王崢，洪明，b，劉城（大連理工大學(xué).船舶工程學(xué)院；b.工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點實驗室，遼寧大連116024）

基于FEM/BEM的浸水結(jié)構(gòu)振動及聲輻射特性國內(nèi)研究綜述

王崢a，洪明a，b，劉城a
（大連理工大學(xué)a.船舶工程學(xué)院；b.工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點實驗室，遼寧大連116024）

文章基于有限元（FEM）或有限元結(jié)合邊界元（FEM/BEM）分析方法，對浸水結(jié)構(gòu)振動及聲輻射特性國內(nèi)公開發(fā)表的文獻(xiàn)進(jìn)行梳理，從低頻流固耦合的振動特性、弱耦合與強(qiáng)耦合的聲輻射特性、直/間接邊界元的非唯一性與奇異性等著重流體數(shù)值模擬方面，對國內(nèi)相關(guān)研究進(jìn)行了綜述分析，就浸水結(jié)構(gòu)振動及聲輻射特性的研究發(fā)展動態(tài)做出了總結(jié)，為相關(guān)科研人員研究浸水結(jié)構(gòu)振動特性及聲輻射提供了有益參考。

有限元；直接邊界元；間接邊界元；流固耦合；聲輻射；非唯一性；奇異性

1 引言

若結(jié)構(gòu)在流體中振動，則流體與結(jié)構(gòu)之間存在相互作用，相應(yīng)稱為流固耦合問題。根據(jù)耦合的強(qiáng)弱可以采用不同的分析模型。結(jié)構(gòu)與低密度流體介質(zhì)是弱耦合，對于介質(zhì)中結(jié)構(gòu)的振動特性及聲輻射問題可分別求解，先計算出結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)，輻射聲場可以通過結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)來確定。對于研究浸水結(jié)構(gòu)的振動特性及聲輻射問題，一般在物理上視為結(jié)構(gòu)與重流體介質(zhì)耦合，對此強(qiáng)耦合系統(tǒng)振動響應(yīng)和水中聲場必須耦合求解。以振動板殼聲振耦合研究為例，耦合的強(qiáng)弱可用特征量λ來判別[1]：

其中：c是聲在介質(zhì)中傳播速度；ρ是結(jié)構(gòu)質(zhì)量密度；h是板厚度；ω是結(jié)構(gòu)與流體耦合系統(tǒng)振動頻率。當(dāng)λ＜1時，認(rèn)為系統(tǒng)是弱耦合；當(dāng)λ＞1時，認(rèn)為系統(tǒng)是強(qiáng)耦合。

當(dāng)浸水結(jié)構(gòu)在低頻振動時，流體對結(jié)構(gòu)的作用可看成是附加質(zhì)量效應(yīng)；而高頻時流體的阻抗相當(dāng)復(fù)雜，包括質(zhì)量與阻尼兩方面的影響。一般低頻時可用有限元（FEM）或有限元和邊界元（FEM/BEM）相結(jié)合來研究結(jié)構(gòu)在流固耦合作用下的振動及聲輻射特性，而在高頻時則用統(tǒng)計能量分析方法（SEA）來研究。

考慮到篇幅綜述文獻(xiàn)限于結(jié)構(gòu)滿足線彈性基本假定；對流體假定為理想流體且無旋，在線性小擾動的情況下的聲輻射，而且流體區(qū)域討論的范圍限定于無限或半無限三維空間。若流體假設(shè)為可壓縮的，則聲壓或速度勢滿足Helmholtz方程，若將流體假設(shè)為不可壓縮的，則聲壓或速度勢滿足Laplace方程。當(dāng)研究結(jié)構(gòu)聲輻射問題時，考慮到聲音在介質(zhì)中傳播的速度不能為無限大，所以假設(shè)流體是可壓縮的；僅對于流固耦合作用下結(jié)構(gòu)低頻振動的計算，則可假設(shè)流體是不可壓縮的，分析模型簡單且精度可以接受。

無論是求解流固耦合振動特性問題還是聲輻射問題，由于結(jié)構(gòu)和流體的相互作用，所以要考慮到結(jié)構(gòu)運動方程與流體運動方程的耦合方式。如果將結(jié)構(gòu)利用有限元理論進(jìn)行處理，流體利用邊界元理論進(jìn)行處理，則其耦合方式有兩種：第一種是將流體的邊界積分方程耦合到結(jié)構(gòu)的運動方程中，進(jìn)而求解有限元方法離散得到的運動方程；第二種是將結(jié)構(gòu)的運動方程耦合到流體的Helmholtz微分方程或Laplace微分方程中后，將Helmholtz微分方程或Laplace微分方程轉(zhuǎn)化為積分方程來進(jìn)行求解未知變量。顯然，第一種方法是利用邊界元的基本原理對流體進(jìn)行降一維處理，而第二種方法由于方程耦合過程中導(dǎo)致了Helmholtz微分方程或Laplace微分方程中的主要變量發(fā)生變化，其后續(xù)處理的積分形式也發(fā)生變化，致使處理十分困難，所以一般利用結(jié)構(gòu)有限元結(jié)合流體邊界元理論對流固耦合問題進(jìn)行處理時選用第一種方式。如果結(jié)構(gòu)和流體都利用有限元理論來處理，考慮到結(jié)構(gòu)和流體的相互作用，其結(jié)構(gòu)運動方程與流體運動方程同樣存在類似的耦合方式，只是無論哪種耦合方式對于結(jié)構(gòu)還是流體涉及到的積分并不能進(jìn)行降維處理。

2 結(jié)構(gòu)有限元與流體邊界元理論梗概

2.1 有限元理論

對于彈性體結(jié)構(gòu)采用有限元法計算其振動特性是非常方便的，相應(yīng)的振動運動方程如下：

其中：M為系統(tǒng)的質(zhì)量陣；C為系統(tǒng)的阻尼矩陣；K為系統(tǒng)的剛度陣；Fs為作用在結(jié)構(gòu)上激勵力矢量。

若計算結(jié)構(gòu)的固有振動特性，忽略阻尼，則方程變?yōu)椋?/p>

2.2 直/間接邊界元（D-BEM/I-BEM）理論

假設(shè)流場為無旋、可壓縮且做小擾動運動，線性齊次聲學(xué)波動方程滿足Helmholtz微分方程：

其中：p為流體動壓力；k=ω/c為波數(shù)；ω為圓頻率；c為流體介質(zhì)中的聲速。

假設(shè)流場為無旋、不可壓縮且做小擾動運動，則c→∞，Helmholtz微分方程簡化為Laplace微分方程：

對振動結(jié)構(gòu)在無限流體域中聲輻射的數(shù)值模擬，通常是將流體域中控制微分方程（Helmholtz微分方程）轉(zhuǎn)化成邊界上的積分方程，然后采用直接或間接邊界元法進(jìn)行數(shù)值計算。直接邊界元方法理論的Helmholtz積分方程是基于封閉結(jié)構(gòu)建立，且內(nèi)場外場問題分別是不同的分析模型，如圖1所示。

其Helmholtz積分方程如下：內(nèi)場問題：

圖1 直接邊界元法主要變量示意圖Fig.1 Primary variables of D-BEM

其中：p為場點聲壓；rX為場點的位置矢量；G為Helmholtz方程的Green函數(shù)；GL為Laplace方程的Green函數(shù)；C1（rX）和C2（rX）分別為內(nèi)外場問題的邊界積分系數(shù)；S為結(jié)構(gòu)表面，無論是內(nèi)場問題還是外場問題，當(dāng)P∈S時C1（rX）或C2（rX）的表達(dá)式適用于任意形狀的結(jié)構(gòu)表面；當(dāng)S為光滑表面時，C1（rX）或C2（rX）的值均為1/2。

直接邊界元理論的Helmholtz積分方程的求解是將邊界離散后，利用配點法來計算結(jié)構(gòu)表面未知變量，然后利用內(nèi)外場問題的公式（6）和（7）等來計算場點聲壓、輻射聲功率及聲輻射效率等物理量。

對于結(jié)構(gòu)向三維半空間內(nèi)進(jìn)行聲輻射，并且結(jié)構(gòu)可以簡化為鑲嵌在無限大剛性障板中的問題，直接邊界元法理論的Helmholtz積分方程可簡化為Rayleigh積分形式：

其中：p為半空間介質(zhì)中或結(jié)構(gòu)表面上的任意點聲壓；S為結(jié)構(gòu)表面。Rayleigh積分可看成是直接邊界元法理論的Helmholtz積分方程的特殊形式。

圖2 場點在結(jié)構(gòu)封閉域外Fig.2 Field point P in the exterior acoustic domain

圖3 場點在結(jié)構(gòu)邊界上Fig.3 Field point P on the boundary

圖4 場點在結(jié)構(gòu)封閉域內(nèi)Fig.4 Field point P in the interior acoustic domain

間接邊界元法理論是利用直接邊界元理論內(nèi)場和外場的邊界積分公式推導(dǎo)得到的。如圖2-4所示，結(jié)合直接邊界元法的理論計算公式可得出結(jié)論，無論場點P是在聲場域中任意位置都有：

