何紅生，鄒衛(wèi)東，張加強

(集美大學(xué) 理學(xué)院， 福建 廈門 361021)

非線性薛定諤方程(NLS)為i?,u+α△u+β|u|2=0，稱立方Schr?dinger 方程，最早主要描述非線性波的調(diào)制(即非線性波包)方程[1],描述強光在光纖中的傳播[2],經(jīng)過幾十年的研究發(fā)展，非線性薛定諤方程成為物理學(xué)中的一個重要模型，可以描述許多物理過程，如：激光巨變、等離子體物理、非線性光學(xué)[3]、分子動力學(xué)、玻色愛因斯坦凝聚[4～6],流體力學(xué)等等。近年來，非線性薛定諤方程也是一種研究熱門的非線性物理方程，并且得到很多重要又有意義的結(jié)論[7～10]。

本文我們考慮一維的非線性薛定諤在外勢場中的性質(zhì)，主要討論了點電荷電勢、周期勢等兩種外勢場情況，非線性薛定諤方程有哪些具體的性質(zhì)，進而討論非線性薛定諤方程的性質(zhì)受哪些因素的影響，從而可以更加清楚的去了解非線性薛定諤方程的相關(guān)性質(zhì)。

一維非線性薛定諤方程的表達式為

(1)

其中，α,β可以是復(fù)數(shù)。

外勢場中一維非線性薛定諤方程的表達式為

(2)

一、點電荷勢場的情況

(3)

為了數(shù)值計算的方便，我們選擇合適的參數(shù)α=1+i,β=1+i，Q=sin(t)

選周期性邊界條件：u(-10,t)=u(-10,t)

經(jīng)過數(shù)值計算，其結(jié)果如圖1所示：

圖1 |u|2與變量x,t的關(guān)系

我們研究一下振幅|u|2隨時間變化的關(guān)系，對圖1作不同時刻的截面圖，可得：

圖2 |u|2與時間t的關(guān)系切片圖

研究表明在點電荷勢場中一維中的孤子會發(fā)生劈裂兩個孤子，并且隨著時間會發(fā)生改變。

二、周期勢場的情況

1.正弦函數(shù)的周期勢

取周期勢場為：V(x)=sin(x),

則有

(4)

為了數(shù)值計算的方便，我們選擇合適的參數(shù)α=1+i,β=1+i

取定初始條件：u(x,0)=sech(x)cos(x)+isech(x)cos(x)

選周期性邊界條件：u(-10,t)=u(10,t)

經(jīng)過數(shù)值計算，其結(jié)果如圖3所示：

圖3 |u|2與x,t的關(guān)系圖

我們研究一下振幅|u|2隨時間變化的關(guān)系，對圖3作不同時刻的截面圖，可得：

圖4 |u|2與時間t的關(guān)系切片圖

研究表明在正弦周期勢場中非線性薛定諤方程具有較好的周期解，不過隨著時間的變化周期的振幅在變小。

2.正切函數(shù)的周期勢

取周期勢場為：V(x)=tan(x)，

(5)

為了數(shù)值計算的方便，我們選擇合適的參數(shù)α=1+i,β=1+i

取定初始條件：u(x,0)=sech(x)cos(x)+isech(x)cos(x)

選周期性邊界條件：u(-10,t)=u(10,t)

經(jīng)過數(shù)值計算，其結(jié)果如圖5所示：

圖5 |u|2與x,t的關(guān)系圖

我們研究一下振幅|u|2隨時間變化的關(guān)系，對圖5作不同時刻的截面圖，可得：

圖6 |u|2與時間t的關(guān)系切片圖

研究表明在正切周期勢場中，由于外勢場的奇異性導(dǎo)致了非線性薛定諤方程具有奇異性，并且具有類周期性。

參考文獻：

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