算法的PID參數(shù)整定[J].計算機(jī)仿真，2009，26(6)：204-206.

[4] 唐德翠，朱學(xué)峰.改進(jìn)差分進(jìn)化PID參數(shù)優(yōu)化及其在凝絮中的應(yīng)用[J].計算機(jī)工程與應(yīng)用，2009，45(24)：204-206.

[5] Wu Lianghong,Wang Yaonan,Zhou Shaowu,et al.Design of PID controller with incomplete derivation based on differential evolution algorithm[J].Journal of Systems Engineering and Electronics，2008，19(3)：578-583.

[6] Soliman.O.S,Bui.L.T.A self-adaptive strategy for controlling parameters in differential evolution[C]//2008 IEEE World Congress on Evolutionary Computation.Hong Kong: IEEE Conference Publications，2008：2 837-2 842.

[7] 劉廣明.差分進(jìn)化算法及其改進(jìn)[J].系統(tǒng)工程，2005，23(2)：108-111.

[8] ?？×郑顏喤?，馬小平，等.基于改進(jìn)差分進(jìn)化算法的PID優(yōu)化設(shè)計[J].控制工程，2010，17(6)：807-810.

[9] 陳貴敏，賈建援，韓 琪.粒子群優(yōu)化算法的慣性權(quán)值遞減策略研究[J].西安交通大學(xué)學(xué)報，2006，40(1)：53-56.