張震辰

摘要：在人民幣利率市場化步伐不斷加快的背景下，我國應借鑒國際經(jīng)驗，積極推動人民幣利率期權產(chǎn)品的發(fā)展。本文介紹了Hull-White短期利率模型在利率期權定價中的運用，對利率模型參數(shù)校正這一實施中的難點和關鍵點進行了舉例說明，并運用解析公式、三叉樹模擬分別計算了利率期權的價格，以期為國內(nèi)市場提供相關參考。

關鍵詞：利率市場化 利率期權定價 Hull-White利率模型 參數(shù)校正

近年來，我國利率市場化進程有所提速，金融機構貸款利率管制全面放開，貸款基礎利率報價和發(fā)布機制正式運行，同業(yè)存單在銀行間市場成功發(fā)行。2014年兩會期間，人民銀行行長周小川表示，存款保險制度有望在年內(nèi)推出，而人民幣存款利率的放開很可能在最近一兩年就能夠?qū)崿F(xiàn)。

根據(jù)國際經(jīng)驗，利率市場化會大幅增加利率的波動幅度，從而推進利率期權的發(fā)展，因為利率期權是最能反映利率市場未來不確定性的工具，其隱含的波幅率是利率即期、利率遠期和利率期貨所難以反映的。所以，在人民幣利率市場化步伐不斷加快的背景下，應借鑒國際經(jīng)驗，積極探討人民幣利率期權產(chǎn)品的發(fā)展，進一步豐富利率衍生產(chǎn)品體系，完善市場功能。

我國要發(fā)展人民幣利率期權產(chǎn)品，一個非常重要的前提就是必須對人民幣利率期權產(chǎn)品進行合理準確的定價，這就需要建立一個適合中國市場的利率期權定價模型。國內(nèi)此前對利率期權的探討主要集中于理論層面，本文將從操作實踐層面來選擇適合人民幣利率期權定價的模型，并探討其在實踐中的應用。

國際市場主要利率期權模型介紹

在國際市場上，利率期權定價模型大致可以分為Black模型、短期利率模型（Short Rate Model）和Libor市場模型三大類。這三類模型各有特點、各有所長，金融機構應根據(jù)利率期權產(chǎn)品的特點，加以合理的選擇和運用。

1976年，F(xiàn)ischer Black在Black-Scholes模型基礎上提出了Black模型，用于對期貨期權的定價，以及對債券期權、利率期權等衍生品的定價。Black 模型的計算公式較為直觀，并相對易于操作，在歐式利率上限期權（Interest Rate Caps）1、利率下限期權（Interest Rate Floors）2和利率互換期權（Swaption）3市場運用廣泛。但由于該模型未能對利率期限結構的演變進行描述，因此其使用范圍受到限制，不能對美式利率期權4及奇異類利率期權5進行定價。

短期利率模型是一種通過模擬未來短期利率變動，來描述未來利率期限結構演變的利率模型。其中，較具有代表性的短期利率模型包括Hull-White利率模型（1990）、Black–Karasinski利率模型（1991）等。短期利率模型可以對歐式利率期權、美式利率期權、奇異類利率期權進行定價。不少短期利率模型有利率期權的解析定價公式，且可以結合三叉樹6和蒙特卡洛模擬方法7使用，因此較為靈活。但由于隨機因子較少、選擇波幅率期限結構時未給使用者足夠自由度等原因，短期利率模型對于結構復雜的利率期權，如多種利率期權結構的組合、路徑依賴型利率期權和提前終止權的組合等，在定價上有所不足。

Libor市場模型，又稱 BGM利率模型，是由Brace、Gatarek、Musiela于1997年提出的利率模型，目前已成為市場上對奇異類利率期權等結構較為復雜利率期權定價的通用模型。Libor市場模型在波幅率期限結構和隨機因子的設置方面具有更大的靈活度，通過對波幅率參數(shù)的校正后，結合蒙特卡洛模擬方法，可對各類結構復雜的奇異類利率期權進行定價，因此使用范圍較廣。但Libor市場模型無法結合三叉樹使用，只能結合蒙特卡洛模擬方法使用，其參數(shù)較多且校正過程較為復雜，特別是對帶有提前終止權的奇異類期權，還需對蒙特卡洛模擬進行修正和優(yōu)化，使計算過程更為復雜和耗時。

