金智杰

遷移是一種學(xué)習(xí)對另一種學(xué)習(xí)的影響，類比是促進(jìn)正遷移的一種重要手段。數(shù)學(xué)教學(xué)中，運(yùn)用類比促進(jìn)遷移的途徑主要有模型的類比、同類之間的類比和數(shù)學(xué)方法的類比。模型的類比是根據(jù)兩個對象之間的相似性，把信息從一個對象轉(zhuǎn)移到另一個對象，類比的實(shí)質(zhì)就是信息從模型向原型的轉(zhuǎn)移。同類之間的類比是已知同類之間有一類具有某種性質(zhì)，要求學(xué)生類比另一類具有什么性質(zhì)的問題。而與已知數(shù)學(xué)方法類比能很好的提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，另外利用類比遷移還可以產(chǎn)生新的創(chuàng)造。

一、對數(shù)學(xué)類比遷移的理解

為什么會產(chǎn)生遷移，心理學(xué)界眾說紛紜，各執(zhí)一詞。桑代克首先提出了共同要素說，他認(rèn)為一種學(xué)習(xí)之所以有助于另一種學(xué)習(xí)，“只有當(dāng)兩種機(jī)能的因素中有共同要素時，一種機(jī)能的改變才能改變另一種機(jī)能”。賈德在批評共同要素說的基礎(chǔ)上提出了概括化理論。該理論認(rèn)為，遷移的發(fā)生不在于任務(wù)之間表面的類似性，而在于學(xué)習(xí)者是否對有關(guān)知識的概括化理解，強(qiáng)調(diào)的是原則的類推和應(yīng)用。在這兩種經(jīng)典遷移理論的基礎(chǔ)上，心理學(xué)家引入了認(rèn)知心理學(xué)研究的新成果，形成了影響較大的三種遷移理論：即圖式理論，該理論主要利用學(xué)習(xí)者的知識結(jié)構(gòu)闡述遷移發(fā)生的機(jī)制；共同要素理論，這是共同要素說發(fā)展的現(xiàn)代版本，從遷移任務(wù)和訓(xùn)練任務(wù)之間的關(guān)系分析遷移的機(jī)制；元認(rèn)知理論，這是學(xué)習(xí)定勢理論的進(jìn)一步發(fā)展，主要利用學(xué)習(xí)者的元認(rèn)知能力解釋遷移發(fā)生的機(jī)制。在這三種遷移理論中，類比遷移已成為心理學(xué)家研究的核心，所謂類比遷移就是用熟悉問題的解決方法去解決新問題的一種解題策略，它可以發(fā)生在具有相同或非常接近的概念領(lǐng)域。

數(shù)學(xué)學(xué)科是統(tǒng)一的整體，其組織的活力依賴于其各個部分之間的聯(lián)系。也正是數(shù)學(xué)知識之間的各種各樣的聯(lián)系，使數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)形成了一種穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，我們常常遇到兩個不同的知識系統(tǒng)或不同的問題，它們存在一致的原理、類似的結(jié)構(gòu)、相同的構(gòu)成部分或相同的本質(zhì)聯(lián)系等共性要素，這些共性要素往往就成為問題解決的突破口或新知識的增長點(diǎn)，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中產(chǎn)生遷移的基因，也是影響類比遷移的一個主要客觀因素。除上述客觀因素外，學(xué)生頭腦中的知識結(jié)構(gòu)，即認(rèn)知結(jié)構(gòu)是影響類比遷移的主觀因素。遷移可理解為認(rèn)知結(jié)構(gòu)（即學(xué)生頭腦里的知識結(jié)構(gòu)）對新的學(xué)習(xí)的影響，數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)歸根到底是為了達(dá)到有效地實(shí)現(xiàn)正遷移。通過某種途徑將新的學(xué)習(xí)或問題納入原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使知識在新的問題情境中產(chǎn)生正遷移。我們把溝通認(rèn)知結(jié)構(gòu)與新的學(xué)習(xí)途徑看成是“認(rèn)知橋梁”，為擴(kuò)大知識的正遷移量，設(shè)計(jì)好認(rèn)知橋梁是關(guān)鍵。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，類比不失為一種好的認(rèn)知橋梁，即通過類比把新的學(xué)習(xí)或問題納入原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，產(chǎn)生知識的遷移。

二、數(shù)學(xué)類比遷移實(shí)施過程的具體實(shí)例

類比型數(shù)學(xué)問題特點(diǎn)是根據(jù)兩個對象或兩類事物之間存在著一些相同或相似的屬性，猜測它們之間可能具有其它一些相同或相似的屬性的思維方法。這類問題是以類比思維為軸心，與數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識相結(jié)合，著重檢測學(xué)生的探究能力、創(chuàng)造能力、推理能力，對學(xué)生的能力和素質(zhì)的要求比較高。這類題目的特點(diǎn)是給出一個數(shù)學(xué)情境或一個數(shù)學(xué)命題，要求解題者發(fā)散思維去聯(lián)想，類比，推廣，轉(zhuǎn)化，找出類似的命題，推廣的命題，深入的命題。下面以具體實(shí)例說明類比過程的具體實(shí)施。

