馬 靜，彭明法，李益楠，王上行，高 健，王增平

（1.華北電力大學電力系統(tǒng)保護與動態(tài)安全監(jiān)控教育部重點實驗室，北京 102206；2.嘉興市供電公司，浙江 嘉興 314033；3.湖州電力局，浙江 湖州 313000）

0 引言

隨著電網(wǎng)運行規(guī)模的擴大和運行方式的復雜多變，系統(tǒng)遭受擾動的概率將不可避免地增大[1-3]。在系統(tǒng)遭受擾動，尤其是故障擾動時，擾動后系統(tǒng)能否漸進穩(wěn)定對電網(wǎng)的安全至關(guān)重要。因此，為故障后系統(tǒng)提供穩(wěn)定性判據(jù)，具有重要的現(xiàn)實意義[4]。

目前，在平衡點特征根對系統(tǒng)穩(wěn)定性影響方面，已開展了大量的研究[5]。在平衡點處，通過一階泰勒展開，獲得系統(tǒng)在該點的振蕩頻率及阻尼比，從而判斷系統(tǒng)在平衡點處遭受擾動后能否穩(wěn)定運行。然而，僅依靠阻尼比這個單一指標，并不能判斷系統(tǒng)在大擾動影響下的穩(wěn)定性[6]。尤其在短路故障發(fā)生后，系統(tǒng)的運行點將大幅偏離原平衡點，且時變因素急劇增強，此時，基于平衡點的特征根分析方法將無法判斷故障后系統(tǒng)能否穩(wěn)定運行[7]。通過求取系統(tǒng)故障后的狀態(tài)運行軌跡判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性[8-10]，需事先求得系統(tǒng)的不返回點，而不返回點受系統(tǒng)的模型、擾動場景等多因素影響，因而，直接通過系統(tǒng)的受擾軌跡判斷穩(wěn)定性極其困難[11]。能量函數(shù)法通過描述系統(tǒng)在故障中及故障后不同時刻系統(tǒng)的能量，可判定系統(tǒng)在大擾動下是否漸進穩(wěn)定[12]。然而，該方法從能量角度而非時域角度分析穩(wěn)定性問題[13-14]，因此，無法計及系統(tǒng)的時變狀態(tài)矩陣與系統(tǒng)穩(wěn)定性之間的關(guān)系。

針對上述問題，本文提出了一種適用于分析故障系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法。首先，通過系統(tǒng)在故障消失點的狀態(tài)及運行方式，逐步推算系統(tǒng)在故障后各運行點的運動軌跡及時變狀態(tài)矩陣，在此基礎(chǔ)上，求取差分方程的解，并根據(jù)時變系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)，判定系統(tǒng)是否穩(wěn)定。2機系統(tǒng)和16機系統(tǒng)仿真算例表明，該方法能夠準確判斷系統(tǒng)在不同故障位置及故障持續(xù)時間等情況下的系統(tǒng)穩(wěn)定性情況。

1 電力系統(tǒng)時變狀態(tài)矩陣

發(fā)電機轉(zhuǎn)子運動方程在工作點附近線性化后可表達為

其中：x為系統(tǒng)的狀態(tài)向量，當系統(tǒng)采用六階模型時，其為；A為系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣。

電力系統(tǒng)正常運行時，穩(wěn)定運行于平衡點處，系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣為定常矩陣。當系統(tǒng)發(fā)生短路故障時，故障消失后，設(shè)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)不發(fā)生改變，因此狀態(tài)矩陣A中的結(jié)構(gòu)參數(shù)將不發(fā)生變化，僅運行工況偏離原平衡點并隨時間發(fā)生變化，轉(zhuǎn)子運動方程仍滿足式(1)。在t時刻將轉(zhuǎn)子運動方程按泰勒級數(shù)1 階展開，得t時刻線性化后的轉(zhuǎn)子動態(tài)方程，記為[15]。設(shè)故障持續(xù)時間為tc，故障線路占整條線路的全長為，故障消失點處系統(tǒng)的運行工況記為(x0，y0，y0為非狀態(tài)向量)。顯然(x0，y0)與故障條件(tc，)和系統(tǒng)的初始運行點(平衡點)密切相關(guān)，并且(x0，y0)將對故障后系統(tǒng)能否穩(wěn)定運行起決定性作用。

