施逸飛,熊岳山,朱晨陽(yáng),施 鵬

(國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院高性能計(jì)算國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,長(zhǎng)沙410073)

改進(jìn)的三角網(wǎng)格表面近似測(cè)地線(xiàn)算法

施逸飛,熊岳山,朱晨陽(yáng),施 鵬

(國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院高性能計(jì)算國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,長(zhǎng)沙410073)

三角網(wǎng)格表面的測(cè)地線(xiàn)計(jì)算問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為三角網(wǎng)格表面兩點(diǎn)間的最短路徑計(jì)算問(wèn)題,為了快速地計(jì)算三角網(wǎng)格表面測(cè)地線(xiàn),提出一種基于縮小最短路徑搜索區(qū)域的三角網(wǎng)格表面近似測(cè)地線(xiàn)算法。將三角網(wǎng)格沿坐標(biāo)系三坐標(biāo)軸方向進(jìn)行空間單元?jiǎng)澐?使用A*算法求出兩點(diǎn)間的最短路徑盒子序列,進(jìn)而得到新的搜索區(qū)域,計(jì)算三角網(wǎng)格上兩點(diǎn)間的最短路徑,迭代細(xì)分最短路徑鄰域內(nèi)的邊以構(gòu)造新的網(wǎng)格求解測(cè)地線(xiàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,該算法能夠快速準(zhǔn)確地計(jì)算出三角網(wǎng)格表面任意兩點(diǎn)間的近似測(cè)地線(xiàn),有效解決大型三角網(wǎng)格上最短路徑計(jì)算速度慢的問(wèn)題,計(jì)算速度較改進(jìn)前的算法提高了10倍～59倍。將該算法應(yīng)用到虛擬肝臟手術(shù)系統(tǒng)的區(qū)域標(biāo)定中,可滿(mǎn)足虛擬場(chǎng)景中對(duì)計(jì)算實(shí)時(shí)性和效果真實(shí)性的要求。

測(cè)地線(xiàn);三角網(wǎng)格;空間單元?jiǎng)澐?A*算法;虛擬肝臟手術(shù);觸覺(jué)交互設(shè)備

1 概述

計(jì)算三角網(wǎng)格模型表面兩點(diǎn)間的測(cè)地線(xiàn)是計(jì)算幾何中的一個(gè)基礎(chǔ)性問(wèn)題,被廣泛應(yīng)用于計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、地理信息系統(tǒng)、機(jī)器人學(xué)、虛擬現(xiàn)實(shí)、虛擬手術(shù)等領(lǐng)域,有重要的理論意義與應(yīng)用價(jià)值。

目前已有多種針對(duì)三角網(wǎng)格模型的測(cè)地線(xiàn)算法,可分為2類(lèi):(1)計(jì)算三角網(wǎng)格上一點(diǎn)與其他所有點(diǎn)之間的測(cè)地線(xiàn)算法;(2)計(jì)算給定兩點(diǎn)間的測(cè)地線(xiàn)算法。在第(1)類(lèi)測(cè)地線(xiàn)算法中,文獻(xiàn)［1］提出了使用連續(xù)的Dijkstra算法計(jì)算測(cè)地線(xiàn)的MMP算法,該算法的時(shí)間復(fù)雜度為O(n2logn);文獻(xiàn)［2］證明了MMP算法的實(shí)際運(yùn)算速度比理論速度快得多,并提出了一種復(fù)雜度為O(nlogn)的測(cè)地線(xiàn)近似算法;文獻(xiàn)［3］提出了著名的CH算法,該算法選定網(wǎng)格上一點(diǎn)作為根結(jié)點(diǎn),以網(wǎng)格的邊為葉子結(jié)點(diǎn),構(gòu)造一棵序列樹(shù),任意點(diǎn)到選定點(diǎn)的測(cè)地線(xiàn)可以在O(n2)內(nèi)計(jì)算得到;文獻(xiàn)［4］提出一種時(shí)間復(fù)雜度為O(n)的測(cè)地線(xiàn)近似算法,但事先需要對(duì)模型進(jìn)行長(zhǎng)時(shí)間預(yù)處理;文獻(xiàn)［5］將熱學(xué)擴(kuò)散方法引入測(cè)地線(xiàn)的計(jì)算,將近似測(cè)地線(xiàn)的計(jì)算速度提高了一個(gè)數(shù)量級(jí)。在第(2)類(lèi)測(cè)地線(xiàn)算法中,文獻(xiàn)［6］將三角網(wǎng)格模型轉(zhuǎn)化為帶權(quán)圖,利用Dijkstra算法計(jì)算圖上兩點(diǎn)間的最短路徑,再細(xì)分最短路徑鄰域上的邊來(lái)更新帶權(quán)圖,反復(fù)迭代計(jì)算最短路徑得到兩點(diǎn)間的近似測(cè)地線(xiàn);文獻(xiàn)［2］在MMP算法的基礎(chǔ)上引入啟發(fā)性函數(shù),使用連續(xù)的A*算法求取兩點(diǎn)間測(cè)地線(xiàn)。

