廖宗勐，張衛(wèi)平

(廣西大學(xué) 物理科學(xué)與工程技術(shù)學(xué)院，南寧 530004)

雙光柵色散_匯合光譜成像效應(yīng)的計(jì)算機(jī)模擬與實(shí)現(xiàn)

廖宗勐，張衛(wèi)平

(廣西大學(xué) 物理科學(xué)與工程技術(shù)學(xué)院，南寧 530004)

根據(jù)雙光柵色散_匯合光譜衍射成像系統(tǒng)光路與光柵方程，用Python程序語(yǔ)言編寫了雙光柵衍射成像過程的模擬實(shí)驗(yàn)程序。文中給出了計(jì)算式、算法流程以及圖形用戶界面（Graphical User Interface，GUI）的設(shè)計(jì)，所編寫的程序不僅能模擬實(shí)際的雙光柵色散_匯合光譜衍射成像實(shí)驗(yàn)，得到相關(guān)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，還能演示雙光柵衍射成像過程中的光路變化與成像效果。

雙光柵成像；光柵衍射成像；匯合光譜；色散_匯合光譜

光柵是廣為應(yīng)用的重要光學(xué)元件，具有典型的光衍射特性。講授光柵知識(shí)，使學(xué)生們充分掌握光柵的衍射特性及其衍射規(guī)律是《物理光學(xué)》教學(xué)的重要內(nèi)容之一。而現(xiàn)有教科書[1_4]普遍只是講述光柵衍射特性下的色散、分光效應(yīng)，未涉及光柵的匯合光譜效應(yīng)[5]，因而這種講述未能夠充分反映光柵衍射特性。新穎的雙光柵色散_匯合光譜成像效應(yīng)[5_6]綜合體現(xiàn)了光柵的分光、色散、匯合光譜效應(yīng)，充分地反映了光柵的衍射特性，故將其引入物理教學(xué)，對(duì)于學(xué)生充分認(rèn)識(shí)光柵，開拓思維有良好作用。

2001年，張衛(wèi)平等人報(bào)道了雙光柵色散_匯合光譜成像(也稱為雙光柵成像、雙光柵傳遞圖像)現(xiàn)象后[6]，又對(duì)該現(xiàn)象進(jìn)行了深入研究，取得了“國(guó)際先進(jìn)”的科研成果[7]，并將該成果融入大學(xué)本科光學(xué)課程的教學(xué)，還創(chuàng)建并開出了相關(guān)實(shí)驗(yàn)[8_10]。然而在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，由于雙光柵成像同時(shí)兼有光柵的色散與匯合光譜效應(yīng)，通過單純地講授或閱讀教材不能使學(xué)生很好地理解相關(guān)知識(shí)，因此，本文利用計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)的方法幫助解決上述問題。利用Python語(yǔ)言及其Tkinter模塊編寫帶有圖形用戶界面(GUI)的雙光柵衍射模擬實(shí)驗(yàn)程序，同時(shí)給出成像光路圖與物光波經(jīng)過兩光柵衍射后的各級(jí)光譜圖像，包括匯合光譜圖像，動(dòng)態(tài)再現(xiàn)了整個(gè)雙光柵色散_匯合光譜成像過程。該程序用于教學(xué)，能有效幫助學(xué)生們深入認(rèn)識(shí)光柵的衍射特性，更好地掌握光學(xué)衍射知識(shí)。

1 光柵的匯合光譜與雙光柵衍射成像效應(yīng)

光柵不僅有色散效應(yīng)，還具有匯合光譜效應(yīng)。光柵的匯合光譜是指按光譜排列的不同波長(zhǎng)的光以不同的入射角入射到光柵上，經(jīng)光柵衍射后得到有相同衍射角的光束的現(xiàn)象，是光柵色散的逆效應(yīng)。

若將兩光柵組合為一系統(tǒng)，讓不同波長(zhǎng)的物光經(jīng)過第一片光柵被色散形成物光譜后，使其中某一級(jí)按光譜排列的光進(jìn)入第二片光柵并滿足某衍射級(jí)光譜匯合條件，則獲得匯合光譜光束，從該光束中可以看到該物體的清晰圖像，這就是雙光柵色散_匯合光譜成像(或稱為雙光柵衍射成像)效應(yīng)，該效應(yīng)具有“隔屏觀物”效果。

