李國(guó)東

二元一次方程組的解法是學(xué)生必須掌握的一項(xiàng)基本技能，解題時(shí)應(yīng)教會(huì)學(xué)生仔細(xì)觀察題目的特點(diǎn)，抓住方程的結(jié)構(gòu)特征或某種規(guī)律，聯(lián)想不同的解題方法和技巧.通常情況下，有的教師總認(rèn)為只有通過(guò)重復(fù)，機(jī)械的練習(xí)才能獲得這一技能.而重復(fù)機(jī)械的練習(xí)常常使學(xué)生覺(jué)得枯燥乏味，反而影響了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)態(tài)度與情感.怎樣才能讓學(xué)生更好地學(xué)習(xí)與掌握這一基本技能，并在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展呢？

在學(xué)生們學(xué)完了用代入消元法、加減消元法解二元一次方程組后，我進(jìn)行了一次大膽的嘗試.

上課鈴響了，我一如既往地走進(jìn)教室：“同學(xué)們，上面我們學(xué)習(xí)了二元一次方程組的解法.今天我們來(lái)上一節(jié)復(fù)習(xí)課.”一聽(tīng)是復(fù)習(xí)課，學(xué)生立刻缺少了往日的熱情.

“解二元一次方程組的基本思路是什么？”

“消……元……”幾個(gè)學(xué)生懶洋洋地回答道.這時(shí)，我在幻燈片上展出解方程組

3x+4y=10 ①12x-9y=15 ②

稍做停頓，我靈機(jī)一動(dòng)：“今天，我們只解一道題.”

話(huà)音剛落，許多學(xué)生都驚奇地抬起了頭.看來(lái)這出其不意的一招奏效了.

“咳，這個(gè)簡(jiǎn)單……我來(lái)做，我來(lái)做.”學(xué)生甲舉起了手.于是他順理成章地上了講臺(tái).他用的是加減法.

解法1：①×4得：12x+16y=40③

③-②得：25y=25，y=1，將y=1代入①，求得x=2，

∴方程組的解為

x=2y=1

緊接著，我問(wèn)：“這個(gè)題目還有沒(méi)有其他方法呢？”“有，代入法.”學(xué)生乙大聲說(shuō).既而，響起了更多的唏噓聲：“麻煩死了……”我決定支援一下乙：“用代入法可不可以解？”這回，唏噓聲輕了些：“可以是可以，就是麻煩.”“那你有沒(méi)有辦法使它簡(jiǎn)單一點(diǎn)呢？”我笑著追問(wèn).“哦！我知道了……”“乙，你知道什么了？”

解法2：“因?yàn)榈?個(gè)方程中x的系數(shù)是第1個(gè)方程中x的系數(shù)的4倍，故用整體代入法，將3x看做一個(gè)整體.由①得3x=10-4y代入②從而得解.”

“對(duì)呀，我怎么沒(méi)想到……”這時(shí)有些學(xué)生懊惱，有些學(xué)生羞愧，有些學(xué)生羨慕.

“學(xué)生們唧唧喳喳地討論開(kāi)了.從他們滿(mǎn)意的神情中，我看出了他們還是很愿意接受挑戰(zhàn)的.幾分鐘后，學(xué)生們開(kāi)始陳述自己的觀點(diǎn).

解法3：將3x+4y看做一個(gè)整體

將②代為12x+16y-25y=15

4（3x+4y）-25y=15

∵①為3x+4y=10整體代入上式

4×10-25y=15由此得解y=1

這是一種巧妙的換元.

解法4：觀察方程②，化為4x-3y=5 ③

3x+4y=10 ①4x-3y=5 ③

①×3+③×4

得25x=50 x=2

雖然沒(méi)有比上述各解法簡(jiǎn)單，巧妙，但這是解此類(lèi)方程組的常規(guī)方法.

解法5：觀察方程②，化為4x-3y=5 ③

3x+4y=10 ①4x-3y=5 ③

①+③得7x+y=15由此代為y=15-7x代入①求解.

