呼和滿都拉 冀文慧 楊洪濤 胡曉穎

(集寧師范學院 內(nèi)蒙古 烏蘭察布 012000)

19世紀以前，人們一直認為電學和磁學的研究一直都是獨立地發(fā)展著，盡管“頓牟掇芥、磁石引針”的描述，以及存在平方反比關系的電場力和磁場力都在不同程度上反映了電磁場的相似性．但是相似和相等并不成等價關系．直到1820年，丹麥的物理學家奧斯特在前人研究發(fā)現(xiàn)的基礎上，通過大量的演示實驗和研究分析，總結出了電流和磁針間存在力的作用．并做了相關報告，總結了他60次的電流磁效應的實驗[1]，電與磁的發(fā)展才進入了新的時期．正在瑞士訪問的法國科學院院士阿拉果聽到這一重要消息，立即帶著這一新聞回到法國，并在法國科學院報告和演示了奧斯特的重大發(fā)現(xiàn)．由于此前一直深受庫侖的影響，報告一出來，就在法國的科學界引起了強烈的轟動．法國科學家立即重新審視電和磁的關系并著手進行試驗．很快，安培就在科學院會議上對相關的3篇論文做了報告．報告會上做了演示實驗，證明通電螺線管能像磁鐵一樣相互吸引[2]．同時畢奧和薩伐爾合作對電的磁效應展開著定量研究，1820年9月30日，兩人將第一個實驗結果發(fā)表，載流長直導線到磁極距離與其作用力成反比的結果．這是人類第一次得到電流磁效應的定量結果．在這種背景下建立起來的不僅是畢奧-薩伐爾定律，同時肯定了電和磁的聯(lián)系．

畢奧-薩伐爾定律雖然十分重要，但是日常教學中對該定律的講解，通常是把注意力主要集中在應用該定律的解題和計算上，這種引入方式不僅忽略了建立定律的物理內(nèi)涵、研究方法和創(chuàng)新精神，而且沒有深刻反映定律的建立過程．在這里，我們先簡單介紹定律的建立背景，了解它的實驗原理和方法．再應用相對性原理和電磁場變換公式，具體地闡明如何從理論上推導出該定律．最后根據(jù)安培定律得出的畢奧-薩伐爾定律對上一種方法進行驗證．

畢奧-薩伐爾定律的建立是不可爭論的事實，它在電磁學中的地位等同于庫侖定律在靜電學中的重要地位．現(xiàn)在的技術發(fā)明，凡是與電聯(lián)系的都會有磁的參與，如手機、電視、電腦、電動機等，各種電子設備都應用到電磁的轉(zhuǎn)換．該定律的建立對人類關于電磁現(xiàn)象的認識作了突出的貢獻，并對電磁學的發(fā)展具有里程碑式的意義．

1 建立畢奧-薩伐爾定律的實驗過程

由于受庫侖定律的深刻影響，科學家一致認為電和磁之間沒有關系，并對磁和電分別進行著研究．當奧斯特發(fā)現(xiàn)電流磁效應的消息傳到法國科學界后，相隔一周，安培就取得了重要的研究成果．與此同時，畢奧和薩伐爾進行了相關的電磁的實驗，并且在法國科學院會議上做了重要報告．他們觀察到：磁針的南極和北極被載流長直導線施加的力都反比于磁極與導線之間的距離，這個實驗結果是人類首次對電流磁效應的定量研究．

1.1 畢奧-薩伐爾定律的實驗原理

畢奧和薩伐爾完美地應用實驗方法建立了畢奧-薩伐爾定律．其整個實驗原理可以分為3個方面：首先，在測量小磁針的受力狀況時應用了磁針振蕩周期法，求出磁力反比于振蕩周期的平方．巧妙地通過振蕩周期間接地測量載流直導線產(chǎn)生的磁場作用在磁極上的力；其次，為了消除地磁場的影響，他們在采用補償法避免了物理學實驗中地磁場對磁針磁化產(chǎn)生的實驗誤差，提高實驗的精確度；最后，根據(jù)具有對稱性的彎折導線作用在磁極上的力的實驗，求解作用力的大小與彎折角度的關系，并且導出定量的公式．那么，從一些特殊的電流產(chǎn)生的磁場導出電流源產(chǎn)生磁場的一般公式，就是畢-薩定律實驗過程的實質(zhì)[3]．

