周 華

(長樂第一中學(xué)物理組 福建 福州 350200)

2013高考剛落下帷幕，今年福建省理科綜合物理試題第22題和北約物理自主招生第12題相似，都不約而同地考查的是數(shù)學(xué)中的擺線問題；此前，2008江蘇卷高考物理試題第14題也考查了擺線問題．?dāng)[線問題在物理競賽和自主招生考試中是一個(gè)必備的知識(shí)點(diǎn)，只要參加過物理奧賽和自主招生培訓(xùn)的同學(xué)就會(huì)非常熟悉，最近在2011年第28屆全國中學(xué)生物理競賽復(fù)賽試卷第3題(漸開線)和第4題中(平擺線)有考查過．?dāng)[線是一類十分重要的曲線，可以分為平擺線、圓擺線、漸開線三大類．今年福建高考和北約自主招生考查的是平擺線，下面就對(duì)平擺線在物理解題中的應(yīng)用做一個(gè)總結(jié)．

1 平擺線的數(shù)學(xué)定義和參數(shù)方程

擺線為奇妙的數(shù)學(xué)曲線之一，平擺線定義是：一個(gè)圓在一條定直線上滾動(dòng)時(shí)，圓周上一個(gè)定點(diǎn)的軌

跡稱為平擺線．也叫做“等時(shí)曲線”或“旋輪線”．如歷史上著名的“最速降線”就是平擺線；在日常生活中，自行車、馬車、火車等車輪上的任一點(diǎn)隨車輛的前進(jìn)而描繪出美妙的旋輪線．

如圖1所示，為正在平直路面以速度v0勻速行駛的某車輛的一只輪子，輪子的半徑為r，以輪緣上某時(shí)刻與地面的接觸點(diǎn)A作為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，與v0方向?yàn)閤軸，建立坐標(biāo)系．經(jīng)時(shí)間t，輪子轉(zhuǎn)過的角θ, 此時(shí)輪緣A點(diǎn)的參數(shù)方程為

x=rθ-rsinθ

y=r-rcosθ

圖1

2 平擺線的等效性運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)原理

對(duì)于平擺線在物理學(xué)中完全可以看作是“圓”在“直線”上滾動(dòng)，即可將平擺線的運(yùn)動(dòng)可看成勻速直線運(yùn)動(dòng)和勻速圓周運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)．而作為對(duì)應(yīng)的漸開線，在物理學(xué)中完全可以看作是“直線”在“圓”上滾動(dòng)，即可將漸開線的運(yùn)動(dòng)可看成勻速圓周運(yùn)動(dòng)和勻速直線運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)．

根據(jù)力與運(yùn)動(dòng)的關(guān)系，在具體情況中，只要對(duì)物體運(yùn)動(dòng)進(jìn)行受力分析，就能找出對(duì)應(yīng)的勻速直線的分運(yùn)動(dòng)的合力為零，做勻速圓周的分運(yùn)動(dòng)受到一個(gè)大小恒定而方向不斷隨速度變化的向心力．

3 平擺線原理在物理解題中的應(yīng)用

下面就以2013年高考福建省理綜第22題和2013年北約自主招生第12題為例，講解等效平擺線在物理解題中的應(yīng)用.

【例1】(2013年高考福建卷第22題)如圖2(a)，空間存在一范圍足夠大的垂直于xOy平面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．讓質(zhì)量為m，電荷量為q(q>0)的粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿xOy平面以不同的初速度和方向入射到該磁場中．不計(jì)重力和粒子間的影響．

(1)若粒子以初速度v1沿y軸正向入射，恰好能經(jīng)過x軸的A(a,0)點(diǎn)，求v1的大?。?/p>

(2)己知一粒子的初速度大小為v(v>v1),為使該粒子能經(jīng)過A(a,0)點(diǎn)，其入射角θ(粒子初速度與x軸正向的夾角)有幾個(gè)？并求出對(duì)應(yīng)的sinθ值；