這種代入非常巧妙，他構(gòu)造了一個(gè)系數(shù)為1的元，看來(lái)不能小瞧學(xué)生的潛力.由這種解法我想到了一種系數(shù)呈輪換對(duì)稱(chēng)的方程組.于是給出了一個(gè)變式：

解方程組：

3x+4y=10 ①4x-3y=5 ②

引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察系數(shù)的特殊性，介紹了解決此類(lèi)方程組的特殊技巧.

①+②得：x+y=■ ③

②-①得：x-y=-5 ④

聯(lián)立③④，解得方程組.

此時(shí)學(xué)生很興奮.

于是我不失時(shí)機(jī)地讓學(xué)生進(jìn)行歸納總結(jié)：“不同的方法可以達(dá)到殊途同歸的效果，如何根據(jù)方程組的特點(diǎn)選擇恰當(dāng)?shù)姆椒兀恳鈱?duì)一道方程組，又有哪些重要因素呢？”學(xué)生們情緒高漲，七嘴八舌地講了很多.

數(shù)學(xué)是一門(mén)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，由于它的學(xué)科特點(diǎn)，學(xué)生往往覺(jué)得數(shù)學(xué)課困難、枯燥、乏味.因此，在教學(xué)中如何引起學(xué)生的共鳴是每個(gè)老師應(yīng)該深思熟慮的一個(gè)問(wèn)題.

責(zé)任編輯羅峰e(cuò)ndprint

二元一次方程組的解法是學(xué)生必須掌握的一項(xiàng)基本技能，解題時(shí)應(yīng)教會(huì)學(xué)生仔細(xì)觀察題目的特點(diǎn)，抓住方程的結(jié)構(gòu)特征或某種規(guī)律，聯(lián)想不同的解題方法和技巧.通常情況下，有的教師總認(rèn)為只有通過(guò)重復(fù)，機(jī)械的練習(xí)才能獲得這一技能.而重復(fù)機(jī)械的練習(xí)常常使學(xué)生覺(jué)得枯燥乏味，反而影響了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)態(tài)度與情感.怎樣才能讓學(xué)生更好地學(xué)習(xí)與掌握這一基本技能，并在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展呢？

在學(xué)生們學(xué)完了用代入消元法、加減消元法解二元一次方程組后，我進(jìn)行了一次大膽的嘗試.

上課鈴響了，我一如既往地走進(jìn)教室：“同學(xué)們，上面我們學(xué)習(xí)了二元一次方程組的解法.今天我們來(lái)上一節(jié)復(fù)習(xí)課.”一聽(tīng)是復(fù)習(xí)課，學(xué)生立刻缺少了往日的熱情.

“解二元一次方程組的基本思路是什么？”

“消……元……”幾個(gè)學(xué)生懶洋洋地回答道.這時(shí)，我在幻燈片上展出解方程組

3x+4y=10 ①12x-9y=15 ②

稍做停頓，我靈機(jī)一動(dòng)：“今天，我們只解一道題.”

話(huà)音剛落，許多學(xué)生都驚奇地抬起了頭.看來(lái)這出其不意的一招奏效了.

“咳，這個(gè)簡(jiǎn)單……我來(lái)做，我來(lái)做.”學(xué)生甲舉起了手.于是他順理成章地上了講臺(tái).他用的是加減法.

解法1：①×4得：12x+16y=40③

③-②得：25y=25，y=1，將y=1代入①，求得x=2，

∴方程組的解為

x=2y=1

緊接著，我問(wèn)：“這個(gè)題目還有沒(méi)有其他方法呢？”“有，代入法.”學(xué)生乙大聲說(shuō).既而，響起了更多的唏噓聲：“麻煩死了……”我決定支援一下乙：“用代入法可不可以解？”這回，唏噓聲輕了些：“可以是可以，就是麻煩.”“那你有沒(méi)有辦法使它簡(jiǎn)單一點(diǎn)呢？”我笑著追問(wèn).“哦！我知道了……”“乙，你知道什么了？”

解法2：“因?yàn)榈?個(gè)方程中x的系數(shù)是第1個(gè)方程中x的系數(shù)的4倍，故用整體代入法，將3x看做一個(gè)整體.由①得3x=10-4y代入②從而得解.”