由公式（6）和（7）相加結(jié)合公式（9）可得聲場域中任意點的邊界積分公式：

由于間接邊界元理論推導(dǎo)所涉及的主要變量為振動結(jié)構(gòu)邊界表面的聲壓差和聲壓梯度差，由公式（10）可看出，求出結(jié)構(gòu)邊界表面的聲壓差和聲壓梯度差便能得到輻射場，所以必須將場點分別移動到邊界的兩個表面上，進(jìn)而推導(dǎo)出結(jié)合了邊界條件的邊界積分公式，才能進(jìn)一步求得結(jié)構(gòu)邊界表面的聲壓差和聲壓梯度差。比如，假設(shè)聲場滿足Neumann邊界條件，則推導(dǎo)出的結(jié)合了邊界條件的間接邊界元理論的Helmholtz積分方程為：

其中：ρ為介質(zhì)密度；nX為聲場邊界場點的法線方向與nY方向規(guī)定相同；）為聲場邊界的速度邊界條件。

間接邊界元理論的Helmholtz積分方程離散后，邊界單元上未知的主要變量可以用形函數(shù)插值單元節(jié)點上的值來表示，但是其不能像直接邊界元那樣利用配點法來計算邊界表面的未知變量，而普遍的求解方法是利用變分原理來進(jìn)行邊界表面未知變量的求解。比如對于Neumann邊界條件，最終得到的泛函方程為：

其中：Q為系統(tǒng)矩陣，其為對稱陣；μ為結(jié)構(gòu)表面節(jié)點上未知變量的列向量；b為邊界上速度推導(dǎo)的列向量。

利用變分原理，公式（12）可得：

對于Neumann邊界條件，可通過求解方程（13）得到結(jié)構(gòu)邊界表面的聲壓差，從而求得場點聲壓、輻射聲功率以及聲輻射效率等物理量。

2.3 有限元方法或有限元與邊界元結(jié)合方法計算浸水結(jié)構(gòu)振動及聲輻射特性運動方程

對于浸水結(jié)構(gòu)振動及聲輻射特性的求解，無論是利用FEM或FEM/BEM結(jié)合理論，終歸于對耦合的運動方程進(jìn)行求解，耦合流體后的結(jié)構(gòu)運動方程為：

其中：Fa為流固交界面作用在結(jié)構(gòu)上流體動壓力矢量，流體動壓力Fa是一個復(fù)數(shù)，從物理上解釋體現(xiàn)為流體對結(jié)構(gòu)的作用力，其可以等效為對結(jié)構(gòu)的慣性力以及阻尼力的影響，其中的慣性力也就是對結(jié)構(gòu)的附加質(zhì)量效應(yīng)（對應(yīng)Fa的實部），阻尼力也就是對結(jié)構(gòu)的阻尼效應(yīng)（對應(yīng)Fa的虛部）。在激勵力頻率較低的低頻區(qū)域，流體對結(jié)構(gòu)的作用主要表現(xiàn)為附加質(zhì)量效應(yīng)，對結(jié)構(gòu)的阻尼的影響很小。也就是說作用于結(jié)構(gòu)濕表面的流體動壓力可以近似轉(zhuǎn)換為結(jié)構(gòu)動力學(xué)方程的加速度項。這樣如果只考慮激勵力的頻率是在中低頻的范圍內(nèi)，那么最終水下結(jié)構(gòu)的動力學(xué)方程可轉(zhuǎn)換為如下的形式：

其中：Ma為浸水結(jié)構(gòu)的附加質(zhì)量陣。當(dāng)研究進(jìn)水結(jié)構(gòu)固有振動特性時Fs為零，忽略阻尼，上式對應(yīng)的廣義特征值問題為：

3 國內(nèi)浸水結(jié)構(gòu)振動及聲輻射特性研究現(xiàn)狀

3.1 浸水結(jié)構(gòu)振動特性研究現(xiàn)狀

對于浸水結(jié)構(gòu)振動特性的研究，包括浸水結(jié)構(gòu)低頻振動時的附加質(zhì)量陣、浸水結(jié)構(gòu)在流固耦合作用下的振動特性計算以及相關(guān)實驗的研究。

3.1.1 浸水結(jié)構(gòu)低頻振動時的附加質(zhì)量的研究

對浸水結(jié)構(gòu)的附加質(zhì)量陣Ma的研究是求解浸水結(jié)構(gòu)振動及聲輻射特性的基礎(chǔ)，其能體現(xiàn)出流固耦合的相互作用效應(yīng)，Ma的求解過程也是求解浸水結(jié)構(gòu)振動及聲輻射特性的難點所在。對于研究附加質(zhì)量陣的計算方法，可以用有限元的理論直接將流體域進(jìn)行離散，也可以用邊界元的理論將三維流體域降一維再對邊界進(jìn)行離散計算。無論是哪種對于流體的處理方法，Ma的推導(dǎo)思路基本相同，首先是對Helmholtz微分方程公式（4）或Laplace微分方程公式（5）進(jìn)行三維或二維域內(nèi)積分并變換得到三維有限域積分方程或邊界積分方程，將流體動壓力Fa用其積分后的式子來表示，此時流體動壓力Fa是ω2的函數(shù)，這樣Fa就可以與（14）式中的質(zhì)量陣M合并，此時稱Fa中可以與質(zhì)量陣M合并的矩陣即為附加質(zhì)量矩陣Ma，它的意義是接觸面上結(jié)構(gòu)振動加速度引起流體壓力的附加值。也就是說對于附加質(zhì)量陣的研究，就是對于流體動壓力Fa的研究。

將無限流體域截斷為有限流體域，將有限域流體和結(jié)構(gòu)都利用有限元進(jìn)行數(shù)值模擬，即結(jié)構(gòu)有限元耦合流體有限元（FEM/FEM），這種方法基本思想是將公式（4）或公式（5）在有限體積域內(nèi)積分，將積分后的表達(dá)式進(jìn)而轉(zhuǎn)化成流體動壓力Fa的形式，進(jìn)而求得附加質(zhì)量矩陣Ma，這是比較常用的處理流固耦合問題附加質(zhì)量的方法，其難點在于流體截斷域的選擇、流體有限元的劃分以及流體單元類型的選擇等。汪庠寶和韓繼文等[2-3]對懸臂板和連續(xù)板的流固耦合振動，給出了浸水結(jié)構(gòu)的附加質(zhì)量有限元法的計算格式，其對于板格在不同的邊界條件約束下的附加質(zhì)量系數(shù)進(jìn)行了研究。裴智勇和吳衛(wèi)國等[4]對高速船艙壁加筋板流固耦合振動問題，將結(jié)構(gòu)有限元法和流體有限元法結(jié)合，根據(jù)Garlerkin法和Hamilton變分原理分別推導(dǎo)出離散的流體和結(jié)構(gòu)的運動方程，推導(dǎo)出流體附加質(zhì)量矩陣。文獻(xiàn)[5-6]同樣利用有限元方法離散流體的思想，早期研究人員多基于有限元方程編制相應(yīng)數(shù)值計算程序進(jìn)行計算。對于這類方法，可用于幾何形狀相對較簡單結(jié)構(gòu)附加質(zhì)量陣的求解，其優(yōu)點是方程的理論推導(dǎo)及數(shù)值實現(xiàn)相對簡潔，對一些有可能存在規(guī)律性結(jié)果的問題進(jìn)行研究比較有益；其缺點是一旦結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，其流體劃分有限元就比較復(fù)雜，單元和節(jié)點增多，導(dǎo)致計算量比較大。

對流體動壓力Fa來說，針對理想流體流場可用速度勢來表示，域中速度勢滿足Laplace方程，對于這類流場可使用源匯分布法（Green函數(shù)法）討論結(jié)構(gòu)物與周圍流體的穩(wěn)態(tài)相互作用問題?？汕蟪隽鲌鲋腥我稽c的速度勢，進(jìn)而求出流體的動壓力，從而求解附加質(zhì)量陣。王國強(qiáng)和楊建民[7]利用結(jié)構(gòu)有限元模型，結(jié)構(gòu)濕表面上布置源匯來模擬流體，采用線性三角形源匯法與結(jié)構(gòu)有限元模型相結(jié)合的辦法計算出了振動結(jié)構(gòu)的附加質(zhì)量陣。鄭治國和趙德有等[8]對利用結(jié)構(gòu)有限元結(jié)合Green函數(shù)的邊界積分法計算結(jié)構(gòu)-流體的耦合作用，計算出非對稱的附加質(zhì)量矩陣，其利用的邊界積分方程是基于源匯法而得出的。錢勤等[9]借助Green第二恒等式，將浸水結(jié)構(gòu)的附加質(zhì)量陣計算通過將速度勢化為邊界上的積分方程來計算，即邊界積分公式。然后其用邊界元數(shù)值方法將邊界離散，從而計算出節(jié)點速度勢，然后將速度勢回帶計算出附加質(zhì)量陣。文獻(xiàn)[10-13]同樣利用源匯的思想，將流體運用布置在結(jié)構(gòu)濕表面的源匯進(jìn)行模擬，其優(yōu)點是可以將流體從三維降至二維進(jìn)行處理；但是由于其在源匯的布置方面以及物體表面源匯強(qiáng)度方面不連續(xù)等缺點，其在數(shù)值方法求解的時候比較繁瑣，近年來使用這種方法解決附加質(zhì)量陣問題相對較少。

