張洪明

(寧波市北侖明港高級(jí)中學(xué) 浙江 寧波 315800)

1 相同位移無初速度曲面與斜面下滑快慢比較

如圖1所示，物體(可以看成質(zhì)點(diǎn))第一次從靜止開始沿著光滑斜面從頂端A點(diǎn)下滑到斜面底端B點(diǎn)，所用時(shí)間為t1；第二次從靜止開始沿著光滑曲面從頂端A點(diǎn)下滑到曲面底端B點(diǎn)，所用時(shí)間為t2.請比較二次所用時(shí)間的大??？

A.t1>t2B.t1=t2

C.t1

圖1

常見錯(cuò)誤解法：采取速度-時(shí)間圖像即v-t圖像來解析，沿著直線AB下滑是勻變速直線運(yùn)動(dòng)a=gsinθ，而曲面下滑時(shí)的加速度a=gsinφ(θ與φ分別是切線與水平方向的夾角),曲線下滑的加速度逐漸減小，由于v-t圖像中曲線與時(shí)間軸所圍的面積Ⅰ和直線與時(shí)間軸所圍成的面積Ⅱ相等(即位移相等)，如圖2(a),必然是曲線運(yùn)動(dòng)下滑的時(shí)間比直線下滑的時(shí)間短，結(jié)論為A，t1>t2．

圖2

比較軌跡中任一點(diǎn)與最低點(diǎn)，應(yīng)滿足

圖3

因?yàn)?/p>

y=R(1-cosθ)

則

既然，擺線自由下滑的時(shí)間是最短的．那么，題目中的曲線沒有說明是否是擺線，所以就存在三種可能

(1)直線運(yùn)動(dòng)時(shí)間大于曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)間；

(2)直線運(yùn)動(dòng)時(shí)間小于曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)間；

(3)直線運(yùn)動(dòng)時(shí)間等于曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)間；

拓展應(yīng)用：如圖4所示，AB和AC為兩等高的光滑面，AB為斜面，AC為曲面，且二者路程相等．今從A處由靜止釋放一小物體，沿AB面運(yùn)動(dòng)時(shí)，到達(dá)B用時(shí)間為t1；沿AC面運(yùn)動(dòng)時(shí)，到達(dá)C用時(shí)間為t2．試比較t1和t2的大?。?/p>

證明方法同上，結(jié)論t1>t2．

圖4

2 相同位移相同初速度曲面與水平直線運(yùn)動(dòng)快慢比較

如圖5所示，讓一個(gè)小球(可以看成質(zhì)點(diǎn))沿著光滑直線AB與沿著光滑曲面CDE運(yùn)動(dòng)，曲面水平方向位移與直線相同，曲面對稱，兩次初速度都是水平方向v0,比較沿著直線運(yùn)動(dòng)到右端所用的時(shí)間t1與沿著曲線運(yùn)動(dòng)到右端所用的時(shí)間t2大小關(guān)系

A.t1>t2B.t1=t2

C.t1

圖5

也就是說在前半程的任意時(shí)刻在曲線運(yùn)動(dòng)中沿著水平方向分速度都大于直線運(yùn)動(dòng)同位置的水平速度．這樣前一半位移內(nèi)曲線運(yùn)動(dòng)水平方向的平均速度快，另一半所用時(shí)間對稱，所以結(jié)論為

t1>t2

拓展思考：光滑直線AB與光滑曲面CDE水平位移相同，直線初速度是水平方向v0,曲線初速度大小也是v0，比較沿著直線運(yùn)動(dòng)到右端所用的時(shí)間t1與曲線運(yùn)動(dòng)到右端所用的時(shí)間t2大小關(guān)系

A.t1>t2B.t1=t2

C.t1

解析：問題乍一看上去好像和問題2一樣，仔細(xì)推敲還是與問題2有所不同，主要區(qū)別在于曲線運(yùn)動(dòng)的水平方向的分初速度變?yōu)関x

從任意時(shí)刻的速度水平方向上的分量來看，我們不能確定在下降到最低點(diǎn)之前，在曲面上運(yùn)動(dòng)時(shí)水平方向上速度的水平分速度的平均值與直線上的速度大小無法確定．

所以結(jié)論是不確定．

圖6

3 相同位移相同動(dòng)摩擦因數(shù)曲面摩擦力做功與斜面摩擦力做功比較

A.W1>W2B.W1=W2

C.W1

圖7

常見錯(cuò)誤解法：沿著斜軌道滑動(dòng)摩擦力做功，受力分析不難求解出為W2=μmgLcosθ=μmgR(其中L為斜面長，θ為斜面與水平面的夾角)這是很多教師會(huì)直接得出一個(gè)重要的結(jié)論，就是無論斜面的與水平面的夾角有多大，只要水平位移相等的話，那么滑動(dòng)摩擦力做功就等于μmgR．沿著圓弧摩擦力做功直接很難求解，這時(shí)可以引用斜面做功的結(jié)論，把圓弧分成N份如圖8(a)，當(dāng)N∞大時(shí)可以用直線逼近曲面，在每一小段斜面上滑動(dòng)時(shí)，其滑動(dòng)摩擦力做功都等于μmgL水平，那么把每一小段的滑動(dòng)摩擦力做功進(jìn)行累加，也就相等于圓弧在水平方向投影長度一樣，那么結(jié)論就是滑動(dòng)摩擦力在圓弧上做功W1=μmgR，結(jié)論為W1=W2，以上分析方法是錯(cuò)誤的．

圖8

錯(cuò)解剖析：上述結(jié)論應(yīng)用過程中形成這樣一個(gè)結(jié)論的本質(zhì)就是物體與斜面之間的彈力

FN=mgcosθ

導(dǎo)致在斜面上滑動(dòng)摩擦力做功為

W=FNL=μmgLcosθ=μmgs

s為斜面所對應(yīng)的水平位移大?。鴮?shí)際上物體在沿著圓弧下滑時(shí)，由于實(shí)際運(yùn)動(dòng)是圓周運(yùn)動(dòng)需要向心力，此時(shí)受力如圖8(b)所示

無論在哪個(gè)位置

這樣就導(dǎo)致此時(shí)的滑動(dòng)摩擦力在任意微元弧長Δs內(nèi)做的元功為

如果對整個(gè)圓弧進(jìn)行積分所得做的功比直線逼近圓弧時(shí)做的功要多．這樣告訴我們一個(gè)重要的事實(shí)就是在進(jìn)行曲線分割用微元法求解相應(yīng)問題的時(shí)，任意曲線運(yùn)動(dòng)應(yīng)該用一系列的圓形進(jìn)行逼近，這樣才能保證向心力的存在符合事實(shí)．類似的當(dāng)曲面向外突出時(shí)候所得到結(jié)果應(yīng)該是

所得到的元功為

對整個(gè)弧長累加的結(jié)果是得到功比沿斜面下滑滑動(dòng)摩擦力做的總功要少．以前結(jié)果是我們在直線下滑時(shí)進(jìn)行了理想處理認(rèn)為在任意一個(gè)轉(zhuǎn)角處沒有機(jī)械能損耗，實(shí)際上速度的改變是需要力的作用，這樣就導(dǎo)致用直線逼近曲線的結(jié)果與直接用曲線求得的結(jié)果存在一定的差異．因此，W1>W2，正確結(jié)論為A.

參考文獻(xiàn)

1 趙燦冬.擺線性質(zhì)的物理分析方法.大學(xué)物理,2010，29(2):11～13