曹洪輝

（績溪縣教體局教研室 安徽 宣城 245300）

積極探索數學教學改革，讓教學改革與創(chuàng)新真正回到學科本質化教學的科學意義上來，是深化數學課程教學改革的重要內涵。

如何突出數學學科的本質化教學？筆者認為：從落實數學課程標準的意義上說，小學數學學科的本質化教學就是突出數學意義的教學，關注過程思考的教學，注重問題解決的教學，重視活動方式的教學，體現思想方法的教學。如何實現這一教學本義，現結合自己的教研實踐與學習思考提出以下五點看法。

一、建構意義形象化

“先乘除后加減”以及“兩個數的和與一個數相乘，可以先把它們與這個數分別相乘，再相加”等之類的數學法則及運算定律的教學，在很多的數學課堂上并沒有讓學生真正地去理解，相反要求學生硬性記住的概率更高。之所以是這樣，可能是教師對其教學的意義建構缺乏足夠的認識，認為只要記住這個結論會運用就行了，沒有必要花時間舍精力去展開形成結論的過程或背景；也可能是教師雖想嘗試去展開知識的形成意義，讓學生知其所以然，但暫不具備那樣的水平，于是便來個“奉送真理”的簡單化處理。顯然，這樣的教學不能揭示數學的本質意義，思維含量不高，缺乏思想方法的滲透。我們清楚，數學的概念、意義、定律或法則是數學的“基樁”，也是教學的重點、難點及關鍵所在，它所要解決的根本問題在于幫助學生搞懂“為什么是這樣？”由此打好學習數學的基礎。這樣去做顯然挑戰(zhàn)了教師理解數學、解讀教材、設計教學的水平。

在筆者先后所聽三位教師執(zhí)教的人教版二年級數學上冊（修訂版）第58頁“乘加乘減”一課內容時，留下的思考就是：他們的最大問題為什么都如出一轍，為什么都沒有通過相應的方式和手段幫助學生懂得“在這樣的算式中，要先算乘法”這個道理？課堂上，教師只強調“先算乘法，后算加減”，學生卻不知其所以然。其實，要讓學生明白這個道理并非很困難，一是教師結合該生活場景說明先算乘法后算加或減的實際需要，二是教師只要將這一抽象的數學結論轉化為具體形象的圖示，組織學生認真觀察、仔細思考就可以使問題得到有效解決。

結合主題圖中提出的問題：旋轉木馬里共有多少人？啟發(fā)學生討論思考后得出：3×3+2=11；3×4-1=11?！?1”是怎么得出來的？假如不先算乘法能得出“11”嗎？那為什么在這樣的算式中要先算乘法？此時，教師引導學生觀察：在4個旋轉木馬里，有幾個木馬里的人數是同樣的。結合學生回答，教師將“同樣多”的3個木馬用圖示圈起來，這樣就自然地將4個木馬分成了兩個部分，要求出一共有多少人實際上就是把這兩個部分合起來，這樣“先算乘法，后算加法”的規(guī)則就明晰了；如果把每個木馬里的人看成一樣多（3人），也用圖示圈起來，這時4個木馬里的總人數可以用怎樣的乘法算式計算？這樣算出的結果比實際多了幾人？那么實際人數就應該要減去幾人，這就道破了“先算乘法，后算減法”的理由。（上述過程可參見圖1）

圖1

教學采取這樣的方式和手段，既可有效幫助學生懂得“算式中要先算乘法”的道理，又適時適機地滲透了“集合”與“假設”的數學思想。建構數學意義的教學貫穿于學生學習數學的全過程，必須依據教材的內容編排及特點，抓好起始、生長與發(fā)展的每一步。

二、思考問題全面化

筆者曾聽到一位教師在一次作業(yè)評講時，對這樣一道選擇題做出如下表述：“有2本同樣的書，用下列兩種方法包裝（如圖2），哪種方法最省包裝紙？”

圖2

教師給出了這樣的指導方法：先假設一本書的長、寬、高各是18厘米、9厘米、2厘米，利用長方體表面積的計算方法分別算出兩種包裝方法所需紙的面積，再來比較大小。對此，一名學生僅憑觀察就得出了問題的答案，理由是：如圖，可看出一本書最大的面是上面和下面，按A種方法擺少了4個大面，按B種方法擺少了6個大面，減少的大面越多，包裝紙就越省。對學生的迅速判斷，教師給予了及時肯定并大加鼓勵。