本文在文獻(xiàn)［6］的基礎(chǔ)上,針對(duì)Dijkstra算法計(jì)算最短路徑速度較慢的問(wèn)題,提出一種基于空間單元?jiǎng)澐值淖疃搪窂剿阉鲄^(qū)域縮小算法,在最短路徑計(jì)算前排除明顯不在最短路徑附近的邊,提高最短路徑的計(jì)算速度。

2 最短路徑搜索區(qū)域縮小算法

基于空間單元?jiǎng)澐值淖疃搪窂剿阉鲄^(qū)域縮小算法的思想為:先構(gòu)造一個(gè)由多個(gè)大小相等的正方體盒子構(gòu)成的搜索空間,求解盒子中心點(diǎn)間的最短路徑［7-8］,然后由最短路徑上盒子及其領(lǐng)域中的網(wǎng)格構(gòu)成新的搜索區(qū)域,在該搜索區(qū)域中可求出較精確的最短路徑視為測(cè)地線(xiàn)。

將三角網(wǎng)格模型G進(jìn)行空間單元?jiǎng)澐?設(shè)Xmax,Xmin,Ymax,Ymin,Zmax,Zmin分別為三角網(wǎng)格模型在X,Y,Z軸上的最大值和最小值,沿X軸方向所劃分的盒子數(shù)量為m,則單個(gè)盒子的長(zhǎng)度GridSize為:

沿Y,Z方向劃分的盒子數(shù)量n,l分別為:

三角網(wǎng)格模型就被分為m×n×l個(gè)正方體盒子。

遍歷三角網(wǎng)格模型,找到每一個(gè)三角面片所在的正方體盒子,如果一個(gè)三角面片在多個(gè)正方體盒子中,則以三角面片質(zhì)心所在的盒子為準(zhǔn)。將包含三角面片的正方體盒子視為有效盒子,刪除不是有效盒子的正方體盒子。圖1是對(duì)Bunny模型進(jìn)行空間單元?jiǎng)澐值玫降乃姓襟w盒子和有效盒子。

圖1 Bunny模型的空間單元?jiǎng)澐?/p>

使用A*算法求解測(cè)地線(xiàn)兩端點(diǎn)所在盒子間的最短路徑［9］。A*算法是一種啟發(fā)式的搜索算法［10］,它把當(dāng)前結(jié)點(diǎn)與起始節(jié)點(diǎn)的耗散g(n)和與目標(biāo)節(jié)點(diǎn)的耗散h(n)結(jié)合起來(lái)對(duì)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行評(píng)價(jià):

本文將g(n)設(shè)為起始盒子到當(dāng)前盒子的距離,h(n)設(shè)為目標(biāo)盒子到當(dāng)前盒子的距離的一半,用f(n)來(lái)評(píng)價(jià)結(jié)點(diǎn)。

設(shè)給定測(cè)地線(xiàn)起點(diǎn)所在盒子的序號(hào)為indexs,終點(diǎn)所在盒子序號(hào)為indexe,則使用A*搜索算法計(jì)算得到的indexs到indexe的最短路徑L為一個(gè)相互連接的盒子序列,該盒子序列大致體現(xiàn)了兩點(diǎn)間測(cè)地線(xiàn)的形態(tài)。取出盒子序列以及其n-鄰域上盒子中包含的三角面片構(gòu)成新的測(cè)地線(xiàn)搜索網(wǎng)格區(qū)域G′,兩點(diǎn)間的測(cè)地線(xiàn)必定位于新的搜索區(qū)域中。

整個(gè)算法可描述為:

