何述平

(西北師范大學(xué)教育學(xué)院物理教育研究所 甘肅 蘭州 730070)

1 引言

打點(diǎn)紙帶的數(shù)據(jù)處理是普通高中物理實(shí)驗(yàn)應(yīng)用打點(diǎn)計(jì)時(shí)器(電磁、火花)研究勻變速直線運(yùn)動的基本內(nèi)容，數(shù)據(jù)處理方法之一的逐差法，前人雖有所論述[1～3]，但較零星、籠統(tǒng)，且推理欠嚴(yán)謹(jǐn)，因此有必要對其進(jìn)行較深入、系統(tǒng)的探究．

本文就此進(jìn)行相應(yīng)的研究，以期拓展處理打點(diǎn)紙帶數(shù)據(jù)測定加速度、初速度的逐差法，解釋存在的疑惑，進(jìn)而為合理運(yùn)用逐差法處理打點(diǎn)紙帶數(shù)據(jù)奠定層次性、開放性的理論基礎(chǔ)．

2 逐差法的推證

紙帶隨物體做勻變速直線運(yùn)動，打點(diǎn)紙帶的計(jì)數(shù)點(diǎn)為n，計(jì)數(shù)周期為T，連續(xù)計(jì)數(shù)點(diǎn)間的位移依次為s1,s2,…，sn,sn+1，…，如圖1．

圖1 打點(diǎn)紙帶的計(jì)數(shù)點(diǎn)n和位移sn

計(jì)數(shù)點(diǎn)n-1與n間的位移為

(1)

式中n=1,2,3,…，v0為n=0時(shí)的瞬時(shí)速度．

計(jì)數(shù)點(diǎn)n的瞬時(shí)速度為

(2)

2.1 基本逐差法

2.1.1 位移逐差法(s-n逐差法)

由式(1)得

sn=s0+naT2

(3)

sn+k-sn=kaT2

(4)

式(4)求和，得

(5)

若取k=3，l=3；則有[3]

(6)

由式(5)或(6)就可確定加速度as．s0代入式(3)、再求和，得

(7)

若取N=6，式(6)代入，則有

(8)

由式(7)或(8)可確定初速度v0．

2.1.2 速度逐差法(v-n逐差法)

紙帶做勻變速直線運(yùn)動，則有

vn=v0+naT

(9)

式中n=1,2,3,…．vn為間接測量量，應(yīng)表示成直接測量量sn，T的函數(shù)；式(2)代入得

sn+sn+1=2v0T+2naT2

(10)

式(10)表明：sn+sn+1與n呈線性關(guān)系(v0，T，a為恒量)；隔k項(xiàng)逐差、再求和，得

(11)

若取k=3，l=2；則有

(12)

由式(11)或(12)就可確定加速度av．式(10)求和，得

(13)

若取N=4，即n=1,2,4,5，式(12)代入，得

(14)

由式(13)或(14)可確定初速度v0．

2.1.3 速度-位移逐差法(v2-s逐差法)

紙帶做勻變速直線運(yùn)動，則有

(15)

式中n=1,2,3,…．式(2)代入，得

8aT2(s1+s2+…+sn)

(16)

式(16)表明：(sn+sn+1)2與s1+s2+…+sn呈線性關(guān)系(v0，T，a為恒量)；隔k項(xiàng)逐差、再求和，得

(17)

若取k=3，l=2；則有

(18)

由式(17)或(18)就可確定加速度av-s．式(16)求和，得

(19)

若取N=4即n=1,2,4,5，式(18)代入，得

(20)

由式(19)或(20)可確定初速度v0．

2.2 奇異逐差法

從不同角度考慮同一問題，或許是有益的；這便形成了處理打點(diǎn)紙帶數(shù)據(jù)的奇異逐差法．

2.2.1 中時(shí)速度逐差法(v′-n逐差法)

紙帶做勻變速直線運(yùn)動，則有

(21)

(22)

(23)

(24)

若取k=3，l=3；則有

(25)

式(24)或(25)可確定加速度av′，與位移逐差法的式(5)或(6)一致，可謂殊途同歸．

由勻變速直線運(yùn)動的速度規(guī)律，有

(26)

式(26)代入式(23)、再求和，得

(27)

若取N=6，式(25)代入，則有

(28)

式(27)或(28)可確定初速度v0，與位移逐差法的式(7)或(8)一致，可謂異曲同工．

參照圖1，紙帶做勻變速直線運(yùn)動，則有

(29)

式中n=1,2,3,…，v0為n=0時(shí)的瞬時(shí)速度．

式(29)線性化[5]，得

(30)