從一般的生活經驗出發(fā)，學生的直觀判斷是對的，但圖中未標明具體的數字，也沒有規(guī)定長寬高的比例，作為教師就要有“數學化”的思想作全面考慮。實際上，生活中也有一些很厚的書，如學生字典等一類的工具書，也許這些書如上述擺法其結果不一定是（B）。

由圖示可知：A種擺法，減少了4個大面、4個小面，B種擺法減少了6個大面。假設這本書的長、寬、高各是acm、bcm、ccm。

A種擺法減少的面積為：SA＝(4ab+4bc)cm2；

B種擺法減少的面積為：SB＝（6ab）cm2；

SA－SB=4bc－2ab=2b(2c－a）。

（1）當a＞ 2c時，SA＜SB。采用B種方法省包裝紙。

（2）當a=2c時，SA=SB。采用A、B種方法所需包裝紙一樣。

（3）當a＜ 2c時，SA＞SB。采用A種方法包裝省紙。

因此其答案有三種可能。倘若現在有6本同樣的書或更多，分別像上述圖示那樣擺，結果呢？不言而喻。

這位學生為什么很快做出這樣的直觀判斷？原因有三：其一，基本的生活經驗告訴了他。其二，受教師一般假設的影響。這里教師注重了書本的一般特征，而忽視了其特殊性，另外，“長、寬、高各是18cm、9cm、2cm”的假設與圖示的直觀偏差甚遠，也促進了學生的一般判斷。第三，學生雖有生活經驗和知識基礎，但對問題還缺乏全面的思考，以致忽視了對“減少4個小面”的深層考慮。

顯然，教師對這一問題的設計和解決的預設缺乏全面而深入的思考，導致了以“一般情況”來掩蓋“特殊事實”的錯誤，于是對學生的判斷只滿足于經驗思維。數學是一門嚴謹的學科，教師一定要有數學的眼光和頭腦對問題的設計和解決進行全面審視、深度思考，以科學嚴謹的思想引導學生學會全面分析問題、正確解決問題；簡單而疏忽的認識，既不利于夯實自己的學科功底，更不利于培養(yǎng)學生縝密的數學思維，相反還會制約或影響學生的后續(xù)學習。

三、抽象概括模型化

抽象概括是學習數學的一個重要過程，也是突出數學本質的重要特征，對于小學生來說，這個過程往往需要經歷觀察、聯系、操作、思考、比較、推理、概括等一系列數學活動，學生只有在有指導的情況下主動參與了這樣的體驗性活動，才會最大可能獲得從具體形象思維到抽象邏輯思維的過渡或發(fā)展?！敖！笔浅橄蟾爬ǖ闹饕绞?，也是數學的重要思想，在幫助學生學會抽象概括的同時，引導學生學會用“模型”概括是數學本質化教學的重要策略。給數學配個“原型”其目的是為建構“模型”架設溝通的橋梁，同時也是幫助學生加強“原型”與“模型”的區(qū)別性認識。數學模型源于生活原型又高于生活原型，是對生活原型的“再創(chuàng)造”。比如，在小學生的初始認識中，總認為“點”是有大小的，“線”是有粗細的，這就是“生活原型”賦予的直觀上的影響，這種生活經驗干擾了學生對數學意義上“點”與“線”的認識與理解。其數學意義雖源于生活，卻是對“生活原型”的規(guī)則化提煉。我們知道：“點”是“圓”的縮影，“線”是“面”的元素，假如，數學上的點與線有大小粗細之分，那么就自然困擾了圖形形狀與大小的數學科學研究。因此，加強數學與生活的聯系和區(qū)別，關注已有知識的遷移和建構，展示和提煉“生活化”的“數學化”過程和意義，是幫助學生進行抽象概括的基本途徑。比如，人教版六年級下冊總復習中(第91頁)“數學思考——找規(guī)律”一課：6個點可以連成多少條線段？8個點呢？（參見圖3）