算法SearchAreaRefining(G)輸入 完整的三角網(wǎng)格模型G

輸出 優(yōu)化后的三角網(wǎng)格搜索區(qū)域G′

(1)將模型G所在空間劃分為若干個(gè)相等的正方體盒子。

(2)將含有三角面片的盒子記為有效盒子,刪除非有效的盒子。

(3)使用A*算法計(jì)算測(cè)地線(xiàn)起點(diǎn)和終點(diǎn)所在盒子indexs和indexe間的最短路徑,得到盒子序列L。

(4)取出盒子序列L及其n-領(lǐng)域上的盒子內(nèi)所包含的三角面片,得到優(yōu)化后的搜索區(qū)域G′。

圖2 Bunny模型搜索區(qū)域的優(yōu)化

圖2是對(duì)Bunny網(wǎng)格模型搜索區(qū)域進(jìn)行優(yōu)化前后的對(duì)比,經(jīng)過(guò)上述方法的優(yōu)化,Bunny模型上兩點(diǎn)間最短路徑的搜索區(qū)域三角面片數(shù)量由原來(lái)的5 328個(gè)減小為556個(gè),搜索區(qū)域大大縮小,在三角網(wǎng)格表面計(jì)算最短路徑的速度將顯著提高。判斷三角面片屬于哪個(gè)正方體盒子需要遍歷整個(gè)網(wǎng)格,計(jì)算量較大,但可以通過(guò)預(yù)處理提前計(jì)算完成,不會(huì)占用該算法的計(jì)算時(shí)間。因?yàn)橛?jì)算最短路徑使用A*算法,得到盒子序列的計(jì)算無(wú)需遍歷所有有效盒子,同時(shí)有效盒子的數(shù)量往往比三角面片數(shù)量少得多,所以上述方法可以在很短的時(shí)間內(nèi)得到盒子序列及其1-領(lǐng)域內(nèi)的盒子。A*搜索算法的時(shí)間復(fù)雜度為O(n),通過(guò)盒子序列得到新的搜索區(qū)域的時(shí)間復(fù)雜度為O(1),本文算法總的時(shí)間復(fù)雜度為

O(n)。

3 迭代細(xì)分的近似測(cè)地線(xiàn)計(jì)算

本文算法可以計(jì)算三角網(wǎng)格上任意兩點(diǎn)間的測(cè)地線(xiàn),測(cè)地線(xiàn)的起點(diǎn)和終點(diǎn)無(wú)需是三角網(wǎng)格的頂點(diǎn)。若三角網(wǎng)格面上的某點(diǎn)不為三角網(wǎng)格的頂點(diǎn),可對(duì)該點(diǎn)所在的三角面片進(jìn)行剖分,這樣任意三角網(wǎng)格表面的點(diǎn)都可轉(zhuǎn)化為三角網(wǎng)格的頂點(diǎn)。如圖3所示,剖分三角形ABC,可使點(diǎn)D成三角網(wǎng)格的頂點(diǎn)。

圖3 三角形剖分策略

三角形剖分完成后,可采用文獻(xiàn)［6］的方法計(jì)算三角網(wǎng)格表面任意兩頂點(diǎn)間的近似測(cè)地線(xiàn)。文獻(xiàn)［6］的方法首先將原三角網(wǎng)格模型轉(zhuǎn)換成無(wú)向鄰接圖,在圖中使用Dijkstra算法求得兩頂點(diǎn)間的最短路徑,接著細(xì)分最短路徑領(lǐng)域內(nèi)的邊,使新加入的邊從原三角面片的內(nèi)部通過(guò),構(gòu)成新的無(wú)向鄰接圖。反復(fù)細(xì)分最短路徑領(lǐng)域內(nèi)的邊,并計(jì)算更新后圖中兩點(diǎn)間的最短路徑,直到前后兩次最短路徑之差小于給定閾值,求得的最短路徑即為兩點(diǎn)間的近似測(cè)地線(xiàn)。

圖4是使用文獻(xiàn)［6］中方法計(jì)算最短路徑的結(jié)果,圖4(a)中的粗線(xiàn)為初始網(wǎng)格中的最短路徑,圖4(b)中的粗線(xiàn)為近似測(cè)地線(xiàn)。

圖4 文獻(xiàn)[6]方法的計(jì)算結(jié)果

文獻(xiàn)［6］中方法需要在整個(gè)網(wǎng)格范圍內(nèi)進(jìn)行最短路徑計(jì)算,由于三角網(wǎng)格模型通常規(guī)模較大,該方法的主要時(shí)間消耗在初始最短路徑的計(jì)算中。使用基于空間單元?jiǎng)澐值淖疃搪窂剿阉鲄^(qū)域縮小算法進(jìn)行優(yōu)化,可以提前排除與最短路徑距離較遠(yuǎn)的邊,縮小搜索區(qū)域,減小初始最短路徑的計(jì)算時(shí)間。