（一）模型的類比

所謂模型類比是根據(jù)兩個對象之間的相似性，把信息從一個對象轉(zhuǎn)移到另一個對象。類比的實(shí)質(zhì)就是信息從模型向原型的轉(zhuǎn)移，其步驟可由右邊框圖表示：類比的方法是以兩個對象之間的類似為基礎(chǔ)的。

例l. 把立體幾何知識與相關(guān)的平面幾何知識類比，是實(shí)現(xiàn)知識遷移的有效方法，也利于化難為易，啟迪思維。如，關(guān)于勾股定理，可有幾個類比：

勾股定理：在直角邊長為a，b，斜邊長為c的直角三角形中，有a2+b2=c2。

類比1：長、寬、高分別為p，q，r，對角線長為d的長方體中，有p2+q2+r2=d2。

類比2：長方體交于某一頂點(diǎn)的三個長方形面的對角線長分別為p，q，r，長方體對角線長為d，則有p2+q2+r2=2d2。

類比3：四面體交于一個頂點(diǎn)0的三條棱兩兩互相垂直，與O相鄰的三個面的面積分別為A，B，C，與O相對的面的面積為D，則有：A2+B2+C2=D2。

我們知道正三角形內(nèi)任一點(diǎn)P到各邊距離之和為常數(shù)。分別從三條邊相等與三個角相等類比，“在各邊相同的凸多邊形內(nèi)任一點(diǎn)P到各邊距離之和為常數(shù)”和“在各角相等的凸多邊形內(nèi)任一點(diǎn)P到各邊距離之和為常數(shù)”。可以用面積法證明這兩個命題都是正確的。

在平面幾何里，有勾股定理：“設(shè)△ABC的兩邊AB，AC互相垂直，則AB2+AC2=BC2”拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側(cè)面面積與底面面積間的關(guān)系，可以得出的正確結(jié)論是：“設(shè)三棱錐A—BCD的三個側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩相互垂直，則S2△ABC+S2△ACD+S2△ADB=S2△BCD。”

提醒：關(guān)于空間問題與平面問題的類比，通常可抓住幾何要素的如下對應(yīng)關(guān)系作對比：

（二）同類之間類比

同類之間類比就是已知同類之間有一類具有某種性質(zhì)，要求考生類比另一類具有什么性質(zhì)的問題。比如橢圓與雙曲線類比，等差數(shù)列與等比數(shù)列類比等等。

例2.有對稱中心的曲線叫做有心曲線，顯然圓、橢圓、雙曲線都是有心曲線。過有心曲線的中心的弦叫做有心曲線的直徑，（為研究方便，不妨設(shè)直徑所在直線的斜率存在）。

定理：過圓x2+y2=r2，（r>0）上異于直徑兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)與一條直徑的兩個端點(diǎn)連線，則兩條連線的斜率之積為定值-1。

（Ⅰ） 寫出該定理在橢圓x2-a2+y2-b2=1（a>b>0）中的推廣，并加以證明；

（Ⅱ）寫出該定理在雙曲線x2-a2-y2-b2=1中的推廣；你能從上述結(jié)論得到有心圓錐曲線（包括橢圓、雙曲線、圓）的一般性結(jié)論嗎？請寫出你的結(jié)論。

解析：設(shè)直徑的兩個端點(diǎn)分別為A、B，由橢圓的對稱性可得，A、B關(guān)于中心O（0，0）對稱，所以A、B點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（x1，y1），B（-x1，-y1）。P（x，y）為上橢圓x2-a2+y2-b2=1上任意一點(diǎn)，顯然，kPA，kPB，從而有kPA·kPB。又因?yàn)锳、B、P三點(diǎn)都在橢圓上，所以有，b2x2+a2y2=a2b2①，，b2x12+a2y12=a2b2

②。由①-②得：b2（x2-x12）+a2（y2-y12）=0，故有kPA·kPB=。

所以該定理在橢圓中的推廣為：過橢圓（a>b>0）異于直徑兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)與一條直徑的兩個端點(diǎn)連線，則兩條連線的斜率之積為定值。

（Ⅱ）該定理在雙曲線中的推廣為：過雙曲線上異于直徑兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)與一條直徑的兩個端點(diǎn)連線，則兩條連線的斜率之積為定值。

該定理在有心圓錐曲線中的推廣應(yīng)為：過有心圓錐曲線Ax2+By2=1上異于直徑兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)與一條直徑的兩個端點(diǎn)連線，則兩條連線的斜率之積為定值。