1.2 畢奧-薩伐爾定律的實驗步驟

畢奧和薩伐爾的實驗設計思想十分獨特，具有創(chuàng)造性，其基本過程分為兩個實驗來完成．

(1)實驗1

步驟一：測量小磁針受力與振蕩周期的關系．取一無限長載流直導線和一枚小磁針，將小磁針懸掛于導線正上方，二者之間有一定的距離．磁針的兩端相當于兩個極，根據(jù)小磁針南北極的受力狀況，畢奧和薩伐爾得出這樣的結論，一條無限長的載流直導線作用在南北磁分子上的作用力都垂直于該分子到導線的距離．從這個結論出發(fā)，兩人用了周期振蕩法和轉(zhuǎn)動定律．解得小磁針振蕩周期與力的關系為

步驟二：測量小磁針受力與磁針兩端到導線距離的關系[4]．為了小磁針開始試驗時水平地靜止，需要消除地球磁場對實驗的影響再進行實驗．選取磁針與導線30 mm處作為標準距離，然后每改變一次間距測量的周期，標準距離測量的力的比值．重復多次測量、記錄，觀察得到磁針振蕩周期的平方與距離成正比結合上以結果可知：由于小磁針受到無限長載流直導線所產(chǎn)生磁場的總作用力與磁極到導線的距離是反比關系．

(2)實驗2

步驟一：計算磁極受到整個長直導線所給的力．一電流微元是在長直導線任意一點選取的，它會給磁極很小的作用力為

從該式可以看出力是關于θ角變化的函數(shù)，根據(jù)角的變化范圍0～π積分得到

步驟二：將長直導線彎折，分別記錄彎折導線產(chǎn)生的作用力與長直導線產(chǎn)生的作用力的比值，進而確定函數(shù)f(θ)的具體形式為sinθ．將sinθ代入

求得畢奧-薩伐爾定律微分形式

現(xiàn)在常用形式是

畢奧-薩代爾定律的建立，不僅適用于計算任意形狀的穩(wěn)恒電流產(chǎn)生的磁感應強度，而且反應了電與磁的定量關系．根據(jù)畢奧和薩伐爾實的實驗，法國的數(shù)學家、物理學家拉普拉斯遵循將粒子間的引力、斥力與一切物理現(xiàn)象的轉(zhuǎn)化關系，從數(shù)學上推導出每個電流元施加在磁極上的作用力的規(guī)律，所以有些書中也把該定律稱為畢奧-薩伐爾-拉普拉斯定律[4]．

2 畢奧-薩伐爾定律的理論推導

在學習畢奧-薩伐爾定律的過程中，掌握該定律的理論推導是十分必要的，它為定量求解磁學問題提供依據(jù)．例如在求解載流導線產(chǎn)生的磁場，載流圓線圈產(chǎn)生的磁場，載流螺線管產(chǎn)生的磁場等許多問題中都有廣泛的應用．通過電磁學相關知識，發(fā)現(xiàn)畢奧-薩伐爾定律可以從多方面推理得到．下面根據(jù)相對論條件下的電磁場變換公式進行推導畢奧-薩伐爾定律．這樣不僅豐富了電磁統(tǒng)一理論，而且畢奧-薩伐爾定律的正確性也得到了驗證．

2.1 電磁場的變換關系

從洛倫茲力協(xié)變性和電荷的不變性出發(fā)所導出的在不同慣性系之間的電磁場變換一般公式[5]

(1)

如上形式可以寫為

(2)

如圖1所示，結合運動的電荷產(chǎn)生的磁場得到，根據(jù)右手定則得到

圖1 運動電荷的電磁場

(3)

2.2 畢奧-薩伐爾定律的推導過程

通過對電磁學知識的學習，了解到電荷或由變化的磁場能夠激發(fā)電場，其中靜電場是由靜止的點電荷激發(fā)而來．但是磁場不會由靜止電荷激發(fā)，只有電流或運動的電荷才能夠產(chǎn)生磁場．也就是說磁場是由運動電荷激發(fā)出來，也是由變化的電場激發(fā)出來．從這一結論就可以看到電和磁的緊密聯(lián)系．下面我們就可以利用電學知識解決磁學問題，得出相關的磁學規(guī)律．

