張 立，劉 昆

（國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué)航天科學(xué)與工程學(xué)院空間技術(shù)研究所，長(zhǎng)沙410073）

·工程技術(shù)·

控制力矩陀螺磁軸承ˉ框架動(dòng)力學(xué)耦合特性仿真研究

張 立，劉 昆

（國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué)航天科學(xué)與工程學(xué)院空間技術(shù)研究所，長(zhǎng)沙410073）

框架角速率精度決定著控制力矩陀螺輸出的姿態(tài)控制力矩精度，前者的精度由框架伺服電機(jī)力矩精度和框架轉(zhuǎn)動(dòng)慣量決定。磁懸浮控制力矩陀螺框架轉(zhuǎn)動(dòng)和陀螺轉(zhuǎn)子的微小扭擺運(yùn)動(dòng)間存在動(dòng)力學(xué)耦合，其框架表現(xiàn)出比標(biāo)稱值大的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。在柔性結(jié)構(gòu)框架動(dòng)力學(xué)模型和磁軸承剛度ˉ阻尼模型基礎(chǔ)上，研究磁軸承ˉ框架動(dòng)力學(xué)特性，推導(dǎo)出框架等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和磁軸承控制參數(shù)之間的關(guān)系式，表明調(diào)整磁軸承控制參數(shù)能增大框架等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，提高框架角速率精度。根據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性和軸承承載力，確定了磁軸承控制參數(shù)取值范圍，并給出了框架等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的調(diào)節(jié)范圍。通過(guò)對(duì)某小型磁懸浮控制力矩陀螺框架角速率控制系統(tǒng)的Simulink仿真，證明了控制力矩精度可以提高5倍，驗(yàn)證了模型的準(zhǔn)確性。

控制力矩陀螺；磁軸承；動(dòng)力學(xué)耦合；指向精度

1 引言

2003年美國(guó)提出“太空快速響應(yīng)計(jì)劃”后，有效載荷的快速發(fā)射、機(jī)動(dòng)、服務(wù)和回收受到前所未有的重視，小衛(wèi)星技術(shù)成為研究熱點(diǎn)［1?3］。近年來(lái)，高精度空間監(jiān)測(cè)、衛(wèi)星監(jiān)視等越來(lái)越多的航天任務(wù)需要具有高姿態(tài)機(jī)動(dòng)能力和高指向精度的小衛(wèi)星。國(guó)際上把姿態(tài)機(jī)動(dòng)角速率范圍是1～10°／s的小衛(wèi)星稱作敏捷小衛(wèi)星［4，5］。

敏捷小衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)（ACS）要能夠提供大的控制力矩并且要適應(yīng)大的力矩變化范圍。相對(duì)于飛輪執(zhí)行機(jī)構(gòu)，控制力矩陀螺（Control Mo?ment Gyroscope，CMG）具有力矩放大效應(yīng)，從框架輸入很小的力矩就可以通過(guò)轉(zhuǎn)子角動(dòng)量方向的改變輸出較大的姿態(tài)控制力矩［6］，因此小型CMG是敏捷小衛(wèi)星姿態(tài)控制執(zhí)行機(jī)構(gòu)的首選［7?9］。例如英國(guó)災(zāi)害監(jiān)測(cè)商業(yè)小衛(wèi)星BILSAT?1上采用了兩只質(zhì)量小于1.5 kg的小型CMG，使該星的姿態(tài)機(jī)動(dòng)能力達(dá)到了2°／s［7］。

磁懸浮控制力矩陀螺（Magnetically Suspended CMG，MSCMG）振動(dòng)噪聲低，回轉(zhuǎn)精度高，與機(jī)械軸承相比轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速可以大幅度提高，單位體積輸出的姿態(tài)控制力矩更大，已成為CMG的重要發(fā)展方向［10］。

影響姿態(tài)控制力矩精度的框架角速率精度由框架伺服電機(jī)輸出的驅(qū)動(dòng)力矩精度和框架轉(zhuǎn)動(dòng)慣量決定。電機(jī)的力矩精度與最大輸出力矩成反比。航天器的機(jī)動(dòng)性和指向精度要求難以兼顧。采用相同精度的力矩電機(jī)，框架轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越大，框架角速率精度越高［6］。小型CMG框架轉(zhuǎn)動(dòng)慣量受限，框架角速率精度成為決定姿態(tài)控制精度的主要因素［7］。