（三）數(shù)學(xué)方法類比

思維能力的培養(yǎng)是數(shù)學(xué)教學(xué)最重要的任務(wù)之一，與已知數(shù)學(xué)解題方法類比型問題能很好的提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和知識、方法的遷移能力，近年高考中屢見不鮮。

例3、（1）設(shè)函數(shù)，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法，可求得f（-5）+f（-4）+…f（0）+…f（5）+f（6）=

（2）已知函數(shù)，那么f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（1—4）+f（1—3）+f（1—2）=

兩小題都是求和（求函數(shù)值的和）問題，把它們與數(shù)列求和進(jìn)行類比。觀察各函數(shù)值中自變量的特點(diǎn)，聯(lián)想等差數(shù)列求和的方法是a1+an=a2+an-1=a3+an-2，于是對于第（1）題，我們可以采用求f（-5）+f（6）、f（-4）+f（5）、…、f（0）+f（1），而-5+6=-4+5=-3+4=…=0+1。對于一般情形有

故原式的值為。

對于第（2）題，也用類比思想方法求f（2）+f（1—2）、f（3）+f（1—3）、f（4）+f（1—4）。我們很快發(fā)現(xiàn)f（λ）+f（1—λ）=1，于是原式的值為7-2。

（四）利用類比遷移產(chǎn)生新的創(chuàng)造

利用遷移還能產(chǎn)生創(chuàng)造，下面是個由遷移而發(fā)現(xiàn)新定理的案例一一連續(xù)歸納法的發(fā)現(xiàn)。

實(shí)數(shù)，是從自然數(shù)系演變擴(kuò)充而得到的。自然數(shù)是全序集，實(shí)數(shù)也是全序集。那么，對自然數(shù)系而言的有力工具，能不能“遷移”過來，用于實(shí)數(shù)系呢？具體地說，能不能把大家熟悉的數(shù)學(xué)歸納法搬到實(shí)數(shù)系里去“一試身手”呢？

數(shù)學(xué)歸納法的正確性，由自然數(shù)的一個性質(zhì)而來一一“非空的自然數(shù)集里必有最小數(shù)”。從這一點(diǎn)著眼，又建立了超限歸納法，它可以用于任一個“良序集”。因?yàn)椋傲夹蚣闭沁@樣的全序集，“它的任一非空子集，有最小元素”。

實(shí)數(shù)集，按自然大小順序，它的子集不一定有最小數(shù)。這給歸納推理造成了困難。也許正是因?yàn)檫@個原因，這個很容易想到的工具始終沒有被人們使用過。

確實(shí)，我們的思想常受古圣、先哲的限制，因而很少去追求珍貴遺產(chǎn)中的不足之處。其實(shí)，變通一下歸納法的形式，就能繞過實(shí)數(shù)集是按自然大小非良序集的困難。

讓我們比較一下兩種歸納法。

（1）關(guān)于自然數(shù)的數(shù)學(xué)歸納法。設(shè)Pn只是一個涉及自然數(shù)n的命題，如果：①有某個n0，使對一切n

（2）關(guān)于實(shí)數(shù)的數(shù)學(xué)歸納法。

設(shè)Pn是一個涉及實(shí)數(shù)x的命題，如果：①某個x0，使對一切x0，使Pn對一切x

上述（1）是大家熟知的數(shù)學(xué)歸納法，（2）是我們提出來的連續(xù)歸納法。

兩種歸納法，何其相似。這種新的歸納法一提出來，跟著就產(chǎn)生了必須回答的問題：第一，它是否正確？第二，它是否有用？是否好用？第三，它與現(xiàn)在常用的關(guān)于實(shí)數(shù)的命題是什么關(guān)系？

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的類比遷移過程應(yīng)是一種創(chuàng)造性過程，在這一過程中，不但要注重知識與知識、問題與問題之間的類似性，更要以此為出發(fā)點(diǎn)，努力創(chuàng)造過程性知識，并加以恰當(dāng)?shù)乇碚?，不僅可以達(dá)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的正遷移效果，而且使學(xué)習(xí)者原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)得到有效的整合和優(yōu)化，從而為進(jìn)一步的類比遷移提供必要的基礎(chǔ)，形成良性循環(huán)?？傊?，遷移理論在數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，它不僅能促進(jìn)知識、技能和方法的遷移，而且能揭示知識間的聯(lián)系，優(yōu)化數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，對學(xué)生基礎(chǔ)知識和基本技能的掌握及創(chuàng)造思維能力的培養(yǎng)都具有重要意義。

參考文獻(xiàn)：

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[2] 張景中.教育數(shù)學(xué)探索[M].成都：四川教育出版社，1992。