Hull-White利率模型在我國的適用性

實踐中，我國金融機構在使用利率模型時，應根據(jù)利率模型的特點、適用范圍和實施過程中的便易程度，結合人民幣利率期權在中國的發(fā)展途徑進行選擇。

縱觀世界各國利率期權發(fā)展的歷史，大都是沿著先簡單后復雜的原則來發(fā)展的。我國目前尚未開展利率期權，筆者認為，未來我國發(fā)展人民幣利率期權類衍生產(chǎn)品也應遵循上述規(guī)律，循序漸進，先從人民幣利率上限期權、人民幣利率下限期權和人民幣利率互換期權等普通歐式人民幣利率期權著手，逐步發(fā)展美式利率期權、百慕大利率期權8及奇異類利率期權等復雜的期權產(chǎn)品。

Hull-White利率模型是短期利率模型中最具代表性的模型之一，彭博（Bloomberg）系統(tǒng)、Numerix系統(tǒng)、Summit系統(tǒng)等國際知名的資金業(yè)務系統(tǒng)供應商，均將Hull-White利率模型作為主要的利率模型之一，用于對利率期權類產(chǎn)品定價。該利率模型經(jīng)過系統(tǒng)供應商多年的實施，已獲得市場的認可，目前是利率期權定價和風險管理的主要工具。

從實踐應用來看，Black 模型的計算公式雖然較為直觀，并相對易于操作，在歐式利率上限、利率下限和利率互換期權市場應用廣泛，但該模型不能對美式利率期權以及奇異類利率期權進行定價，因此其使用范圍受到限制。Libor市場模型雖然使用范圍最為廣泛，但只能結合蒙特卡洛模擬方法使用，其參數(shù)和隨機因子較多且校正過程復雜，定價過程較為復雜和耗時，若使用在普通利率期權或結構相對簡單的奇異利率期權定價上，則顯得過于占用和浪費資源。

相比之下，Hull-White利率模型的使用范圍雖不如Libor市場模型，但廣于Black 模型，可對普通利率期權和結構相對簡單的奇異類利率期權進行定價，且定價過程相對Libor市場模型較為簡捷和省時。具體來看，對于普通利率期權，可根據(jù)Hull-White利率模型下有關利率期權的解析公式進行定價；對于提前終止型利率期權，可根據(jù)Hull-White利率模型結合三叉樹方法進行定價；對于路徑依賴性利率期權，可根據(jù)Hull-White利率模型結合蒙特卡洛模擬方法進行定價。

綜上，筆者認為，Hull-White利率模型即可滿足普通利率期權的定價，又具有一定的前瞻性。因此，至少在人民幣利率期權市場發(fā)展初期，Hull-White利率模型將更適合中國市場使用。

Hull-White利率模型在利率期權定價中的應用

（一）Hull-White利率模型公式

1990年，Hull White在Vasicek模型的基礎上建立了一種能夠與當前利率期限結構相匹配的短期利率模型，被稱為Hull-White利率模型。其模型具體如下：

（1）

其中，為短期瞬時利率；和為正常數(shù)；，為當前市場瞬時遠期利率；為布朗運動。

（二）Hull-White利率模型中的利率上限期權解析公式

在Hull-White利率模型中，利率上限期權的定價公式如下：

（2）

其中，為名義本金；為執(zhí)行價格；為定價日；為標的利率的重置時間，為到期日；為零息債券價格；，和為正常數(shù)，；；；是標準正態(tài)變量的累積分布函數(shù)。

（三）Hull-White利率模型在利率上限期權定價中的應用

下面，筆者以美元利率上限期權定價為例，對Hull White利率模型在實踐中的應用進行介紹，過程包含對市場數(shù)據(jù)的采集、參數(shù)的校正（Calibration）等實踐應用中的關鍵點和難點。