為了使被用于匯合成像的衍射光亮度高、質(zhì)量好(失真最小)，光柵G1應(yīng)置于這樣的位置：使得衍射光的入射角與衍射角相等，而光柵G2應(yīng)放置在光柵G1的衍射光束的中心軌跡上的適當(dāng)位置。成像光路如圖1所示，O是白光照明的物體;G1與G2是平行放置的平面透射光柵;P是擋光板。圖2中清晰的箭頭像是經(jīng)G1與G2兩光柵衍射后形成的匯合光譜圖像。

2 雙光柵色散_匯合光譜成像效應(yīng)的模擬算法

2.1 雙光柵色散_匯合光譜成像模擬計(jì)算方法

本文模擬雙光柵系統(tǒng)衍射成像的實(shí)際實(shí)驗(yàn)過程：選擇好兩光柵，先安放好光柵G1，使得其某級(jí)衍射光的入射角與衍射角相等，然后沿著光柵G1的該級(jí)衍射光束的中心軌跡上移動(dòng)光柵G2，直至觀察到雙光柵色散_匯合光譜成像效應(yīng)。計(jì)算時(shí)，由復(fù)色物光波中抽樣三波長(zhǎng)光線(三色光線)，依據(jù)光柵方程進(jìn)行光線追跡計(jì)算。由于經(jīng)過第二片光柵后的匯合光束只在特殊情況下有完全相同的出射角(亦稱匯合角)φ，而通常出射光并非總是完全匯合(各光的出射角并非完全相同)，為此我們提出兩種判斷光譜匯合的計(jì)算模型，本文采用第二種模型。

1)設(shè)來自光柵G1的不同波長(zhǎng)i的光在光柵G2同一點(diǎn)出射的各衍射角為計(jì)算比較光柵G2不同Z位置下的當(dāng)各φi與平均出射角φi平均差值之和(即Σ(φi_φi平均))最小時(shí)為匯合;

2)設(shè)來自光柵G1的不同波長(zhǎng)i的光在光柵G2上以相同角度出射的各光位置為計(jì)算比較光柵G2不同Z位置下的Yi，當(dāng)各Yi與它們的平均值的差值之和(即Σ(Yi_Yi平均))最小時(shí)為匯合。

2.2 雙光柵衍射的模擬計(jì)算式

按照上述模擬計(jì)算方案，在未帶入具體數(shù)據(jù)計(jì)算前，先依據(jù)光柵方程寫出物光波光線追跡計(jì)算式，根據(jù)光柵方程，不同波長(zhǎng)的光經(jīng)過圖1光路的雙光柵衍射后滿足如下方程：

式中：θ0，λ，θ1，λ分別為波長(zhǎng)為λ的光在光柵G1上的入射角與衍射角;θ1，λ，φλ分別為波長(zhǎng)為λ的光在光柵G2上的入射角與衍射角，兩光柵平行放置使得光在光柵G1上的衍射角等于光在G2上的入射角; d1，d2分別是兩片光柵的空間頻率;k1，k2分別是光在兩片光柵上的衍射級(jí)數(shù)。

為了形成清晰的匯合像，要求中心波長(zhǎng)的光λ2在G1上衍射角等于入射角，且光柵G2位于G1的某級(jí)衍射光中心波長(zhǎng)光λ2光線軌跡上。根據(jù)光柵方程可算出λ2在G1上的衍射角與入射角θ1，λ2，θ0，λ2以及λ2光在G2上的衍射角φλ2：

考察與該衍射光λ2在光柵G2上有同樣衍射角(即φ=φλ1=φλ2=φλ3)的另兩光，由光柵方程可知這兩光λi( i=1，3)在光柵G2上的入射角θ1，λi，在G1上的衍射角等于在光柵G1上的入射角，以及在光柵G1上的入射角θ0，λi：

式(3)和式(4)反映了從O點(diǎn)出發(fā)的光線經(jīng)過圖1所示雙光柵系統(tǒng)后，那些不同波長(zhǎng)但具有與中心波長(zhǎng)相同出射角的物光，它們的波長(zhǎng)λi及通過兩光柵后的衍射光級(jí)數(shù)k1、k2與衍射角及兩光柵空間頻率的關(guān)系式。

根據(jù)直線方程可以計(jì)算出這些λi( i=1，2，3)光在光柵G2上的出射點(diǎn)位置：

式(1)～式(5)即物光經(jīng)過平行放置的雙光柵系統(tǒng)衍射后的模擬計(jì)算式。對(duì)于兩光柵非平行放置而是有夾角的情況，模擬計(jì)算式有相應(yīng)的變更。