將三維無限流體域降維轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)邊界面上二維形式來處理，可以利用結(jié)構(gòu)有限元耦合流體直接邊界元的方法來求解附加質(zhì)量陣，這種方法基本思想是將公式（4）或公式（5）在結(jié)構(gòu)邊界內(nèi)做積分變換，將流體動壓力Fa用（6）、（7）式或（8）式變換后的形式表示，進(jìn)而求得附加質(zhì)量矩陣Ma，其難點在于邊界積分方程的推導(dǎo)和變換以及邊界元所涉及的奇異積分處理問題。鄒元杰和趙德有[14]針對水下結(jié)構(gòu)聲固耦合振動的特征值計算問題進(jìn)行了研究，其水下結(jié)構(gòu)附加質(zhì)量陣的計算是基于直接邊界元法推導(dǎo)的，而且指出假設(shè)鑲嵌在無限大剛性障板上的結(jié)構(gòu)，直接邊界元理論的積分公式可進(jìn)一步簡化為Rayleigh積分來計算。付喜華和洪明等[15-17]對于可壓縮流體和不可壓縮流體的附加質(zhì)量陣進(jìn)行了研究，并利用無限大剛性障板的Rayleigh積分公式推導(dǎo)出了可壓縮流體的動壓力，進(jìn)而推導(dǎo)出了其附加質(zhì)量矩陣，同時給出了不可壓縮流體的附加質(zhì)量矩陣。施衛(wèi)華[18]介紹了半無限流體域內(nèi)聲場的邊界元解法，從半無限流體域邊界積分方程出發(fā)，推導(dǎo)得到了板結(jié)構(gòu)鑲嵌在無限大剛性障板中時的Rayleigh積分方程，并求取了板式結(jié)構(gòu)在水中的附加水質(zhì)量。

魏建輝和陳美霞等[19]采用基于直接邊界元基本理論的Helmholtz積分方程，利用單層圓柱殼在空氣中的固有頻率和固有振型，在模態(tài)坐標(biāo)下推導(dǎo)出了結(jié)構(gòu)附加質(zhì)量的計算公式。安小同和洪明等[20]利用結(jié)構(gòu)有限元原理和流體直接邊界元原理對于浸水結(jié)構(gòu)的附加質(zhì)量陣進(jìn)行了研究，給出了適用于低頻作用下的基于直接邊界元的附加質(zhì)量陣的計算形式。文獻(xiàn)[21-23]同樣利用邊界元理論對流體附加質(zhì)量進(jìn)行處理。綜上可以看出Rayleigh積分公式可以用來處理假設(shè)鑲嵌在無限大剛性障板上的結(jié)構(gòu)（如局部加筋板），其優(yōu)點是較直接邊界元方法編程簡單，其缺點是處理問題存在局限性；直接邊界元方法其優(yōu)點在于在理論上可以處理任意形狀的與介質(zhì)單面接觸的封閉結(jié)構(gòu)，但是其缺點在于對封閉結(jié)構(gòu)的特征頻率處解不唯一。無論是利用Rayleigh積分公式還是直接邊界元方法處理浸水結(jié)構(gòu)的附加質(zhì)量陣Ma，其優(yōu)點都在于將流體進(jìn)行了降維處理，可以有效減少計算量。

對于可壓縮流體和不可壓縮流體的附加質(zhì)量陣Ma，張升明[23]利用結(jié)構(gòu)有限元和流體直接邊界元方法，分別對流體為可壓縮和不可壓縮時，其對于結(jié)構(gòu)振動特性的影響進(jìn)行了研究。其指出：將流體視為可壓縮時流體內(nèi)各質(zhì)點的運動相位是有差異的，運動相位差的存在說明了阻尼的存在，從而耗散能量；將流體視為不可壓縮，流場內(nèi)各質(zhì)點運動是同相位的，因而它不產(chǎn)生阻尼。因此流體是否可壓，就相當(dāng)于是否考慮流體的阻尼。在低頻時，流體壓縮性對流體結(jié)構(gòu)的振動固有頻率影響很小，可以忽略。因此在低頻時分析流體的附加質(zhì)量，可以把流體作為不可壓縮的介質(zhì)；而無論低頻或者高頻，在研究分析結(jié)構(gòu)在流體中的振動響應(yīng)時，必須把流體作為可壓縮的介質(zhì)來處理。毛程亮和洪明等[24]針對浸水結(jié)構(gòu)動力特性問題進(jìn)行了計算，表明在低頻范圍內(nèi)選取附加質(zhì)量，流體的可壓縮性對浸水結(jié)構(gòu)的固有頻率的影響非常小，在高頻范圍內(nèi)隨著計算頻率的逐漸增加，流體的可壓縮性對浸水結(jié)構(gòu)的固有頻率的影響將逐漸增大。

關(guān)于利用商業(yè)軟件計算浸水結(jié)構(gòu)的附加質(zhì)量陣Ma，吳紹亮和金咸定[25]利用流體直接邊界元理論得到流體的附加質(zhì)量陣，對大型通用軟件（MSC/NASTRAN）的流固耦合計算方法進(jìn)行了應(yīng)用開發(fā)。用MSC/PATRAN建立有限元模型，在MSC/NASTRAN平臺上主要對流體直接邊界元法、經(jīng)驗公式法進(jìn)行結(jié)構(gòu)的流體附加質(zhì)量計算的對比研究和計算。這種方法的優(yōu)點在于可以對大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)的附加質(zhì)量進(jìn)行求取，缺點在于有限元方法處理流體導(dǎo)致的單元以及節(jié)點增多，計算量增大。

3.1.2 浸水結(jié)構(gòu)在流固耦合作用下的振動特性的研究

對于浸水結(jié)構(gòu)在流固耦合作用下的振動特性的研究，普遍的研究是在解決附加質(zhì)量陣Ma的基礎(chǔ)上來進(jìn)行的，研究人員普遍關(guān)心的問題是結(jié)構(gòu)在流體中的振動模態(tài)。

無論是利用何種方法處理流體動壓力Fa，對于浸水結(jié)構(gòu)振動特性的研究其最終都需要對廣義特征值方程（16）進(jìn)行求解，模態(tài)疊加法是求解廣義特征值方程的一種有效的方法。一般流固耦合系統(tǒng)的模態(tài)分析，根據(jù)計算過程的不同，可分為濕模態(tài)法和干模態(tài)法。

所謂干模態(tài)法是先求出結(jié)構(gòu)在真空中較低的若干階固有頻率和固有模態(tài)（稱為干模態(tài)），即先對運動方程（3）進(jìn)行求解，得到干模態(tài)；然后將干模態(tài)進(jìn)行模態(tài)坐標(biāo)變換考慮流體的影響，利用求得的干模態(tài)結(jié)合耦合運動方程（16）進(jìn)行求解，得到結(jié)構(gòu)在流體中的固有頻率和固有模態(tài)，其難點在于用何種方法如何求解方程（16）。汪庠寶等[2-3]給出了懸臂板和連續(xù)板的流固耦合振動的有限元計算格式的結(jié)構(gòu)—流體系統(tǒng)耦合的無阻尼自由振動方程式，利用干模態(tài)法計算了懸臂版和連續(xù)板的流固耦合自由振動，給出了懸臂版在不同浸水深度下的固有頻率。楊建民和汪庠寶[27]提出了一種計及流體與結(jié)構(gòu)相互作用時船體結(jié)構(gòu)模態(tài)計算的方法，船體結(jié)構(gòu)用有限元法模擬，流體運動則用布置在船體表面的線性分布的三角形元源匯模擬。文中同時介紹了“濕模態(tài)法”以及“干模態(tài)法”計算流固耦合系統(tǒng)模態(tài)，并對兩種方法進(jìn)行了分析。徐張明和華宏星[42]利用FEM/I-BEM結(jié)合建立了結(jié)構(gòu)—聲耦合方程計算結(jié)構(gòu)表面的振動特性，將結(jié)構(gòu)的物理坐標(biāo)用模態(tài)坐標(biāo)來表示，對耦合的結(jié)構(gòu)動力學(xué)方程及聲場方程進(jìn)行解耦。并分別對浸沒于空氣中和水中的橢圓球殼進(jìn)行計算，其計算得出的結(jié)構(gòu)表面振動速度表明，流體介質(zhì)改變了結(jié)構(gòu)的共振特性。文獻(xiàn)[28-30]也利用了干模態(tài)的方法求解了浸水結(jié)構(gòu)的固有振動特性，可見，干模態(tài)法較之濕模態(tài)法有一個明顯的優(yōu)點，即可分別利用現(xiàn)成的結(jié)構(gòu)力學(xué)及流體力學(xué)領(lǐng)域中的最新研究成果來求解。同時，通過分析可知，較之濕模態(tài)法，干模態(tài)法中求解濕模態(tài)方程的自由度數(shù)目可大大縮小，即計算量大大減少；其缺點在于必須先求出結(jié)構(gòu)的干模態(tài)，才能進(jìn)一步求解結(jié)構(gòu)的濕模態(tài)，過程較為繁復(fù)，且干模態(tài)階數(shù)的選取在一定程度上影響求解精度。