(31)

若取k=3，l=3；則有

(32)

(33)

若取N=6，式(32)代入，則有

(34)

由式(33)或(34)可確定初速度v0．

由上述5種逐差法的推證可見，逐差法形式簡明，易于計(jì)算(代數(shù)形式、代數(shù)運(yùn)算)，其實(shí)質(zhì)是差分-平均[5]．

3 逐差法的運(yùn)用及結(jié)果

取測北京地區(qū)重力加速度的打點(diǎn)紙帶數(shù)據(jù)(g北京=980.12 cm/s2，T=0.04 s)[3]，如表1；則依次運(yùn)用上述推證的逐差法處理打點(diǎn)紙帶數(shù)據(jù)測定加速度、初速度的結(jié)果如下．

表1 測定北京地區(qū)重力加速度的紙帶數(shù)據(jù)

(1)位移逐差法的結(jié)果

由式(6)、表1得gs=977.08cm/s2；再由式(8)、表1得v0=36.88cm/s．

(2)速度逐差法的結(jié)果

由式(12)、表1得gv=976.56cm/s2；再由式(14)、表1得v0=36.97cm/s．

(3)速度-位移逐差法的結(jié)果

由式(18)、表1得gv-s=979.08cm/s2；由式(20)、表1得v0=36.20cm/s．

(4)中時(shí)速度逐差法的結(jié)果

由式(25)、表1得gv′=977.08cm/s2；再由式(28)、表1得v0=36.88cm/s．

(5)線性化逐差法的結(jié)果

上述5種逐差法處理打點(diǎn)紙帶數(shù)據(jù)的結(jié)果表明，這5種逐差法的結(jié)果基本一致(重力加速度的相對誤差依次為0.31%，0.36%，0.11%，0.31%，

0.77%)；因摩擦、空氣阻力，則實(shí)驗(yàn)測定值g實(shí)測應(yīng)比公認(rèn)標(biāo)準(zhǔn)值g北京偏?。虼?，5種逐差法的結(jié)果具有合理性，進(jìn)而說明5種逐差法具有合理性、可行性(以上各逐差法的結(jié)果與相應(yīng)運(yùn)用最小二乘法的結(jié)果[6]非常接近)．

4 逐差法的討論

4.1 逐差間隔

對式(5)，由誤差的方和根合成，并慮及s1,s2,…，sN相互獨(dú)立，標(biāo)準(zhǔn)差均為σs；可得

(35)

式中k+l≤N，于是

(36)

式(36)表明：l=k時(shí)，σas最小；此時(shí)，測量數(shù)據(jù)s1,s2,…，sN配成對，即2k=N，這樣可充分利用測量數(shù)據(jù)．因此，運(yùn)用逐差法時(shí)，應(yīng)合理選取逐差間隔[5][如式(6)、(25)，式(12)、(18)、(32)同理]．

4.2 逐差法的合理推證

鑒于：“先平均”法和“后平均”法各適用于兩類本質(zhì)不同的問題；雖然“先平均”法與“后平均”法的數(shù)學(xué)運(yùn)算結(jié)果對相當(dāng)多的具體問題相差甚微，但也不宜混用[7]．因此，中學(xué)物理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理中，不僅不應(yīng)運(yùn)用“后平均”法，而且更沒有必要涉及．

4.3 逐差法的特點(diǎn)及比較

逐差法的適用條件是因變量與自變量的函數(shù)形式為多項(xiàng)式和自變量等間距變化[5]；因此，由式(3)、(10)、(16)、(23)、(30)知：位移逐差法、速度逐差法、中時(shí)速度逐差法、線性化逐差法是嚴(yán)格意義的逐差法，速度-位移逐差法是非嚴(yán)格意義的逐差法，即差值法[5]；且它們均是一次逐差法[雖然由式(16)、(3)可推證二次速度-位移逐差法是嚴(yán)格意義的逐差法，并可推得相應(yīng)的加速度計(jì)算式；但已顯復(fù)雜，且因位移和的平方使誤差放大以致加速度的計(jì)算結(jié)果欠合理]．線性化逐差法因線性化導(dǎo)致不等權(quán)，應(yīng)按不等權(quán)測量處理[5，9]；然而，作為簡化處理即仍按等權(quán)測量處理，可能使線性化逐差法的結(jié)果略偏離(加速度的結(jié)果略偏小，初速度的結(jié)果略偏大)．逐差法作為解決擬合(回歸)直線時(shí)方程數(shù)多于變量數(shù)的粗略方法(相對準(zhǔn)確的最小二乘法而言)[5]，可用于不要求計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差或不確定度的中學(xué)物理實(shí)驗(yàn)；因此，逐差法不失為簡便、實(shí)用的中學(xué)物理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法．