1.市場數(shù)據(jù)的采集

對利率期權進行定價的前提條件是獲取波幅率、零息利率等市場數(shù)據(jù)。

首先，選取美元利率上限期權市場隱含波幅率，如2014年3月24日，美元利率上限期權市場隱含波幅率如圖1所示。

圖1 美元利率上限期權市場隱含波幅率

接著，選取美元市場利率價格。當日，美元市場利率及由市場利率生成的零息利率如表1所示。

表1 美元市場收益率曲線數(shù)據(jù)（單位：%）

到期日 市場利率 零息利率

06/26/2014 0.23285 0.23285

07/16/2014 0.242 0.24474

08/20/2014 0.245 0.24547

09/17/2014 0.26 0.25283

10/15/2014 0.259 0.25376

11/19/2014 0.274 0.25875

12/17/2014 0.288 0.2661

03/18/2015 0.356 0.28937

06/17/2015 0.488 0.33172

09/16/2015 0.69 0.39454

12/16/2015 0.932 0.47413

03/16/2016 1.202 0.56817

06/15/2016 1.498 0.6756

09/21/2016 1.787 0.7989

12/21/2016 2.067 0.91702

03/15/2017 2.326 1.02794

06/21/2017 2.539 1.157

03/26/2018 1.46841 1.48504

03/26/2019 1.83513 1.86604

03/26/2020 2.14135 2.18915

03/26/2021 2.3849 2.44977

03/28/2022 2.58126 2.66263

03/27/2023 2.7414 2.83849

03/26/2024 2.87602 2.98823

2.參數(shù)的校正

模型參數(shù)的校正是利率模型在實踐應用中重要的難點和關鍵點。以Hull-White利率模型為例，需要對參數(shù)和進行校正，即選取合適的和，使得模型計算的利率上限期權價格與其市場價格間的差異最小化。

一個名義本金為1000美元、期限5年、執(zhí)行價格為1.5%的利率上限期權的市場隱含波幅率為50.70%（見圖1），結合市場零息利率（見表1）構建的收益率曲線，通過Black模型可以計算出該利率上限期權的市場價格。接下來，需選取合適的和，結合市場零息利率構建的收益率曲線，運用Hull-White利率模型下對于利率上限期權的解析公式[見公式（2）]計算該利率上限期權的價格，使得模型計算的利率上限期權價格與其市場價格間的差異最小化。

由于利率上限期權由一系列利率期權元構成，因此，筆者將估算參數(shù)和的準則定為非線性最小二乘法，即選取合適的和，使得模型計算的利率期權元與市場利率期權元間差異的平方和最小化，具體如下所示：

（3）

其中，為運用Hull-White利率模型計算的利率期權元價格，為利率期權元的市場價格。

接下來，運用復雜的優(yōu)化算法9來求解公式（3）中的參數(shù)、。筆者選取、作為模型參數(shù)的預估值，由此可計算出公式（3）的值，并在此基礎上，通過不斷調(diào)整、的值來獲取公式（3）的最小值。在經(jīng)過計算模擬和逐次迭代后，當、時，公式（3）獲得最小值，Hull-White利率模型的校正效果較為理想，模型計算的利率上限期權價格與市場價格間的差異最小化，如表2、圖2所示。

表2 利率上限期權元校正情況表（單位：美元）

到期日 利率期權元市場價格 利率期權元校正價格

2014年9月 0.0000 0.0016

2014年12月 0.0000 0.0221

2015年3月 0.0001 0.0723

2015年6月 0.0067 0.1737

2015年9月 0.0688 0.3422

2015年12月 0.255 0.5926

2016年3月 0.6113 0.9238

2016年6月 1.1355 1.3794

2016年9月 1.6832 1.8295

2016年12月 2.2187 2.2958

2017年3月 2.7425 2.7393

2017年6月 3.3206 3.2552

2017年9月 3.4275 3.3445

2017年12月 3.9774 3.8406

2018年3月 4.3522 4.1712

2018年6月 4.4727 4.2823

2018年9月 4.7649 4.5392

2018年12月 5.2694 5.0024

2019年3月 5.539 5.2434

圖2 利率上限期權元校正情況圖（單位：美元）

3.利率上限期權定價

在完成參數(shù)的校正后，接下來對一個2014年3月24日起息、名義本金為1000萬美元、期限5年、執(zhí)行價格為1.5%的利率上限期權的價格進行計算。

