李志慧

（陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西 西安 710062）

高等代數(shù)研究問題的基本方法的教學(xué)實(shí)施

李志慧

（陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西 西安 710062）

培養(yǎng)學(xué)生系統(tǒng)地掌握高等代數(shù)研究問題的基本方法是高等代數(shù)課的教學(xué)目的之一．高等代數(shù)中有代表性的的5種基本方法包括：嚴(yán)格的邏輯推理方法、公理化方法、結(jié)構(gòu)化方法、矩陣表示方法和等價(jià)分類方法．了解這5種方法的具體含義和在高等代數(shù)中的具體應(yīng)用對(duì)高等代數(shù)教學(xué)是十分有益的．

高等代數(shù)；基本方法；有效教學(xué)

1 引 言

高等代數(shù)是代數(shù)學(xué)的入門課程，它的任務(wù)是闡述代數(shù)學(xué)的一些基礎(chǔ)知識(shí)，初步了解代數(shù)學(xué)的研究對(duì)象，使學(xué)生掌握代數(shù)學(xué)的基本思想和研究問題的基本方法，即：嚴(yán)格的邏輯推理方法，公理化方法，結(jié)構(gòu)化方法，矩陣表示方法和等價(jià)分類方法[1]．那么如何將這些方法在教學(xué)中給予有效地實(shí)施，文章將圍繞這5種方法，結(jié)合高等代數(shù)的內(nèi)容，進(jìn)行詳細(xì)的探究．

需要說明的是：這里使用的術(shù)語以及符號(hào)與文獻(xiàn)[2]中一致．

2 各基本方法的教學(xué)實(shí)施

2.1 嚴(yán)格的邏輯推理方法的教學(xué)

高等代數(shù)的研究對(duì)象除了線性空間，線性變換和歐氏空間外，其余各章均是在默認(rèn)正整數(shù)的5條公理的基礎(chǔ)上，直接采取“定義—定理（性質(zhì)）—推論—例題—習(xí)題”的形式呈現(xiàn)知識(shí)內(nèi)容的，即嚴(yán)格的邏輯推理方法．具體地說，在多項(xiàng)式、行列式、線性方程組、矩陣、二次型以及λ-矩陣各章的教學(xué)中，應(yīng)該做到使學(xué)生準(zhǔn)確理解定義，然后從定義出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生利用嚴(yán)密的邏輯推理方法，依次推出性質(zhì)、引理、定理、推論，直至建立本類問題的整套理論體系．在內(nèi)容的講授方面是一種線條式的，要做到環(huán)環(huán)相扣．

以多項(xiàng)式這一章的教學(xué)為例，教師首先要讓學(xué)生清楚為何要提出多項(xiàng)式的概念？為何要研究因式分解理論等？實(shí)質(zhì)上，從生產(chǎn)實(shí)踐和自然科學(xué)理論中，自然地產(chǎn)生了求解代數(shù)方程的問題，也即提出了一元高次代數(shù)方程的基本問題是：它有沒有根？有多少根？如何求出它的全部根？而一元高次代數(shù)方程的求根問題是與對(duì)應(yīng)的多項(xiàng)式的分解問題可以說是相輔相成的．因此，從多項(xiàng)式概念的引入，到最終目的是將多項(xiàng)式給予分解這個(gè)中心內(nèi)容，就可以順理成章地組織教學(xué)主線．首先證明了帶余除法定理，它是本章最基本的定理，由此得到了本章的另外兩個(gè)重要的定理即最大公因式的存在定理和因式分解的唯一性定理．從理論體系上呈現(xiàn)出一種線條式的，做到了環(huán)環(huán)相扣，即給出了這一章3大理論體系為：

（1）整除理論：包括整除、最大公因式、互素及性質(zhì)；

（2）因式分解理論：包括不可約多項(xiàng)式、因式分解、重因式、實(shí)系數(shù)與復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解、有理系數(shù)多項(xiàng)式不可約的判定等；