2.2.1 變化的電場激發(fā)磁場

一般人們認為磁場是被位移電流激發(fā)的．但是這種單一的說法是不完整的，磁場是有“源”場．而實質(zhì)上只有運動電荷才能夠激發(fā)磁場(運動電荷就是磁場的“源”)．由于知道磁場的“源”，那么對于慣性系運動和靜止是相對的．那么設想一下，電荷在某一狀態(tài)的參考系下不存在，是否在其他狀態(tài)的參考系下也不存在呢？下面就帶著這一問題來推導磁場公式．首先在推導之前要了解變化電場的具體形式，及其與磁場的關系．

假設存在兩個慣性系S和S′，一帶電荷量為q的點電荷，在系S中以v=vi的速度做勻速運動．其中慣性系S′也以相同的速度相對于慣性系S運動．此時刻電荷q正處在慣性系S′的原點．如圖2所示，討論不同慣性系下的電磁場．

圖2 電荷在兩個相對運動的慣性系下運動

坐標系S′中，電荷q此時對于該系是靜止狀態(tài)，那么電荷在S′系中只能產(chǎn)生靜電場，而不產(chǎn)生磁場．空間中任意一點P(x',y',z')處其電磁場強度分別為

(4)

B′=0

(5)

將電場強度在該系中的3個分量根據(jù)下圖(圖3)表示出來.將其矢量式分解成分量式

(6)

圖3 相對參考系靜止的電荷的電場

如圖3所示將三角函數(shù)式寫為坐標式

(7)

根據(jù)式(3)和式(5)得到

(8)

由洛倫茲變換

(9)

利用式(7)和式(9)代入式(8)把在S系中場的分量的時空坐標表示出來

(10)

觀察在S系時空坐標中．空間中電荷在運動，時空在變化，電場也在發(fā)生改變．當時間處在零時刻

t=0，電荷又恰好位于原點則場強變?yōu)?/p>

(11)

合矢量E的大小

(12)

式(11)、(12)是在相對論的參考系空間中電場強度的分量形式和合矢量形式．

勻速運動情形下的電荷，既能產(chǎn)生變化的電場，并激發(fā)磁場．如何求得運動電荷產(chǎn)生的磁場，這就需要應用電磁場變換公式(3)、(5)和式(8)，得到以速度v=vi運動的電荷在空間磁感應強度是

(13)

可以寫作合矢量形式

(14)

由此，在S系中觀察到的運動電荷激發(fā)的磁場是電場的一種相對論效應．式(13)、(14)就表示磁場的大?。?/p>

2.2.2 畢奧-薩伐爾定律的導出

將t=0時刻的式(12)代入式(14)磁場強度變化為

(15)

(16)

光學中的真空介電常數(shù)ε0和真空磁導率μ0存在如下關系[6]

所以

(17)

將式(16)利用式(17)有

可以寫作矢量形式

(18)

從上式可知磁場的方向垂直于v與r所確定的平面，但這只是用于宏觀低速(v?c)的狀態(tài)下,這就是勻速運動的點電荷產(chǎn)生的磁場近似公式．根據(jù)金屬導電的經(jīng)典電子理論，金屬導體中的電流是自由電子定向運動形成的，所以恒定電流所產(chǎn)生的磁場可以看作所有勻速運動電荷產(chǎn)生的磁場的總和．由此，可以將運動電荷產(chǎn)生的磁場過渡到電流產(chǎn)生的磁場．

假設n個電子被包含于單位體積內(nèi)的導體中，每個電子的電荷量為-e，且以勻速定向v運動，在長度為l的閉合環(huán)路導體上選取dl導體元．

(19)

導體中電流強度I的大小與微觀量n，e，v的關系是I=n(-e)sv．又由于電子帶負電，電流的方向與電子運動的方向相反，所以dlv=-vdl，那么式(19)就可以改寫為[7]

(20)

運動電荷激發(fā)磁場過渡到電流元產(chǎn)生磁場的表達式就是式(20)，該式被稱為微分形式的畢奧-薩伐爾定律．應用式(20)和磁感應強度疊加原理，對于整個長度為l的載流環(huán)路，矢量和的結果是在空間任意一點上各個電流元積分的結果．

(21)