“對(duì)呀，我怎么沒(méi)想到……”這時(shí)有些學(xué)生懊惱，有些學(xué)生羞愧，有些學(xué)生羨慕.

“學(xué)生們唧唧喳喳地討論開(kāi)了.從他們滿(mǎn)意的神情中，我看出了他們還是很愿意接受挑戰(zhàn)的.幾分鐘后，學(xué)生們開(kāi)始陳述自己的觀點(diǎn).

解法3：將3x+4y看做一個(gè)整體

將②代為12x+16y-25y=15

4（3x+4y）-25y=15

∵①為3x+4y=10整體代入上式

4×10-25y=15由此得解y=1

這是一種巧妙的換元.

解法4：觀察方程②，化為4x-3y=5 ③

3x+4y=10 ①4x-3y=5 ③

①×3+③×4

得25x=50 x=2

雖然沒(méi)有比上述各解法簡(jiǎn)單，巧妙，但這是解此類(lèi)方程組的常規(guī)方法.

解法5：觀察方程②，化為4x-3y=5 ③

3x+4y=10 ①4x-3y=5 ③

①+③得7x+y=15由此代為y=15-7x代入①求解.

這種代入非常巧妙，他構(gòu)造了一個(gè)系數(shù)為1的元，看來(lái)不能小瞧學(xué)生的潛力.由這種解法我想到了一種系數(shù)呈輪換對(duì)稱(chēng)的方程組.于是給出了一個(gè)變式：

解方程組：

3x+4y=10 ①4x-3y=5 ②

引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察系數(shù)的特殊性，介紹了解決此類(lèi)方程組的特殊技巧.

①+②得：x+y=■ ③

②-①得：x-y=-5 ④

聯(lián)立③④，解得方程組.

此時(shí)學(xué)生很興奮.

于是我不失時(shí)機(jī)地讓學(xué)生進(jìn)行歸納總結(jié)：“不同的方法可以達(dá)到殊途同歸的效果，如何根據(jù)方程組的特點(diǎn)選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?？要解?duì)一道方程組，又有哪些重要因素呢？”學(xué)生們情緒高漲，七嘴八舌地講了很多.

數(shù)學(xué)是一門(mén)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，由于它的學(xué)科特點(diǎn)，學(xué)生往往覺(jué)得數(shù)學(xué)課困難、枯燥、乏味.因此，在教學(xué)中如何引起學(xué)生的共鳴是每個(gè)老師應(yīng)該深思熟慮的一個(gè)問(wèn)題.

責(zé)任編輯羅峰e(cuò)ndprint

二元一次方程組的解法是學(xué)生必須掌握的一項(xiàng)基本技能，解題時(shí)應(yīng)教會(huì)學(xué)生仔細(xì)觀察題目的特點(diǎn)，抓住方程的結(jié)構(gòu)特征或某種規(guī)律，聯(lián)想不同的解題方法和技巧.通常情況下，有的教師總認(rèn)為只有通過(guò)重復(fù)，機(jī)械的練習(xí)才能獲得這一技能.而重復(fù)機(jī)械的練習(xí)常常使學(xué)生覺(jué)得枯燥乏味，反而影響了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)態(tài)度與情感.怎樣才能讓學(xué)生更好地學(xué)習(xí)與掌握這一基本技能，并在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展呢？

在學(xué)生們學(xué)完了用代入消元法、加減消元法解二元一次方程組后，我進(jìn)行了一次大膽的嘗試.

上課鈴響了，我一如既往地走進(jìn)教室：“同學(xué)們，上面我們學(xué)習(xí)了二元一次方程組的解法.今天我們來(lái)上一節(jié)復(fù)習(xí)課.”一聽(tīng)是復(fù)習(xí)課，學(xué)生立刻缺少了往日的熱情.