（3）根的理論：多項(xiàng)式的根、代數(shù)基本定理、有理系數(shù)多項(xiàng)式的有理根求法、根與系數(shù)的關(guān)系等．

這樣組織本章教學(xué)，充分體現(xiàn)了嚴(yán)格的邏輯推理方法．

2.2 公理化方法的實(shí)施

線性空間是高等代數(shù)中第一個(gè)公理化定義．在這之后，高等代數(shù)中的線性變換、歐氏空間等概念均是用公理化方法引進(jìn)的．

高等代數(shù)從學(xué)生已經(jīng)學(xué)過的數(shù)、多項(xiàng)式、矩陣、幾何向量、函數(shù)等具體的數(shù)學(xué)對(duì)象中，找出它們關(guān)于各自加法和數(shù)乘共同滿足的8條運(yùn)算規(guī)律，將這8條運(yùn)算律作為公理給出線性空間的定義．從線性空間的定義可以看出，它首先舍棄了數(shù)、多項(xiàng)式、矩陣、幾何向量、函數(shù)等這些數(shù)學(xué)對(duì)象的具體軀殼，而將其用一個(gè)非空集合來代替，它們各自滿足的兩個(gè)運(yùn)算統(tǒng)統(tǒng)定義為這個(gè)非空集合上的兩個(gè)運(yùn)算，并抽象出共同滿足的8條運(yùn)算規(guī)律．這樣做的好處在于拋開了數(shù)學(xué)對(duì)象的表面形式，可以集中精力研究線性空間的內(nèi)部結(jié)構(gòu)以及外部結(jié)構(gòu)．從而使知識(shí)結(jié)構(gòu)從感性上升到理性，從具體上升到抽象．進(jìn)而得到理論上的實(shí)質(zhì)性進(jìn)展，因此對(duì)該理論的認(rèn)識(shí)才能深刻，而該理論的應(yīng)用領(lǐng)域才能更加寬廣．實(shí)質(zhì)上，當(dāng)對(duì)線性空間的結(jié)構(gòu)研究清楚以后，作為起初的多項(xiàng)式、矩陣等對(duì)象的結(jié)構(gòu)也就清楚了．這也說明了理論可以返回頭來指導(dǎo)實(shí)際．

在高等代數(shù)中，公理化章節(jié)中的知識(shí)體系是如何呈現(xiàn)的？在這些章節(jié)的教學(xué)中，應(yīng)該采取什么樣的有效的教學(xué)方法呢？如果說屬于嚴(yán)格的邏輯推理的章節(jié)在內(nèi)容方面是一種線條式的，那么公理化方法的這幾章的知識(shí)體系更像是一座座要開發(fā)的寶藏．當(dāng)用公理化方法給出定義后，依據(jù)的只有公理化定義中的幾條公理，來挖掘滿足這一公理體系下的代數(shù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)．這里仍以線性空間為例，依據(jù)加法與數(shù)乘的運(yùn)算和8條公理，得到了：

（1）從元素的角度，研究了基、維數(shù)與坐標(biāo)，得到了基變換與坐標(biāo)變換公式；

（2）從內(nèi)部出發(fā)，研究了子結(jié)構(gòu)．即子空間，子空間的交與和，直和，得到了維數(shù)公式．

（3）從外部出發(fā)，研究了線性空間的同構(gòu)．

由于公理化定義的對(duì)象本身比較抽象，從不同的角度研究這些對(duì)象時(shí)，學(xué)生缺乏直觀想象，這時(shí)在教學(xué)方法上教師要做到一些直觀形象的比喻．如在講述線性空間的同構(gòu)時(shí)，文[3]形象地將其比喻成生物學(xué)上研究脊椎動(dòng)物類的身體結(jié)構(gòu)，指出它們的標(biāo)本與實(shí)物本身雖然成分不相同，但就其結(jié)構(gòu)而言，其標(biāo)本與實(shí)體沒有區(qū)別．要研究脊椎動(dòng)物的結(jié)構(gòu)，不可能將屬于脊椎動(dòng)物的每只動(dòng)物都解剖進(jìn)行研究，而是將該類動(dòng)物中的其中一只如麻雀解剖做成標(biāo)本，只要將這一只標(biāo)本研究清楚了，則整個(gè)脊椎類的結(jié)構(gòu)也就清楚了．同樣的道理，要研究某一類線性空間，若它們?cè)谀硞€(gè)一一對(duì)應(yīng)下關(guān)于運(yùn)算的結(jié)構(gòu)相同，則只要研究其中的一個(gè)就行了，這就是學(xué)習(xí)同構(gòu)的意義所在．

