叢 超，徐德玲，龐世達(dá)，孫凱旋

基于Matlab的股票市場收益率波動分析實(shí)驗(yàn)

叢 超，徐德玲，龐世達(dá)，孫凱旋

（重慶理工大學(xué) 電子信息與自動化學(xué)院，重慶 400054）

針對金融風(fēng)暴背景下的股票市場價(jià)格的波動特性，應(yīng)用數(shù)學(xué)分析、經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)與計(jì)量知識，對中國上海、深圳股票綜合指數(shù)2007～2009年的數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)分析，并利用Matlab金融分析工具箱以及廣義自回歸異方差模型編程建模，實(shí)現(xiàn)對股票市場收益率的分析和預(yù)測。結(jié)果表明，股票市場收益率序列的波動有顯著的異方差性。

股票市場；時(shí)間序列分析；廣義自回歸異方差模型；Matlab編程

金融時(shí)間序列收益率的波動是動態(tài)變化的，不同金融市場的波動還存在波動溢出。股票作為一種重要的金融產(chǎn)品，其價(jià)格行為理論是整個(gè)市場金融理論的基礎(chǔ)，股市價(jià)格行為（behavior of stockmarket prices）一詞最早由Fama提出［1］，其核心含義是指股價(jià)的行為方式，即變動規(guī)律。人們對股票預(yù)測也提出了各種不同的方法［2］，從最初的圖表分析、技術(shù)指標(biāo)（成交量曲線圖、K線圖、移動平均線等），到建立數(shù)學(xué)模型的方法等。隨著經(jīng)濟(jì)學(xué)、數(shù)學(xué)以及計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展，針對金融市場時(shí)間序列進(jìn)行統(tǒng)計(jì)性的建模與分析已經(jīng)成為一項(xiàng)跨學(xué)科的分析課題，成為國內(nèi)外研究的重要方向。

本文通過Matlab編程建立模型，針對2007年1月1日到2009年12月31日中國上海、深圳股票綜合指數(shù)數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)分析。首先，利用Matlab金融工具箱對股票市場的收益率曲線進(jìn)行計(jì)算，并檢驗(yàn)金融分指數(shù)序列的平穩(wěn)性與波動性；其次，通過使用自相關(guān)（auto correlation function，ACF）和偏相關(guān)（partial auto correlation function，PACF）分析的方法檢驗(yàn)序列的自相關(guān)性；隨后，采用Q檢驗(yàn)和自回歸異方差檢驗(yàn)（auto regressive conditional heteroskedasticity，ARCH）進(jìn)行平穩(wěn)性的驗(yàn)證，并使用GARCH（1，1）模型對收益率曲線進(jìn)行建模分析；最后，本文對模型的優(yōu)缺點(diǎn)進(jìn)行了評價(jià)，并給出了推廣與改進(jìn)的建議。

1 基本概念

1.1 一般時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)特性

對于一般的時(shí)間序列，主要的統(tǒng)計(jì)特征量有以下三種［3］。

1）均值函數(shù)

2）自協(xié)方差函數(shù)

式中：當(dāng)t=s時(shí)，γt，t為時(shí)間序列的方差，如下式所示。

3）自相關(guān)函數(shù)

可用上述三種特征來分析一個(gè)時(shí)間序列的基本特性，如平穩(wěn)性檢驗(yàn)［4］、正態(tài)性、獨(dú)立性等。

除此之外，在實(shí)驗(yàn)中通常還會用到以下幾種類型的特性，用于支持或細(xì)化分析時(shí)間序列建模。

1）樣本峰度，用于度量時(shí)間序列偏離某分布的情況［5］。例如，正態(tài)分布的峰度為3。

2）樣本偏差，用于衡量時(shí)間序列的對稱性。若偏差為負(fù)，則均值左側(cè)的離散度比右側(cè)高，反之亦然。

1.2 股票指數(shù)時(shí)間序列的特征及建模方法

股票指數(shù)作為時(shí)間序列的一種，除了具有時(shí)間序列的特性之外，本身有著金融產(chǎn)品的特殊性。

1）非平穩(wěn)性。通常來說，股票指數(shù)的時(shí)間序列是非平穩(wěn)的，通過對股票指數(shù)的三大時(shí)間序列特征的分析，可以很容易得到股票指數(shù)序列具有非平穩(wěn)的特性。

