朱長(zhǎng)青

(中鐵第四勘察設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司,武漢 430063)

鐵路客運(yùn)站曲線站臺(tái)加寬數(shù)學(xué)模型的探討

朱長(zhǎng)青

(中鐵第四勘察設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司,武漢 430063)

客運(yùn)站的曲線站臺(tái)需滿足行車安全、旅客上下車安全以及圓滑美觀的要求。從基本公式及相關(guān)規(guī)定出發(fā),分析列車車體與站臺(tái)邊沿的動(dòng)態(tài)距離,提出鄰靠到發(fā)線和鄰靠正線兩種情況下的曲線站臺(tái)邊線的數(shù)學(xué)模型,并根據(jù)模型進(jìn)行理論校驗(yàn),結(jié)果證明建立的模型簡(jiǎn)潔可靠。

鐵路客站;站臺(tái);曲線加寬;數(shù)學(xué)模型

1 概述

我國(guó)?？縿?dòng)車的旅客站臺(tái),一般采用1.25 m高站臺(tái)。受鄰靠的鐵路線路平面曲線的影響,站臺(tái)邊緣部分甚至全部需要做成曲線形。

曲線站臺(tái)的使用主要有兩種情況:一種是在客運(yùn)站設(shè)計(jì)中,為縮短車站長(zhǎng)度而將到發(fā)線曲線伸入站臺(tái)內(nèi)一定長(zhǎng)度,曲線平面一般為圓曲線形;另一種情況是城際鐵路的無(wú)配線車站,鄰靠正線的站臺(tái)有部分或者全部位于曲線內(nèi),曲線平面一般為緩和曲線形。

曲線站臺(tái)設(shè)計(jì)需要滿足兩個(gè)方面的安全性:一方面為保證行車的限界安全,站臺(tái)邊緣與股道中心的間距需進(jìn)行加寬;另一方面該加寬值要在一定的范圍內(nèi),以保證車門(mén)與站臺(tái)邊緣足夠密貼,不致使小孩的腳踏空發(fā)生危險(xiǎn)。這兩個(gè)方面是相互矛盾的,需要精確計(jì)算以采取合適的加寬值。近年曾發(fā)生因加寬考慮不足導(dǎo)致動(dòng)車車體與站臺(tái)邊緣擦碰,或者因加寬過(guò)大而導(dǎo)致小孩掉入空隙的情況。

另外,高速客運(yùn)站臺(tái)面要求圓滑美觀,不能做成折線形或者鋸齒形,需要對(duì)站臺(tái)邊曲線建立一個(gè)簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)模型以適應(yīng)上述要求。

綜上所述,對(duì)曲線站臺(tái)加寬進(jìn)行深入探討具有較強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義。

2 一般規(guī)定

2.1 基本加寬公式

《鐵路技術(shù)管理規(guī)程》中規(guī)定加寬值按如下公式確定

式中 R——曲線半徑,m;

H——計(jì)算點(diǎn)距軌頂高度,mm;

h——外軌超高,mm。

為保證站臺(tái)與股道間距為一定值,站臺(tái)邊緣的曲線與相鄰股道曲線應(yīng)為同心圓。

2.2 規(guī)范中的加寬模型

(1)《高速鐵路設(shè)計(jì)規(guī)范(試行)》中,曲線上建筑限界的加寬范圍,包括全部圓曲線、緩和曲線和部分直線,采用圖1所示階梯加寬方法。

圖1 客運(yùn)專線建筑接近限界的曲線加寬方法(單位:m)

該方法中規(guī)定曲線上建筑限界的加寬范圍,包括全部圓曲線、緩和曲線和部分直線,采用階梯加寬方法,即緩和曲線中點(diǎn)前13 m至緩圓點(diǎn)之間加寬值規(guī)定為與圓曲線地段相同,緩和曲線中點(diǎn)前13 m至直緩點(diǎn)前22 m之間加寬值規(guī)定為圓曲線地段加寬值的二分之一。

(2)《站場(chǎng)及樞紐》中對(duì)加寬做了更加詳細(xì)的規(guī)定,對(duì)無(wú)緩和曲線的曲線變加寬地段的加寬值計(jì)算方法為

式中 R——曲線半徑,m;

x——計(jì)算點(diǎn)位置,直圓點(diǎn)為0點(diǎn),m。該方法對(duì)內(nèi)側(cè)加寬采用了三次拋物線型,外側(cè)加寬則采用了圓曲線線型。從公式中可以看出,該方法分段計(jì)算的銜接點(diǎn)加寬值不一致,在過(guò)渡段銜接部會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)位而導(dǎo)致站臺(tái)邊為階梯型。