首先選取市場波幅率報價50.70%，運用Black 模型計算利率期權的市場價格。經(jīng)計算后，利率上限期權的市場價格為43.85萬美元（見表3）。

表3 利率上限期權定價情況

市場價格（Black模型） Hull-White模型解析公式 Hull-White模型三叉樹模擬

價格（美元） 438456.77 440509.19 440566.61

誤差（%） - 0.47 0.48

再運用Hull-White利率模型來對利率上限期權進行定價。在Hull-White利率模型下，解析公式計算的利率上限期權價格為44.05萬美元，運用三叉樹模擬方式計算的利率上限期權價格為44.06萬美元，兩者間的計算結果非常接近。

將Hull-White利率模型計算的利率上限期權價格與其市場價格進行對比，可以發(fā)現(xiàn)二者十分接近，誤差不超過0.48%，顯示利率模型的定價效果良好。

（四）對人民幣利率期權的借鑒意義

隨著人民幣利率市場化步伐的加快，預計利率期權將有望在近期推出，市場流動性將不斷加強，人民幣利率期權的市場隱含波幅率也會自然產(chǎn)生。屆時，即可在選取人民幣市場數(shù)據(jù)并對參數(shù)進行校正后，運用Hull-White利率模型來對人民幣利率上限期權、利率下限期權、利率互換期權等進行定價，并在此基礎上，結合三叉樹、蒙特卡洛模擬等方法來對人民幣美式利率期權、百慕大利率期權及奇異利率期權等進行定價。

注：

1.利率上限期權是指交易雙方確定一個利率上限水平，期權賣方向買方承諾，在規(guī)定期限內(nèi)，如果市場參考利率高于協(xié)定的利率上限，則向買方支付市場利率高于協(xié)定利率上限的差額部分；如果市場利率低于或等于協(xié)定的利率上限，賣方無任何支付義務。

2.利率下限期權是指交易雙方確定一個利率下限水平，期權賣方向買方承諾，在規(guī)定期限內(nèi)，如果市場參考利率低于協(xié)定的利率下限，則向買方支付市場利率低于協(xié)定利率下限的差額部分；如果市場利率高于或等于協(xié)定的利率下限，賣方無任何支付義務。

3.利率互換期權是基于利率互換的期權，期權買方在支付期權費后，獲得在未來某個確定時間與期權賣方以事先確定的價格進行利率互換的權利。

4.美式利率期權是指在成交后，買方在期權有效期內(nèi)任何一天都可執(zhí)行的利率期權。

5.奇異類利率期權是指比常規(guī)期權（標準的歐式或美式利率期權）更為復雜的利率期權。

6.三叉樹是一種基于格狀的計算模型，被用于金融數(shù)學中期權的定價。

7.蒙特卡洛模擬方法是一種以概率和統(tǒng)計理論方法為基礎，通過使用隨機數(shù)來解決很多計算問題的計算方法。

8.百慕大利率期權是指在成交后，買方可以在到期日前所規(guī)定的一系列時間行權的利率期權。

9. 關于非線性最小二乘法優(yōu)化算法的具體內(nèi)容，讀者可在有關數(shù)學文獻中查閱，筆者在此不再贅述

作者單位：交通銀行總行金融市場業(yè)務中心

責任編輯：牛玉銳 劉穎

2015年6月 0.0067 0.1737

2015年9月 0.0688 0.3422

2015年12月 0.255 0.5926

2016年3月 0.6113 0.9238

2016年6月 1.1355 1.3794

2016年9月 1.6832 1.8295

2016年12月 2.2187 2.2958

2017年3月 2.7425 2.7393

2017年6月 3.3206 3.2552

2017年9月 3.4275 3.3445

2017年12月 3.9774 3.8406

2018年3月 4.3522 4.1712

2018年6月 4.4727 4.2823

2018年9月 4.7649 4.5392

2018年12月 5.2694 5.0024

2019年3月 5.539 5.2434

圖2 利率上限期權元校正情況圖（單位：美元）

3.利率上限期權定價

在完成參數(shù)的校正后，接下來對一個2014年3月24日起息、名義本金為1000萬美元、期限5年、執(zhí)行價格為1.5%的利率上限期權的價格進行計算。

