劉 鋒, 孫明清, 王應(yīng)軍

(武漢理工大學(xué) 理學(xué)院，湖北 武漢 430070)

隨著時間的推移，水泥混凝土路面在使用過程中都會出現(xiàn)或多或少的病害，因此，眾多學(xué)者開始關(guān)注水泥混凝土路面剩余壽命的計算問題。但路面剩余壽命的計算必然涉及到道面面層的彈性模量和地基反應(yīng)模量的反算問題，目前，路面結(jié)構(gòu)反算的主要方法有：圖表法、回歸公式法、迭代法、數(shù)據(jù)庫搜索法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法和遺傳算法等。各種方法無法同時解決反算問題的初始值和局部收斂問題、解的唯一性問題和反算結(jié)果的合理性問題[1]。2000年，同濟大學(xué)孫立軍教授和日本運輸部港灣技術(shù)研究所八谷好高教授共同提出了一種新的解決路面結(jié)構(gòu)反算問題的方法—惰性彎沉法[2，3]，此方法將道面結(jié)構(gòu)反算分析的兩個基本參數(shù)E(面層板彈性模量)和k(地基反應(yīng)模量)分開獨立求解，這樣便避開了兩者的相互干擾，也極大地提高了路面結(jié)構(gòu)反算精度，很好地解決了路面結(jié)構(gòu)反算的后兩個問題。

圖1 不同模量對應(yīng)的彎沉盆及其交點

據(jù)文獻[2]、[3]和圖1可知，在道面層厚度不變、地基反應(yīng)模量不變和相同荷載情況下，面層模量越大,荷載的擴散能力越強,彎沉盆越平坦；面層模量越小,荷載的擴散能力越弱,彎沉盆越陡。即荷載附近的彎沉隨著面層模量的增大而減小,而遠離荷載的彎沉隨著隨著面層模量的增大而增大,這樣兩個模量不同的彎沉盆必然相交于一個與面層模量無關(guān)的點，此點稱為惰性點。惰性點距荷載中心的距離稱為惰性點距離，記作RC；惰性點處的彎沉稱為惰性點彎沉，記作DC。

隨著激光技術(shù)在道路檢測中的應(yīng)用，如圖2所示的滾輪式彎沉儀(RWD)[3，4]應(yīng)運而生。RWD是利用具有一定移動速度的車輛自身對道面施加荷載，然后通過激光檢測裝置檢測道面動態(tài)彎沉響應(yīng)的儀器，RWD更加符合實際情況，而惰性彎沉法是建立在靜荷載分析基礎(chǔ)上的回歸分析方法，本文將對道面結(jié)構(gòu)在移動荷載作用下惰性點的存在性及其影響因素展開研究，從而為惰性點理論在RWD反算中的應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。

圖2 滾輪式彎沉儀

1 Kirchhoff薄板運動微分方程

利用薄板微分單元的力學(xué)平衡條件可以得到薄板在任意荷載作用下的薄板振動微分方程(1)。

(1)

根據(jù)文獻[5]可知，考慮荷載以速度c運動，使用隨荷載運動的坐標(biāo)系xOy(x=x0-ct,y=y0)代替原坐標(biāo)系x0Oy0,則式(1)變?yōu)椋?/p>

(2)

該問題的邊界條件為：

(3)

式中：n=0,1,2,…。

式(2)可以通過Fourier變換法求解，而Fourier的變換式可以定義為式(4)和式(5)。對式(2)進行三維Fourier變換就可以得到式(6)，即可以得到任意勻速運動荷載作用下Kelvin地基上無限大板穩(wěn)態(tài)撓度的一般解。

e-i(k1 x+k2 y+wt)dxdydt

(4)

ei(k1 x+k2 y+ωt)dk1dk2dω

(5)

(6)

行駛中的車輛輪胎與地面的接觸面通常簡化為矩形接觸面。而這種移動矩形均布荷載的數(shù)學(xué)表達式為(7)。

(7)

式中：P為荷載；2l1、2l2分別為荷載在平行于和垂直于運動方向的分布長度；H(·)為單位階梯函數(shù)；f(t)為荷載集度隨時間變化函數(shù)。

本文的如下分析是基于恒載的分析，因此，對式(7)進行Fourier變換并令式(7)中的f(t)=1，得出移動矩形均布恒載作用下板穩(wěn)態(tài)擾度的解析解[5]為

(8)

式中：i為虛數(shù)單位。

從式(8)可知，在移動均布恒載作用下，道面結(jié)構(gòu)的彎沉受車輛行駛速度、板厚、泊松比、密度和地基阻尼等因素影響。鑒于擾度解析解的復(fù)雜性以及數(shù)據(jù)提取的方便，本文將結(jié)合有限元數(shù)值分析方法研究移動荷載下道面結(jié)構(gòu)惰性點的存在性及其受各種因素影響的規(guī)律，從而為惰性彎沉法在移動荷載下道面結(jié)構(gòu)參數(shù)反演回歸分析中奠定基礎(chǔ)。