4 算法實(shí)驗(yàn)與分析

為了驗(yàn)證本文算法,在 PC機(jī)(CPU為雙核1.40 GHz,RAM 2 GB)上進(jìn)行了實(shí)驗(yàn),選取圖5所示的5個(gè)不同規(guī)模的三角網(wǎng)格模型,計(jì)算其中選定兩點(diǎn)間的測(cè)地線(xiàn),結(jié)果如表1所示?？梢钥闯?本文算法計(jì)算速度優(yōu)于文獻(xiàn)［6］中的算法,三角網(wǎng)格模型規(guī)模越大,優(yōu)勢(shì)越明顯。對(duì)于由69 451個(gè)三角面片構(gòu)成的Bunny模型,本文算法的計(jì)算速度是文獻(xiàn)［6］算法的59倍,計(jì)算效率明顯提高。

圖5 三角網(wǎng)格模型和測(cè)地線(xiàn)

表1 求解模型表面測(cè)地線(xiàn)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

圖5中所有模型的測(cè)地線(xiàn)均可被正確求解,證明了本文算法是切實(shí)可行的,且魯棒性好。對(duì)于較復(fù)雜的模型,可以通過(guò)增加盒子劃分?jǐn)?shù)量的同時(shí)增大提取最短路徑盒子序列的n-鄰域操作中的n來(lái)提高結(jié)果的精度。

在含有13 070個(gè)三角面片的Liver模型上進(jìn)行多組測(cè)地線(xiàn)計(jì)算,規(guī)定測(cè)地線(xiàn)相對(duì)長(zhǎng)度為測(cè)地線(xiàn)長(zhǎng)度除以模型長(zhǎng)方體包圍盒對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度,圖6為計(jì)算結(jié)果?？梢钥闯?模型大小一定時(shí),測(cè)地線(xiàn)越短,加速比越大。由于本文算法避免了在全局范圍內(nèi)進(jìn)行Dijkstra計(jì)算,計(jì)算時(shí)間只和測(cè)地線(xiàn)經(jīng)過(guò)的三角面片數(shù)量有關(guān),而與模型的大小無(wú)關(guān)。本文算法適合大規(guī)模三角網(wǎng)格上的測(cè)地線(xiàn)計(jì)算,對(duì)于大規(guī)模三角模型上短距離的測(cè)地線(xiàn)計(jì)算有明顯的時(shí)間優(yōu)勢(shì)。

圖6 Liver模型上不同長(zhǎng)度測(cè)地線(xiàn)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

5 虛擬肝臟手術(shù)區(qū)域標(biāo)定

虛擬肝臟手術(shù)是虛擬現(xiàn)實(shí)技術(shù)在現(xiàn)代醫(yī)學(xué)中的重要應(yīng)用,它對(duì)虛擬場(chǎng)景的真實(shí)感、精確度、實(shí)時(shí)性和交互性的要求比普通虛擬現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)更高［11］。虛擬肝臟區(qū)域標(biāo)定是虛擬肝臟手術(shù)的重要步驟之一,是一個(gè)典型的三角網(wǎng)格上測(cè)地線(xiàn)的計(jì)算問(wèn)題。區(qū)域標(biāo)定操作使用虛擬手術(shù)電刀與肝臟表面的三角網(wǎng)格接觸,采集得到一連串離散點(diǎn),計(jì)算這些離散點(diǎn)間的測(cè)地線(xiàn)。測(cè)地線(xiàn)是貼于三角網(wǎng)格表面的最短線(xiàn)段,依次連接相鄰兩離散點(diǎn)的測(cè)地線(xiàn)可以得到一條長(zhǎng)曲線(xiàn),模擬電刀在肝臟表面劃過(guò)的動(dòng)作,如同用筆在紙上劃線(xiàn)。

本文虛擬肝臟手術(shù)系統(tǒng)的硬件為PC機(jī)(CPU四核3.40 GHz,RAM 8 GB)以及SensAble公司生產(chǎn)的PHANTOM觸覺(jué)交互設(shè)備［12］,系統(tǒng)軟件開(kāi)發(fā)基于圖形開(kāi)發(fā)包OpenGL和力反饋開(kāi)發(fā)包OpenHaptic,OpenGL用來(lái)完成圖形的繪制工作, OpenHaptic用來(lái)完成觸覺(jué)系統(tǒng)的交互工作。為了模擬真實(shí)手術(shù)場(chǎng)景,在該系統(tǒng)的區(qū)域標(biāo)定步驟中, PHANTOM觸覺(jué)交互設(shè)備在肝臟表面的采點(diǎn)速率不能低于每秒3個(gè),相鄰兩點(diǎn)間的測(cè)地線(xiàn)必須在0.33 s內(nèi)計(jì)算完成,若在整個(gè)三角網(wǎng)格模型范圍內(nèi)進(jìn)行Dijkstra最短路徑計(jì)算將無(wú)法滿(mǎn)足實(shí)時(shí)計(jì)算的要求。