首先選取市場波幅率報價50.70%，運用Black 模型計算利率期權的市場價格。經(jīng)計算后，利率上限期權的市場價格為43.85萬美元（見表3）。

表3 利率上限期權定價情況

市場價格（Black模型） Hull-White模型解析公式 Hull-White模型三叉樹模擬

價格（美元） 438456.77 440509.19 440566.61

誤差（%） - 0.47 0.48

再運用Hull-White利率模型來對利率上限期權進行定價。在Hull-White利率模型下，解析公式計算的利率上限期權價格為44.05萬美元，運用三叉樹模擬方式計算的利率上限期權價格為44.06萬美元，兩者間的計算結果非常接近。

將Hull-White利率模型計算的利率上限期權價格與其市場價格進行對比，可以發(fā)現(xiàn)二者十分接近，誤差不超過0.48%，顯示利率模型的定價效果良好。

（四）對人民幣利率期權的借鑒意義

隨著人民幣利率市場化步伐的加快，預計利率期權將有望在近期推出，市場流動性將不斷加強，人民幣利率期權的市場隱含波幅率也會自然產(chǎn)生。屆時，即可在選取人民幣市場數(shù)據(jù)并對參數(shù)進行校正后，運用Hull-White利率模型來對人民幣利率上限期權、利率下限期權、利率互換期權等進行定價，并在此基礎上，結合三叉樹、蒙特卡洛模擬等方法來對人民幣美式利率期權、百慕大利率期權及奇異利率期權等進行定價。

注：

1.利率上限期權是指交易雙方確定一個利率上限水平，期權賣方向買方承諾，在規(guī)定期限內(nèi)，如果市場參考利率高于協(xié)定的利率上限，則向買方支付市場利率高于協(xié)定利率上限的差額部分；如果市場利率低于或等于協(xié)定的利率上限，賣方無任何支付義務。

2.利率下限期權是指交易雙方確定一個利率下限水平，期權賣方向買方承諾，在規(guī)定期限內(nèi)，如果市場參考利率低于協(xié)定的利率下限，則向買方支付市場利率低于協(xié)定利率下限的差額部分；如果市場利率高于或等于協(xié)定的利率下限，賣方無任何支付義務。