計(jì)算模型中各波長(zhǎng)取值為：λ1=350 nm;λ2= 550 nm;λ3=750 nm，中間光線為λ2。計(jì)算光路圖如圖3所示。

圖3 計(jì)算光路圖

2.3 模擬算法流程

計(jì)算機(jī)的模擬計(jì)算過程就是根據(jù)輸入的參數(shù)運(yùn)行相關(guān)數(shù)學(xué)計(jì)算式算出目標(biāo)量，并對(duì)目標(biāo)量進(jìn)行最優(yōu)化的過程。

結(jié)合實(shí)際，在模擬計(jì)算時(shí)，應(yīng)首先設(shè)定初始值：不同波長(zhǎng)的三物光、兩光柵的空間頻率與衍射光級(jí)數(shù)、光柵G1的位置。將這些值輸入計(jì)算機(jī)，代入式(1)～式(5)，對(duì)光柵G2位置不斷取值進(jìn)行循環(huán)計(jì)算，得出對(duì)應(yīng)的光柵G2上以相同角度出射的各波長(zhǎng)光線位置再計(jì)算出Yi的平均間距，按判斷標(biāo)準(zhǔn)判斷可得出“匯合”時(shí)光柵G2的位置。

具體的算法是：給定一組參數(shù)(k1，k2，d1，d2，z1)，以0.01 mm為步長(zhǎng)改變光柵G2的位置，按照上述算法計(jì)算出相應(yīng)的各波長(zhǎng)出射光線的平均間隔T，T最小即為光匯合，此時(shí)可得出光柵G2在雙光柵成像時(shí)的位置Z2。具體計(jì)算流程圖如圖4所示。

根據(jù)上述算法，本文使用Python語(yǔ)言編寫了雙光柵衍射模擬計(jì)算程序。

3 模擬實(shí)驗(yàn)軟件GUI界面設(shè)計(jì)

為了直觀觀察雙光柵成像的過程，有必要按照簡(jiǎn)潔、便于使用的基本原則設(shè)計(jì)圖形用戶界面。對(duì)于我們的實(shí)驗(yàn)來說，主要有三方面需求：一是參數(shù)的輸入與控制;二是實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的觀察;三是實(shí)驗(yàn)儀器、實(shí)驗(yàn)光路直觀顯示，如圖5所示。

圖4 計(jì)算流程圖

圖5 雙光柵色散_匯合光譜成像模擬實(shí)驗(yàn)程序GUI界面

由于一組實(shí)驗(yàn)測(cè)量過程，空間頻率與衍射級(jí)數(shù)無需改變，對(duì)于這些參數(shù)的輸入設(shè)計(jì)采用直接屏幕文本窗輸入。而在雙光柵成像的實(shí)驗(yàn)過程中光柵的位置需連續(xù)改變直到各色光譜匯合，為便于改變光柵位置，分別對(duì)兩光柵設(shè)計(jì)了四個(gè)改變光柵位置的控制按鈕。其中，兩個(gè)用于粗調(diào)，兩個(gè)用于微調(diào)，還設(shè)計(jì)了兩個(gè)改變兩光柵夾角的按鈕。將這些圖形按鈕與前述的模擬計(jì)算程序建立關(guān)聯(lián)，同時(shí)將顯示的圖像與前述的模擬程序計(jì)算結(jié)果建立關(guān)聯(lián)，每當(dāng)有數(shù)據(jù)改變時(shí)，通過回調(diào)函數(shù)重新計(jì)算光路與虛光譜位置，實(shí)現(xiàn)圖像隨參數(shù)改變時(shí)時(shí)更新。

界面有兩個(gè)圖像顯示區(qū)域，光路圖區(qū)域用于顯示儀器位置與光路，觀察區(qū)域用于顯示觀察到的視場(chǎng)現(xiàn)象(虛光譜)。它們都會(huì)隨著參數(shù)與計(jì)算結(jié)果的改變而做相應(yīng)的變化，更新光路圖與視場(chǎng)圖。

根據(jù)上述設(shè)計(jì)，本文用Python語(yǔ)言的Tkinter模塊編寫帶有圖形用戶界面的模擬軟件。

4 雙光柵衍射成像模擬實(shí)驗(yàn)與成像過程演示

本文的雙光柵衍射模擬計(jì)算軟件可以對(duì)雙光柵成像實(shí)驗(yàn)進(jìn)行模擬，測(cè)量相關(guān)參數(shù)。該操作過程為：先輸入空間頻率、衍射級(jí)數(shù)等固定參數(shù);然后通過點(diǎn)擊光柵位置的控制按鈕或夾角按鈕，改變光柵位置或兩光柵的夾角直到看到視場(chǎng)中各色光譜匯合，記下此時(shí)光柵位置與像的橫向偏移等數(shù)據(jù)，即測(cè)得一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。我們將程序運(yùn)算結(jié)果與實(shí)際實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了比較，結(jié)果表明兩者的吻合程度良好。