一則部分地段冗余值過(guò)大,致使站臺(tái)邊緣與車門(mén)不密貼;二則不能滿足個(gè)別控制點(diǎn)限界精確計(jì)算的要求,鋸齒狀的站臺(tái)邊緣不美觀。因此該方法不適于客運(yùn)站臺(tái),需要建立一個(gè)更為簡(jiǎn)潔的、圓滑的曲線數(shù)學(xué)模型來(lái)適應(yīng)高速客運(yùn)站臺(tái)的需求。

3 鄰靠到發(fā)線的站臺(tái)過(guò)渡段曲線加寬

3.1 車體控制點(diǎn)動(dòng)態(tài)分析

客車在線路上動(dòng)態(tài)運(yùn)行時(shí),與相鄰站臺(tái)邊緣的間距受車體最突出的部位控制。相對(duì)內(nèi)側(cè)站臺(tái),車體最突出的部位是車廂內(nèi)側(cè)的中部;而相對(duì)外側(cè)站臺(tái),車體最突出的部位是車廂后端外側(cè),如圖2所示。

圖2 車體內(nèi)、外側(cè)加寬控制點(diǎn)示意

列車從直線向曲線方向運(yùn)行,當(dāng)前輪對(duì)通過(guò)ZY點(diǎn)時(shí),車體內(nèi)、外側(cè)控制點(diǎn)即發(fā)生橫向偏移。由于內(nèi)、外側(cè)控制點(diǎn)在縱向上與前轉(zhuǎn)向架中心的距離不同,因此內(nèi)、外側(cè)加寬范圍也不同。設(shè)車體長(zhǎng)度26 m,轉(zhuǎn)向架中心距18 m,當(dāng)車體前輪對(duì)剛進(jìn)入ZY點(diǎn)時(shí),內(nèi)側(cè)控制點(diǎn)縱向距前轉(zhuǎn)向架中心銷為9 m,而外側(cè)控制點(diǎn)為22 m(18 m+4 m)。因此,曲線內(nèi)側(cè)加寬范圍為ZY點(diǎn)前方9 m,曲線外側(cè)加寬范圍為ZY點(diǎn)前方22 m。

為方便分析內(nèi)、外側(cè)控制點(diǎn)的運(yùn)行軌跡,簡(jiǎn)化處理如圖3所示。

圖3 內(nèi)、外側(cè)控制點(diǎn)運(yùn)行軌跡分析

如圖3所示,列車從直線向曲線方向運(yùn)行,前、后輪對(duì)依次通過(guò)ZY點(diǎn)的過(guò)程中,轉(zhuǎn)向架前中心(C點(diǎn))作軌道半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng),后中心(O點(diǎn))運(yùn)行軌跡則為直線。

因?yàn)椤鱋AB、△OEF與△OCD成相似三角形,因此該過(guò)程中的內(nèi)側(cè)控制點(diǎn)(A點(diǎn))和外側(cè)控制點(diǎn)(F點(diǎn))也相應(yīng)作圓周運(yùn)動(dòng),且角速度相同、方向相反。

設(shè)C點(diǎn)的軌道半徑為R,由于OC=2OA=4.5OF,則A點(diǎn)的軌道半徑約為2R,F點(diǎn)的軌道半徑約為4.5R。

3.2 過(guò)渡段數(shù)學(xué)模型的建立

根據(jù)3.1節(jié)的分析可知,內(nèi)、外側(cè)控制點(diǎn)運(yùn)行軌跡為一段圓弧,因此內(nèi)、外側(cè)曲線加寬過(guò)渡段的數(shù)學(xué)模型應(yīng)為圓方程。該弧線的起、終點(diǎn)即為車體前、后輪對(duì)先后通過(guò)ZY點(diǎn)時(shí)的狀態(tài)值。

由于需要三點(diǎn)才能確定圓方程,中間的第三點(diǎn)可以采用插值法確定。當(dāng)ZY點(diǎn)處于車體中心時(shí),距離前、后輪對(duì)各9 m,此時(shí)分別計(jì)算出前、后控制點(diǎn)的偏移量,即可找出插值點(diǎn)的位置。