(3)如圖2(b)，若在此空間再加入沿y軸正向、大小為E的勻強(qiáng)電場，一粒子從O點(diǎn)以初速度v0沿y軸正向發(fā)射，研究表明：粒子在xOy平面內(nèi)做周期性運(yùn)動(dòng)，且在任一時(shí)刻，粒子速度的x分量vx與其所在位置的y坐標(biāo)成正比，比例系數(shù)與場強(qiáng)大小E無關(guān)．求該粒子運(yùn)動(dòng)過程中的最大速度值vm．

圖2

標(biāo)準(zhǔn)答案給出的原解如下：

(1)帶電粒子以速率v在勻強(qiáng)磁場B中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑為R，有

(1)

當(dāng)粒子沿y軸正向入射，轉(zhuǎn)過半個(gè)圓周至A點(diǎn)，該圓周半徑為R1，有

(2)

將式(2)代入式(1)得

(3)

(4)

由式(1)、(4)解得

(5)

圖3

(3)粒子在運(yùn)動(dòng)過程中僅電場力做功，因而在軌道的最高點(diǎn)處速率最大，用ym表示其y坐標(biāo)，由

動(dòng)能定理，有

(6)

由題知，有

vm=kym

(7)

若E=0時(shí)，粒子以初速度v0沿y軸正向入射，有

(8)

v0=kR0

(9)

由式(6)～(9)解得

其實(shí)第(3)問中，粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡就是擺線，命題人為了降低難度，給出了“研究表明：粒子在xOy平面內(nèi)做周期性運(yùn)動(dòng)，且在任一時(shí)刻，粒子速度的x分量vx與其所在位置的y坐標(biāo)成正比，比例系數(shù)與場強(qiáng)大小E無關(guān)”這一條件，希望引導(dǎo)學(xué)生能得出正確結(jié)論．

其實(shí)，根據(jù)牛頓經(jīng)典力學(xué)中力與運(yùn)動(dòng)的關(guān)系可知，只要物體的受力情況和初始情況確定，其以后的任一狀態(tài)都是可以預(yù)知的．所以這些條件是多余的，是否正確還有待商榷．下面筆者用平擺線的等效性運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)原理解決第(3)問．

解：因?yàn)槌跏紩r(shí)x軸方向的速度為零，可等效為一個(gè)沿+x軸的勻速運(yùn)動(dòng)和沿-x軸的勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)其速度大小均為v2，且恰好可使qv2B=Eq，即

初始時(shí)，把沿-x軸的速度v2與v0合成，在原點(diǎn)O處帶電粒子受力和運(yùn)動(dòng)分析如圖4，因?yàn)檠?x軸的勻速運(yùn)動(dòng)的速度v2產(chǎn)生的洛倫茲力與電場力Eq抵消，帶電粒子的受力等效成只受一個(gè)洛倫茲力qv合B作用，這個(gè)力提供向心力使粒子沿圖中虛線的圓做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，因此粒子的運(yùn)動(dòng)可看成一個(gè)以速度大小為v合的順時(shí)針勻速圓周運(yùn)動(dòng)和一個(gè)以速度大小為v2的沿+x軸的勻速直線運(yùn)動(dòng)的合成．

圖4

且

很顯然當(dāng)勻速圓周運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，v合與v2同向，速度達(dá)最大值，大小為

【例2】(2013北約自主招生第12題)如圖5所示，在一豎直平面內(nèi)有水平勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的方向垂直該豎直平面朝里．豎直平面中a，b兩點(diǎn)在同一水平線上，兩點(diǎn)相距l(xiāng)．帶電荷量q>0，質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)P，以初速度v從a對(duì)準(zhǔn)b射出．略去空氣阻力，不考慮P與地面接觸的可能性，設(shè)定q，m和B均為不可改取的給定量．

(1)若無論l取什么值，均可使P經(jīng)直線運(yùn)動(dòng)通過b點(diǎn)，試問v應(yīng)取什么值?

(2)若v為第(1)問可取值之外的任意值，則l取哪些值，可使P必定會(huì)經(jīng)曲線運(yùn)動(dòng)通過b點(diǎn)?