所謂濕模態(tài)法是求解系統(tǒng)固有頻率和固有模態(tài)時直接計及周圍流體的動力影響對耦合運動方程（16）進(jìn)行求解的方法。裴智勇和吳衛(wèi)國等[4]將結(jié)構(gòu)有限元法和流體有限元法結(jié)合起來，求得了高速船艙壁加筋板流固耦合系統(tǒng)的流體附加質(zhì)量矩陣，利用濕模態(tài)法對高速船艙壁加筋板流固耦合系統(tǒng)進(jìn)行了模態(tài)分析。鄭治國和趙德有等[8]采用20節(jié)點三維等參元離散結(jié)構(gòu)，在結(jié)構(gòu)表現(xiàn)上布置源匯，應(yīng)用Green函數(shù)的邊界積分法計算流體—結(jié)構(gòu)的相互影響，推導(dǎo)出系統(tǒng)的運動方程，用濕模態(tài)法對螺旋槳在水中的動力特性進(jìn)行了計算。劉連海和洪明等[10，26]對流固耦合問題中結(jié)構(gòu)采用有限元和流體采用邊界元耦合的廣義特征方程求解方法進(jìn)行了研究，其指出由于流體附加質(zhì)量矩陣的存在，由此耦合而成系統(tǒng)的總質(zhì)量矩陣具有不對稱性（這里針對的是直接邊界元模型，對于間接邊界元模型來說其是對稱的）且是滿陣，給特征值問題的求解帶來了困難，其利用的雙正交Lanczos法在一定程度上克服了上述困難。付喜華和洪明等[15-17]在求解流固耦合方程的特征值問題時，采用了迭代的Lanczos算法，即Lanczos算法與迭代算法結(jié)合的方法求解不對稱頻率相關(guān)特征值問題，安小同等[20]也利用這種方法對流固耦合方程的特征值問題進(jìn)行了求解。文獻(xiàn)[37-41，43-47]也利用了濕模態(tài)的方法求解了浸水結(jié)構(gòu)的固有振動特性，濕模態(tài)方法較干模態(tài)方法優(yōu)點在于其可以直接對浸水結(jié)構(gòu)的固有模態(tài)進(jìn)行求解，可以直觀體現(xiàn)流體和結(jié)構(gòu)的相互作用；其缺點在于計算量往往較干模態(tài)大。但近年來，由于數(shù)值計算水平的發(fā)展研究者一般偏重直接求取浸水結(jié)構(gòu)的模態(tài)，即濕模態(tài)。

無論是利用干模態(tài)的方法還是濕模態(tài)的方法求解浸水結(jié)構(gòu)的固有振動特性，終歸是要對方程（16）進(jìn)行求解，由有限元理論可知，方程（16）中質(zhì)量陣M是對稱矩陣，對稱矩陣在計算機(jī)數(shù)值計算時是比較節(jié)省存儲空間的，而附加質(zhì)量矩陣Ma的對稱性取決于所選用的對于流體的處理方法，文獻(xiàn)[2-6]所利用的有限元處理流體的方法，其得到的附加質(zhì)量矩陣Ma是非對稱的；文獻(xiàn)[19-23]所利用的直接邊界元處理流體的方法，其得到的附加質(zhì)量矩陣Ma同樣是非對稱的；文獻(xiàn)[42，46]所利用的間接邊界元處理流體的方法，其得到的附加質(zhì)量矩陣Ma是對稱的?？梢娎瞄g接邊界元方法處理流體較直接邊界元方法和有限元方法更能節(jié)省儲存空間。所以，求解浸水結(jié)構(gòu)的固有振動特性，其難點之一便是如何解決附加質(zhì)量矩陣Ma的非對稱性問題。

朱曉芳和金咸定等[31]利用有限元軟件PATRAN/NASTRAN建立浸入水中圓柱體模型，并對其固有頻率進(jìn)行計算，分析比較了三種常用的浸水柱狀結(jié)構(gòu)固有頻率的計算方法：干模態(tài)的經(jīng)驗修正系計算方法、流體力學(xué)兩維理論計算方法和流固耦合數(shù)值計算方法。文獻(xiàn)[32-36]同樣論述了利用有限元軟件PATRAN/NASTRAN或ANSYS來建立浸水結(jié)構(gòu)模型，并對其固有頻率進(jìn)行數(shù)值計算，該方法已用于單

層和雙層環(huán)肋增強(qiáng)圓柱殼的動力特性計算。此方法優(yōu)點是可用于任意復(fù)雜浸水結(jié)構(gòu)動力特性分析；缺點是計算節(jié)點多，計算量大。

3.1.3 相關(guān)實驗研究

相對于數(shù)值模擬來說，國內(nèi)對于實驗驗證數(shù)值模擬準(zhǔn)確性的研究以及試驗的研究相對較少。

裴智勇和吳衛(wèi)國等[4]用濕模態(tài)法求得流體附加質(zhì)量矩陣，依據(jù)結(jié)構(gòu)有限元和流體有限元理論建立的加筋板結(jié)構(gòu)流固耦合動力控制方程，編制了加筋板流固耦合振動計算程序。其為了認(rèn)識高速船艙壁加筋板流固耦合動力性能，建立了船舶的局部模擬艙段結(jié)構(gòu)，并進(jìn)行模態(tài)試驗，研究了艙內(nèi)不同水深時艙壁加筋板結(jié)構(gòu)流固耦合振動模態(tài)，同時與有限元計算結(jié)果進(jìn)行了比較。

王杰德和楊永謙等[29]利用其對于船體薄壁梁彎扭動力分析的流固耦合數(shù)值計算結(jié)果與鋁制船模在空氣中和水中的實驗得到的固有頻率進(jìn)行了對比，驗證了其數(shù)值結(jié)果的可行性。謝志勇和周其斗等[41]采用鋼質(zhì)雙層柱殼結(jié)構(gòu)模擬潛艇結(jié)構(gòu)，利用有限元軟件建立數(shù)值分析模型并進(jìn)行了相應(yīng)的模態(tài)數(shù)值計算，之后分別對懸掛于空氣中的柱殼：殼間充滿空氣的模態(tài)和殼間充水的模態(tài)兩類情況進(jìn)行了模態(tài)試驗測量，并將試驗結(jié)果與有限元法所得的計算結(jié)果進(jìn)行了對比。

楊吉新和張可等[36]將用有限元軟件ANSYS建模計算的懸臂柱在不同水位下的模態(tài)計算結(jié)果和實驗進(jìn)行了對比，實驗結(jié)果與數(shù)值計算結(jié)果的差值小于10%，說明了這種數(shù)值方法是可行的。

童宗鵬和王國治[48]采用模態(tài)試驗，利用單點激勵多點響應(yīng)的方式，對整個艦艇殼模型進(jìn)行了測量，通過對艦艇結(jié)構(gòu)傳遞函數(shù)的測量及試驗數(shù)據(jù)的處理，得到了固有頻率和振型，并與有限元的計算結(jié)果進(jìn)行了對比。

胡選利等[49]對于聲振耦合目前求解的三種常用方法：聲彈性法、有限元法和邊界元法進(jìn)行了分析，對采用各種簡化假設(shè)時三種方法的差異及統(tǒng)一進(jìn)行了討論。通過對矩形截面彈性薄壁箱體振動進(jìn)行的實驗測量，對各種理論模型所用簡化假設(shè)的合理性進(jìn)行了驗證。

姚熊亮等[50]從實驗和數(shù)值計算兩個方面，對敷有隔聲去耦材料的水下加筋圓柱殼體振動進(jìn)行討論分析。其實驗地點選擇在大型消音水池進(jìn)行，在實驗中測量了模型在水中的固有頻率（濕模態(tài)），采用的方法是尋找響應(yīng)曲線峰值點所對應(yīng)的頻率值，即共振頻率。

對于浸水結(jié)構(gòu)動力特性的實驗研究相對較少，主要是由于其操作起來很復(fù)雜，如水下的實驗器械選取以及布置安裝等困難；而且其受到實驗條件的影響極大，如用有限的水池模擬無限水域空間以及邊界條件的選取等難題。但是，基于數(shù)值算法的驗證、修正以及問題的發(fā)現(xiàn)和方法的改進(jìn)，這類實驗的開展還是十分有必要的。

3.2 浸水結(jié)構(gòu)聲輻射特性研究現(xiàn)狀

3.2.1 弱耦合作用下的聲輻射問題

對于結(jié)構(gòu)在空氣中（輕流體）的聲輻射問題，一般視之為弱耦合，可忽略耦合作用。但是空氣中結(jié)構(gòu)聲輻射問題的研究方法是研究浸水結(jié)構(gòu)聲輻射問題的基礎(chǔ)，其對于流固耦合聲輻射問題的研究，尤其是對于耦合方程中的質(zhì)量陣，是非常具有借鑒意義的。