2）收益率序列具有波動聚集性。早在20世紀(jì)60年代，F(xiàn)ama針對股市價(jià)格行為分析得出結(jié)論，在某一段時(shí)間內(nèi)，收益率序列存在持續(xù)偏高或偏低的情況，這就是波動聚集性。

3）收益率序列具有異方差性。異方差性指的是針對時(shí)間序列進(jìn)行經(jīng)典回歸分析時(shí)，隨機(jī)誤差項(xiàng)μt由于金融產(chǎn)品容易受到隨機(jī)因素的影響，比如政策變動、自然災(zāi)害或金融危機(jī)等，同時(shí)，人的不確定的社會行為也會對股票指數(shù)序列造成影響。因此，針對金融產(chǎn)品的分析通常不能忽視異方差性。

在早些時(shí)候，學(xué)者對股票價(jià)格時(shí)間序列的建模大多為幾何布朗運(yùn)動模型［6］。這種建模方法的主要缺陷在于，難以解釋股指時(shí)間序列具有方差時(shí)變、波動集群的特征。而股票指數(shù)序列本身具有非平穩(wěn)性，許多傳統(tǒng)的時(shí)間序列建模方法就很難應(yīng)用在股票指數(shù)上。

1.3 GARCH模型的基本概念

GARCH模型是Bollerslev等人于1986年提出的廣義自回歸條件異方差模型（generalized auto regressive conditional heteroskedasticity，GARCH），主要針對金融時(shí)間序列收益率所量體訂做的回歸模型。除去和普通回歸模型的相同之處，GARCH將方差和條件方差區(qū)別開來，對條件方差進(jìn)行自回歸建模，適用于波動性的分析和預(yù)測。

GARCH模型可表示為GARCH（p，q），模型假定當(dāng)前時(shí)間的條件方差依賴于其滯后值ht－i和殘差的滯后值當(dāng)期的方差決定于三個(gè)因素：常數(shù)項(xiàng)a0、前一期的殘差和前一期的預(yù)測方差。

均值方程：

條件方差方程：

式（7）給出的均值方程是一個(gè)以Xt以前信息為基礎(chǔ)的向前預(yù)測方差，稱為條件均值方程。在許多文獻(xiàn)中以自回歸（AR）方程的形式給出。

式（8）給出的方程中：a0為常數(shù)項(xiàng)，其余的部分以自回歸滑動平均（ARMA）的形式給出。此方程又稱條件方差方程，說明時(shí)間序列條件方差的變化特征。

式（9）中，N（0，1）為正態(tài)分布。

1.4 Matlab在金融時(shí)間序列分析實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用

Matlab是科學(xué)計(jì)算與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的重要工具，在針對時(shí)間序列統(tǒng)計(jì)特性的分析以及時(shí)間序列建模分析的過程中，Matlab提供了大量統(tǒng)計(jì)分析函數(shù)，如表1所示。

表1 時(shí)間序列統(tǒng)計(jì)特征計(jì)算函數(shù)

除統(tǒng)計(jì)函數(shù)，Matlab也提供了金融分析工具箱，能夠進(jìn)行序列的平穩(wěn)性檢驗(yàn)、GARCH檢驗(yàn)、GARCH模型擬合等。

2 具體實(shí)驗(yàn)分析與Matlab編碼實(shí)現(xiàn)

2.1 樣本數(shù)據(jù)的選取

本文選取的股市指數(shù)樣本數(shù)據(jù)來源于中國知網(wǎng)國際金融統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)庫從2007年1月1日到2009年12月31日，共3 000個(gè)觀測值。并且運(yùn)用Matlab R2007軟件進(jìn)行分析驗(yàn)證。序列的基本信息如圖1所示。