“解二元一次方程組的基本思路是什么？”

“消……元……”幾個(gè)學(xué)生懶洋洋地回答道.這時(shí)，我在幻燈片上展出解方程組

3x+4y=10 ①12x-9y=15 ②

稍做停頓，我靈機(jī)一動(dòng)：“今天，我們只解一道題.”

話(huà)音剛落，許多學(xué)生都驚奇地抬起了頭.看來(lái)這出其不意的一招奏效了.

“咳，這個(gè)簡(jiǎn)單……我來(lái)做，我來(lái)做.”學(xué)生甲舉起了手.于是他順理成章地上了講臺(tái).他用的是加減法.

解法1：①×4得：12x+16y=40③

③-②得：25y=25，y=1，將y=1代入①，求得x=2，

∴方程組的解為

x=2y=1

緊接著，我問(wèn)：“這個(gè)題目還有沒(méi)有其他方法呢？”“有，代入法.”學(xué)生乙大聲說(shuō).既而，響起了更多的唏噓聲：“麻煩死了……”我決定支援一下乙：“用代入法可不可以解？”這回，唏噓聲輕了些：“可以是可以，就是麻煩.”“那你有沒(méi)有辦法使它簡(jiǎn)單一點(diǎn)呢？”我笑著追問(wèn).“哦！我知道了……”“乙，你知道什么了？”

解法2：“因?yàn)榈?個(gè)方程中x的系數(shù)是第1個(gè)方程中x的系數(shù)的4倍，故用整體代入法，將3x看做一個(gè)整體.由①得3x=10-4y代入②從而得解.”

“對(duì)呀，我怎么沒(méi)想到……”這時(shí)有些學(xué)生懊惱，有些學(xué)生羞愧，有些學(xué)生羨慕.

“學(xué)生們唧唧喳喳地討論開(kāi)了.從他們滿(mǎn)意的神情中，我看出了他們還是很愿意接受挑戰(zhàn)的.幾分鐘后，學(xué)生們開(kāi)始陳述自己的觀點(diǎn).

解法3：將3x+4y看做一個(gè)整體

將②代為12x+16y-25y=15

4（3x+4y）-25y=15

∵①為3x+4y=10整體代入上式

4×10-25y=15由此得解y=1

這是一種巧妙的換元.

解法4：觀察方程②，化為4x-3y=5 ③

3x+4y=10 ①4x-3y=5 ③

①×3+③×4

得25x=50 x=2

雖然沒(méi)有比上述各解法簡(jiǎn)單，巧妙，但這是解此類(lèi)方程組的常規(guī)方法.

解法5：觀察方程②，化為4x-3y=5 ③

3x+4y=10 ①4x-3y=5 ③

①+③得7x+y=15由此代為y=15-7x代入①求解.

這種代入非常巧妙，他構(gòu)造了一個(gè)系數(shù)為1的元，看來(lái)不能小瞧學(xué)生的潛力.由這種解法我想到了一種系數(shù)呈輪換對(duì)稱(chēng)的方程組.于是給出了一個(gè)變式：

解方程組：

3x+4y=10 ①4x-3y=5 ②

引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察系數(shù)的特殊性，介紹了解決此類(lèi)方程組的特殊技巧.

①+②得：x+y=■ ③

②-①得：x-y=-5 ④

聯(lián)立③④，解得方程組.

此時(shí)學(xué)生很興奮.

于是我不失時(shí)機(jī)地讓學(xué)生進(jìn)行歸納總結(jié)：“不同的方法可以達(dá)到殊途同歸的效果，如何根據(jù)方程組的特點(diǎn)選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?？要解?duì)一道方程組，又有哪些重要因素呢？”學(xué)生們情緒高漲，七嘴八舌地講了很多.

數(shù)學(xué)是一門(mén)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，由于它的學(xué)科特點(diǎn)，學(xué)生往往覺(jué)得數(shù)學(xué)課困難、枯燥、乏味.因此，在教學(xué)中如何引起學(xué)生的共鳴是每個(gè)老師應(yīng)該深思熟慮的一個(gè)問(wèn)題.

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