系統(tǒng)在tk時刻故障消失，由系統(tǒng)的運動方程可推得在時刻系統(tǒng)的狀態(tài)變量如式(2)[16]。

已知tk時刻系統(tǒng)的狀態(tài)，通過式(2)可得系統(tǒng)在時刻的狀態(tài)，進而逐步計算系統(tǒng)各運行點的狀態(tài)及時變狀態(tài)矩陣。式(2)可簡化表述為

2 時變系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

2.1 線性時變系統(tǒng)漸進穩(wěn)定充要條件證明

首先，選取李雅普諾夫函數(shù)：

該函數(shù)的導數(shù)在小范圍內(nèi)可描述為

將式(3)代入式(5)中，經(jīng)合并式(5)可表示為

2.2 線性時變系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)

由2.1 節(jié)可知，式(3)表征的時變系統(tǒng)能夠漸進穩(wěn)定運行至平衡點的充要條件是：對于任意給定正定實對稱矩陣，必存在正定實對稱矩陣，使式(8)成立，且是系統(tǒng)李雅普諾夫函數(shù)[17-18]。

差分方程(8)的解為

由式(9)可知，通過給定的正定實對稱矩陣，系統(tǒng)的時變狀態(tài)矩陣，以及k時刻矩陣，可求得系統(tǒng)在k+1 時刻差分方程的解，然后通過P陣的特征根判斷系統(tǒng)在故障后是否漸進穩(wěn)定。若P陣正定，則系統(tǒng)在故障后能夠漸進穩(wěn)定；若P陣中最小特征值變負，則表明系統(tǒng)在故障后將失去穩(wěn)定。本方法并不局限于拓撲不變的情況，當系統(tǒng)故障導致拓撲發(fā)生改變時，可將故障或拓撲改變對系統(tǒng)的影響視為正常分量和故障分量的疊加，當用功率注入表示故障分量時，依然可以用本方法進行分析。

3 算例分析

3.1 等值2 機系統(tǒng)仿真算例

等值2 機系統(tǒng)如圖1所示，系統(tǒng)在0.1 s 時，其中一條聯(lián)絡(luò)線某點發(fā)生三相短路，其中短路點距離節(jié)點M 的距離占整條線路的全長為，短路的持續(xù)時間為tc，故障消失后，系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)不發(fā)生改變，根據(jù)電力系統(tǒng)實時動態(tài)監(jiān)測系統(tǒng)（PMU）技術(shù)規(guī)范[19]，國內(nèi)PMU 最低采樣頻率為200 Hz，系統(tǒng)仿真時間步長為0.005 s。

圖1 2 機系統(tǒng)線路圖Fig.1 Two-machine system

以表1中故障情況為例，分析系統(tǒng)在不同故障位置和故障切除時間下系統(tǒng)的穩(wěn)定性，仿真結(jié)果如圖2、圖3所示。通過本方法計算可得，在該仿真步長下，當故障位置為0.5 時，系統(tǒng)的準極限穩(wěn)定切除時間為0.205 s，當故障位置為0.8 時，系統(tǒng)的準極限穩(wěn)定切除時間為0.195 s (準極限穩(wěn)定切除時間對應(yīng)的系統(tǒng)為準臨界穩(wěn)定情況，下一仿真步長對應(yīng)的短路持續(xù)時間，將使系統(tǒng)失去穩(wěn)定)。并且通過計算可知，平均每步迭代求解差分方程解所需的時間為0.001 6 s(聯(lián)想-Y480，4 G 內(nèi)存，32 位操作系統(tǒng))，其效率較高。

表1 2 機系統(tǒng)的故障情況Table 1 Fault cases of two-machine system

圖2、圖3為系統(tǒng)的準極限穩(wěn)定切除時刻前后采用本方法的判別結(jié)果，其中，圖2(a)、圖3(a)中點線、實線、虛線分別對應(yīng)不同短路持續(xù)時間下發(fā)電機1 與2 之間功角差的實際值，×線、＋線、*線分別對應(yīng)不同短路持續(xù)時間下利用本方法推導得到的功角差；圖2(b)、圖3(b)為各時刻矩陣P最小特征根。