圖1 深圳股票指數(shù)

圖1 中，橫坐標(biāo)表示時(shí)間，縱坐標(biāo)從上至下依次為隨時(shí)間變化的收盤價(jià)及成交量（萬股）。

首先，針對收盤價(jià)進(jìn)行直接分析可以看出，2007年初的收盤價(jià)較為平穩(wěn)，整體呈現(xiàn)上升趨勢，并在2007年10月左右到達(dá)峰頂。但在中間一段，也就是2008年金融危機(jī)爆發(fā)后，波動性明顯，所有指數(shù)均有很大的下降趨勢，而到了2009年，數(shù)據(jù)有所回復(fù)，說明在2008年的金融危機(jī)情況下，股市呈下滑趨勢。

2.2 數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特征

為了對股票序列進(jìn)一步分析，以成交量為研究對象，就日收益、日對數(shù)收益率、峰度、偏度、方差等進(jìn)行了計(jì)算。

圖2和圖3分別為深成指數(shù)日對數(shù)收益率及收益率結(jié)果統(tǒng)計(jì)圖。

圖2 深成指數(shù)日對數(shù)收益率

從圖2和圖3可以看出：日收益率以及對數(shù)收益率都具有波動聚集性，深成指數(shù)日對數(shù)收益率集中在（－0.05，0.05）之間，在波動較大的幾個(gè)時(shí)段上收益率絕對值達(dá)到了0.10，在到達(dá)頂峰值后又迅速回落。在樣本期間，平均收益率（mediam），即均值為0.002 8，偏度（skewness）為－0.402 9，峰度（kurtosis）為4.202 8，數(shù)據(jù)分布向左偏移，有一個(gè)沉重的尾巴。這說明從整體上看，收益率低于其均值的時(shí)候較多，波動性強(qiáng)，頭部和中間包含了大量統(tǒng)計(jì)信息。

隨后對收益率曲線進(jìn)行自相關(guān)與偏相關(guān)分析，結(jié)果分別如圖4和圖5所示。

從日收益率的ACF（自相關(guān)性）和PACF（偏相關(guān)性）看不出日收益率具有明顯自相關(guān)性。我們可以用Q檢驗(yàn)和ARCH檢驗(yàn)來檢驗(yàn)日收益率序列的自相關(guān)性。

2.3 相關(guān)性檢驗(yàn)

相關(guān)性檢驗(yàn)的Matlab實(shí)現(xiàn)如下所示。

1）Q檢驗(yàn)

2）ARCH檢驗(yàn)

garchplot（innovations，sigmas，shouyi）

＞＞［H，pValue，Stat，CriticalValue］=…

archtest（seq－mean（seq），［10 1520］′，0.05）；

圖3 日收益率統(tǒng)計(jì)圖及計(jì)算結(jié)果圖

圖4 深圳股票自相關(guān)指數(shù)

圖5 深成指數(shù)偏相關(guān)序列

相關(guān)性檢驗(yàn)的結(jié)果分別如表2和表3所示。

從以上兩種檢驗(yàn)結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)：在Q檢驗(yàn)中，H=0表明，日收益率殘差和收益波動不存在自相關(guān)性；ARCH檢驗(yàn)中，H=1表明，收益率序列具有ARCH效應(yīng)。均值方程的ht項(xiàng)的系數(shù)是0.0012，在5的顯著性水平下顯著大于0，這表明日收益率與市場風(fēng)險(xiǎn)水平呈弱正相關(guān)，驗(yàn)證了高風(fēng)險(xiǎn)對應(yīng)于高收益的投資組合理論。

表2 Q檢驗(yàn)結(jié)果

表3 ARCH檢驗(yàn)

1.0 0.000 3 41.176 0 24.995 8 1.0 0.003 4 41.331 8 31.410 4

2.4 參數(shù)估計(jì)