上面兩個式子就被稱為畢奧-薩法爾定律的數(shù)學表達式．具體內(nèi)容可以陳述為電流元Idl在空間任意一點p出激發(fā)的磁感應強度dB，其量值dB與Idl成正比，與sinθ成正比，與r2成反比；dB的方向垂直于dl和r所決定的平面，指向為由Idl經(jīng)小于180°轉(zhuǎn)向r的右手螺旋前進的方向[8]．

3 驗證畢奧-薩伐爾定律的正確性

恒定磁場與靜電場具有相似性，靜電場是從庫侖定律入手推導出來的，磁場中安培定律是與庫侖定律形式相類似．其數(shù)學表達式是

其中I1,I2分別為兩環(huán)路的電流，dF12是在兩環(huán)路中分別選取的兩電流元dl1和dl2之間的相互作用力，r12是兩電流元之間的距離．與電場的情形相比對I2dl2看作試探電流元，將上式拆成兩部分

(22)

上面式子中的第一個式稱作磁感應強度的定義式，第二個式子是電流元在處的產(chǎn)生的磁感應強度公式，去掉下角標1,2有微分式

(23)

積分公式為

(24)

該過程看出，安培定律導出的和電磁場變換關系式導出的畢奧-薩伐爾定律的結果相同．那么，運動的電荷是引起一切磁現(xiàn)象的原因，電流產(chǎn)生的恒定磁場不過是導體中做定向運動的大量自由電子所激發(fā)的磁場的宏觀表現(xiàn)．1911年俄國物理學家約飛首先用實驗證實，陰極射線管內(nèi)的電子束同樣在空間激發(fā)磁場．而且與具有等量的電流所激發(fā)的磁場一致．這進一步證明導體中的運動電荷與空間中運動的帶電粒子在激發(fā)磁場上是等效的[5]．所以能夠從導體內(nèi)運動電荷與他所激發(fā)的磁場之間的定量關系出發(fā)，得到畢奧-薩伐爾定律．

4 結論

本論文詳細介紹了畢奧-薩伐爾定律的建立過程．對畢奧-薩伐爾定律的建立分別在實驗和理論上做出了具體的闡述、推理、驗證．整個過程不僅闡述了實驗上畢奧和薩伐爾建立定律的原理和過程，而且還補充了理論上對畢奧-薩伐爾定律推導．論文中用到了電磁場變換公式，根據(jù)相對性原理，清晰的推導出運動電荷的磁場強度公式，但這只是畢奧-薩伐爾定律的微分形式，為了能夠得到完整的畢奧-薩伐爾定律，在運動電荷的場強公式的基礎上，根據(jù)金屬導電的經(jīng)典電子理論，將運動電荷產(chǎn)生的磁場過渡到電流元產(chǎn)生磁場最終得到全面畢奧-薩伐爾定律．

參考文獻

1 周武雷.畢奧-薩伐爾定律的教育價值評述.中國科教創(chuàng)新導刊，2009.81

2 宋德生，李國棟.電磁學發(fā)展史.南寧：廣西人民教育出版社，1996.135～136

3 穆良柱，陳熙謀.畢奧-薩伐爾定律建立過程中的數(shù)學分析.大學物理，2008(11)：27

4 王較過.畢奧-薩伐爾定律的建立過程.四川師范大學學報(自然科學版)，2001(6)：614～617

5 殷傳宗，鄧昭鏡，羅琬華，等.基礎物理專題選講學.重慶：西南師范大學出版社，2006.174～175

6 姚啟鈞.光學教程.北京：高等教育出版社，2008.9

7 勵子偉，宋建平.普通物理學·電磁學.北京：北京大學出版社，1988.242～243

8 洪佩智，韓樹東.工科大學物理學.北京：北京理工大學出版社，1995.73

Abstract：Biot-savart law is an important law in electromagnetism.It is French scientists Biot and savart cooperation study load do so straight conductor is the action of the magnetic pole in distance from the experimental results, and to determine the current transverse force of the magnetic force.The law is made by experimental method, in order to be able to better grasp the law of Biot-savart, the establishment of the process,we try to according to the electromagnetic field theory,the relation between the applied electromagnetic field transformation is the magnetic field produced by electric charge movement.Law of classical physics are obtained on the important electromagnetic Biot-savart law, under the condition of the calculate of bi - Mr Law, applicable condition not only clear, at the same time made sufficient preparation for application of relativity principle to solve the problem.

Keywords:Movement of electric charge The electromagnetic field The electro -magnetic field transform Biot-savart law