比較位移逐差法的式(5)或(6)、速度逐差法的式(11)或(12)、速度-位移逐差法的式(17)或(18)、中時(shí)速度逐差法的式(24)或(25)、線性化逐差法的式(31)或(32)可知，逐差法處理打點(diǎn)紙帶數(shù)據(jù)測定加速度的簡捷程度(由簡到繁)依次是：位移逐差法、中時(shí)速度逐差法、速度逐差法、線性化逐差法、速度-位移逐差法(同理，逐差法處理打點(diǎn)紙帶數(shù)據(jù)測定初速度的簡捷程度相同)．因此，更宜采用位移逐差法處理打點(diǎn)紙帶數(shù)據(jù)測定加速度、初速度．這就為逐差法處理打點(diǎn)紙帶數(shù)據(jù)的層次性、開放性實(shí)驗(yàn)教學(xué)設(shè)計(jì)奠定了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)．

4.4 線性化逐差法的實(shí)質(zhì)

式(10)寫成與式(30)對稱的形式，有

(37)

4.5 逐差法的合理運(yùn)用

就圖2所示測量的位移x1,x2,…,xn,xn+1，…如何運(yùn)用逐差法？有認(rèn)為不可運(yùn)用位移逐差法的式(6)，否則就不合理，因?yàn)槭?6)的前提條件是sn即連續(xù)相鄰計(jì)數(shù)點(diǎn)間的位移(見圖1)；而且合理的數(shù)據(jù)處理方法應(yīng)是速度-時(shí)間圖像法[8]．

圖2 打點(diǎn)紙帶的計(jì)數(shù)點(diǎn)n和位移xn

由式(6)知，合理運(yùn)用位移逐差法測定加速度應(yīng)是：取偶數(shù)個(gè)計(jì)數(shù)點(diǎn)，測量前、后半段位移即可；而不必依次測量xn．

若要測量xn，又要充分利用測量數(shù)據(jù)；那么怎樣合理運(yùn)用位移逐差法呢？紙帶做勻變速直線運(yùn)動，則計(jì)數(shù)點(diǎn)0和n間的位移為

(38)

式中n=1,2,3,…，v0為n=0時(shí)的瞬時(shí)速度．式(38)隔k項(xiàng)逐差，得

(39)

(40)

式(40)減式(39)即再隔l項(xiàng)逐差，求和得

(41)

若取k=4，l=2，m=2；則有

(42)

由式(41)或(42)(位移逐差法的另一形式)就可確定加速度ax．

而由式(5)取k=4，l=4，得

(43)

比較式(42)、(43)知：僅測量sn的前、后半段，由式(43)計(jì)算as較簡捷；且式(43)更好地反映了數(shù)據(jù)測量方法與數(shù)據(jù)處理方法的辯證關(guān)系．

由式(5)、(41)的推證過程知：as和ax分別是一、二次位移逐差法的結(jié)果，且式(5)、(41)的適用條件不同(分別針對sn和xn)；因此，式(5)、(41)不應(yīng)混用，且由式(5)確定加速度as更簡捷．

5 結(jié)束語

本文拓展化、具體化了處理打點(diǎn)紙帶數(shù)據(jù)測定加速度、初速度的逐差法，提供了運(yùn)用細(xì)致推證的5種逐差法的一個(gè)典型實(shí)例，比較了各逐差法的特點(diǎn)、簡捷程度，探討了合理運(yùn)用逐差法的現(xiàn)實(shí)問題．逐差法可作為中學(xué)物理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理的實(shí)用方法，故本文的研究既可作為關(guān)于數(shù)據(jù)處理方法的高中物理課程資源，又可作為物理學(xué)方法論教育的顯性方法的內(nèi)容，是高中物理教師深入認(rèn)識、教學(xué)設(shè)計(jì)打點(diǎn)計(jì)時(shí)器實(shí)驗(yàn)的理論基礎(chǔ)；同時(shí)體現(xiàn)了高中物理課程內(nèi)容理念的基礎(chǔ)性、選擇性，高中物理課程實(shí)施理念的多樣性，并突出了開放性．可以預(yù)見，通過本文推證的處理打點(diǎn)紙帶數(shù)據(jù)測定加速度、初速度的逐差法的探究式教學(xué)，可很好地培養(yǎng)物理實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)處理方法，可更好地理解勻變速直線運(yùn)動的規(guī)律，進(jìn)而提升物理實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)處理能力．

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