我們利用Matlab金融分析工具箱進(jìn)行GARCH建模，Matlab實(shí)現(xiàn)如下。

1）GARCH擬合

［coeff，errors，LLF，innovations，sigmas，summary］=garchfit（seq）；

2）GARCH參數(shù)

garchdisp（coeff，errors）

擬合的參數(shù)如表4所示。

條件異方差方程的參數(shù)：常數(shù)項(xiàng)a0，K值，GARCH項(xiàng)（前一期的方差的預(yù)測值ht－1），ARCH項(xiàng)。表4中，第一列為所得值，第二列是標(biāo)準(zhǔn)差，第三列是T檢驗(yàn)的數(shù)值。

由計(jì)算結(jié)果用GARCH（1，1）擬合觀察值，得出均值方程和條件方差方程。

均值方程：

條件方差方程：

2.5 估計(jì)效果分析

GARCH（1，1）模型的β1的系數(shù)都比較大且通過了顯著性檢驗(yàn)，說明股價(jià)波動具有“長期記憶性”，即過去價(jià)格的波動與其無限長期價(jià)格波動的大小都有關(guān)系。條件方差方程中，系數(shù)a1和β1都顯著為正，說明過去的波動對市場未來波動有著正向而減緩的影響，從而使股市波動出現(xiàn)群聚性現(xiàn)象。a1+β1都接近于1，這說明股市波動對外部沖擊的反應(yīng)函數(shù)以一個(gè)相對較慢的速度遞減，股市一旦出現(xiàn)大的波動在短期內(nèi)很難消除。另外，由于GARCH（1，1）模型中a1+β1小于1，說明收益率條件方差序列是平穩(wěn)的，模型具有可預(yù)測性。

除了參數(shù)估計(jì)值和標(biāo)準(zhǔn)差，garchfit同時(shí)計(jì)算了殘差（innovations）、條件標(biāo)準(zhǔn)差（conditional standard deviations）。從圖6中可以看出，殘差出現(xiàn)了波動聚集現(xiàn)象，顯示了很強(qiáng)的非平穩(wěn)性。經(jīng)過GARCH模型擬合之后，條件標(biāo)準(zhǔn)殘差的波動聚集現(xiàn)象已經(jīng)不明顯了。

圖6 殘差（a）與條件標(biāo)準(zhǔn)差（b）

3 結(jié)束語

3.1 本文的主要貢獻(xiàn)

本文在對股票指數(shù)進(jìn)行分析時(shí)選用了GARCH模型，準(zhǔn)確地模擬時(shí)間序列變量的波動性的變化。本文所選用的模型在金融工程學(xué)的實(shí)證研究中應(yīng)用廣泛，尤其是應(yīng)用在風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（value at risk）理論中，使人們能更加準(zhǔn)確地把握風(fēng)險(xiǎn)。

GARCH用方差以預(yù)測時(shí)間序列方差：（1）估計(jì)方差，衡量風(fēng)險(xiǎn)；（2）可以計(jì)算均值方差中變量的置信區(qū)間；（3）對條件異方差正確估計(jì)可以使估計(jì)參數(shù)更準(zhǔn)確，特別適用于波動性的分析和預(yù)測，這樣的分析對投資者的決策能起到非常重要的指導(dǎo)性作用，其意義很多時(shí)候超過了對數(shù)值本身的分析和預(yù)測。

可以預(yù)見，未來的研究將會在方法論和工具論兩個(gè)方向進(jìn)一步展開，特別是其應(yīng)用研究還在不斷拓展，伴隨著市場微觀結(jié)構(gòu)理論的成熟，采用ARCH模型來模擬波動性，將會對期貨交易制度設(shè)計(jì)、風(fēng)險(xiǎn)控制制度設(shè)計(jì)和投資組合風(fēng)險(xiǎn)管理策略研究，提供一個(gè)更為廣闊的研究空間。