PHANTOM采集到的點(diǎn)間距離通常不大,使用本文算法可以縮小最短路徑搜索區(qū)域,提高計(jì)算效率。將肝臟模型劃分為15×10×10個(gè)正方體盒子,近似測(cè)地線(xiàn)的計(jì)算進(jìn)行5次迭代求解得到,離散點(diǎn)間的近似測(cè)地線(xiàn)如圖7中線(xiàn)段所示。測(cè)地線(xiàn)的平均計(jì)算時(shí)間為 0.03 s,測(cè)地線(xiàn)的平均計(jì)算誤差為0.07%,可以滿(mǎn)足虛擬場(chǎng)景的實(shí)時(shí)性和真實(shí)性的要求。

圖7 肝臟手術(shù)區(qū)域標(biāo)定的模擬效果

6 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了基于空間單元?jiǎng)澐值淖疃搪窂剿阉鲄^(qū)域縮小算法,對(duì)三角網(wǎng)格表面兩點(diǎn)間近似測(cè)地線(xiàn)的算法進(jìn)行了改進(jìn),使近似測(cè)地線(xiàn)迭代計(jì)算中初始最短路徑計(jì)算的速度明顯提高。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,該算法有效地解決了大型網(wǎng)格表面近似測(cè)地線(xiàn)計(jì)算效率低下的問(wèn)題,近似測(cè)地線(xiàn)的計(jì)算時(shí)間較原算法大大減少。將該算法應(yīng)用于虛擬肝臟手術(shù)系統(tǒng)中,滿(mǎn)足了模擬肝臟手術(shù)表面區(qū)域標(biāo)定對(duì)實(shí)時(shí)性和真實(shí)性的需求。

對(duì)于復(fù)雜的、表面起伏較大的三角網(wǎng)格中測(cè)地線(xiàn)的計(jì)算,必須采用減小空間單元?jiǎng)澐值拿芏然蛘邤U(kuò)大有效盒子鄰域的方法來(lái)保證結(jié)果的正確性,這在一定程度上降低了計(jì)算效率,因此,如何根據(jù)三角網(wǎng)格的分布特征對(duì)模型進(jìn)行非均勻單元?jiǎng)澐?提高算法的效率和精確性,是下一步需要研究的內(nèi)容。

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編輯 顧逸斐

Improved Surface Approximate Geodesic Algorithm on Triangle Mesh

SHI Yifei,XIONG Yueshan,ZHU Chenyang,SHI Peng
(State Key Laboratory of High Performance Computing,School of Computer, National University of Defense Technology,Changsha 410073,China)

The computation of approximate geodesics algorithm on triangle mesh can be transformed to the computation of the shortest path on triangle mesh.In order to figure out the geodesics on triangle mesh efficiently,an improved approximate geodesics algorithm is presented.A weighted graph is constructed by splitting triangle mesh along the Cartesian coordinate axes,thus the shortest path on lattice can be computed by A*algorithm and a new region of search can be defined.The neighboring edges of the shortest path are iteratively subdivided to construct a new weighted graphs to approach the geodesic.Experimental results show the improved algorithm can figure out the geodesics precisely and efficiently.The speed up ratio of the algorithm range is increased between 10 and 59.A region labeling method on virtual liver surgery based on the improved algorithm is also proposed,which can meet the computational real-time and quality requirements of virtual scene.

geodesic;triangle mesh;division of space unit;A*algorithm;virtual liver surgery;haptic interface device

10.3969/j.issn.1000-3428.2014.11.044

1000-3428(2014)11-0225-04

A

TP391

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61379103,61202333,61303185);高等院校博士點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng)基金資助項(xiàng)目(20104307110003)。

施逸飛(1991-),男,碩士,主研方向:計(jì)算機(jī)圖形學(xué),虛擬現(xiàn)實(shí);熊岳山,教授、博士、博士生導(dǎo)師;朱晨陽(yáng)、施 鵬,碩士。

2013-10-21

2013-12-19E-mail:jerrysyf@gmail.com

中文引用格式:施逸飛,熊岳山,朱晨陽(yáng),等.改進(jìn)的三角網(wǎng)格表面近似測(cè)地線(xiàn)算法［J］.計(jì)算機(jī)工程,2014,40(11):225-228.

英文引用格式:Shi Yifei,Xiong Yueshan,Zhu Chenyang,et al.Improved Surface Approximate Geodesic Algorithm on Triangle Mesh［J］.Computer Engineering,2014,40(11):225-228.