采用磁軸承支承高速轉(zhuǎn)子大幅度提高轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速是增大CMG單位體積輸出的姿態(tài)控制力矩最為有效的途徑［6］。磁軸承消除了摩擦、壽命長(zhǎng)，支承剛度和阻尼可控，可以進(jìn)行主動(dòng)振動(dòng)控制降低噪聲、提高回轉(zhuǎn)精度，磁懸浮控制力矩陀螺（Magnetically Suspended CMG，MSCMG）成為CMG的重要發(fā)展方向［9］。

文獻(xiàn)［11］指出內(nèi)部采用柔性裝配方式的框架結(jié)構(gòu)所表現(xiàn)出的視在轉(zhuǎn)動(dòng)慣量比其實(shí)際標(biāo)稱轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大。法國(guó)阿爾卡特空間技術(shù)公司對(duì)其MSCMG產(chǎn)品Mini?CMG進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)研究表明調(diào)低磁軸承支承角剛度能增大框架等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，從而最終將衛(wèi)星的姿態(tài)穩(wěn)定度提高5倍［12］。

本文首先建立單框架MSCMG框架角速率控制系統(tǒng)模型，研究含結(jié)構(gòu)柔性的框架的動(dòng)力學(xué)特性，之后給出四自由度陀螺轉(zhuǎn)子磁軸承控制系統(tǒng)模型，研究穩(wěn)定前提下磁軸承剛度可調(diào)節(jié)的范圍，推導(dǎo)MSCMG磁軸承支承剛度與姿態(tài)控制力矩精度間的關(guān)系，以及磁軸承控制參數(shù)的調(diào)節(jié)范圍，最后通過(guò)仿真進(jìn)行驗(yàn)證。

2 MSCMG框架角速率控制系統(tǒng)模型

MSCMG的原理如圖1所示，陀螺轉(zhuǎn)子角動(dòng)·量為H，某時(shí)刻H的方向沿x軸，框架角速率為θG，框架角動(dòng)量方向沿y軸，則輸出的姿態(tài)控制力矩大小為Toutput＝H··θG，方向沿z軸［13］。陀螺轉(zhuǎn)子和框架間采用磁軸承支承，轉(zhuǎn)子與框架無(wú)接觸，且可以在一定間隙范圍內(nèi)發(fā)生相對(duì)位移，并表現(xiàn)出一定的剛度和阻尼特性。

圖1 MSCMG原理圖Fig.1 Schematic diagram of MSCMG

框架角速率控制系統(tǒng)原理如圖2所示［13］。其中θ·C為根據(jù)姿態(tài)控制律解算出的框架角速率指令信號(hào)，θ·G，θ·TT分別為框架的實(shí)際角速率和速率傳感器敏感的角速率，這兩個(gè)信號(hào)之間有一定的誤差。力矩電流環(huán)作用是使無(wú)刷直流電機(jī)輸出的框架驅(qū)動(dòng)力矩TM跟蹤指令轉(zhuǎn)矩TMC。TD是擾動(dòng)力矩，包括電機(jī)力矩誤差和航天器通過(guò)CMG支座耦合到框架上的干擾力矩。

圖2 MSCMG框架角速率控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Gimbalrate control system block diagram of MSCMG

MSCMG的框架動(dòng)力學(xué)頻域模型如圖3所示［13］，由于陀螺效應(yīng)，框架角速率會(huì)導(dǎo)致輸出軸方向的陀螺力矩TO＝θ·GH，這是期望的CMG有效輸出力矩。在輸出軸方向上，作用在轉(zhuǎn)子上的凈力矩為陀螺力矩TO減去軸承約束力矩KOθO+DOθ·O。KO，DO分別為磁軸承的扭擺角剛度和角阻尼系數(shù)，其表達(dá)式推導(dǎo)見(jiàn)第2節(jié)。轉(zhuǎn)子在輸出軸方向上的角速率由于陀螺效應(yīng)會(huì)產(chǎn)生電機(jī)軸上的陀螺效應(yīng)反饋力矩TG，該力矩的作用方向與電機(jī)力矩相反。作用在框架上的凈力矩為電機(jī)力矩TM減去陀螺效應(yīng)反饋力矩TG。

圖3 MSCMG框架動(dòng)力學(xué)頻域模型Fig.3 Block diagram in frequency domain ofMSCMG gimbal dynamics