設(shè)內(nèi)、外側(cè)曲線同心圓全加寬分別為W內(nèi)和W外。內(nèi)側(cè)加寬情況:過(guò)渡段曲線與同心圓曲線方向一致,軌跡半徑為R/2,故控制點(diǎn)橫向偏移量的中間值(B點(diǎn))為W內(nèi)/2。外側(cè)加寬情況:過(guò)渡段曲線與同心圓曲線方向相反,軌跡半徑為R/4.5。當(dāng)車體運(yùn)行處于圖3的中間狀態(tài)時(shí),可知CD=81/2R,則EF=CD/ 4.5=9/R。

由于內(nèi)側(cè)加寬同時(shí)需要考慮曲線外軌超高的情況,因此內(nèi)側(cè)加寬適當(dāng)放寬至20 m范圍。數(shù)學(xué)模型如圖4所示。

圖4 內(nèi)、外側(cè)過(guò)渡段建模示意(單位:m)

3.3 內(nèi)側(cè)加寬過(guò)渡段數(shù)學(xué)方程求解

3.3.1 三點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算

將過(guò)渡段長(zhǎng)度適當(dāng)延長(zhǎng)并取整至ZY點(diǎn)前后各10 m,選取ZY點(diǎn)前10 m的零加寬點(diǎn)、ZY點(diǎn)處的半加寬點(diǎn)、ZY點(diǎn)后10 m的全加寬點(diǎn),由此三點(diǎn)確定的圓弧作為過(guò)渡段曲線的線形,可以在autoCAD中使用三點(diǎn)定弧的作圖法完成。

坐標(biāo)系以股道中心為X軸,HZ點(diǎn)前10 m點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),可以建立圖4所示的X1—Y1軸直角坐標(biāo)系。

設(shè)軌道曲線半徑為R0,則內(nèi)側(cè)站臺(tái)同心圓部分的邊緣線數(shù)學(xué)方程為

取X=20,可以算出C點(diǎn)的坐標(biāo)YC,從而可以進(jìn)一步確定A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo),分別為:A(0,1.75),B(10, 1.75+W內(nèi)/2),C(20,YC)。

設(shè)過(guò)渡段曲線半徑為r,圓心坐標(biāo)為(x0,y0),則過(guò)渡段方程為

因此,求解半徑及圓心坐標(biāo)的值,過(guò)渡段的數(shù)學(xué)方程實(shí)際就確定了。

3.3.2 過(guò)渡段曲線半徑計(jì)算

根據(jù)外接圓半徑公式,有

其中,a=BC、b=AC、c=AB分別為三角形的三邊長(zhǎng)度。

為保證曲線半徑r的計(jì)算精度至4位小數(shù),a、b、c的值應(yīng)精確到小數(shù)點(diǎn)后8位。

由于采用插值法進(jìn)行的圓曲線模擬,該曲線半徑近似于從∞至r的線性漸變,因此r≈2R0,R為過(guò)渡段范圍站臺(tái)邊緣曲線半徑,r則為全加寬范圍站臺(tái)邊緣曲線半徑。

3.3.3 過(guò)渡段圓心坐標(biāo)計(jì)算

由于上述過(guò)渡段的模型是通過(guò)3點(diǎn)A(x1,y1),B (x2,y2),C(x3,y3)形成的圓,它的外接圓心O(x0,y0)的坐標(biāo)為

例如,設(shè)R=1 200 m,W內(nèi)=5 cm,代入上式可得Yc=1.841 731,過(guò)渡段曲線半徑為2 396.386 2 m,圓心坐標(biāo)為(-0.990 934,2 398.135 955)。

為精確求解曲線方程至毫米級(jí)(3位小數(shù)),上述各中間參數(shù)均應(yīng)精確計(jì)算至8位小數(shù)。

3.4 外側(cè)加寬過(guò)渡段數(shù)學(xué)方程求解

建立圖4中所示的X2—Y2軸直角坐標(biāo)系。設(shè)軌道曲線半徑為R0,則外側(cè)站臺(tái)同心圓部分的邊緣線數(shù)學(xué)方程為

(x-22)2+(y-R0)2=(R0+1.75+W外)2

取x=18,可以算出F點(diǎn)的y坐標(biāo)YF,從而可以進(jìn)一步確定D、E、F三點(diǎn)坐標(biāo),分別為:D(0,-1.75), E(9,-1.75-9/R0),F(20,YF)。