公理化方法的引進(jìn)不但使數(shù)學(xué)抽象思維產(chǎn)生了新的飛躍，也使邏輯推理更加嚴(yán)格．

2.3 結(jié)構(gòu)化方法的展示

首先對(duì)結(jié)構(gòu)化方法給予解釋．結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)是集合，當(dāng)只涉及集合、元素及元素屬于集合的這種簡單的關(guān)系時(shí)是屬于集合論研究的范疇；當(dāng)研究元素與元素之間以及元素與子集合、子集合與子集合之間的各種關(guān)系時(shí)，就稱為結(jié)構(gòu)化方法[4]．在高等代數(shù)中，這種結(jié)構(gòu)化方法集中體現(xiàn)在線性空間和歐氏空間兩章中．即依據(jù)代數(shù)系統(tǒng)的公理，研究系統(tǒng)中元素之間關(guān)系，系統(tǒng)的生成方法，系統(tǒng)與子系統(tǒng)的關(guān)系（如代數(shù)系統(tǒng)的直和分解），系統(tǒng)的分類等．實(shí)質(zhì)上，這是研究代數(shù)系統(tǒng)的一個(gè)最基本的方法，這種研究方法在抽象代數(shù)的各對(duì)象討論中尤為明顯，如群、環(huán)、域和模等．

在高等代數(shù)的教學(xué)中，應(yīng)該適時(shí)地給學(xué)生做一點(diǎn)撥，尤其在講授完歐氏空間的內(nèi)容后，可以將這兩章內(nèi)容中的結(jié)構(gòu)化方法，再給予分析和驗(yàn)證，這樣使學(xué)生有了一種直觀的感受．從而能更好地理解這種方法的實(shí)質(zhì)．

2.4 矩陣表示方法的綜合體現(xiàn)

矩陣表示方法可以說貫穿了高等代數(shù)的每一章內(nèi)容，只是因?yàn)槎囗?xiàng)式在編排上位于教材的第一章，無法介紹矩陣在這一章的應(yīng)用．如線性方程組可用它的增廣矩陣表示．在線性空間里，取定一個(gè)基后，n維向量可由它的坐標(biāo)組成的行矩陣或列矩陣表示，線性空間的線性映射、線性變換、線性函數(shù)、雙線性函數(shù)、二次型均可用矩陣表示．在歐氏空間里，取定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基后，內(nèi)積可用其度量矩陣表示，正交變換可用正交矩陣表示，對(duì)稱變換也可用對(duì)稱矩陣表示，等等．將研究對(duì)象轉(zhuǎn)化成矩陣表示后，在研究有關(guān)問題時(shí)會(huì)帶來方便．如線性變換利用矩陣表示后，有關(guān)線性變換的抽象問題可以用矩陣迎刃而解，這方面的典型例子可參考文獻(xiàn)[5]．

在教學(xué)中，教師應(yīng)該做一個(gè)這方面的小專題，利用多媒體在每章結(jié)束時(shí)將本章出現(xiàn)的矩陣表示方法給予展示，這樣教師經(jīng)過講解以及回放這個(gè)專題后，學(xué)生可逐漸領(lǐng)會(huì)這種方法．

2.5 等價(jià)分類方法的滲透

等價(jià)分類方法是數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的方法，即為了研究某個(gè)集合的某一問題，在此集合中引入相應(yīng)的等價(jià)關(guān)系，然后尋找各等價(jià)關(guān)系類中形式最簡單、性質(zhì)最好的元素（即最簡單的代表元），從而使問題的研究得以簡化．在高等代數(shù)中的很多章節(jié)都用到了等價(jià)分類方法．具體表現(xiàn)在：