利用直接邊界元方法來求解結(jié)構(gòu)在輕流體中的聲輻射問題是比較常用的方法，由于其不用考慮流固耦合的相互作用，可直接利用有限元方法對結(jié)構(gòu)運動方程（2）求解得出結(jié)構(gòu)在空氣中的響應(yīng)，將其作為求解聲輻射問題的已知條件，利用邊界積分公式（6）或（7）變換得到未知變量的方程組后，進(jìn)而利用配點法等對結(jié)構(gòu)聲輻射特性進(jìn)行求解。利用間接邊界元方法來求解結(jié)構(gòu)在輕流體中的聲輻射問題是近年來研究的熱點，若不用考慮流固耦合的相互作用，同樣可直接利用有限元方法對結(jié)構(gòu)運動方程（2）求解得出結(jié)構(gòu)在空氣中的響應(yīng)，將其作為求解聲輻射問題的已知條件，進(jìn)而利用邊界積分公式（10）進(jìn)行變換計算，若聲場滿足Neumann邊界條件則得到邊界積分公式（11），利用公式（11）得到泛函方程（12），應(yīng)用變分原理得到方程（13），進(jìn)而求解結(jié)構(gòu)聲輻射特性。無論是直接或間接邊界元方法其難點之一是對于各類奇異積分的處理。趙翔等[51]首先建立求解自由場中結(jié)構(gòu)體聲輻射的數(shù)學(xué)物理模型，從Helmholtz方程出發(fā)，用加權(quán)余量法推導(dǎo)Helmholtz方程的邊界積分方程，即直接邊界元的Helmholtz邊界積分方程，然后用線性三角形單元離散邊界，得到了邊界積分的數(shù)值計算公式。編制了用于計算任意形狀結(jié)構(gòu)體聲源的三維輻射聲場的程序。對旋轉(zhuǎn)式冰箱壓縮機(jī)的輻射噪聲場進(jìn)行計算，并與實測結(jié)果進(jìn)行了比較。黎勝等[52]采用結(jié)構(gòu)有限元方法和流體邊界元方法建立了輕流體介質(zhì)中復(fù)雜結(jié)構(gòu)振動聲輻射的模態(tài)分析模型，文中以板和加筋板結(jié)構(gòu)的振動聲輻射為例進(jìn)行了模態(tài)分析，并與用遠(yuǎn)場Rayleigh積分計算所得結(jié)果進(jìn)行了比較。研究了激勵力作用位置對板結(jié)構(gòu)聲輻射的影響和加筋板與板的模態(tài)輻射效率特點，并指出板加筋后會改變板的模態(tài)輻射效率規(guī)律。劉洪林[53]詳細(xì)地推導(dǎo)出了對應(yīng)于無限域和半無限域的振動聲輻射問題的邊界積分計算公式，并且比較了聲輻射問題的直接邊界元法和間接邊界元法。利用直接邊界元理論的積分公式處理結(jié)構(gòu)在空氣中的聲輻射問題，其可以對任意形狀的封閉結(jié)構(gòu)進(jìn)行場點聲學(xué)特性的計算，其優(yōu)點也在于此；缺點是其只能解決封閉結(jié)構(gòu)問題，對于開口結(jié)構(gòu)問題不能處理，而且其還存在特征頻率解不唯一問題。文獻(xiàn)[53]涉及到了間接邊界元方法處理結(jié)構(gòu)在空氣中的聲輻射問題，間接邊界元方法優(yōu)點在于可以處理任意形狀封閉結(jié)構(gòu)以及開口結(jié)構(gòu)的聲輻射問題；其缺點是推導(dǎo)較直接邊界元法繁瑣且數(shù)值處理復(fù)雜。

對于可以假定鑲嵌在無限大障板上的結(jié)構(gòu)，直接邊界元的積分公式可以簡化為Rayleigh積分公式（8），利用Rayleigh積分公式處理聲輻射問題的難點同樣是對奇異積分的處理。郭新毅和洪明[54-56]采用結(jié)構(gòu)有限元和流體邊界元（Rayleigh積分）相結(jié)合的方法對損傷結(jié)構(gòu)振動及聲輻射特性建立計算分析數(shù)值模型，得到結(jié)構(gòu)的輻射聲功率和輻射指向性，考慮到不同損傷存在形式，計算分析了損傷對振動頻率、模態(tài)以及輻射聲功率和指向性的影響。文獻(xiàn)[57-61]同樣利用Rayleigh積分公式來處理結(jié)構(gòu)在空氣中的聲輻射問題，這種方法優(yōu)點是其由直接邊界元積分方程簡化而來，積分公式相對簡單，數(shù)值處理也相對簡潔；其缺點在于其只能對于少部分可以假定鑲嵌在無限大障板上的結(jié)構(gòu)進(jìn)行計算。

3.2.2 浸水結(jié)構(gòu)的聲輻射問題

對于結(jié)構(gòu)在流固耦合下的聲輻射，一般研究的是結(jié)構(gòu)在重流體中的強(qiáng)耦合問題，是與浸水結(jié)構(gòu)在流固耦合作用下的振動問題相輔相成的。無論是用那種方法處理結(jié)構(gòu)和流體之間的相互關(guān)系，其最終都?xì)w結(jié)到對于結(jié)構(gòu)表面的聲壓或聲壓差的求解，進(jìn)而計算浸水結(jié)構(gòu)聲功率和聲輻射效率等聲輻射相關(guān)物理量。

對于浸水結(jié)構(gòu)流固耦合作用下的聲輻射問題，如果浸水結(jié)構(gòu)的附加質(zhì)量陣Ma是按照結(jié)構(gòu)有限元耦合流體有限元的理論進(jìn)行研究，其聲輻射的求解可以直接利用有限元原理進(jìn)行研究。不計阻尼影響，結(jié)構(gòu)有限元耦合流體有限元模型（FEM/FEM）的系統(tǒng)運動方程如下：

其中：KS為結(jié)構(gòu)模型的剛度矩陣；MS為結(jié)構(gòu)模型的質(zhì)量矩陣；KC為耦合剛度矩陣；KF為流體模型的剛度矩陣；MS為流體模型的質(zhì)量矩陣；FSi為作用在結(jié)構(gòu)上的激勵力矢量；ui為節(jié)點位移；pi為節(jié)點動壓力，即結(jié)構(gòu)表面聲壓。由于這種方法在單元離散的過程中，隨著計算頻率的升高單元的密度將大大增加，因此科研人員往往利用另一種方式求解，即先求出浸水結(jié)構(gòu)在流體中的振動響應(yīng)，然后再利用所求出的振動響應(yīng)結(jié)合邊界元理論計算出浸水結(jié)構(gòu)的聲輻射特性。

如果浸水結(jié)構(gòu)的附加質(zhì)量陣Ma是按照結(jié)構(gòu)有限元耦合流體邊界元理論（直接或間接）進(jìn)行研究，其聲輻射特性一般是將流體動壓力Fa表示成結(jié)構(gòu)表面聲壓或聲壓差的函數(shù)，即將流體的動壓力Fa用邊界積分方程（6）、（7）、（8）或（10）的形式來表示，進(jìn)而利用結(jié)構(gòu)表面聲壓或聲壓差與結(jié)構(gòu)表面法向振動速度的關(guān)系，以及法向振動速度與結(jié)構(gòu)表面振速及位移的關(guān)系，對耦合方程（15）進(jìn)行處理后聯(lián)立Fa，求解聯(lián)立方程組（18）或（19）得到浸水結(jié)構(gòu)的聲輻射特性。

不計阻尼影響，結(jié)構(gòu)有限元耦合流體直接邊界元模型（FEM/D-BEM）的系統(tǒng)運動方程如下：

其中：LC為耦合矩陣；T為法向速度和位移之間的轉(zhuǎn)換矩陣；Aω（）和Bω（）為直接邊界元影響矩陣。

不計阻尼影響，且滿足單層勢σ=0，則結(jié)構(gòu)有限元耦合流體間接邊界元模型（FEM/I-BEM）的系統(tǒng)運動方程如下：

其中：Qω（）為間接邊界元影響矩陣；ui為節(jié)點雙層勢（壓力跳動量），即結(jié)構(gòu)表面聲壓差。

對于可以假定鑲嵌在無限大障板上的浸水結(jié)構(gòu)，直接邊界元的積分公式（6）或（7）可以簡化為Rayleigh積分公式（8），將簡化后的Rayleigh積分公式變換得到流體動壓力Fa，將Fa代入耦合流體后的結(jié)構(gòu)有限元運動方程（14）進(jìn)而求出方程（15）聯(lián)立Fa，并求解聯(lián)立方程組（18）便可得到浸水結(jié)構(gòu)的聲輻射特性，其難點是有限元和Rayleigh積分方程的耦合以及奇異積分的處理。王其峰[12]利用Hess-Smith源匯方法對浸水結(jié)構(gòu)的附加質(zhì)量陣進(jìn)行了推導(dǎo)，得出考慮流體加載效應(yīng)的結(jié)構(gòu)有限元方程并求解得出解決聲輻射問題的邊界條件。對于流固耦合作用下的聲輻射問題，給出了一般問題的直接邊界元法的Helmholtz積分方程以及鑲嵌在無限大剛性障板上結(jié)構(gòu)的Rayleigh積分方程，并概述了輻射聲功率的多種計算方法。毛程亮[13]對流固耦合聲輻射問題的研究方法及思路與王其峰類似，對半無限空間中的“軟”“硬”邊界進(jìn)行了介紹。施衛(wèi)華[19]利用Rayleigh積分方法對浸水結(jié)構(gòu)的附加質(zhì)量陣進(jìn)行了推導(dǎo)，得出了考慮流體加載效應(yīng)的結(jié)構(gòu)有限元方程，并求解得出四邊簡支板的振動響應(yīng)。對于流固耦合作用下的聲輻射問題，其將四邊簡支板假設(shè)為鑲嵌在無限大剛性障板上的結(jié)構(gòu)，利用Rayleigh積分方程結(jié)合之前求解的振動響應(yīng)得到了板在空氣中和可壓縮流體中的聲輻射特性。文獻(xiàn)[71-72，74，83-85]同樣利用Rayleigh積分公式來處理浸水結(jié)構(gòu)的聲輻射問題，這種方法優(yōu)點在于積分公式相對簡單，數(shù)值處理也較直接邊界元方法簡潔，缺點在于其只能對于少部分可以假定鑲嵌在無限大障板上的單面浸水結(jié)構(gòu)進(jìn)行計算。