3.利率互換期權是基于利率互換的期權，期權買方在支付期權費后，獲得在未來某個確定時間與期權賣方以事先確定的價格進行利率互換的權利。

4.美式利率期權是指在成交后，買方在期權有效期內(nèi)任何一天都可執(zhí)行的利率期權。

5.奇異類利率期權是指比常規(guī)期權（標準的歐式或美式利率期權）更為復雜的利率期權。

6.三叉樹是一種基于格狀的計算模型，被用于金融數(shù)學中期權的定價。

7.蒙特卡洛模擬方法是一種以概率和統(tǒng)計理論方法為基礎，通過使用隨機數(shù)來解決很多計算問題的計算方法。

8.百慕大利率期權是指在成交后，買方可以在到期日前所規(guī)定的一系列時間行權的利率期權。

9. 關于非線性最小二乘法優(yōu)化算法的具體內(nèi)容，讀者可在有關數(shù)學文獻中查閱，筆者在此不再贅述

作者單位：交通銀行總行金融市場業(yè)務中心

責任編輯：牛玉銳 劉穎

2015年6月 0.0067 0.1737

2015年9月 0.0688 0.3422

2015年12月 0.255 0.5926

2016年3月 0.6113 0.9238

2016年6月 1.1355 1.3794

2016年9月 1.6832 1.8295

2016年12月 2.2187 2.2958

2017年3月 2.7425 2.7393

2017年6月 3.3206 3.2552

2017年9月 3.4275 3.3445

2017年12月 3.9774 3.8406

2018年3月 4.3522 4.1712

2018年6月 4.4727 4.2823

2018年9月 4.7649 4.5392

2018年12月 5.2694 5.0024

2019年3月 5.539 5.2434

圖2 利率上限期權元校正情況圖（單位：美元）

3.利率上限期權定價

在完成參數(shù)的校正后，接下來對一個2014年3月24日起息、名義本金為1000萬美元、期限5年、執(zhí)行價格為1.5%的利率上限期權的價格進行計算。

首先選取市場波幅率報價50.70%，運用Black 模型計算利率期權的市場價格。經(jīng)計算后，利率上限期權的市場價格為43.85萬美元（見表3）。

表3 利率上限期權定價情況

市場價格（Black模型） Hull-White模型解析公式 Hull-White模型三叉樹模擬

價格（美元） 438456.77 440509.19 440566.61

誤差（%） - 0.47 0.48

再運用Hull-White利率模型來對利率上限期權進行定價。在Hull-White利率模型下，解析公式計算的利率上限期權價格為44.05萬美元，運用三叉樹模擬方式計算的利率上限期權價格為44.06萬美元，兩者間的計算結果非常接近。

將Hull-White利率模型計算的利率上限期權價格與其市場價格進行對比，可以發(fā)現(xiàn)二者十分接近，誤差不超過0.48%，顯示利率模型的定價效果良好。

（四）對人民幣利率期權的借鑒意義

隨著人民幣利率市場化步伐的加快，預計利率期權將有望在近期推出，市場流動性將不斷加強，人民幣利率期權的市場隱含波幅率也會自然產(chǎn)生。屆時，即可在選取人民幣市場數(shù)據(jù)并對參數(shù)進行校正后，運用Hull-White利率模型來對人民幣利率上限期權、利率下限期權、利率互換期權等進行定價，并在此基礎上，結合三叉樹、蒙特卡洛模擬等方法來對人民幣美式利率期權、百慕大利率期權及奇異利率期權等進行定價。

注：

1.利率上限期權是指交易雙方確定一個利率上限水平，期權賣方向買方承諾，在規(guī)定期限內(nèi)，如果市場參考利率高于協(xié)定的利率上限，則向買方支付市場利率高于協(xié)定利率上限的差額部分；如果市場利率低于或等于協(xié)定的利率上限，賣方無任何支付義務。

2.利率下限期權是指交易雙方確定一個利率下限水平，期權賣方向買方承諾，在規(guī)定期限內(nèi)，如果市場參考利率低于協(xié)定的利率下限，則向買方支付市場利率低于協(xié)定利率下限的差額部分；如果市場利率高于或等于協(xié)定的利率下限，賣方無任何支付義務。

3.利率互換期權是基于利率互換的期權，期權買方在支付期權費后，獲得在未來某個確定時間與期權賣方以事先確定的價格進行利率互換的權利。

4.美式利率期權是指在成交后，買方在期權有效期內(nèi)任何一天都可執(zhí)行的利率期權。

5.奇異類利率期權是指比常規(guī)期權（標準的歐式或美式利率期權）更為復雜的利率期權。

6.三叉樹是一種基于格狀的計算模型，被用于金融數(shù)學中期權的定價。

7.蒙特卡洛模擬方法是一種以概率和統(tǒng)計理論方法為基礎，通過使用隨機數(shù)來解決很多計算問題的計算方法。

8.百慕大利率期權是指在成交后，買方可以在到期日前所規(guī)定的一系列時間行權的利率期權。

9. 關于非線性最小二乘法優(yōu)化算法的具體內(nèi)容，讀者可在有關數(shù)學文獻中查閱，筆者在此不再贅述

作者單位：交通銀行總行金融市場業(yè)務中心

責任編輯：牛玉銳 劉穎