田霄，賀建軍，喻壽益

(中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙410083)

基于壓縮感知理論的諧波畸變電壓信號(hào)采集方法研究

田霄，賀建軍，喻壽益

(中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙410083)

針對(duì)電能質(zhì)量信號(hào)參數(shù)變化快、數(shù)據(jù)采集量特別大的特點(diǎn)，論文對(duì)電能質(zhì)量信號(hào)的壓縮感知采集方法進(jìn)行了研究，并根據(jù)電能質(zhì)量信號(hào)檢測(cè)的具體要求，改進(jìn)了觀測(cè)矩陣中輪換矩陣的構(gòu)造方法，針對(duì)信號(hào)特征提高了低頻段信號(hào)的權(quán)重，可以在較高壓縮比條件下重構(gòu)得到準(zhǔn)確的信號(hào)。在不同壓縮比條件下，對(duì)論文中提出的算法進(jìn)行了仿真，并以諧波畸變電壓信號(hào)為例，同采用高斯隨機(jī)矩陣和傳統(tǒng)輪換矩陣的算法進(jìn)行了比較，仿真結(jié)果表明本方法壓縮比高，信號(hào)重構(gòu)效果好，性能穩(wěn)定，優(yōu)于傳統(tǒng)輪換矩陣。

電能質(zhì)量;壓縮感知;觀測(cè)矩陣;輪換矩陣

1 引言

近年來，隨著現(xiàn)代工業(yè)的發(fā)展，電力用戶對(duì)電能形態(tài)提出了更高的要求，而隨著化工、冶金、鋼鐵、有色金屬、煤炭等工業(yè)部門對(duì)電能需求的迅速增加，大量的電力電子設(shè)備和整流換流技術(shù)被應(yīng)用到實(shí)際生產(chǎn)過程當(dāng)中，導(dǎo)致大量諧波注入電網(wǎng)。電力系統(tǒng)諧波主要的來源是各種非線性負(fù)荷用電設(shè)備。有資料表明，交流電弧爐是供電系統(tǒng)各類功率波動(dòng)性負(fù)荷中對(duì)電壓特性影響最大的負(fù)荷，其中，煉鋼用電弧爐比其他用途(如生產(chǎn)磷化物、冶煉硅鐵等)的電弧爐對(duì)供電電壓的干擾更大［1］。諧波的存在，對(duì)電力系統(tǒng)的安全、優(yōu)質(zhì)、經(jīng)濟(jì)運(yùn)行構(gòu)成了潛在的威脅。因此，諧波的監(jiān)測(cè)、分析與處理對(duì)生產(chǎn)設(shè)備和電力系統(tǒng)的安全運(yùn)行都具有非常重要的意義。

對(duì)電能質(zhì)量信號(hào)監(jiān)測(cè)處理的前提是信號(hào)采樣。傳統(tǒng)的電能質(zhì)量信號(hào)采樣是根據(jù)Nyquist采樣定理，為保證信號(hào)重構(gòu)不失真，采樣頻率不得低于信號(hào)最大頻率的兩倍。對(duì)于短時(shí)電能質(zhì)量信號(hào)，信號(hào)變化速度快，持續(xù)時(shí)間以毫秒計(jì)，甚至更短，這無疑給硬件采樣設(shè)備帶來了極大的壓力與挑戰(zhàn);另外，對(duì)于需要對(duì)采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行處理的場(chǎng)合，通常是先高速采樣，然后將獲得的數(shù)據(jù)進(jìn)行壓縮，最后對(duì)壓縮后的數(shù)據(jù)進(jìn)行傳輸和存儲(chǔ)，這樣造成了采樣資源的浪費(fèi)。2006年，Candes和Donoho首次提出了壓縮感知(Compressed Sensing，CS)理論。該理論突破了Nyquist采樣定理的限制，將采樣與壓縮同步完成，由信號(hào)本身的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)決定采樣頻率與采樣內(nèi)容，采樣速率可以遠(yuǎn)低于信號(hào)的最高頻率。

2 壓縮感知理論

壓縮感知理論的核心思想為:如果信號(hào)Xn×1本身具有稀疏性或可壓縮性，或在某種變換基Ψn×n的作用下具有稀疏性，則可將其投影到一個(gè)與變換基Ψn×n不相關(guān)的矩陣Φm×n上，采集遠(yuǎn)小于信號(hào)長(zhǎng)度的非適應(yīng)線性投影(即m個(gè)測(cè)量值)，然后通過求解數(shù)值最優(yōu)化問題，精確重構(gòu)信號(hào)。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為:

式中，矩陣Θ=Φ×Ψ;Ym×1為觀測(cè)向量;Φm×n為觀測(cè)矩陣，Φi(i=1，2，…，n)為Φ的列向量;Ψ為數(shù)據(jù)稀疏化時(shí)所用的正交變換矩陣。從觀測(cè)向量Ym×1中恢復(fù)稀疏向量Xn×1的過程稱為信號(hào)重構(gòu)。信號(hào)重構(gòu)問題的最直接方法是通過求解l0范數(shù)最小問題求解得到稀疏系數(shù)的估計(jì)。實(shí)際應(yīng)用中允許一定的重構(gòu)誤差存在，其求解模型為:

式中，ε為一個(gè)較小的常數(shù)。以匹配追蹤(Matching Pursuit，MP)算法和正交匹配追蹤(Orthogonal Matching Pursuit，OMP)算法為此類算法的代表。由壓縮感知理論的核心思想可知，觀測(cè)矩陣的選取是信號(hào)變換過程中保存重要信息量并精確重構(gòu)的前提，觀測(cè)矩陣合適與否和重建誤差緊密相關(guān)。Donoho提出了觀測(cè)矩陣需滿足的三個(gè)特征［2］，成為設(shè)計(jì)觀測(cè)矩陣的指導(dǎo)原則:

(1)觀測(cè)矩陣的列向量滿足一定的線性獨(dú)立性。

(2)觀測(cè)矩陣的列向量體現(xiàn)某種類似噪聲的獨(dú)立隨機(jī)性。

(3)滿足稀疏度的解是滿足1-范數(shù)最小的向量。

常用的觀測(cè)矩陣分為非確定性矩陣和確定性矩陣兩類。非確定性矩陣，如高斯隨機(jī)矩陣，由于其隨機(jī)性強(qiáng)，與絕大多數(shù)正交稀疏矩陣不相關(guān)，能夠以極高的概率滿足RIP性質(zhì)［3-5］，是最常用的觀測(cè)矩陣，但通常需要通過多次試驗(yàn)來消除其不確定性，且硬件實(shí)現(xiàn)困難，需要大量的存儲(chǔ)空間，故通常用于仿真試驗(yàn)中;確定性觀測(cè)矩陣，如部分哈達(dá)瑪矩陣［6］，托普利茲和循環(huán)觀測(cè)矩陣［7-10］等，其重構(gòu)效果恒定，需要的存儲(chǔ)空間較小，便于在硬件系統(tǒng)上實(shí)現(xiàn)，是當(dāng)前國(guó)內(nèi)外研究和應(yīng)用的熱點(diǎn)。

3 觀測(cè)矩陣的改進(jìn)

因?yàn)檩啌Q矩陣計(jì)算量小，易于構(gòu)建以及硬件實(shí)現(xiàn)，故本文選取輪換矩陣作為觀測(cè)矩陣。輪換矩陣是托普利茲和循環(huán)觀測(cè)矩陣的一種特殊形式，通過向量循環(huán)移位的形式生成整個(gè)矩陣，其構(gòu)造方式為:首先生成一個(gè)向量μ=(μ1，μ2，…，μn)∈Rn，由向量μ循環(huán)移位生成相應(yīng)的輪換矩陣U∈Rn×n，然后在矩陣U中隨機(jī)地選取其中的m(m＜＜n)行構(gòu)成觀測(cè)矩陣Φ∈Rn×n。通常情況下，向量μ的取值是± 1，且±1獨(dú)立地服從貝努力分布。具體形式為:

盡管這種循環(huán)移位的方式易于硬件的實(shí)現(xiàn)，但其組成元素只有1和－1，很容易造成列向量相關(guān)。為了進(jìn)一步提高觀測(cè)矩陣的性能，在增大壓縮比的同時(shí)保持并提高重構(gòu)精度，需要使用更多關(guān)于被測(cè)信號(hào)的先驗(yàn)知識(shí)。本文研究了基于壓縮感知理論的諧波畸變電壓信號(hào)采集方法。根據(jù)對(duì)電壓信號(hào)的先驗(yàn)知識(shí)，測(cè)量信號(hào)的傅立葉變換譜不是平坦的，而是在低頻部分值較大，高頻部分的值較小。圖1為一諧波信號(hào)經(jīng)傅立葉變換所得圖形。從圖1中可以看到，橫坐標(biāo)0～500Hz及9500～10000Hz處幅值較大，其余位置的值均為0或接近0，這些幅值較大點(diǎn)的橫坐標(biāo)和幅值是信號(hào)重構(gòu)過程中的重要信息。重構(gòu)的過程，就是確定這些重要信息點(diǎn)的位置及大小的過程。由于觀測(cè)向量Ym×1是原始信號(hào)與觀測(cè)矩陣的乘積，因此其中每個(gè)數(shù)據(jù)都會(huì)包含原始信號(hào)中所有數(shù)據(jù)的信息，而壓縮感知就是基于這一點(diǎn)進(jìn)行壓縮采集與信號(hào)重構(gòu)的。由此得出，要想增加原始信號(hào)中特定位置數(shù)據(jù)的重構(gòu)精度，就要在采樣過程中增加觀測(cè)矩陣中對(duì)應(yīng)位置的權(quán)值，這樣也就增加了在觀測(cè)向量Ym×1中所含相應(yīng)位置數(shù)據(jù)的信息，從而使得重構(gòu)精度提高。普通輪換矩陣在各個(gè)點(diǎn)上的權(quán)值相同，故不能很好地重構(gòu)出低頻部分的信號(hào)，同時(shí)往往在重構(gòu)信號(hào)中產(chǎn)生高頻噪聲，影響重構(gòu)質(zhì)量。如果能夠根據(jù)信號(hào)頻譜的先驗(yàn)知識(shí)，在不同頻率使用不同的權(quán)重，則可以改善重構(gòu)效果。

圖1 頻譜圖Fig．1Spectrogram of harmonic signals

鑒于此，提出了根據(jù)測(cè)量信號(hào)的先驗(yàn)特征改變輪換矩陣在不同位置的權(quán)重的改進(jìn)方法，即將輪換矩陣的每一列乘以對(duì)應(yīng)權(quán)重，通過選擇合適的權(quán)重，達(dá)到提高重構(gòu)精度、增大壓縮比的效果。本文根據(jù)電壓信號(hào)頻譜的特點(diǎn)，測(cè)試了三角形窗口，如圖2所示，即ki=abs(n/2－i+1)/(n/2)，其中ki為第i列的權(quán)重。將普通輪換矩陣的每一列乘以對(duì)應(yīng)的權(quán)重，得到新的觀測(cè)矩陣:

圖2 權(quán)值圖Fig．2Chart of weights

4 仿真實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

4.1 仿真信號(hào)的生成

電弧爐的運(yùn)行周期分為三個(gè)階段:熔化期、氧化期和還原期。隨著熔煉過程的進(jìn)行，電能質(zhì)量的下降程度也不斷發(fā)生變化。諧波次數(shù)和發(fā)生量因電弧本身的特性和運(yùn)行方式而不同。電能質(zhì)量下降程度最大和時(shí)變性最強(qiáng)的時(shí)刻發(fā)生在熔化期，奇次諧波和偶次諧波都很大，氧化和還原的精煉期電壓波動(dòng)和諧波含量顯著降低［1］。本文以熔煉初期的諧波電壓為例，諧波成分如表1所示［11］。

表1 熔煉初期諧波成分表Tab．1Harmonic component tables in early melting stage

據(jù)此產(chǎn)生熔煉初期的電壓信號(hào)Xn×1，基波頻率為50Hz，信號(hào)長(zhǎng)度n為1000個(gè)點(diǎn)。利用傅立葉變換，將Xn×1在頻域空間投影，如圖3所示，可以看到，在頻域空間，該信號(hào)只有50Hz、100Hz、150Hz等值附近為非零值，即信號(hào)在傅立葉變換后具備應(yīng)用壓縮感知的前提條件。

圖3 諧波信號(hào)的頻域投影Fig．3Zoomed spectrogram of harmonic signals

4.2 重構(gòu)性能比較

根據(jù)前面所敘述的方法，生成輪換矩陣，隨機(jī)從中抽取50行作為觀測(cè)矩陣Φ，利用正交匹配追蹤算法(即OMP算法)重構(gòu)信號(hào)。重構(gòu)信號(hào)與原始信號(hào)的對(duì)比如圖4所示。可以看到，對(duì)一個(gè)長(zhǎng)度為1000個(gè)點(diǎn)的信號(hào)，采用壓縮感知理論，只需要采樣50個(gè)點(diǎn)，就可以近乎完美地重構(gòu)原始信號(hào)，平均誤差僅為5×10－5。為了更好地評(píng)估改進(jìn)后的輪換矩陣的性能，其與高斯隨機(jī)矩陣、普通輪換矩陣進(jìn)行比較，結(jié)果如表2和圖5所示。圖5中，Gau代表高斯隨機(jī)矩陣方法的結(jié)果，Rot代表普通輪換矩陣方法的結(jié)果，New代表改進(jìn)后的輪換矩陣方法的結(jié)果?？梢钥闯?，在不同壓縮比條件下，改進(jìn)后的輪換矩陣的重構(gòu)匹配度均優(yōu)于另外兩種觀測(cè)矩陣。

