董永新， 王壽城

（合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230009）

0 引言

文獻(xiàn)［1－2］討論了半平面上不重疊Schwarz交替法，利用極值原理證明了其在極大模意義下的幾何收斂性；文獻(xiàn)［3］討論了一個(gè)雙調(diào)和方程兩子區(qū)域上無(wú)重疊的區(qū)域分裂法；文獻(xiàn)［4］引入松弛因子加速Schwarz交替法收斂速度，論述了徑向基函數(shù)配點(diǎn)法和不重疊型Schwarz交替法的結(jié)合用于求解橢圓方程?？傊?，解無(wú)界區(qū)域橢圓邊值問題，常用有限元與邊界元耦合法，做適當(dāng)?shù)娜斯み吔?，有限區(qū)域上用有限元方法，無(wú)界區(qū)域上用自然邊界歸化，從而有效地解這類方程。上述方法都是在某一解答過(guò)程中創(chuàng)新了一種方法的優(yōu)良算法［5］。本文在原算法基礎(chǔ)上離散二分迭代函數(shù)，從二分算法迭代值角度，以Poisson方程外問題為例，討論二分迭代后新算法的加速收斂性質(zhì)，數(shù)值算例和圖像表明該平方收斂算法的優(yōu)越性。

考慮Poisson方程外問題：

其中，Γ0＝｛（r，θ）｜r＝a，a＞0，｝，θ∈［0，2π］。構(gòu)造人工邊界Γ1＝｛（θ，φ）｜θ＝β，β＞0｝，Γ0的外部與Γ1的內(nèi)部為Ω0，Γ1的外部為Ω1。

引理1 設(shè)投影算子是v到子空間vi的算子［6］：v→vi，i＝0，1，V＝V0＋V1，對(duì)?v∈V，存在a∈［0，1］，使得：

1 離散算法的實(shí)現(xiàn)及其誤差分析

與（1）式對(duì)應(yīng)的變分問題為：求u∈H1（Ω），使a（u，v）＝ （f，v），對(duì) ?v∈H1（Ω），數(shù)值分析基本思想是將連續(xù)問題離散化、離散問題連續(xù)化，此處將連續(xù)問題離散化，構(gòu)造人工邊界時(shí)，若Γ0為長(zhǎng)條型區(qū)域，則取橢圓形人工邊界［7－9］。

算法1 平方收斂不重疊Schwarz交替法［1］。問題（1）的泛函記為：

定理1 算法1將問題（1）解的誤差收斂較原來(lái)以平方速度收斂，誤差滿足：

算法1相比于不重疊Schwarz交替法具有幾何平方收斂性。Ω1上用自然邊界元方法，因邊界充分光滑，文獻(xiàn)［10］推得（1）式的解的直接邊界積分表達(dá)式為：

進(jìn)行算法1的有限元模擬，先對(duì)Ω1作正則三角形剖分，Pi（i＝1，2，…，N）為內(nèi)結(jié)點(diǎn)，Qi（i＝N＋1，N＋2，…，N＋M）為邊界結(jié)點(diǎn)，即Ω0h上的線性元空間為Sh（Ω0h），用Γ0h表示剖分在Γ0上的分劃，Γ1h表示剖分在Γ1上的分劃，Φh表示Sh（Ω0h）在Γ0上的跡空間［1，11］。（1）式的有限元近似：求uh∈Sh（Ω0h），滿足a（uh，v）＝l（v），?v∈Sh（Ω0h）。

算法2 離散平方收斂不重疊Schwarz交替法［1］。算法步驟如下：

（4）轉(zhuǎn)步驟（2）。

離散不重疊Schwarz算法中的（9）式在Sh（Ω0h）上利用有限元求解，（10）式因在無(wú)界區(qū)域上，故用自然邊界歸化方法。

2 數(shù)值算例

特殊地取f＝1，考慮Dirichlet問題［11］：

為得到更好的算法收斂精度，既可以加密網(wǎng)格，也可以加密迭代函數(shù)，這里對(duì)函數(shù)進(jìn)行二分，該迭代理論表明算法收斂誤差相比于二分前以平方速度收斂。算例中部分節(jié)點(diǎn)數(shù)值見表1所列。數(shù)值算例前后u值和準(zhǔn)確值與數(shù)值解的誤差Matlab圖像也表明相同結(jié)果，算法最終結(jié)果與真實(shí)值的誤差對(duì)比如圖1所示。

表1 算例中部分節(jié)點(diǎn)數(shù)值

圖1 算法最終結(jié)果與真實(shí)值的誤差對(duì)比

3 結(jié)論

區(qū)域分解是基于自然邊界歸化原理處理無(wú)界區(qū)域問題的理論，其有相對(duì)完善的理論，能夠解決無(wú)界區(qū)域上的PDE問題，且能夠降低方程階數(shù)，使計(jì)算量銳減。本文在此基礎(chǔ)上加密迭代函數(shù)來(lái)獲得加速收斂。

（1）平方收斂算法可以解決線性、非線性方程的數(shù)值解問題。逐步逼近的思想是將大區(qū)域問題逐步變?yōu)樾^(qū)域問題。文中逐步逼近思想將網(wǎng)格加密與算法迭代函數(shù)二分換位，得到平方收斂的不重疊Schwarz交替法。將Schwarz交替法中的初始值與迭代函數(shù)的和取均值后代入替代，算法的收斂速度、誤差估計(jì)性能提高。

（2）數(shù)值算例中部分節(jié)點(diǎn)數(shù)值和誤差比較的Matlab圖像表明平方收斂算法的優(yōu)越性。

二分算法也可用在其他類型的偏微分方程的交替法上，文中僅以Poisson方程為例。

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