2 三維道面力學(xué)模型

2.1 基本假設(shè)

對道面進行三維力學(xué)分析時，通常進行如下的基本假設(shè)：

(1)面層和土基的材料均假設(shè)是線彈性材料，均符合廣義虎克定理；

(2)道面各結(jié)構(gòu)層厚度是有限的，而在水平方向上是無限的。據(jù)文獻[6]和[7]，對于道面動力學(xué)性能分析，土基厚度取大于12米時，實際測量值與理論分析值相近，基本滿足計算要求；

(3)道面各結(jié)構(gòu)層之間是完全接觸無滑移；

(4)荷載垂直作用于道路面層，在距離荷載無限遠處和無限深處路面結(jié)構(gòu)的應(yīng)力、應(yīng)變和位移均為零。

2.2 三維道面有限元模型

2.2.1道面有限元模型

公路道面通常為矩形板塊，而機場道面通常為正方形板塊，故在ANSYS中使用BLOCK塊命令來建立道面的面層有限元模型，采用SOLID45單元劃分道面結(jié)構(gòu)面層網(wǎng)格模型。地基通常簡化為三種模型形式：Winkler地基模型、彈性半空間地基模型和彈性層狀體系模型。在ANSYS分析中，使用彈簧單元COMBIN14或LINK10單元模擬Winkler地基。圖3為道面結(jié)構(gòu)橫向斷面圖，圖4為網(wǎng)格劃分完成后的整體道面結(jié)構(gòu)有限元模型。在三維道面結(jié)構(gòu)有限元分析中，模型的約束條件可假定為Winkler地基底部的節(jié)點位移固定約束，道面板的四個側(cè)面約束法向方向位移[8，9]。

圖3 道面結(jié)構(gòu)橫向斷面

圖4 網(wǎng)格劃分完成后的道面ANSYS模型

2.2.2輪胎與路面接觸面換算

文獻[10]認為，每個輪胎與路面的接觸面由兩個半圓形和一個矩形組成(如圖5所示)，但為了簡化計算，黃仰賢教授提出可以使用一個矩形代替前者輪胎與路面的接觸形狀，而由此產(chǎn)生的計算誤差很小。

圖5 輪胎與路面接觸面換算

2.2.3移動荷載施加

在ANSYS中，移動荷載使用“移動荷載帶”的方法進行模擬分析，即每隔一段時間輪胎所占矩形面積向前移動一格(如圖6所示)，直到最終車輪移動荷載移出整個道面板塊為止[11]。在本文中，車輛移動荷載簡化為1 MPa的移動均布荷載。

圖6 移動荷載帶

2.2.4計算數(shù)據(jù)的提取

本文中不同面層板彈性模量下對應(yīng)的彎沉盆數(shù)據(jù)是在移動荷載移動至板中心O時，提取如圖6中O點以右的彎沉數(shù)據(jù)。而惰性點參數(shù)則按如下步驟確定：首先，根據(jù)彎沉盆曲線方程求出兩兩相交彎沉盆曲線交點坐標(biāo)(即：惰性點參數(shù)RC和DC)；其次，分別求取RC和DC的平均值初步估算惰性點參數(shù)；最后，根據(jù)惰性點參數(shù)確定原則[2](面層板彈性模量變化時，某點的彎沉值變化在±1.5%時所對應(yīng)的彎沉值即為惰性點彎沉，而此點所對應(yīng)的彎沉距離即為惰性點距離)最終確定惰性點參數(shù)。

3 物理因素對惰性點的影響分析

3.1 車輛行駛速度

車輛的行駛速度對道面板彎沉的影響是不言而喻的。本文選取了50～65 km/h中的部分速度點分析了車輛行駛速度對道面板惰性點參數(shù)的影響，分析結(jié)果見圖7和圖8所示。圖7表示在不同車速、不同面層彈性模量和相同地基反應(yīng)模量下的道面結(jié)構(gòu)彎沉盆曲線族。從圖7的分析結(jié)果可知，與靜荷載作用于道面板結(jié)構(gòu)存在惰性點一樣，在不同速度的移動荷載作用下，剛性水泥混凝土道面結(jié)構(gòu)依然存在一個與面層板彈性模量無關(guān)的小區(qū)域，此區(qū)域的寬度范圍大約在10 cm左右，因此，可以依據(jù)惰性點確定原則將此區(qū)域縮小為一個點，此點可稱為動力惰性點。隨著車速的增加，相同彈性模量彎沉盆曲線，在動力惰性點左邊，彎沉盆曲線的彎沉值(絕對值)均在減小，而在動力惰性點右邊，彎沉盆曲線的彎沉值(絕對值)均在增大。而從圖8的分析得知，隨著移動荷載速度的增大，惰性點的距離和惰性點彎沉均呈現(xiàn)出減小的趨勢，且變化較大。因此，速度對惰性點參數(shù)有較大影響。

