堅紅玲

(新疆大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院，烏魯木齊 830046)

含二次矩及記憶強度的做市商資產(chǎn)定價模型

堅紅玲

(新疆大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院，烏魯木齊 830046)

討論了在做市商機制下，當圖表分析者的條件期望及方差均是加權移動平均過程時的基于基本面分析者及圖表分析者的行為資產(chǎn)定價模型。同時在市場分數(shù)中引入了記憶強度，通過穩(wěn)定性和分支分析，討論了記憶強度、加權過程及時變二次矩過程對模型穩(wěn)定性和分支的影響。

異質(zhì)性念;二次矩;記憶強度;穩(wěn)定性

以有效市場假說為前提，以現(xiàn)代資產(chǎn)組合金融理論為基石建立起來的傳統(tǒng)資產(chǎn)定價理論已具有完備的理論框架，但實證研究表明該理論還有不符合實際情況的地方。行為金融學通過引入投資者在價格預期方面存在的意見分歧來構建基于投資者異質(zhì)信念的均衡資產(chǎn)定價模型，解釋了大量金融理論所無法解釋的金融異象，同時也表明了在投資者異質(zhì)信念下資產(chǎn)定價研究的重要性。

大量資產(chǎn)價格模型是建立在代表性交易者及理性預期的極度信息假設之上。金融資產(chǎn)價格動力學是將交易者的異質(zhì)性與有限理性相結合。早期MarkB.Garman［1］，Day和Huang［2］等引入了有限理性，隨后Brock和Hommes［3－4］引入自適應理性均衡的概念。有限理性的交易者能夠根據(jù)過去行為結果選擇不同的交易策略，這種動態(tài)系統(tǒng)能產(chǎn)生復雜動力學行為。Chiarella和He［5－7］對文獻［4］的模型進行了擴展，在瓦爾拉斯拍賣人機制和做市商機制下考慮時變(同質(zhì))方差、異質(zhì)風險、學習過程的情況，研究了相對風險態(tài)度、不同的學習機制、不同的市場出清機制對資產(chǎn)價格動力學的影響。Gaunerdorfer［8－9］在適應性函數(shù)中引入了穩(wěn)定性因素，考慮了時變方差、技術交易規(guī)則僅與最近觀察價格有關，在市場分數(shù)中加入了補償函數(shù)，兩者都能阻止價格產(chǎn)生投機泡沫。Roberto Dieci［10］討論了極限幾何衰減過程下市場分數(shù)為固定和時變時的價格動力學。Carl［11］引入了不同于文獻［10］的另一學習過程，同時表明這種二次矩能改變非線性動力學的結果。MiroslavVerbi cˇ［12］在市場分數(shù)中引入了記憶強度。

金融市場模型中確定資產(chǎn)價格時使用最多的是瓦爾拉斯拍賣人機制和做市商機制。相對瓦爾拉斯均衡拍賣人機制來說，做市商機制能對市場做更為貼近的分析。很多文獻考慮的是一次矩(價格或收益的)異質(zhì)期望而不是二次矩，而二次矩(條件方差)估計比一次矩(條件期望)更容易。因此，交易者更加傾向于方差估計。

本文在文獻［11］的基礎上考慮了做市商機制下的資產(chǎn)價格模型，結合文獻［12］對記憶強度的討論，建立了做市商機制下含二次矩及記憶強度的資產(chǎn)價格模型，利用差分理論及分支理論討論了主要參數(shù)對平衡點的穩(wěn)定性及分支的影響。

1 含二次矩及記憶強度的資產(chǎn)定價模型

考慮金融市場中存在一種風險資產(chǎn)和一種無風險資產(chǎn)的情況?？偸找鏋镽=1+r，r為每個交易階段的無風險收益率，pt表示t時期的風險資產(chǎn)價格，yt為t時期的股息，ˉy是股息過程的期望，則t+1時期h類交易者的財富為

其中Rt+1=pt+1+yt+1－Rpt為超額收益。假設h類交易者有CARA效用函數(shù)uh(W)=－exp［－ahW］，ah為風險厭惡系數(shù)，則最大化期望效用財富的最優(yōu)需求為