對于單面浸水的封閉式結(jié)構(gòu)，將直接邊界元的積分公式（6）或（7）變換得到流體動壓力Fa，將Fa代入耦合流體后的結(jié)構(gòu)有限元運動方程（14）得到方程（15）并聯(lián)立Fa求解聯(lián)立方程組（18）便可得到浸水結(jié)構(gòu)的聲輻射特性，其難點在于非對稱耦合矩陣以及奇異積分的處理。鄒元杰和趙德有[43]利用結(jié)構(gòu)有限元和流體直接邊界元理論，建立耦合振動方程，并結(jié)合淺水域的聲學(xué)邊界條件，研究了水深對聲輻射的影響。其對方箱結(jié)構(gòu)聲輻射進(jìn)行數(shù)值計算后，得出的方箱結(jié)構(gòu)在淺水中的聲輻射功率等計算結(jié)果表明：淺水中的結(jié)構(gòu)聲輻射特性對水深有較強(qiáng)的依賴性。韓峰和閆桂榮等[45]利用LMS virtual lab中的Acoustic BEM模塊實現(xiàn)了圓錐殼結(jié)構(gòu)FEM/BEM聲振耦合模型的仿真計算，基于結(jié)構(gòu)聲振耦合響應(yīng)的計算求解結(jié)果，得到了所關(guān)心位置處的聲壓級，并將其與混響噪聲實驗測量結(jié)果進(jìn)行比較，驗證了結(jié)構(gòu)聲振耦合計算的正確性和合理性。沈順根等[63]利用結(jié)構(gòu)有限元耦合流體邊界元，將結(jié)構(gòu)有限元和修正的Helmholtz邊界積分方程結(jié)合，建立了一種求解結(jié)構(gòu)聲輻射及物面動響應(yīng)的矩陣分析方法。其對于流體的處理主要是利用直接邊界元的基本原理來進(jìn)行的。俞孟薩等[64]根據(jù)彈性結(jié)構(gòu)振動和聲輻射理論，采用結(jié)構(gòu)有限元和流體邊界元，系統(tǒng)地分析了水下運動體典型結(jié)構(gòu)—有限長彈性加肋圓柱殼振動、耦合振動和聲輻射的相似性，在公式推導(dǎo)的過程中強(qiáng)調(diào)了結(jié)構(gòu)阻尼和流體負(fù)載的作用。崔宏武和趙德有等[73]對水下三維彈性結(jié)構(gòu)振動的聲輻射問題進(jìn)行了流體—結(jié)構(gòu)聲耦合振動的數(shù)值計算。對結(jié)構(gòu)部分采用有限元法（FEM），流體部分采用直接邊界元法（D-BEM），推導(dǎo)并給出了基于流體直接邊界元法和結(jié)構(gòu)有限元方法協(xié)調(diào)的流體結(jié)構(gòu)聲耦合振動聯(lián)立方程式，并討論了其求解思路。文中著重研究了邊界元法中矩陣元素的數(shù)值計算，編制了相應(yīng)的計算機(jī)程序，利用脈動球算例驗證了本文方法的正確性。文獻(xiàn)[75-76，79-81]同樣利用直接邊界元理論的積分公式處理浸水結(jié)構(gòu)的聲輻射問題，其優(yōu)點在于其可以解決任意形狀單面浸水封閉結(jié)構(gòu)的聲輻射問題；其缺點在于求解運動方程（15）和Fa聯(lián)立方程組的時候無論是對于非對稱矩陣的存儲還是對非對稱矩陣方程的求解都存在較大的困難，而且其不能處理開口結(jié)構(gòu)問題。

對于雙面浸水的封閉式結(jié)構(gòu)或開口結(jié)構(gòu)，將間接邊界元的積分公式（10）變換得到流體動壓力Fa，將Fa代入耦合流體后的結(jié)構(gòu)有限元運動方程（14）得到方程（15）聯(lián)立Fa，并求解聯(lián)立方程組（19）便可得到雙面浸水浸水結(jié)構(gòu)的聲輻射特性。其難點在于有限元和間接邊界積分方程的耦合以及超奇異積分或超奇異積分轉(zhuǎn)化后的雙層弱奇異積分的處理。徐張明和華宏星等[42]將有限元和間接邊界元結(jié)合得到聲振耦合方程，進(jìn)而計算相應(yīng)的輻射聲場。其對一水下受均布諧載荷的球殼進(jìn)行數(shù)值計算來驗證其方法的正確性，分別得到了球殼在空氣中和水中的輻射聲壓、輻射聲功率和輻射效率。這種方法的最大優(yōu)點是可以同時計算結(jié)構(gòu)表面振動和輻射聲場，而且適用于任意復(fù)雜結(jié)構(gòu)。魏建輝和陳美霞等[46]基于結(jié)構(gòu)有限元和流體間接邊界元方法（FEM/I-BEM）研究了雙層圓柱殼的振動及聲輻射，并與解析法及目前常用的數(shù)值算法：結(jié)構(gòu)有限元耦合結(jié)構(gòu)有限元，結(jié)構(gòu)有限元耦合直接邊界元方法進(jìn)行了對比，驗證了本方法的正確性。指出了結(jié)構(gòu)有限元和流體間接邊界元計算方法可以很好地用于解決水下雙層圓柱殼的振動及聲輻射問題。利用間接邊界元方法處理浸水結(jié)構(gòu)的聲輻射問題，其優(yōu)點在于可以處理任意形狀雙面浸水的封閉結(jié)構(gòu)以及開口結(jié)構(gòu)的聲輻射問題，而且其得到的耦合矩陣是對稱陣，對于矩陣的存儲可以節(jié)省內(nèi)存空間，并且對稱矩陣方程的求解較非對稱矩陣方程容易求解；其缺點是推導(dǎo)過程繁瑣復(fù)雜，較直接邊界元在奇異積分等數(shù)值處理上更為困難。綜上可見，無論是Rayleigh積分公式、直接邊界元法還是間接邊界元法，其都可以有效地結(jié)合有限元方法，將結(jié)構(gòu)模擬為有限元處理，將流體降維利用邊界元來處理，進(jìn)而直接求解流固耦合運動方程。

姚熊亮等[32，50]對雙殼體結(jié)構(gòu)的聲輻射特性進(jìn)行了研究，其主要是將有限元軟件ANSYS建模并計算的浸水雙殼體的振動響應(yīng)帶入到了聲學(xué)軟件SYSNOISE利用其直接邊界元計算模塊來計算浸水雙殼體的振動特性。文獻(xiàn)[33-35，38，40，62，65-70，77-78，82]同樣論述了利用有限元軟件ANSYS結(jié)合SYSNOISE來建立浸水結(jié)構(gòu)模型，對其聲輻射特性進(jìn)行數(shù)值計算，該方法已用于單層、雙層環(huán)肋增強(qiáng)圓柱殼等浸水結(jié)構(gòu)的聲輻射特性計算，此方法優(yōu)點是可用于任意復(fù)雜浸水結(jié)構(gòu)的聲輻射特性分析；缺點是其有限元和邊界元的計算是分開進(jìn)行的，其存在將有限元的計算結(jié)果導(dǎo)入邊界元程序的復(fù)雜過程，而且其將流體截斷為有限元進(jìn)行處理，若要得到較精確結(jié)果其計算單元和節(jié)點會較多進(jìn)而計算量會較大。

3.2.3 關(guān)于直/間接邊界元方法解的非唯一性問題

聲輻射問題一般采用Helmholtz微分方程在邊界條件下形成的定解方程來描述，其解具有唯一性，但是一旦采用Helmholtz邊界積分方程對上述定解方程進(jìn)行求解，在某些波數(shù)（以結(jié)構(gòu)封閉表面為界的內(nèi)部Dirichlet問題的特征頻率）處就會出現(xiàn)非唯一性的現(xiàn)象，產(chǎn)生非唯一性的原因是由于在這些波數(shù)處，解的邊界積分表述與原問題之間不存在對等性。

對于特征頻率處解的非唯一性問題，有兩種最具有代表性的方法，一種1968年Schenck年提出的CHIEF方法（Combined Helmholtz Integral Equation Formulation），另一種是1971年Burton與Miller提出的Burton-Miller法。眾多其它的方法都是在這兩種方法的基礎(chǔ)上對其進(jìn)行改進(jìn)而進(jìn)行的。施衛(wèi)華[19]對于無限域自由場中的三維封閉彈性體結(jié)構(gòu)，采用直接邊界元法計算結(jié)構(gòu)的聲輻射。利用CHIEF法解決特征頻率處解不唯一的問題。文獻(xiàn)[67，69]同樣采用了CHIEF法解決Helmholtz積分方程解的非唯一性問題。文獻(xiàn)[89-92]同樣利用CHIEF方法處理特征頻率處解不唯一的問題，其優(yōu)點在于，不在非常高的激勵頻率下，CHIEF點的選取并不困難，只要有一個CHIEF點有效，CHIEF方法就有效；其缺點在于，在高頻情形下，由于此時振型十分密集，節(jié)點的密度大大增加，CHIEF點的選取在振型節(jié)點上的概率也大大增加，選取合適的CHIEF點也更加困難。文獻(xiàn)[86-88]所使用的內(nèi)部Helmholtz方程關(guān)于內(nèi)點坐標(biāo)取導(dǎo)后構(gòu)成補(bǔ)充方程式方法與CHIEF方法相比較，能更有效地處理特征頻率處解不唯一的問題。