例如,設(shè)R0=600 m,則W外=44 000/600= 73.33 mm,YF=-1.810 0。

過(guò)渡段曲線半徑、圓心坐標(biāo)計(jì)算同樣采用三點(diǎn)定圓的計(jì)算方法。計(jì)算過(guò)程同3.3節(jié)內(nèi)側(cè)加寬,篇幅有限不再詳述。

3.5 過(guò)渡段數(shù)學(xué)模型的校驗(yàn)

無(wú)論何種數(shù)學(xué)模型,均可用圖2中車體內(nèi)、外側(cè)加寬的控制點(diǎn),在AutoCAD中使用作圖法進(jìn)行校驗(yàn),以檢核該數(shù)學(xué)模型在實(shí)際使用中的有效性。

為簡(jiǎn)化校驗(yàn)數(shù)據(jù),本次選擇了1 200、1 000、800 m和600 m四種典型曲線半徑,在X取值5、10、15 m處分別對(duì)內(nèi)、外側(cè)控制點(diǎn)與站臺(tái)邊距離進(jìn)行校驗(yàn)。(注: 20 m處為全加寬,無(wú)需校驗(yàn)。)

列車至站臺(tái)邊緣基本寬度1 750 mm,為車體半寬1 700 mm+安全保護(hù)間距50 mm構(gòu)成。

表1中的折減后間距均在1 740 mm以上,由于動(dòng)車組最大寬度為3 380 mm,即車體半寬為1 690 mm,在線路中心距站臺(tái)邊1 740 mm的實(shí)際距離下,車體控制點(diǎn)與站臺(tái)邊緣的實(shí)際距離仍保持在1 740-1 690= 50 mm。因此表1中的各項(xiàng)數(shù)據(jù)均滿足安全保護(hù)間距的要求,上述過(guò)渡段數(shù)學(xué)模型校驗(yàn)是安全可行的。

_______________________________________表1 鄰靠到發(fā)線的曲線站臺(tái)加寬校驗(yàn)

4 鄰靠正線的站臺(tái)加寬

4.1 相關(guān)規(guī)定

受正線選線條件的限制,城際鐵路的無(wú)配線站可能全部或者部分位于曲線上。

根據(jù)原鐵道部《關(guān)于新建客運(yùn)專線鐵路曲線超高設(shè)定的指導(dǎo)意見(jiàn)》(鐵集成[2009]86號(hào))規(guī)定,進(jìn)出站旅客列車超高值按以下要求設(shè)置(V為列車通過(guò)曲線時(shí)的速度)。

(1)當(dāng)V≤160 km/h時(shí),過(guò)超高一般不大于90 mm,困難條件下不大于110 mm;

(2)當(dāng)160 km/h＜V≤200 km/h時(shí),過(guò)超高一般不大于70 mm,困難條件下不大于90 mm。

從表2可以看出,站臺(tái)鄰靠曲線時(shí),正線需要限速。一般而言,曲線半徑R≥2 000 m時(shí),可以限速至160 km/h;1 600 m≤R＜2 000 m時(shí),可以限速至140 km/h;1 200 m≤R＜1 600 m時(shí),可以限速至120 km/h。

_____________表2 各種曲線半徑限速值計(jì)算

《鐵路技術(shù)管理規(guī)程》中規(guī)定鄰靠正線的站臺(tái)邊緣,當(dāng)行車速度V≤160 km/h時(shí),直線部分的基本寬度采用1 780 mm。

4.2 數(shù)學(xué)模型的建立

根據(jù)鐵路緩和曲線的定義,其曲率從∞至1/r線性漸變,外軌超高值也從0～h線性漸變。因此列車在經(jīng)行緩和曲線的過(guò)程中,車體內(nèi)、外側(cè)各控制點(diǎn)的偏移加寬也是呈線性的。同理,曲線站臺(tái)邊緣的數(shù)學(xué)模型也只能選擇緩和曲線的線型,并且在圓曲線部分與軌道中心的曲線保持同心圓,才能與漸變加寬的要求相適應(yīng)。

根據(jù)鐵路緩和曲線的方程定義,該曲線的曲率是從直線均勻過(guò)渡至圓曲線。因此,內(nèi)、外側(cè)站臺(tái)與軌道之間的間距,也可以看成是從直線部分的基本寬度均勻過(guò)渡到圓曲線部分的加寬寬度。根據(jù)同心圓理論,可知:R內(nèi)=R0-D0-W內(nèi),P內(nèi)=P0+W內(nèi),