其中:Eh，t，Vh，t分別表示基于t時期信息集Ft= {pt，pt－1，…;yt，yt－1，…}時h類交易者的條件期望及條件方差;p*=ˉy/(R－1)是?；鶞蕛r格。

在下面的討論中，將所有的交易者分為基本面分析者和圖表分析者。

基本面分析者的條件期望及方差為:

2 確定性動力系統(tǒng)的討論

對于式(11)，令隨機項為0，xt+1=pt+1－p*，得到相應的6維確定性動力系統(tǒng)，并令yt+1=xt，則系統(tǒng)可表示為下列形式:

3.1 基本面分析者與追風者

現(xiàn)在來討論g＞0時平衡點的存在性及局部漸近穩(wěn)定性。

定理1對于6維確定性系統(tǒng)(12)，存在唯一的平衡點X*=(0，0，0，0，－C，0)，相應的基準價格pt+1=p*。

定理2假設g＞0，對于確定性系統(tǒng)(12)，有以下幾種情況:

情況1當［R(x0+a)－a］x0＜1+4A1/ μ(1+m0)時，p*是局部漸進穩(wěn)定的(LAS)，當且僅當w∈［0，1)時，v＜v3(g)=c1/g－c2－c3g;w= 1時，g＜g'=2A1［μ(1+m0)］。當v=v3(g)時存在一對共軛特征根λ=exp［±iθ］，產(chǎn)生Hopf分支。

情況2當4A1［μ(1+m0)］＜［R(x0+a)－a］/x0＜1+4A1/μ(1+m0)時，存在w∈［0，1)，使

①w＜w1時，存在g*＞0使p*是LAS，當且僅當g＜g*，v＞v2(g);g＞v－13(1)，v＜v3(g)，v2(g)=［R(x0+a)－a］x0－4A1μ(1+m0)－(2aw x0)g;

②w1≤w＜1時，p*是LAS，當且僅當g＜v－12(0)，v＞v2(g)，g＞v－13(1)，v＜v3(g);

③w=1，p*是LAS，當且僅當g＜v－12(0)，v＞v2(g)，g＜g3，當v=v2(g)時存在特征值λ=－1，產(chǎn)生Flip分支，v=v3(g)時產(chǎn)生Hopf分支。

情況3當［R(x0+a)－a］x0≥1+4A1/μ(1+m0)時，存在g*＞0，w1、w2滿足0＜w1＜w2＜1時:

①w＜w1時，不存在穩(wěn)定區(qū)域;

②w1≤w≤w1時，p*是LAS，當且僅當g＜g*，v＞v2(g);g＞v3－1(1)，v＜v3(g);

③w2≤w＜1時，p*是LAS，當且僅當g＜(0)，v＞v2(g);g＞(1)，v＜v3(g);

當g＞0時，由π1＞0恒成立，4個條件減少為π2＞0，π3＞0，π4＞0。因此平衡點的局部穩(wěn)定區(qū)域邊界取決于(g，v)參數(shù)圖中π2=π3=π4=0的相對位置。由π2=π3=π4=0可得下列方程:

當［R(x0+a)－a］x0＜1+4A1［μ(1+m0)］時，平衡點在(g，v)平面上的穩(wěn)定區(qū)域及分支邊界如圖1所示。由定理2知:隨著w的增加，平衡點的穩(wěn)定區(qū)域不斷增加。分支邊界與均值回饋速率、外推速率及加權平均過程的權重有極大相關性。在經(jīng)濟意義下，基本面分析者具有穩(wěn)定市場的作用，圖表分析者具有不穩(wěn)定市場的作用。然而，當基本面分析者反應過激時也能使市場價格不穩(wěn)定，在一定情況下，圖表分析者反應不足也能使市場趨于穩(wěn)定。