由圖2(a)、圖3(a)可知，本方法計算得到的發(fā)電機功角差曲線與實際系統(tǒng)功角差曲線較為接近。

圖2 α為0.5 時故障系統(tǒng)穩(wěn)定性Fig.2 Stability of fault system when α is 0.5

由圖2(a)、圖3(a)中實線和虛線可知，發(fā)電機1 和2 之間的功角差呈振蕩收斂趨勢，表明系統(tǒng)趨于穩(wěn)定。由圖2(b)、圖3(b)中實線和虛線可知，在故障切除時間均不大于準極限切除時間的情況下，矩陣P的最小特征值都大于0，表明矩陣P始終保持正定，系統(tǒng)最終可漸進穩(wěn)定至平衡點，這與實際系統(tǒng)的穩(wěn)定趨勢相符。

由圖2(a)和圖3(a)中點線可知，當故障切除時間大于準極限切除時間時，發(fā)電機之間的功角差呈發(fā)散趨勢，表明在此故障情況下系統(tǒng)已經(jīng)失穩(wěn)。再者，圖2(b)和圖3(b)中點線顯示矩陣P的最小特征值逐漸減小，直至小于0，矩陣P不再為正定矩陣，表明系統(tǒng)不能漸進穩(wěn)定運行至平衡點，與實際情況相吻合。需要注意的是，初始矩陣P和Q均取決于故障持續(xù)時間，當故障持續(xù)時間改變時，矩陣P和Q亦發(fā)生變化，導致在同一時刻迭代的矩陣P差異較大，因此故障持續(xù)時間不同時，其最小特征值與系統(tǒng)故障時間之間并無特定關(guān)系。

圖3 α為0.8 時故障系統(tǒng)穩(wěn)定性Fig.3 Stability of fault system when α is 0.8

3.2 16 機系統(tǒng)仿真算例

采用IEEE16 機68 節(jié)點[20-21]的新英格蘭—紐約互聯(lián)系統(tǒng)進一步驗證本方法的有效性，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖4所示，該系統(tǒng)可分為5 大區(qū)域。其中發(fā)電機采用六階詳細模型，勵磁采用IEEE-DC1 型勵磁，負荷模型采用恒功率模型。系統(tǒng)在0.1 s 時刻，線路28-29 某點發(fā)生三相短路故障，故障位置為a，故障持續(xù)時間為tc，故障消失后系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)不發(fā)生變化，系統(tǒng)時間步長為0.005 s。以表2中六種故障情況為例，分析系統(tǒng)在故障后的穩(wěn)定性。仿真結(jié)果如圖5、圖6所示。

表2 16 機系統(tǒng)的故障情況Table 2 Fault cases of sixteen-machine system

圖4 16 機68 節(jié)點電網(wǎng)結(jié)構(gòu)圖Fig.4 Test system of sixteen-machine 68-bus

通過本文方法分析可知，在該仿真步長長下，當系統(tǒng)在故障位置為0.5 時，其準極限穩(wěn)定切除時間為0.095 s，當故障位置為0.8 時，其準極限穩(wěn)定切除時間為0.085 s。通過仿真計算可得，此時平均迭代求解時間為0.002 4 s(聯(lián)想-Y480，4G內(nèi)存，32 位操作系統(tǒng))，其求解效率較高。

圖5、圖6為系統(tǒng)的準極限穩(wěn)定切除時刻前后采用本方法的判別結(jié)果，其中，圖5(a)、圖6(a)中點線、實線、虛線分別對應(yīng)不同短路持續(xù)時間下發(fā)電機1 與2 之間功角差的實際值，×線、＋線、*線分別對應(yīng)不同短路持續(xù)時間下利用本方法推導得到的功角差；圖5(b)、圖6(b)為各時刻矩陣P最小特征根。

圖5 α為0.5 時故障系統(tǒng)穩(wěn)定性Fig.5 Stability of fault system when αis 0.5

由圖5(a)、圖6(a)可知，通過本方法計算得到的發(fā)電機功角差曲線與精確功角差曲線相吻合，表明本方法的正確性。

圖6 α為0.8 時故障系統(tǒng)穩(wěn)定性Fig.6 Stability of fault system when α is 0.8

由圖5(a)、圖6(a)中實線和虛線可知，發(fā)電機1和2 之間的功角差呈振蕩收斂趨勢，表明系統(tǒng)趨于穩(wěn)定。由圖5(b)、圖6(b)中實線和虛線可知，當故障切除時間不大于準極限穩(wěn)定切除時間時，故障消失后，矩陣P始終保持正定，表明系統(tǒng)在故障消失后可以保持穩(wěn)定運行，這與實際仿真得到的功角差曲線相符合。