圖3

復習時需要注意的是，不可單純地就題解題，以訓練的方式簡單地給予，而應讓學生更好地通過加強聯系，以生活化的方式幫助學生思考數學、理解數學、應用數學，更好地促成“發(fā)現規(guī)律”的目標實現。教學時，教師可采取給其配個生活“原型”的組織方式——“握手交友”，以此將靜止抽象的數學問題注入生動形象的生活氣息。課堂的交流互動可這樣引入：教師和一位同學、兩位同學分別握手各握了幾次？和三位、四位呢？如果教師要和全班同學一一握手共握多少次？假如教師和全班同學之間都要相互握手，共握多少次？（這里的握手人數就相當于“點數”，兩人握手就相當于構成一條線段，相互握手的總次數就相當于線段的總條數）由少及多的親切交往，由易而難的問題設計，既激起了學生的探究欲望又挑戰(zhàn)了學生的數學思考。

為幫助學生探尋“增加點數、增加線段數與線段總條數”的變化規(guī)律，采取化難為易、由少到多的引導策略，教師堅持處于交流、點撥與指導中的“首席”，學生在這一過程中始終處于思考、交流與探究的主體地位。在學生發(fā)現了其中的變化規(guī)律后，教師指出“1+2+3+4+…+（n－1）”的結果是多少？假設用P表示線段總條數，n表示點數，那么P與n的關系怎樣表示？這樣的抽象概括與數學建模的問題設計，再一次提升了學生的思維層次，把教學推到了“數學化”與“再創(chuàng)造”的新平臺。當“P=n（n－1）÷2”的模型概括“出爐”后，幫助學生更好地理解這一模型并將這一模型應用于新的情境之中，是教學不可忽視的重要環(huán)節(jié)。對此，教師就要追問：誰能聯系剛才的握手情境來解釋這個模型的具體意義？P表示握手總次數，n表示人數，那么（n－1）表示什么？（自己不可與自己握手，所以要減1）為什么要除以2？（我與你握手就等于你和我握手，兩人只算一次）隨后設計一道“足球循環(huán)賽”的真實問題，讓學生自己嘗試解決。這樣組織活動，充分體現了“思考”與“建?！钡谋举|特征，會收到較理想的教學效果?？梢?，整堂課圍繞數學思考，運用“尋求聯系——建立模型——解釋并應用”的模式組織學生探究，既突出了學科教學特色，又滿足了學生學數學的需要。

四、解決策略多樣化

“倡導算法多樣化，鼓勵算法多樣化”的課標精神同樣昭示著解決問題策略的多樣化。在教材的許多示例中，除了列舉的解決方法之外，還會提出：還有別的方法嗎？這就啟示了多樣化的解決途徑。有了多樣化才有優(yōu)化的可能，多樣化與優(yōu)化構成了“數學化”的重要方面，也是數學本質化的具體體現。注重解決問題策略的多樣化，不僅僅滿足于多樣化的形式而已，更為重要的意義在于通過多樣化的形式引發(fā)學生更全、更深的數學思考，以期訓練和發(fā)展學生的思維方式、思維品質。

為了考察師生在教與學的實踐中，是否真正落實了多樣化教學，尤其是解決問題的策略多樣化，筆者在兩次調研測試中分別設計了這樣兩道題：

1.在括號內填上適當的數，使計算簡便且結果等于65。（所填的數0除外）

（ ）×6.5+65×（ ）

2.一個均勻滴水的水龍頭用兩個容器先后接水，甲容器從空滴到滿用了25分鐘，乙容器則用了40分鐘。若兩個容器的底面相同，甲容器高15cm，乙容器的高是多少cm？（參見圖4）

圖4

題1重在考查學生對“乘法分配律”及“積的變化規(guī)律”在具體情境中的靈活運用；題2主要檢測學生對所掌握“兩形體”知識的聯系及運用知識綜合解決實踐問題的能力，由此獲得教師指導學生學習的反饋信息。

題1是一道開放題，雖計算結果唯一，但要使計算簡便，所填的兩個數是不確定的，不確定的兩個數又是相互依存、互為條件的。不難發(fā)現，要同時滿足既簡便又合理的條件，一是所填的兩個數要滿足于和為10或1，這樣其答案就有“1、9，2、8，3、7，4、6與5、5或各自縮小10倍”相對應的十種可能；二是所填對應的兩個數，其中一個與6.5或與65相乘必須有一個因數要擴大或縮小10倍。例如：