3.2 本文的缺陷及改進(jìn)的方法

GARCH模型適合在計(jì)算量不大時(shí)，方便地描述了高階的ARCH過程，因而具有更大的適用性。但GARCH（1，1）模型在應(yīng)用于資產(chǎn)定價(jià)方面存在以下的不足：

1）GARCH模型不能解釋股票收益和收益變化波動之間出現(xiàn)的負(fù)相關(guān)現(xiàn)象。GARCH（p，q）模型假定條件方差是滯后殘差平方的函數(shù)，因此，殘差的符號不影響波動，即條件方差對正的價(jià)格變化和負(fù)的價(jià)格變化的反應(yīng)是對稱的。然而，在經(jīng)驗(yàn)研究中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)利空消息出現(xiàn)時(shí)，即預(yù)期股票收益會下降時(shí)，波動趨向于增大；當(dāng)利好消息出現(xiàn)時(shí)，即預(yù)期股票收益會上升時(shí)，波動趨向于減小。GARCH模型不能解釋這種非對稱現(xiàn)象。

2）GARCH（1，1）模型為了保證非負(fù)，假定式（2）中所有系數(shù)均大于零。這些約束隱含著的任何滯后項(xiàng)增大都會增加，因而排除了隨機(jī)波動行為，使得在估計(jì)GARCH模型時(shí)可能出現(xiàn)震蕩現(xiàn)象。

3）此外，針對波動溢出分析，原始GARCH模型僅能支持單一金融市場，難以對不同市場之間的相互影響進(jìn)行分析。

3.3 改進(jìn)的方法

如果要對波動溢出做進(jìn)一步分析，可以考慮如下方法：

1）主成分分析與獨(dú)立成分分析。通過多個(gè)金融市場的收益率波動數(shù)據(jù)構(gòu)成協(xié)方差矩陣并計(jì)算主成分和獨(dú)立成分，并與GARCH模型相結(jié)合的方法來進(jìn)行分析。

2）建立多個(gè)金融市場的時(shí)間序列矩陣，引入多變量GARCH模型或矢量GARCH模型（bekkmgarch），才能達(dá)到理想的分析結(jié)果。

［1］Fama E F.The behavior of stock－market prices［J］.The Journal of Business，1965，38（1）：34－105.

［2］文雪梅，柏滿迎.股票收益率預(yù)測模型的比較［J］.現(xiàn)代商業(yè)，2009（11）：26.

［3］趙耀軍.時(shí)間序列分析［J］.山西冶金，2012（6）：19.

［4］張樹京，齊立心.時(shí)間序列分析簡明教程［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2003.

［5］張善文，雷英杰，馮有前.Matlab在時(shí)間序列分析中的應(yīng)用［M］.西安：西安電子科技大學(xué)出版社，2007.

［6］林建華，王福昌，馮敬海.股價(jià)波動的指數(shù)O2U過程模型［J］.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，2000，17（4）：29－32.

Volatility M odelling of Chinese Stock M arket Based on M atlab

CONG Chao，XU Deling，PANG Shida，SUN Kaixuan
（School of Electronic Information and Automation，Chongqing University of Technology，Chongqing 400054，China）

On the background of a global financial turmoil，mathematical，statistical and economic analysiswas applied in the experiment of analyzing the volatility feature of Shanghaiand Shenzhen stock indexes from 2007 to2009.Then，a Matlab based financial toolbox and GARCH（generalized auto regressive conditional heteroskedasticity）modelingmethodswere used in the experiment.The result showed an obvious heteroscedasticity feature in return series and a very good fitting with GARCH model.

stock market；time series analysis；generalized auto regressive conditional heteroskedasticity；Matlab program

TP311；F832.5

A

10.3969/j.issn.1672－4550.2014.05.022

2013－06－06；修改日期：2014－07－12

叢 超（1984－），男，碩士，助理實(shí)驗(yàn)師，研究方向：圖像處理、軟件開發(fā)、高性能并行計(jì)算。