MSCMG磁軸承扭擺角剛度、角阻尼系數(shù)與框架等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的關(guān)系推導(dǎo)如下：框架等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量IGE按（1）式定義［12］，根據(jù)梅遜增益公式［14］得（2）式。

在低頻假設(shè)下（頻率遠(yuǎn)小于1 rad／s），有：

（4）式即為低頻假設(shè)下估算MSCMG框架等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的公式。從中可以看出磁軸承剛度系數(shù)越低，框架等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越大，并且當(dāng)陀螺轉(zhuǎn)子角動(dòng)量越大時(shí)這種效應(yīng)越明顯。

3 MSCMG磁軸承角剛度ˉ角阻尼特性分析

假設(shè)轉(zhuǎn)子為勻質(zhì)對(duì)稱轉(zhuǎn)子，則四自由度磁軸承轉(zhuǎn)子徑向轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)頻域模型如公式（5）（6）所示［15］。

其中β（s）和α（s）為轉(zhuǎn)子徑向相對(duì)定子的兩自由度的角位移，Tβ（s）和Tα（s）為作用在轉(zhuǎn)子徑向的外力矩。（5）式兩個(gè)等式右邊第一項(xiàng)為磁軸承四軸平動(dòng)控制器C（s）＝kc+kds產(chǎn)生的軸承恢復(fù)力矩，第二項(xiàng)為磁軸承交叉反饋控制器Cr（s）＝kcr+kdrs產(chǎn)生的軸承恢復(fù)力矩。l為陀螺轉(zhuǎn)子兩個(gè)徑向磁軸承磁極面的軸向中心距，Jd為轉(zhuǎn)子赤道轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，Ki和Kx為磁軸承電流剛度和位移剛度，Ks為磁軸承位移傳感器靈敏度，GP（s）為磁軸承功放傳遞函數(shù)［15］，函數(shù)形式如式（7）。

將頻域動(dòng)力學(xué)方程組（5）的第一個(gè)等式乘以虛數(shù)單位j加到第二個(gè)等式得到式（8）所示復(fù)系數(shù)頻域方程：

其中軸承負(fù)荷角位移θ（s）和復(fù)合外力矩T（s）的定義如式（9）（10）所示。

根據(jù)（10）式并令s＝j(luò)ω，定義磁軸承角剛度KO如式（11）。在低頻假設(shè)下，KO簡(jiǎn)化為式（12）。

將（12）式代入（4）式得到MSCMG框架等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與磁軸承控制參數(shù)的關(guān)系如式（13）。

為了確定IGE的調(diào)節(jié)范圍，研究穩(wěn)定前提下控制參數(shù)kc，kd的取值范圍。以外力矩為輸入，以軸承角位移為輸出的閉環(huán)傳遞函數(shù)Gcl（s）如式（14）所示［15］。

Gcl（s）含有兩個(gè)實(shí)系數(shù)傳遞函數(shù)，它們的特征多項(xiàng)式均為Δ，如（15）式所示。Gcl（s）穩(wěn)定等價(jià)于這兩個(gè)實(shí)系數(shù)傳遞函數(shù)都穩(wěn)定，即Δ＝0的根都具有負(fù)實(shí)部。

其中各系數(shù)計(jì)算公式見(jiàn)式（16）。

將文獻(xiàn)［12］中mini?CMG的參數(shù)代入（15）式，并忽略其中系數(shù)小于0.0001的項(xiàng)，利用Routh?Hurwitz判據(jù)［14］得到控制參數(shù)的取值范圍如（17）式。

為了避免陀螺轉(zhuǎn)子與框架之間發(fā)生碰撞，磁軸承產(chǎn)生的最大恢復(fù)力矩Tmb還必須大于MSC?MG輸出最大力矩時(shí)轉(zhuǎn)子所承受的陀螺力矩Tomax，后者如（18）式所示。xm為磁軸承轉(zhuǎn)子徑向最大位移，即轉(zhuǎn)子平衡位置和保護(hù)軸承之間的徑向距離。

根據(jù)（12）式和（18）式，可得（19）式。

從而最終得到MSCMG磁軸承控制參數(shù)kc，kd取值范圍如（20）式所示。

4 框架?磁軸承動(dòng)力學(xué)耦合特性仿真研究

將圖3中的框架輸出軸角剛度?角阻尼模型替換為四自由度磁軸承轉(zhuǎn)子徑向轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)頻域模型，得到框架?磁軸承動(dòng)力學(xué)耦合頻域模型如圖4所示，其中模塊AMB代表磁軸承子系統(tǒng)。

