洪和森

(浙江省舟山中學(xué) 浙江 舟山 316021)

【題目】汽車在平直公路上以速度v0勻速行駛，發(fā)動(dòng)機(jī)功率為P，牽引力為F0.t1時(shí)刻，司機(jī)減小了油門，使汽車的功率立即減小一半，并保持該功率繼續(xù)行駛，到t2時(shí)刻，汽車又恢復(fù)了勻速直線運(yùn)動(dòng).下面幾個(gè)關(guān)于汽車牽引力F,汽車速度v在這個(gè)過程中隨時(shí)間t變化的圖像中正確的有

這是一道典型的機(jī)車類問題，出現(xiàn)在眾多的高考復(fù)習(xí)資料中，但筆者認(rèn)為該題的F-t圖像是不應(yīng)該有的.本文將結(jié)合參考文獻(xiàn)[1,2]從數(shù)學(xué)角度進(jìn)行推導(dǎo)，并利用Modellus進(jìn)行仿真后繪制出F-t圖像，從而來說明本文的觀點(diǎn)，如有不當(dāng)，還望同行不吝賜教.

1 數(shù)學(xué)推導(dǎo)

(1)

在t1時(shí)刻以后功率、牽引力和速度之間的關(guān)系為

(2)

由于式(2)中P是恒定值，而F,v均隨時(shí)間發(fā)生變化，故式(2)兩側(cè)分別對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)可得

(3)

根據(jù)加速度的定義

和牛頓第二定律

F-F0=ma

可得

(4)

由式(2)可得

(5)

把式(4)、(5)帶入式(3)得

(6)

對(duì)式(6)整理可得

(7)

若令

對(duì)y進(jìn)行求導(dǎo)并整理可得

(8)

那么F-t圖像該怎么畫呢？參考文獻(xiàn)[1,2]中不約而同地畫成了如圖1所示的圖像，但這種畫法是否正確，筆者認(rèn)為值得商榷.

圖1

圖2

2 Modellus仿真

Modellus是由葡萄牙新里斯本大學(xué)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院的Vitor Duarte Teodoro教授帶領(lǐng)下開發(fā)的科學(xué)模擬軟件，是一個(gè)簡(jiǎn)單易學(xué)的免費(fèi)軟件，并具有良好的交互性，其界面如圖3所示，界面主要由標(biāo)題欄、功能區(qū)、動(dòng)畫區(qū)(內(nèi)有“數(shù)學(xué)模型”“圖”“表格”“注解”4個(gè)窗口)、動(dòng)畫控制區(qū)組成.

圖3 Modellus的界面構(gòu)成

根據(jù)題目的情形，可以在“數(shù)學(xué)模型”窗口中構(gòu)建如圖4所示的數(shù)學(xué)模型，其中v0設(shè)置為30 m/s，F(xiàn)0設(shè)置為3 000 N，汽車的質(zhì)量m設(shè)置為2 000 kg，t1時(shí)刻設(shè)置為1 s末，k表示牽引力F隨時(shí)間的變化率.

圖4 構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

把“圖”窗口中的縱軸設(shè)置為F，點(diǎn)擊“播放”后，可以在“圖”窗口中看到F-t圖像，如圖5所示.

圖5 繪制F-t圖像

而后把“圖”窗口中的縱軸設(shè)置為k，就可以得到如圖6所示的k-t圖像，從中可以看到,F-t圖像的斜率的確如前面推導(dǎo)的那樣變化.

圖6 繪制k-t圖像

3 小結(jié)

因此，本題目的中F-t圖像選項(xiàng)的設(shè)置對(duì)大多數(shù)學(xué)生而言，只能在模糊中判斷，并容易形成錯(cuò)誤的觀點(diǎn)，失去了題目應(yīng)有的意義，故筆者認(rèn)為題目中的F-t圖像不該有.

參考文獻(xiàn)

1 周美健. 關(guān)于一道機(jī)車啟動(dòng)問題的深思.中學(xué)物理，2007(8):52～53

2 張淵. 汽車牽引力與時(shí)間關(guān)系圖像凹凸性的討論.物理教師, 2010(12):39～40