(3)對(duì)每一個(gè)滿足第(2)問要求的l值，計(jì)算各種可能的曲線運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的P從a到b所經(jīng)過的時(shí)間．

(4)對(duì)每一個(gè)滿足第(2)問要求的l值，試問P能否從a靜止釋放后也可以通過b點(diǎn)?若能，再求P在a而后運(yùn)動(dòng)過程中可達(dá)到的最大運(yùn)動(dòng)速率vmax．

圖5

解析：(1)當(dāng)質(zhì)點(diǎn)從a勻速直線運(yùn)動(dòng)到b時(shí)滿足條件，即

mg=qv0B

得出速度

且為正電荷．

(2)這一問就是典型的平擺線運(yùn)動(dòng)，可將初速度v等效成為v0和v1的合成，初始時(shí)v0和v1共線(v1取正號(hào)時(shí)與v0同向，取負(fù)號(hào)時(shí)與v0反向)，可寫成v=v0+v1，其初始時(shí)的受力分析和運(yùn)動(dòng)分析如圖6(a)，只畫出v1取正號(hào)時(shí)圓周運(yùn)動(dòng)，若v1取負(fù)號(hào)時(shí)圓周軌跡在下方，不影響解題，所以下面就以取正號(hào)分析．所以質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可看成一個(gè)以速度大小為v1的勻速圓周運(yùn)動(dòng)和一個(gè)v0的勻速直線運(yùn)動(dòng)的合成．

圓周運(yùn)動(dòng)的周期與速度v1無關(guān)

當(dāng)粒子第n次回到直線ab上時(shí)，恰好到達(dá)b點(diǎn)

(n=1，2，3，…)

圖6

(3)由(2)易知a到b的時(shí)間為

(n=1，2，3，…)

(4)解決此問與上面的方法一樣，只需要把初速度為零等效一個(gè)沿ab方向的v0和與ab方向相反的-v0，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)等效為一個(gè)沿ab方向的速度大小為v0的勻速直線運(yùn)動(dòng)和以速度大小為v0的勻速圓周運(yùn)動(dòng)的合成，如圖6(b)所示.

圓周運(yùn)動(dòng)的周期與速度v0無關(guān)，仍為

當(dāng)粒子第n次回到直線ab上時(shí)，恰好到達(dá)b點(diǎn)

(n=1，2，3，…)

所以可以通過b點(diǎn)．

當(dāng)勻速圓周運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，兩分速度方向相同，速度最大，即

在17世紀(jì)，大批卓越的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家(如伽利略、帕斯卡、托里拆利、笛卡兒、費(fèi)爾馬、伍任、瓦里斯、惠更斯、約翰·伯努里、萊布尼茲、牛頓等等)熱心于研究這一曲線的性質(zhì)．所以各大考試中出現(xiàn)試題是歷史發(fā)展的必然，在平時(shí)的教學(xué)中我們教師不要忘記物理學(xué)史，對(duì)一些歷史上重要的研究方法和思維還是很有必要向?qū)W生介紹，讓學(xué)生領(lǐng)略大師們是如何去研究復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的．

在分析物體做復(fù)雜運(yùn)動(dòng)時(shí)，如能揭示出其運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)原理和客觀背景，能夠?qū)⑽矬w運(yùn)動(dòng)規(guī)律的本質(zhì)表現(xiàn)出來，物理情景就會(huì)更為明朗，也會(huì)使抽象的數(shù)學(xué)變得有生活意義．

參考文獻(xiàn)

1 佘守憲,唐瑩.重力場和正交均勻電磁場中的旋輪線(擺線).物理與工程，2001,11(6)

2 佘守憲,唐瑩.淺析物理學(xué)中的旋輪線(擺線).大學(xué)物理，2001,20(6)

3 趙燦冬.擺線性質(zhì)的物理分析方法.大學(xué)物理，2010,29(2)

4 丁明武.擺線在物理解題中的應(yīng)用.中學(xué)物理，2011,29(21)

5 吳佩萱.“最速降線”問題——數(shù)學(xué)史上最激動(dòng)人心的一次公開挑戰(zhàn).數(shù)學(xué)通報(bào)，2006,45(5)