上述模擬實(shí)驗(yàn)是通過計(jì)算機(jī)屏幕界面進(jìn)行操作的，該用戶界面的操作非常簡(jiǎn)便，不僅準(zhǔn)確模擬了雙光柵衍射實(shí)驗(yàn)的所有過程，而且對(duì)各個(gè)階段的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象均有顯示。通過改變這些參數(shù)可以觀察相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，作出比較分析，從而加深對(duì)雙光柵色散_匯合光譜成像本質(zhì)的理解。

模擬軟件不僅能模擬實(shí)際的雙光柵衍射成像實(shí)驗(yàn)，得到相關(guān)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，還能通過圖形用戶界面觀察雙光柵色散_匯合光譜衍射成像的形成過程。

圖6是觀察到的視場(chǎng)圖，顯示了模擬的物光波經(jīng)雙光柵衍射后從色散到匯合再到色散的過程。模擬的相關(guān)參數(shù)是：G1的空間頻率d1=1/100 0 mm;衍射級(jí)數(shù)k1=1;G1到光源的垂直距離z1= 45.0 cm;G2的空間頻率d2=1/500mm;衍射級(jí)數(shù)k2=_1。在這些參數(shù)條件下，光柵G2到光源的垂直距離z2從100 cm變到80 cm，從圖像中可以看到，視場(chǎng)中的像從色散逐漸匯合再色散的過程。而各色像完全匯合時(shí)z2=90 cm?？梢则?yàn)證，這時(shí)各參數(shù)滿足前面所說的匯合光譜條件方程。

圖6 視場(chǎng)圖中顯示雙光柵衍射形成的包括匯合光譜的各級(jí)光譜

5 結(jié)束語(yǔ)

應(yīng)用計(jì)算機(jī)模擬技術(shù)開發(fā)了帶有圖像用戶界面的雙光柵衍射成像模擬實(shí)驗(yàn)教學(xué)軟件。該軟件能夠在計(jì)算機(jī)上模擬操作雙光柵衍射成像實(shí)驗(yàn)并顯示成像全過程，使抽象的雙光柵消色散成像過程具體地呈現(xiàn)在學(xué)生面前，使本不可能在課堂上演示的復(fù)雜的雙光柵成像實(shí)驗(yàn)得以便捷、清晰地展示。讓學(xué)生直觀了解了光柵的色散效應(yīng)與匯合光譜效應(yīng)，使他們更深刻、完整地認(rèn)識(shí)光柵衍射特性。

同時(shí)，與現(xiàn)實(shí)的雙光柵衍射實(shí)驗(yàn)相比，模擬實(shí)驗(yàn)具有操作簡(jiǎn)單、現(xiàn)象明顯、參數(shù)可調(diào)等特點(diǎn)，學(xué)生可以親自更改實(shí)驗(yàn)參數(shù)，研究實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象如何隨各參數(shù)而變化，尋找成像規(guī)律。本文的模擬實(shí)驗(yàn)程序是對(duì)光學(xué)衍射內(nèi)容教學(xué)的有力支持。

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Com puter Simulation for the Bi-grating Dispersion and Combination Spectrum Imaging

LIAO Zongmeng，ZHANGWeiping
(College of Physics Science and Technology，Guangxi University，Nanning 530004，China)

Based on the optical system of bi-grating dispersion and combination spectrum imaging and the grating equation，a software program for the simulating experiment of bi-grating diffraction imaging is created with Python.The calculation formula，algorithm flow chart and design of Graphical User Interface(GUI)are presented.The program in this paper can notonly simulate the actual bi-grating dispersion and combination spectrum imaging experiment and obtain the experimental data，but also demonstrate the changes of light path and show the quality of image in the formation process of bi-grating diffraction imaging.

bi-grating imaging;grating diffraction imaging;spectral combination;dispersion-combination spectrum

O436.1

A

10.3969/j.issn.1672_4550.2014.01.003

2013_05_02；修改日期：2013_11_28

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目資助（61167001）；新世紀(jì)廣西高等教育教學(xué)改革工程項(xiàng)目（2008B030，2013JGZ100）；廣西高等學(xué)校特色專業(yè)及課程一體化建設(shè)項(xiàng)目（GXTSZY204）。

廖宗勐（1989_），男，廣西大學(xué)2008級(jí)本科生，專業(yè)方向：數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)專業(yè)。

張衛(wèi)平（1958_），女，教授，主要從事光柵衍射成像及光全息等方面的研究工作。