由圖5(a)和圖6(a)中點線可知，當故障切除時間大于準極限切除時間時，發(fā)電機之間功角差呈發(fā)散趨勢，表明在此故障情況下系統(tǒng)已經(jīng)失穩(wěn)。再者，由圖5(b)和圖6(b)中點線可知，當故障切除時間大于準極限穩(wěn)定切除時間時，矩陣P最小特征值逐漸變?yōu)樨撝担砻飨到y(tǒng)在故障后失去穩(wěn)定，與實際情況相吻合。

4 結(jié)論

本文提出了一種分析故障系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法。該方法有效計及了系統(tǒng)的實變狀態(tài)矩陣與穩(wěn)定性之間的關(guān)系，從而避免了能量函數(shù)方法的逐步積分，并且可迅速判斷故障切除后系統(tǒng)是否穩(wěn)定。首先，通過系統(tǒng)在故障消失點的運行工況，逐步求得系統(tǒng)在故障后系統(tǒng)各運行點的運動軌跡及時變狀態(tài)矩陣。然后，通過各時刻差分方程的解，判定系統(tǒng)是否漸進穩(wěn)定。最后，2 機系統(tǒng)和16 機系統(tǒng)算例表明，該方法能夠正確，快速分析系統(tǒng)在不同故障類因素下的穩(wěn)定性。系統(tǒng)軌跡雖然可以定性判穩(wěn)，但無法對穩(wěn)定性進行定量地分析。本方法通過計算系統(tǒng)時變狀態(tài)矩陣，還可對系統(tǒng)穩(wěn)定裕度、靈敏度等指標進行定量分析。

[1]王彤,馬靜,楊奇遜.交直流互聯(lián)系統(tǒng)區(qū)間振蕩廣域阻尼控制系統(tǒng)設(shè)計[J].電力系統(tǒng)保護與控制,2012,40(8):30-37.

WANG Tong,MA Jing,YANG Qi-xun.Design of wide-area damping control system for inter-area oscillations in AC/DC hybrid power system[J]．Power System Protection and Control,2010,2012,40(8):30-37.

[2]余貽鑫,李鵬.大區(qū)電網(wǎng)弱互聯(lián)對互聯(lián)系統(tǒng)阻尼和動態(tài)穩(wěn)定性的影響[J].中國電機工程學報,2005,25(11):6-11.

YU Yi-xin,LI Peng.The impact of weak internection of bulk power grids to damping and dynamic stability of power systems[J].Proceedings of the CSEE,2005,25(11):6-11.

[3]楊慧敏,易海瓊,文勁宇,等.一種實用的大電網(wǎng)低頻振蕩概率穩(wěn)定性分析方法[J].電工技術(shù)學報,2010,25(3):124-129.

YANG Hui-min,YI Hai-qiong,WEN Jin-yu,et al.A practical stability analysis method for large-scale power system based on low-frequency-oscillation probability[J].Transactions of China Electrotechnical Society,2010,25(3):124-129.

[4]董明齊,楊東俊,黃涌,等.華中電網(wǎng)WAMS 實測區(qū)域低頻振蕩仿真[J].電網(wǎng)技術(shù),2009,33(13):64-69.

DONG Ming-qi,YANG Dong-jun,HUANG Yong,et al.Simulation of regional low frequency oscillation based on data measured by WAMS of Central China Power Grid[J].Power System Technology,2009,33(13):64-69.

[5]薛禹勝,郝思鵬,劉俊勇,等.關(guān)于低頻振蕩分析方法的評述[J].電力系統(tǒng)自動化,2009,33(3):1-8.

XUE Yu-sheng,HAO Si-peng,LIU Jun-yong,et al.A review of analysis methods for low-frequency oscillations[J].Automation of Electric Power Systems,2009,33(3):1-8.