蔣偉和何正耀等[93]應(yīng)用了一種無界聲媒質(zhì)空間中任意形狀輻射體輻射聲場的新方法—綜合H-elmholtz積分公式法（Synthetic Helmholtz Integral Equation Formulation,SHIEF）。其推導(dǎo)是基于直接邊界元理論的，主要解決了當(dāng)輻射體的振動頻率等于或接近其特征頻率時，聲輻射出現(xiàn)奇異解的問題。該方法將關(guān)于輻射體的內(nèi)部、表面和外部Helmholtz積分方程有機(jī)地組合在一起，在已知輻射體表面法向振速的條件下，求出輻射體表面的聲壓分布，進(jìn)而求得其輻射聲場分布。該方法將外部、表面以及內(nèi)部Helmholtz積分方程有機(jī)地結(jié)合起來，減少了對輻射體內(nèi)部點的依賴，并且充分利用內(nèi)外輻射聲場的信息，克服了CHIEF法內(nèi)部點選取的困難和超定外部Helmholtz積分公式法在特征頻率處和高頻段收斂速度慢以及所需外點數(shù)多的缺點。

3.2.4 關(guān)于直/間接邊界元奇異積分的處理

不論是直接邊界元理論的Helmholtz積分方程還是間接邊界元理論的Helmholtz積分方程，亦或是直接邊界元理論的Helmholtz積分方程的特殊形式Rayleigh積分方程，都存在奇異積分的問題，對于奇異積分的處理是解決Helmholtz積分方程或Rayleigh積分方程的重中之重也是難點所在。奇異積分根據(jù)邊界歸化的途徑不同，可能有三種類型：弱奇異O）；Cauchy型奇異O）；超奇異。超奇異積分又稱為Hadamard型奇異積分，其具有比Cauchy型奇異積分更高階的奇異性，根據(jù)經(jīng)典微積分學(xué)的概念，Hadamard型奇異積分是發(fā)散且沒有意義的，無法用經(jīng)典的數(shù)值積分公式計算出其具有一定精度的近似值，它們只有在Cauchy主值意義下才存在，邊界元法中的Hadamard型奇異積分實際上是其有限部分。

對于弱奇異積分的研究，劉連海[10]對于Rayleigh積分中弱奇異積分的處理利用的是退化單元的方法。對于四邊形單元，其將四邊形單元分解為若干三角形單元，對含奇異點的三角形單元進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換以消除奇異性?？卤妥T林森等[61]對于直接邊界元法存在的奇異性問題，借助于引進(jìn)退化單元，將三角形單元再分成三個三角形單元進(jìn)行處理，解決了基本解的弱奇異性問題。楊勇[69]在處理基于表面的Rayleigh積分方程的弱奇異積分時，對于4節(jié)點線性單元，其引入了退化元消除了單元上的積分奇異性。黎勝等[90]對于直接邊界元Helmholtz積分方程的積分奇異性處理，采用三角形斜坐標(biāo)系、退化單元方法。對于線性三角形單元采用三角形斜坐標(biāo)系來消除積分奇異性；對于四邊形線性元和四邊形二次元采用退化元來消除積分奇異性。李宏偉和文立華等[100]提出了采用三角形或四邊形改進(jìn)的二次插值函數(shù)，并結(jié)合局部極坐標(biāo)變換或引入退化單元的方法，解決了任意三維非光滑結(jié)構(gòu)表面聲學(xué)計算邊界元法中的奇異積分問題。其采用的三角形單元為六節(jié)點三角形單元，四邊形單元為八節(jié)點四邊形單元，但是其插值函數(shù)并非一般常見的二次插值函數(shù)，而是改進(jìn)的二次差值函數(shù)。其所說的退化單元，是將三角形或四邊形單元分為兩個子單元來進(jìn)行奇異積分的計算。利用退化單元的方法來解決奇異積分問題，其優(yōu)點是對于處理弱奇異積分是非常有效的；缺點是其不能對高階奇異積分進(jìn)行處理，且對于單元的形狀也有一定要求。

劉洪林[53]指出對于弱奇異積分的數(shù)值計算，目前最有效的處理方法是極坐標(biāo)變換法；對于強(qiáng)奇異積分，可以首先將其變換為主值積分和奇點自由項的組合，然后通過適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)變換（如配項處理、坐標(biāo)變換等）將其降奇后再進(jìn)行求解，而且由于這種強(qiáng)奇性積分顯然都位于系數(shù)矩陣的對角線上，因而利用物理學(xué)中的均勻場的概念，可以間接地對強(qiáng)奇性積分進(jìn)行求解。李小明[67]是基于直接邊界元理論的Helmholtz積分方程來求解聲輻射問題，其采用極坐標(biāo)法消除四邊形線性元中的弱奇異積分。趙鍵和汪鴻振等[86]在解決直接邊界元的Helmholtz積分方程的奇異積分方面，提出了在奇異點附近的積分區(qū)域，利用極坐標(biāo)變換消除積分的奇異性，將奇異積分變?yōu)楸环e函數(shù)無奇異點的普通積分來處理，并給出了表面Helmholtz方程、CHIEF及該文方法處理與不處理奇異積分的比較結(jié)果，得出經(jīng)該文介紹的辦法處理奇異積分后，各方法的計算誤差減小了一個數(shù)量級。利用極坐標(biāo)變化的方法來解決奇異積分問題，這種方法較退化單元法在處理弱奇異積分在積分變換方面更有效，但是其缺點同樣是不能處理高階奇異積分問題。

程昊等[58]對于直接邊界元法所涉及的奇異積分處理，采用替換點法，其基本思路是在奇異點周圍，不連續(xù)常單元內(nèi)選擇適當(dāng)?shù)膸讉€點，分別將這些點看作新的源點，通過采用高斯積分方法計算這些新源點與原奇異點，即場點之間的系數(shù)值，用這些選定的奇異點周圍的點代替奇異點計算積分值，然后將所有替換點所求得的值取平均值用以代替原奇異點處的值。這種方法在處理弱奇異積分時，可以在一定程度上減少計算量。

對于Cauchy奇異積分的處理，朱春浩和譚林森[95]對于直接邊界元法應(yīng)用于計算流固耦合問題時的弱奇異積分以及Cauchy奇異積分問題進(jìn)行討論，尤其是對于二次奇異積分問題的處理進(jìn)行了詳細(xì)的推導(dǎo)和證明，并以八節(jié)點曲邊單元為例討論了二次奇異積分的處理方式。孫亮和滕斌等[97]對于弱奇異積分進(jìn)行了研究，對源點附近的單元即存在弱奇異積分的單元進(jìn)行細(xì)分，從而改變計算區(qū)域上高斯積分點的分布。就是說在弱奇異積分點附近進(jìn)行積分點加密，對于遠(yuǎn)離弱奇異積分點的積分使積分點分布稀疏一些。張秀珍[98]對于彈性問題的三維邊界積分方程中的弱奇異積分和Cauchy奇異積分進(jìn)行了討論，提出利用線性位移函數(shù)消除弱奇異因子；用剛體位移原理消除Cauchy奇異因子，避免了強(qiáng)奇異因子向弱奇異因子轉(zhuǎn)化計算效率低的問題。趙志高和黃其柏[99]提出了一種非等參單元的四邊形坐標(biāo)變換，其將積分的曲面單元映射為另一四邊形單元，通過兩次坐標(biāo)變換引入的雅可比行列式可以消除Helmholtz聲學(xué)邊界積分方程中的弱奇異型積分，利用?R/?n以及坐標(biāo)變換可以同時消除坐標(biāo)變換無法消除的Cauchy型奇異積分。李小瑜和傅志方[101]對邊界積分方程和邊界元技術(shù)計算結(jié)構(gòu)的穩(wěn)態(tài)外輻射聲場的方法進(jìn)行了研究，對邊界元方法所固有的奇異數(shù)值積分給出了處理方法，對于弱奇異積分其通過線性變換來進(jìn)行處理，對于Cauchy奇異積分的處理則是給出了利用離散后得到的線性方程組的特點來進(jìn)行處理。

對于超奇異積分的處理，閆再友等[89，96]在利用復(fù)合Helmholtz積分方程時，由于引入了表面Helmholtz積分方程的法向?qū)?shù)方程，所以導(dǎo)致了其積分算子中存在超奇異積分，其利用正則化關(guān)系式將超奇異積分算子降為弱奇異積分，然后對弱奇異積分進(jìn)行處理，從而解決超奇異積分計算的困難。其優(yōu)點在于可以直接快速地求出超奇異積分算子所對應(yīng)的系數(shù)矩陣。董春迎和姚振漢等[94]對邊界積分方程中存在的超奇異積分的數(shù)值解法作了介紹，其分別介紹了分部積分法、Stokes理論、散度理論、Guiggiani法和Kutt法等9種處理超奇異積分方法，文中雖然只針對于彈性問題的奇異積分方程的奇異積分進(jìn)行具體描述，但是對間接邊界元的Helmholtz積分方程的超強(qiáng)奇異積分處理是可以借鑒的。