圖4 實(shí)際信號(hào)和重構(gòu)信號(hào)對(duì)比圖Fig．4Comparison of raw and reconstructed signals

表2 不同壓縮比條件下，不同觀測(cè)矩陣性能比較Tab．2Comparison of different measurement matrices under different compression ratios

圖5 不同壓縮比下重構(gòu)匹配度對(duì)比圖Fig．5Comparison of reconstruction result under different compression ratios

從表2中可以看出，改進(jìn)后的輪換矩陣相對(duì)于另外兩種觀測(cè)矩陣在相同的重構(gòu)算法下，重構(gòu)效果有很大的提高。在壓縮比為0.1時(shí)，重構(gòu)匹配度相差不大，但信噪比約有3dB的提高，且重構(gòu)誤差較小。在壓縮比為0.05時(shí)，高斯隨機(jī)矩陣和普通輪換矩陣重構(gòu)性能下降較快，匹配度僅為0.8633和0.8630，信噪比分別為16.6334dB和17.3548dB，而改進(jìn)后的輪換矩陣重構(gòu)匹配度為0.9760，信噪比為40.8567dB?？梢?，改進(jìn)后的輪換矩陣在較高壓縮比條件下，仍能維持較高的重構(gòu)精度，優(yōu)勢(shì)明顯，性能穩(wěn)定。

5 結(jié)論

論文研究了基于壓縮感知理論的信號(hào)采集方法應(yīng)用于電能質(zhì)量測(cè)量中的可行性，提出了一種改進(jìn)的觀測(cè)矩陣的構(gòu)造方法。仿真實(shí)驗(yàn)表明，改進(jìn)后的輪換矩陣較好地利用了信號(hào)的先驗(yàn)知識(shí)，增大了信號(hào)中重要信息的權(quán)值，重構(gòu)效果好，性能穩(wěn)定，能夠在較高壓縮比下很好地重構(gòu)出電能質(zhì)量參數(shù)中的諧波電壓信號(hào)。由于采樣點(diǎn)遠(yuǎn)遠(yuǎn)少于測(cè)量信號(hào)長(zhǎng)度，極大地降低了對(duì)硬件采樣以及數(shù)據(jù)傳輸設(shè)備的要求。對(duì)于其他已知信號(hào)先驗(yàn)知識(shí)的場(chǎng)合，也可以通過根據(jù)信號(hào)特征改變權(quán)值ki來達(dá)到提高重構(gòu)精度、增大壓縮比的效果。隨著研究的深入，壓縮感知理論在電能質(zhì)量領(lǐng)域中必將有廣闊的應(yīng)用前景。

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Study on harmonic distortion of voltage signal acquisition method based on compressed sensing theory

TIAN Xiao，HE Jian-jun，YU Shou-yi
(School of Information Science and Engineering，Central South University，Changsha 410083，China)

In view of the quick changing of power quality signal and large amount of data that need to be collected，we discussed application of compressed sensing theory to power quality signal acquisition in this paper．Also we demonstrated a new algorithm of constructing the rotation matrix according to the specific requirements for power quality signal，which we called weighted observation matrix．Regulating the weight could lead to reconstruct accuracy change at different parts of signal independently．By adjusting the weight of different frequencies of signal according to signal characteristics known in advance and specific requirement to the measurement，this new algorithm has the ability to get more accurate reconstruction results of signal under higher compression ratio condition．The performance of this algorithm was evaluated under different compression ratios．Compared with classical observation matrix such as Gaussian random matrix and the traditional rotation matrix，our method demonstrated higher compression ratio，higher reconstruction accuracy and better robustness．

power quality;compressed sensing;observation matrix;rotation matrix

TM935.24

A

1003-3076(2014)11-0061-04

2012-09-04

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61174132)

田霄(1988-)，女，河北籍，碩士研究生，研究方向?yàn)樾盘?hào)采集處理算法;賀建軍(1965-)，男，湖南籍，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)橄到y(tǒng)建模、優(yōu)化與控制。