圖1 g＞0時情況1的穩(wěn)定區(qū)域及分支邊界

3.2 基本面分析者與逆風者

由定理3知:平衡點在(g，v)平面上的穩(wěn)定區(qū)域及分支邊界有3種不同情況，分別如圖2～4所示。當外推速率較小(較大)時，逆風者具有穩(wěn)定(不穩(wěn)定)作用?；鶞蕛r格的穩(wěn)定性取決于兩類交易者活動的均衡程度。注意到隨著g的增加，v2(g)，v3(g)均減少。這意味著當基本面分析者反應過激(v較大)時，逆風者外推速率的穩(wěn)定區(qū)域在不斷增加;當最近一時期的權重w較大(即過去的價格權重1－w較小)時，逆風者對市場價格反應不足，導致市場價格周期性波動;當最近一時期的權重w較小(即過去的價格權重1－w較大)時，基本面分析者有穩(wěn)定市場的作用，故市場價格在基準價格附近上下波動。

圖2 w∈［w2，1］時平衡點的穩(wěn)定區(qū)域及分支邊界

圖3 w∈［0，w1］時平衡點的穩(wěn)定區(qū)域及分支邊界

圖4 w∈(w1，w2)時平衡點的穩(wěn)定區(qū)域及分支邊界

3 結束語

本文建立了含二次矩及記憶強度的做市商資產(chǎn)價格模型。在該模型基礎上討論了圖表分析者為追風者及逆風者時的平衡點的穩(wěn)定區(qū)域及主要參數(shù)對模型的影響。結果顯示:模型存在唯一的基本平衡點;記憶強度的引入不改變模型的平衡點及穩(wěn)定區(qū)域;無論圖表分析者是追風者還是逆風者，都不會產(chǎn)生Pitchfork分支;二次矩的引入能更好地模擬資本市場。

［1］Garman M.Market microstructure［J］.Journal of Financial Economics，1976(3):257－275.

［2］Day，Huang，Bulls.bears and market sheep［J］.Journal of Economic Behavior and Organization，1990，14:299－329.

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［4］Brock W，Hommes C.Heterogeneous beliefs and routes to chaos in a simple asset pricing model［J］.J Econom Dyn Control，1998，22:1235.

［5］Chiarella C，He X.Asset pricing and wealth dynamics under heterogeneous expectations［J］.Quantitat Finan， 2001(1):509.

［6］Chiarella C，He X.Heterogeneous beliefs，risk and learning in a simple asset pricing model［J］.Comput Econom，2002，19:95－132.

［7］Chiarella C，He X.Heterogeneous beliefs，risk and learning in a simple asset pricing model with a market maker［J］.Macroeconom Dyn，2003(7):503.

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［9］Gaunersdorfer A，Hommes C，Wagener F.Bifurcation routes to volatility clustering under evolutionary learning［J］.Journal of Economic Behaviour$＆$Organization，2008，67:27－47.

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［11］Carl Chiarella，He X Z，Duo Wang.A behavioral asset pricing model with a time－varying second moment.Chaos［J］.Solitons and Fractals，2006，29:535－555.

［12］Miraslov Verbi c.On the role of memory in an asset pricing model with heterogeneous beliefs［J］.Financial Theory and Practice，2008，32(2):195－229.

［13］王聯(lián)，王暮秋.常差分方程［M］.烏魯木齊:新疆大學出版社，1991:202－204.

(責任編輯 劉舸)

Asset Pricing Model with Second Moment and Memory Intensity under Market Maker

JIAN Hong－ling
(College of Mathematics and Systems Science，Xinjiang University，Urumqi 830046，China)

We develop a simple behavioral asset pricing model with fundamentalists and chartists in order to study price behavior under the market maker scenario when chartists estimate both conditional mean and variance by using a weighted averaging process and introduce the fractions with memory intensity.Trough a stability and bifurcation analysis，the model impact of memory intensity，the weighting process and time－varying second moment are examined.

heterogeneous expectations;second moment;memory intensity;stability

O211.9

A

1674－8425(2014)04－0143－07

10.3969/j.issn.1674－8425(z).2014.04.030

2013－10－11

堅紅玲(1989—)，女，甘肅人，碩士研究生，主要從事數(shù)理金融研究。

堅紅玲.含二次矩及記憶強度的做市商資產(chǎn)定價模型［J］.重慶理工大學學報:自然科學版，2014(4):143－149.

format:JIAN Hong－ling.Asset Pricing Model with Second Moment and Memory Intensity under Market Maker［J］.Journal of Chongqing University of Technology:Natural Science，2014(4):143－149.