同理,可以求出外側(cè)站臺(tái)邊緣的緩和曲線l外、R外,詳見(jiàn)圖5。

圖5 內(nèi)、外側(cè)站臺(tái)邊線與軌道曲線關(guān)系示意

又由于正線運(yùn)行速度較高致超高加寬較大,而曲線半徑一般較大導(dǎo)致曲線加寬較小,因此總加寬值W外可能為負(fù)值,即軌道中心至站臺(tái)邊緣的距離可能小于直線地段的基本寬度。各種曲線半徑下圓曲線范圍內(nèi)、外側(cè)的全加寬計(jì)算值見(jiàn)表3。

根據(jù)圖5中的公式計(jì)算出R內(nèi)、P內(nèi)或R外、P外,再根據(jù)l=計(jì)算出緩和曲線長(zhǎng)度,則可根據(jù)半徑和緩和曲線長(zhǎng)建立緩和曲線方程:y=根據(jù)該數(shù)學(xué)方程可以計(jì)算出曲線上各點(diǎn)的平面坐標(biāo)。

表3 各種曲線半徑全加寬計(jì)算

表4中列出了軌道曲線半徑在2 000、1 600 m和1 200 m三種情況下,對(duì)應(yīng)的內(nèi)、外側(cè)站臺(tái)邊緣曲線要素(半徑、偏移量、緩和曲線長(zhǎng))計(jì)算值。

表4 各種半徑內(nèi)、外側(cè)站臺(tái)邊緣曲線要素計(jì)算

4.3 曲線加寬模型校驗(yàn)

參照本文3.3節(jié)中的校驗(yàn)?zāi)Ｊ?對(duì)靠正線緩和曲線模型的校驗(yàn),選擇半徑/緩和曲線長(zhǎng)2 000 m/210 m、1 600 m/200 m和1 200 m/180 m三種情況下,距ZH點(diǎn) 50、100、150 m和200 m典型位置的軌道中心至內(nèi)、外側(cè)站臺(tái)邊緣距離進(jìn)行校核。校核方式為在AutoCAD中使用作圖法進(jìn)行校驗(yàn),各點(diǎn)校驗(yàn)情況見(jiàn)表5。

表5 鄰靠正線的曲線站臺(tái)加寬校驗(yàn)

按照表5中模擬的3種曲線半徑,在距離ZH點(diǎn)50、100、150、200 m各典型位置處的折減后間距均接近1 780 mm(基本間距),誤差范圍為±10 mm。

這個(gè)校驗(yàn)結(jié)果說(shuō)明,在站臺(tái)長(zhǎng)度范圍內(nèi)車體經(jīng)行的過(guò)程中,車體內(nèi)、外側(cè)控制點(diǎn)距離站臺(tái)邊緣的實(shí)際距離基本保持在1780 mm左右,因此上述模型是比較理想的。

5 結(jié)語(yǔ)

曲線站臺(tái)對(duì)安全、美觀的要求較高,因此需要對(duì)站臺(tái)邊緣的線型建立曲線方程以實(shí)現(xiàn)此功能。目前國(guó)內(nèi)規(guī)范及論著中,主要采用分段計(jì)算漸變加寬的方法,該方法計(jì)算繁瑣,常因顧此失彼導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤,在設(shè)計(jì)及施工中操作困難。本文對(duì)鄰靠到發(fā)線和鄰靠正線兩種情況,分別建立了簡(jiǎn)潔可靠的數(shù)學(xué)模型。經(jīng)過(guò)CAD仿真校驗(yàn),結(jié)果證明本文中建立的模型簡(jiǎn)捷可靠。

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Approach to the Mathematical Model for Widening of Curve Platform in Passenger Station

ZHU Chang-qing
(China Railway Siyuan Survey and Design Institute Group Ltd.,Wuhan 430053,China)

Passenger station platform shall meet the requirements for traffic safety and the safety of passengers on and off the board.This paper analyzes the dynamic range between train body and platform edge based on the basic formula and related regulations,and presents mathematical models of curve platform edge line in two cases:the adjacent to hair line and adjacent to main line,and the theoretical verification is conducted based on the models.

Railway passenger station;Platform;Curve widening;Mathematical model

U291.6+5

A

10.13238/j.issn.1004-2954.2014.12.007

1004-2954(2014)12-0026-05

2014-03-31;

2014-04-22

朱長(zhǎng)青(1974—),男,高級(jí)工程師,1997年畢業(yè)于北京交通大學(xué)鐵路運(yùn)輸專業(yè),工學(xué)學(xué)士,E-mail:758054313@qq.com。