圖7 不同車速和不同面板彈性模量下的道面結(jié)構(gòu)彎沉盆曲線族

圖8 惰性點參數(shù)隨車速變化曲線

3.2 面層板厚度

據(jù)文獻[2]可知，在靜荷載作用下道面板結(jié)構(gòu)惰性點參數(shù)受道面結(jié)構(gòu)面層厚度的影響很大，通常，隨著道面板面層厚度增大，惰性點的距離會增大，而惰性點的彎沉?xí)p小。靜荷載下，面層板厚度的增大意味著道面板板體整體剛性的提升，因此，板體中心的彎沉值會降低，荷載對板體的影響范圍也會更遠。從圖9可知，移動荷載在以60 km/h的速度移動時，相同面層板彈性模量下，道面板結(jié)構(gòu)中心點O處的彎沉值隨著板厚度的增大而減小，而遠離荷載中心O點的道面板彎沉值則隨著板厚度的增大而增大。因此，道面板結(jié)構(gòu)惰性點距離隨著面板厚度的增大而增大，而惰性點彎沉則隨著面板厚度的增大而減小，惰性點參數(shù)值在不同面層板厚度時，變化較大，如圖10所示。因此，面層板厚度對惰性點參數(shù)有較大影響。

3.3 面層板泊松比

根據(jù)文獻[12]可知，水泥混凝土的泊松比通常是在0.15～0.25之間變化。具有不同泊松比的面層板，當(dāng)移動荷載以60 km/h的速度在其上移動時，根據(jù)圖11可知，惰性點距離隨著面層板泊松比的增大僅有微小的增大，最大差值約為8.83 mm；而惰性點彎沉值隨著面層板泊松比的增大僅有很微小的減小，最大差值約為1.21 μm。因此，面層板泊松比對惰性點參數(shù)的影響十分微小，可以忽略不計。

3.4 面層板密度

水泥混凝土的密度變化范圍為2350～2500kg/m3。通過分析可知，具有不同密度的面層板，當(dāng)移動荷載以60 km/h的速度在其上移動時，密度的變化會對道面結(jié)構(gòu)彎沉盆曲線有影響，這與薄板振動微分方程的分析結(jié)果是相同的，但根據(jù)圖12可知，惰性點距離隨著面層板密度的增大僅有微小的減小，最大差值約為9.32 mm；而惰性點彎沉值隨著面層板密度的增大也僅有微小的減小，最大差值約為0.15 μm。因此，面層板密度對惰性點參數(shù)的影響十分微小，可以忽略不計。

圖9 不同面層板厚度和不同面板彈性模量下的道面結(jié)構(gòu)彎沉盆曲線族

圖10 惰性點參數(shù)隨面層板厚度變化曲線

圖11 惰性點參數(shù)隨面層板泊松比變化曲線

圖12 惰性點參數(shù)隨面層板密度變化曲線

3.5 地基阻尼

對基于Winkler地基的剛性水泥混凝土道面板進行動力學(xué)性能分析時，地基部分通常涉及兩個基本參數(shù)：地基反應(yīng)模量和地基阻尼。根據(jù)Winkler地基基本原理[12]，在進行道面板的動力學(xué)數(shù)值仿真分析時，將地基反應(yīng)模量轉(zhuǎn)換為彈簧的彈性系數(shù)來考慮，而對于彈簧單元而言，由于其有彈性系數(shù)和阻尼系數(shù)兩個基本參數(shù)，因此，在本文的分析中，將地基整體阻尼參數(shù)分解到每個彈簧單元的方法來考慮地基的阻尼問題，而進行剛性道面的動力學(xué)分析的地基阻尼范圍取為0～1.8×108N·s/m3，根據(jù)圖13的分析結(jié)果可知，具有不同地基阻尼的剛性道面板，當(dāng)移動荷載以60 km/h的速度在其上移動時，惰性點距離隨著地基阻尼的增大僅有微小的減小，最大差值約為5.45 mm；而惰性點彎沉值隨著地基阻尼的增大也僅有很微小的減小，最大差值約為1.69 μm。因此，地基阻尼對惰性點參數(shù)的影響十分微小，可以忽略不計。

圖13 惰性點參數(shù)隨地基阻尼變化曲線

4 結(jié) 論

結(jié)合Kirchhoff薄板運動微分方程，并通過對Winkler地基上的單層剛性混凝土板加載移動荷載進行了大量的有限元分析，得出以下結(jié)論：

(1)移動荷載下，Winkler地基上的機場剛性道面板存在一個與面層板彈性模量無關(guān)而與地基反應(yīng)模量有關(guān)的動力惰性點。

(2)移動荷載下，面層板的厚度、泊松比、密度、地基阻尼和車輛行駛速度等對惰性點參數(shù)(即：惰性點距離RC和惰性點彎沉DC)均有影響。分析結(jié)果表明：面板的泊松比、密度和地基阻尼對惰性點參數(shù)影響十分微小，可以忽略不計；但面層板的厚度和車輛行駛速度對惰性點參數(shù)影響較大,在進行動態(tài)惰性點參數(shù)回歸分析時不可忽略不計。

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