[6]郝思鵬,薛禹勝,唐茂林,等.通過軌跡特征根分析時變振蕩特性 [J].電力系統(tǒng)自動化,2009,33(6):1-5.

HAO Si-peng,XUE Yu-sheng,TANG Mao-lin,et al.Trajectory eigenvalues analysis time variant oscillation characters[J].Automation of Electric Power Systems,2009,33(6):1-5.

[7]倪敬敏,沈沉,譚偉,等.一種基于非平衡點處線性化的同調(diào)識別方法[J].電力系統(tǒng)自動化,2010,34(20):7-12.

NI Jing-min,SHEN Chen,TAN Wei,et al.A coherence identifying method based on linearization at non-equilibrium point[J].Automation of Electric Power Systems,2010,34(20):7-12.

[8]劉尹,羅建,陳剛,等.基于解相關(guān)LMS 自適應(yīng)濾波算法的低頻振蕩模式在線辨識[J].電力系統(tǒng)保護與控制,2012,40(12):72-76.

LIU Yin,LUO Jian,CHEN Gang,et al.Online identification of low frequency oscillation modes based on de-correlation LMS adaptive filtering algorithm[J].Power System Protection and Control,2012,40(12):72-76.

[9]鄧集祥,歐小高,姚天亮.基于小波能量系數(shù)的主導低頻振蕩模式檢測[J].電工技術(shù)學報,2009,24(8):141-146.

DENG Ji-xiang,OU Xiao-gao,YAO Tian-liang.Detection of the dominant inertial modes based on wavelet energy coefficient[J].Transactions of China Electrotechnical Society,2009,24(8):141-146.

[10]王娜娜,劉滌塵,廖清芬,等.基于EMD-TEO 及信號能量分析法的主導低頻振蕩模式識別[J].電工技術(shù)學報,2012,27(6):198-204.

WANG Na-na,LIU Di-chen,LIAO Qing-fen,et al.Identification of dominant inertial modes based on EMD-TEO and signal energy method[J]．Transactions of China Electrotechnical Society,2012,27(6):198-204.

[11]賈勇,何正友.基于受擾軌跡的低頻振蕩分析方法綜述[J].電力系統(tǒng)保護與控制,2012,40(11):140-148.

JIA Yong,HE Zheng-you．Review on analysis methods for low frequency oscillations based on disturbed trajectory[J].Power System Protection and Control,2012,40(11):140-148.

[12]宮璇,劉滌塵,董超,等.基于能量函數(shù)的低頻振蕩新型預警指標[J].電力自動化設(shè)備,2013,33(1):28-34.

GONG Xuan,LIU Di-chen,DONG Chao,et al．Early warning indicator of low frequency oscillation based on energy function[J].Electric Power Automation Equipment,2013,33(3):28-34.

[13]劉笙,汪靜.電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定的能量函數(shù)分析[M].上海:上海交通大學出版社,1996.

[14]倪以信,陳壽孫,張寶霖.動態(tài)電力系統(tǒng)的理論與分析[M].北京:清華大學出版社,2002:344-351.

[15]KUNDUR P.Power system stability and control[M].New York:McGraw-Hill,1994.

[16]潘學萍,薛禹勝,張曉明,等.軌跡特征根的解析估算及誤差分析[J].電力系統(tǒng)自動化,2008,32(19):10-14.

PAN Xue-ping,XUE Yu-sheng,ZHANG Xiao-ming,et al.Analytical calculation of power system trajectory eigenvalues and its error analysis[J].Automation of Electric Power Systems,2008,32(19):10-14.

[17]王錫凡,方萬良,杜正春.現(xiàn)代電力系統(tǒng)分析[M].北京:科學出版社,2003.

[18]施鼎漢.關(guān)于線性時變離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性[J].控制理論與應(yīng)用,1995,12(3):389-396.

[19]張道農(nóng),王兆家,蔣宜國.電力系統(tǒng)實時動態(tài)監(jiān)測系統(tǒng)技術(shù)規(guī)范[S].北京:國家電網(wǎng)公司,2006.

[20]劉豹,唐萬生.現(xiàn)代控制理論[M].北京:機械工業(yè)出版社,2010.

[21]ROGERS G.Power system oscillations[M].USA:Kluwer Academic Publishers,2000.