馬亮亮， 劉冬兵

（攀枝花學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院，四川 攀枝花 617000）

分數(shù)階微分方程可用于模擬生物、金融等領(lǐng)域及半導(dǎo)體研究中的許多現(xiàn)象［1］；文獻［2－3］提出了分數(shù)階的行方法，將分數(shù)階微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程系統(tǒng)；文獻［4］考慮了有界區(qū)間上Riesz分數(shù)階偏微分方程的數(shù)值問題；文獻［5］給出了有界區(qū)間上分數(shù)階空間擴散方程滿足邊界條件的數(shù)值解法；文獻［6］考慮了一類Riesz－Caputo分數(shù)階對流擴散方程在有限區(qū)間上的隱式和顯式差分逼近；文獻［7］討論了一類二維空間Riesz分數(shù)階擴散方程的解析解；文獻［8］基于Riesz分數(shù)階導(dǎo)數(shù)，對一類分數(shù)階運動微分方程進行了研究。

本文將考慮n維情況下空間Riesz分數(shù)階擴散方程的解析解問題。

1 定義及性質(zhì)

定義1 在有界區(qū)間［0，L］上，Riesz分數(shù)階導(dǎo) 數(shù)的定義［9］如下：

2 Riesz分數(shù)階擴散方程的解析解

本文考慮齊次n維空間Riesz分數(shù)階擴散方程為：根據(jù)常微分方程解的結(jié)構(gòu)，可以推出（4）式的一般解為：

3 非齊次Riesz分數(shù)階擴散方程的解析解

本文考慮非齊次n維空間Riesz分數(shù)階擴散方程為：

根據(jù)疊加原理，非齊次n維空間Riesz分數(shù)階擴散方程的初邊值問題可轉(zhuǎn)化為：

將f（x1，x2，…，xn，t）展成傅里葉級數(shù)的形式，即）

4 結(jié)束語

本文給出了n維空間Riesz分數(shù)階導(dǎo)數(shù)與分數(shù)階拉普拉斯算子的特征函數(shù)、特征值之間的關(guān)系，并利用譜表示法分別給出了齊次和非齊次情況下，一類n維空間Riesz分數(shù)階擴散方程在有界區(qū)域內(nèi)滿足一定初邊值條件的解析解。

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［3］趙小文，張 海，蔣 威.分數(shù)階時滯微分系統(tǒng)的解［J］.合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2009，32（9）：1439－1441.

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