圖4 MSCMG框架?磁軸承動(dòng)力學(xué)耦合頻域模型Fig.4 Block diagram in frequency domain of MSC?MG gimbal-bearing dynamic coupling

根據(jù)圖2和圖4建立Simulink模型，研究磁軸承控制參數(shù)選擇對(duì)框架角速率控制精度的影響。力矩電流環(huán)傳遞函數(shù)設(shè)為增益為1的一階慣性環(huán)節(jié)，其傳遞函數(shù)GGP取為（21）式。角速率控制器GGC取為（22）式。

框架和磁軸承仿真參數(shù)按文獻(xiàn)［12］中的mini?CMG性能指標(biāo)設(shè)定?？蚣軘_動(dòng)力矩TD用白噪聲模擬，噪聲幅值水平參考文獻(xiàn)［12］中的電機(jī)力矩精度設(shè)定。

磁軸承四軸分散平動(dòng)控制器C（s）采用不完全微分控制，交叉反饋控制器Cr（s）用正的比例反饋抑制章動(dòng)，用負(fù)的微分反饋抑制進(jìn)動(dòng)，控制器算法如式（23）所示。

仿真中kd和kdr固定為0.028和ˉ6，只研究kc和kcr的變化對(duì)框架角速率控制系統(tǒng)的影響。記kc＝kc+kcr，圖5給出了不同的kc值對(duì)應(yīng)的框架角速率階躍響應(yīng)，階躍信號(hào)幅值為0.2 rad／s。

圖5 不同kc對(duì)應(yīng)的MSCMG框架角速率階躍響應(yīng)Fig.5 Step response of MSCMG gimbal-rate control system under different kc

從圖5可以看出kc取3，6，15時(shí)框架角速率的上升至穩(wěn)態(tài)值所用的時(shí)間分別0.14 s，0.19 s，0.33 s，從中體現(xiàn)出的框架等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量約為1∶1.36∶2.4，與（13）式吻合的很好。

為了考察框架等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的可調(diào)范圍，給出穩(wěn)定前提下kc可取的極限值所對(duì)應(yīng)的框架角速率的穩(wěn)態(tài)誤差，如圖6所示。

圖6 不同kc下MSCMG框架角速率穩(wěn)態(tài)誤差Fig.6 Static tracking errors of MSCMG gimbalrate control system under different kc

從圖6中可以發(fā)現(xiàn)，kc取2.8時(shí)，框架角速率精度約為1．3×10ˉ4rad／s，kc取90時(shí)，框架角速率精度約為2．5×10ˉ5rad／s，提高了約5倍，與文獻(xiàn)［12］的實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合。

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Simulation Study on Dynamic Coupling Characteristics between the Gimbals and Magnetic Bearings of CMG

ZHANG Li，LIU Kun
（Institute of Space Technology，College of Aerospace Science and Engineering，National University of Defense Technology，Changsha 410073，China）

The accuracy of gimbal-rate determines the precision of the output attitude control torque of a control moment gyroscope（CMG）.The former is determined by the torque precision of the gimbal servomotor together with the moment of inertia of the gimbals.Because of the dynamic coupling between the gimbal rotation and the rotor radial rotation of the magnetic bearing，magnetically suspended CMG demonstrates larger apparent gimbal inertia than its mechanical inertia，thus achieve higher gimbal rate accuracy and high pointing precision.Based on the gimbal control?loop dynamics with compliant structures and the stiffness?damping model of the magnetic bearing（MB）control?loop，the gimbal?MB coupling model was built.The relationship between the equivalent gimbal inertia and the MB′s control parameters and the adjustable range of the gimbal inertia was presented. Simulation results on a small MSCMG gimbal control?loop showed that the relationship presented was accurate and the output torque precision could be improved by 5 times.

control moment gyroscope；magnetic bearing；dynamic coupling；pointing accuracy

V448.25

A

1674?5825（2014）01?0069?05

2013?08?08；

2013?12?29

國(guó)家自然科學(xué)基金（61304036）

張立（1986?），男，博士，講師，研究方向?yàn)榇泡S承控制技術(shù)、嵌入式控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)與仿真。E?mail：zhangkaiyue2004＠aliyun.com