（1）nm×(n≤m)矩陣的全體按照矩陣的等價(jià)關(guān)系可以分為1+n個(gè)類，最簡單的代表元為．

（2）非退化線性替換是實(shí)n元二次型的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，在這個(gè)等價(jià)關(guān)系下，實(shí)n二次型可分為(n+1)(n+2)個(gè)類，

（3）數(shù)域P上的維數(shù)小于等于n的有限維線性空間按照線性空間的同構(gòu)這個(gè)等價(jià)關(guān)系可以分為n+1個(gè)類，數(shù)域P上的維數(shù)等于r的線性空間在這個(gè)等價(jià)關(guān)系下最簡單的代表元為數(shù)域P上的線性空間rP(1≤r≤n)．

（4）復(fù)數(shù)域C上的n級(jí)對(duì)稱的全體在矩陣的合同關(guān)系下可以分為n+1個(gè)類，最簡單的代表元為≤n)．實(shí)數(shù)域R上的n級(jí)對(duì)稱矩陣的全體在矩陣的合同關(guān)系下可以分為(n+1)(n+2)個(gè)類，最簡單的代表元為：

（5）復(fù)數(shù)域C上的n級(jí)方陣的全體在矩陣的相似關(guān)系下可以分無窮個(gè)類，最簡單的代表元為若爾當(dāng)矩陣．

由于等價(jià)分類方法是一種比較抽象的方法，學(xué)生在理解起來有一定的困難性．在教學(xué)中，教師也應(yīng)該制作關(guān)于這一問題的小專題，每當(dāng)講授一種等價(jià)分類方法后，利用多媒體重放這些方法，回顧舊知識(shí)，總結(jié)新結(jié)論，不斷滲透，以加強(qiáng)理解等價(jià)分類方法．

3 小 結(jié)

以上就高等代數(shù)中研究問題的基本方法的教學(xué)實(shí)施給予了分析，旨在強(qiáng)調(diào)滲透數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的有效途徑．在高等代數(shù)教學(xué)中，如果忽視了知識(shí)背后隱藏的數(shù)學(xué)思想和方法，不重視知識(shí)發(fā)生發(fā)展過程中思想方法的滲透和指導(dǎo)，最終只能讓學(xué)生的頭腦填滿一大堆零散的材料，很難形成一個(gè)具有活動(dòng)的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)．因此說，抓住這些基本方法的實(shí)質(zhì)組織教學(xué)，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的高等代數(shù)思維能力是極為有益的．

[1] 侯維民．關(guān)于代數(shù)學(xué)研究問題的基本方法[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，1999，8（1）：94-96．

[2] 王萼芳．高等代數(shù)[M]．北京：高等教育出版社，2003．

[3] 蘭艷，沈艨．高等代數(shù)抽象性及其教學(xué)的研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2011，23（1）：11-12．

[4] 胡作玄．?dāng)?shù)學(xué)是什么[M]．北京：北京大學(xué)出版社，2008．

[5] 李志慧，李永明．高等代數(shù)中的典型問題與方法[M]．北京：科學(xué)出版社，2008．

Teaching Implementation of the Basic Study Methods in the Course of Advanced Algebra

LI Zhi-hui
(College of Mathematics and Information Science, Shaanxi Normal University, Shaanxi Xi’an 710062, China)

One of the teaching purposes is to train students to master basic study methods in the course of Advanced Algebra. In this paper, we analyze five basic methods in Advanced Algebra, including strict logical reasoning method, axiom method, structural method, matrix representation method and equivalent classification method. The meaning of these five kinds of methods are explained. For each method we use some examples to clarify their specific application in Advanced Algebra. Then we give some studies on how to effectively implement these five basic methods into each chapter in Advanced Algebra.

advanced algebra; basic method; effective teaching

G420

：A

：1004–9894（2014）02–0006–03

[責(zé)任編校：周學(xué)智]

2013–10–10

陜西省高等代數(shù)精品課程資助項(xiàng)目——高等代數(shù)精品課程（884275）；陜西師范大學(xué)高等代數(shù)精品資源共享課資助項(xiàng)目——高等代數(shù)精品資源共享課（884355）

李志慧（1966—），女，陜西眉縣人，教授，博士，主要從事有限域、密碼學(xué)研究．