在一般情況下，利用間接邊界元方法解Helmholtz積分方程，其超奇異積分的處理都是轉(zhuǎn)化成為雙層弱奇異積分來進(jìn)行的，只是這種雙層弱奇異積分的處理較直接邊界元涉及到的弱奇異積分的處理更為困難，而且這種奇異積分問題處理是否得當(dāng)是決定間接邊界元方法計算是否準(zhǔn)確的核心因素之一，國內(nèi)對于這類問題的研究非常少。

3.3 浸水結(jié)構(gòu)振動及聲輻射特性工程問題的一些處理方法

對于浸水結(jié)構(gòu)在流固耦合作用下振動及聲輻射特性的實際工程問題來說，其研究的結(jié)構(gòu)往往是復(fù)雜的而且相對尺寸是非常龐大的，現(xiàn)階段研究人員一般較為常用的處理方法是直接利用有限元商業(yè)軟件進(jìn)行結(jié)構(gòu)和流體的建模，基于圣維南原理將無限域流體簡化為有限域流體，利用其內(nèi)部的求解器進(jìn)行浸水結(jié)構(gòu)振動特性的求解。

童宗鵬和王國治[48]以艦艇結(jié)構(gòu)振動與噪聲預(yù)報為研究背景，采用有限元方法利用有限元軟件ANSYS對艦艇的干模型進(jìn)行研究，通過有限元模態(tài)計算和模態(tài)試驗對理論計算模型進(jìn)行修正，確定艦艇干模型的參數(shù)；在該工作的基礎(chǔ)上，建立艦艇的流固耦合模型，模擬激振力施加在發(fā)動機(jī)上，進(jìn)行流固耦合計算，得到艦艇外層殼體表面節(jié)點的位移。徐張明和華宏星等[102]利用有限元軟件ANSYS計算船舶結(jié)構(gòu)與水下聲場的耦合振動，其在研究的過程中利用ANSYS軟件建立了水下船舶振動的有限元模型，并計算了模型的濕模態(tài)以及在動力系統(tǒng)中模擬的激勵源作用下的船舶殼板振動響應(yīng)，其船體結(jié)構(gòu)和流體都是利用有限元單元來進(jìn)行模擬的?；趯Y(jié)構(gòu)振動特性的計算，將計算得到的外殼面上的振動速度作為聲場計算的邊界條件，利用邊界元軟件SYSNOISE計算聲學(xué)物理量。該文的方法為解決大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)的耦合聲振預(yù)報提供了一個典型的實例。文獻(xiàn)[103-105]同樣利用有限元軟件ANSYS等結(jié)合邊界元軟件SYSNOISE等計算實際工程浸水結(jié)構(gòu)流固耦合振動及聲輻射特性問題，這種方法需要分別對流體和結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元的單元劃分，該方法已用水下工程結(jié)構(gòu)物以及水面艦艇的動力特性計算，此方法優(yōu)點是可用于任意復(fù)雜實際工程浸水結(jié)構(gòu)振動及聲輻射特性分析；缺點是由于其流體區(qū)域的有限元劃分存在截斷誤差，若需要得到較為精確的計算結(jié)果，往往單元劃分得會比較多且比較精細(xì)，進(jìn)而計算量會非常大。而且在計算聲輻射特性時需要將有限元的計算結(jié)果導(dǎo)入邊界元軟件中，操作較繁瑣。

4 結(jié)語

對國內(nèi)相關(guān)文獻(xiàn)進(jìn)行分類總結(jié)后，關(guān)于浸水結(jié)構(gòu)振動及聲輻射特性研究現(xiàn)狀有如下觀點：

（1）基于FEM/FEM的浸水結(jié)構(gòu)流固耦合振動特性的研究，相對于其他研究方法在一些領(lǐng)域較為成熟，但是其缺點也比較明顯，即對于無限流體域的截斷誤差和對于三維流體域的計算量較大等；

（2）基于FEM/D-BEM的浸水結(jié)構(gòu)流固耦合振動特性的研究發(fā)展相對較FEM/I-BEM在某些領(lǐng)域的研究發(fā)展要成熟一些，但其本身仍存在一些局限。如基于直接邊界元理論推導(dǎo)得出的附加質(zhì)量矩陣是非對稱的滿陣，在求解廣義特征方程的過程中存在一定的困難；不適用于開口結(jié)構(gòu)的研究等；

（3）基于FEM/I-BEM的浸水結(jié)構(gòu)流固耦合振動特性的研究，優(yōu)點是基于間接邊界元推導(dǎo)得出的附加質(zhì)量陣是對稱的滿陣，在解決廣義特征方程的過程中比D-BEM更有優(yōu)勢，適用于開口結(jié)構(gòu)的研究等。但是由于其存在超奇異積分等特點，同樣給問題的解決帶來很大困難；

（4）對于實際工程中重流體中低頻振動結(jié)構(gòu)附加質(zhì)量的計算，尤其是船舶的附加質(zhì)量的公式估算，本文雖沒過多涉及，但其無疑是科研和工程設(shè)計人員感興趣的。Korotkin[106]對船舶及相關(guān)構(gòu)件附加質(zhì)量系統(tǒng)地給出了適合工程實際的簡便算法，包括各種船舶結(jié)構(gòu)在多種條件下（如固壁附近和自由表面附近等）的附加質(zhì)量計算公式，為設(shè)計提供了簡單實用方法；

（5）對于浸水結(jié)構(gòu)的聲輻射問題，利用FEM/D-BEM方法，無論是在解決其特征頻率處解的非唯一性問題還是非超奇異積分的問題已經(jīng)有一些相對有效的處理辦法；但對I-BEM在解決某些問題時其積分方程涉及到超奇異積分問題，解決的方法相對于直接邊界元解決非超奇異積分的方法還是少一些；

（6）無論是實驗驗證還是試驗研究，對于結(jié)構(gòu)流固耦合振動特性問題都相對較少；對于結(jié)構(gòu)在流固耦合作用下的聲輻射方面的實驗驗證及試驗研究，由于其操作起來更加困難，所以這方面的工作要更少一些。故對于這兩方面的研究還有待深入發(fā)展；

（7）雖然對結(jié)構(gòu)聲輻射靈敏度問題目前有些研究[58-60]，但是對于浸水結(jié)構(gòu)聲輻射靈敏度問題還是鮮有研究；

（8）對于本文所涉及的相關(guān)流固耦合振動及聲輻射特性問題的文章，按照處理結(jié)構(gòu)和流體耦合時的三種不同的方法：FEM/FEM、FEM/D-BEM和FEM/I-BEM進(jìn)行分類。從圖5可以看出對于FEM/IBEM的研究相對較少；

（9）對于本文所涉及的相關(guān)流固耦合振動及聲輻射特性問題的文章，按照處理聲輻射問題的兩種不同的方法：D-BEM和I-BEM進(jìn)行分類。從圖6可以看出對于I-BEM的研究相對較少；

（10）對于本文所涉及的相關(guān)流固耦合振動及聲輻射特性問題的文章，按照數(shù)值模擬方法的兩種不同途徑分類，圖7表明文章基于計算機(jī)編程研究要多于基于商業(yè)軟件計算；

（11）對于本文所涉及的相關(guān)流固耦合振動及聲輻射特性問題的文章，覆蓋的年代范圍是1985年到2011年，其年份分布如圖8所示。

圖5 文章分類：按照處理結(jié)構(gòu)和流體耦合問題時的三種方法Fig.5 Paper categories:According to the threemethods of processing fluid and structure coupling problem

圖6 文章分類：按照處理聲輻射問題的兩種方法Fig.6 Paper categories:According to the twomethods of processing acoustic radiation problem

圖7 文章分類：按照數(shù)值模擬方法的兩種不同途徑Fig.7 Paper categories:According to the two ways of numerical simulationmethod

圖8 文章分類：按年份分布Fig.8 Paper categories:According to the chronology

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WANG Zhenga,HONGMinga,b,LIU Chenga
(a.School of Naval Architecture Engineering;b.State Key Laboratory of Structure Analysis for Industrial Equipment, Dalian University of Technology,Dalian 116024,China)

This paper summarizes the papers about the submerged structure vibration and acoustic radiation characteristics based on FEM or FEM/BEM published in China,emphasizes the numerical simulation on fluid,reviews and analyses the domestic research about the vibration characteristics of fluid-structure coupling,the acoustic radiation ofweak and strong coupling and the non-uniqueness and singularity problems of D-BEM and I-BEM,summarizes the research and the least development about the submerged structure vibration and acoustic radiation characteristics,and provides some reference to other researcherswho study the submerged structure vibration and acoustic radiation characteristics.

FEM;DBEM;IBEM;fluid-structure coupling;acoustic radiation;non-uniqueness;singularity

O326

A

10.3969/j.issn.1007-7294.2014.11.015

1007-7294（2014）11-1397-18

2014-06-05

國家自然科學(xué)基金資助項目（51079027）

王崢（1987-），男，碩士研究生，E-mail：zhwang@yahoo.cn；洪明（1959-），男，大連理工大學(xué)船舶工程學(xué)院教授，E-mail：mhong@dlut.edu.cn。