1×6.5+65×0.9=6.5×(1+9)=65

8×6.5+65×0.2=65×(0.8+0.2)=65

1×6.5+65×0.9=65×(0.1+0.9)=65

8×6.5+65×0.2=6.5×(8+2)=65

題2的綜合性較強，是對學生仔細審題、溝通聯系、抽象認識、探究方法等能力的綜合挑戰(zhàn)。從題目給出的條件可知，要求出乙容器的高度，主要策略有：

假設法：假設容器的底面積為10cm2，那么每分鐘注入容器的水量為“1/3×10×15÷25=2”那么乙容器的高就是“40×2÷10=8cm”。

比例法：因為是均勻滴水，也就是說每分鐘注入的水量不變，所以總量與時間成正比例；因底面相同，我們可以假定它為S。設乙容器的高是x cm,由此得到比例式：1/3S×15：25=S x：40，求得 x=8

方程法：設乙容器的高為x cm，根據每分鐘注入的水量不變和底面相同可列出方程：1/3S×15÷25=S x÷40。由此求出x=8。

上面兩題的測試結果令人遺憾，抽樣統計表明：題1的正確率不到25%，題2的正確率不足18%。數字的背后反映了教師在教學中對學生思維能力及解決實際問題能力的培養(yǎng)存在很大的缺失，尤其在實施解決問題的策略多樣化上是一個明顯的短板，雖然試題設計有一定的難度，但從數學本質化教學的意義上說，加強改革的方向性認識和實踐性探索是教師專業(yè)發(fā)展的必然要求。

五、組織方式活動化

這一點，筆者從一道六年級第二學期的期末測試題說起。試題的設計內容源于人教版六年級下冊練習十九第 7題（第100頁）：在長12.4cm、寬7.2cm的長方形紙中，剪半徑是1cm的圓，最多能剪（）個？〔A、18 B、22 C、28〕。設計的意圖就是考查學生積累的數學活動經驗情況，同時也透視教師是否將關注數學活動真正落到實處。檢測結果著實令人堪憂。學生大多數之所以選擇答案A，是受“在一個長方形內截一個最大的圓，這個圓的直徑就是長方形的寬”的經驗影響，長12.4cm最多只能滿足6個小圓的直徑，寬7.2cm最多只能滿足3個小圓的直徑，由此得到18（個）；一部分學生選擇答案 C，是以“(12.4×7.2)÷(3.14×1×1)=28（個）”思考方法來考慮的，卻忽視了圓不能密鋪的道理。對于此題，教科書上有明顯的提示，教師教學用書里也給出了具體建議及正確答案。為什么教師卻沒有給予足夠的重視呢？在大力倡導動手操作、合作探究的方式變革中，竟然出現如此指導不力的現象，一個基本的事實難以掩蓋：課程教學理念說起來重要，做起來次要，鞏固復習時就不要了，或者說，教師只忙于教教材、做習題、改作業(yè)的基本任務，而缺乏怎樣有效利用教材資源提高學生的學習質量、培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和實踐能力。對于深化數學教學改革來說，這是一件必須高度重視、加強實踐的事情。

小學數學教學是關于外顯的操作活動與內隱的思維活動相統一的教學，兩者如影相隨且互為促進。美國教育家蘇娜丹戴克說：“告訴我，我會忘記；做給我看，我會記??；讓我參加，我就會完全理解?！笨梢姡嬲J識某一事物的特征、本質，聽覺容易忘記，視覺容易記住，體驗與思考則容易理解。小學數學教材既充滿著動手操作的思考又充滿著思考的動手操作。假如教師在認真鉆研教材的基礎上，提高對這一情境可以“加密”的本質性認識（長方形的總面積與18個小圓的總面積相差約33cm2），到底還可以增加幾個？面對這一挑戰(zhàn)，教師要及時組織學生進行必要的動手操作、合作探究。在教師指導下定會得到如圖5所示結果。

圖5

這樣，展示在學生面前的會是一幅“柳暗花明”的美好情景。因此，依據內容實際和變化需要，采取合宜的組織方式，適時適機地組織學生開展數學活動，讓學生動起來，讓課堂活起來，是數學教學改革與創(chuàng)新的本質所在。

以上五點思考，是筆者立足教學實踐經驗，基于小學數學教學改革的方向與策略探討的一己所見，還望得到大家的指點，深化這一領域的研究?！?/p>