樂高軍

本文以《異面直線所成的角》為例，從關(guān)鍵環(huán)節(jié)人手，分析認(rèn)知概念的心理特點(diǎn)，探討科學(xué)地進(jìn)行概念教學(xué)的方法和途徑.

一、展示概念背景，培養(yǎng)思維的主動性

思維的主動性，表現(xiàn)為學(xué)生對數(shù)學(xué)充滿熱情，以學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)為樂趣，在獲得知識時有一種愜意的滿足感.

導(dǎo)引階段：教師與學(xué)生一起以熟悉的正方體為例，復(fù)習(xí)空間兩條直線的位置關(guān)系后，請學(xué)生觀察圖中的幾對異面直線.教師指出：從位置關(guān)系說，同為異面直線，但它們的相對位置，是否就沒有區(qū)別？學(xué)生回答：有區(qū)別.教師緊接著說：既然有區(qū)別，說明僅用“異面”來描述異面直線間的相對位置顯然是不夠的.在生產(chǎn)實(shí)際與數(shù)學(xué)問題中，有時還需要進(jìn)一步考慮它們的相對位置.這就給數(shù)學(xué)提出了一個新任務(wù)：怎樣刻劃異面直線間的這種相對位置，或者說，引進(jìn)一個什么數(shù)學(xué)量來刻劃這種相對位置.

這樣引入新課，揭示了異面直線所成的角出現(xiàn)的背景，將數(shù)學(xué)家的思維活動暴露給學(xué)生，使學(xué)生沉浸于對新知識的期盼、探求的情境之中，積極的思維活動得以觸發(fā).

二、創(chuàng)設(shè)求知情境，培養(yǎng)思維的敏捷性

思維的敏捷性表現(xiàn)在思考問題時，以敏銳地感知，迅速提取有效信息，進(jìn)行“由此思彼”的聯(lián)想，果斷、簡捷地解決問題.

情境設(shè)計階段：我們知道平面幾何中用數(shù)學(xué)量“距離”來刻劃兩平行直線間的相對位置，用數(shù)學(xué)量“角”來刻劃兩相交直線間的相對位置，（教師用棒針比劃追問）那么用什么來刻劃兩異面直線的相對位置呢？揭示課題.

我們還知道兩異面直線不相交，它們又確實(shí)存在角度關(guān)系，這就需要我們找到一個角以它的大小來度量異面直線所成的角的大小.為了解決這個問題，我們看一道題：

一張紙上畫有兩條能相交的直線a，b（但交點(diǎn)在紙外）.現(xiàn)給你一副三角板和量角器，限定不許拼接紙片，不許延長紙上的線段，問如何能量出a，b所成的角的大?。?/p>

通過舊知識的遷移探測問題，為新知識的形成開辟通道，進(jìn)而使新舊知識得到完美的銜接.這對提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)是非常有益的.

三、精確表述概念，培養(yǎng)思維的準(zhǔn)確性

思維的準(zhǔn)確性是指思維符合邏輯，判斷準(zhǔn)確，概念清晰啟迪。

發(fā)現(xiàn)階段：引導(dǎo)學(xué)生分析本課開始部分幾對異面直線所成的角，分別可用哪兩條相交直線的角（銳角或直角）來度量.至此，教師讓學(xué)生自己來概括得出新概念異面直線所成角的定義，其間，對學(xué)生表述上的任何微小缺陷與不當(dāng)之處，老師應(yīng)誘導(dǎo)啟發(fā).在正式給出定義時要求語言簡練、準(zhǔn)確，符合邏輯性和科學(xué)性.

新概念的引進(jìn)解決了導(dǎo)引中提出的問題.學(xué)生自己參與形成和表述概念的過程培養(yǎng)了抽象概括能力.因此，概念教學(xué)亦蘊(yùn)含了豐富的培養(yǎng)能力、訓(xùn)練思維的素材，教學(xué)過程中應(yīng)充分重視.

四、解剖新概念，培養(yǎng)思維的縝密性

思維的縝密性表現(xiàn)在抓住概念的本質(zhì)特征，對概念的內(nèi)涵與外延的關(guān)系全面深刻地理解，對數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的嚴(yán)密性和科學(xué)性能夠充分認(rèn)識.

解剖概念階段：教師提問，這角（或平行線）一定可以作出來嗎？角的大小與作法有什么關(guān)系？這里提出的就是定義的合理性（即存在性和確定性問題）.

通過解決以上兩個問題得到：兩異面直線所成角的范圍規(guī)定在（0，π12]內(nèi)，那么它的大小，由異面直線本身決定，而與點(diǎn)O（一線的平行線與另一線的平行線的交點(diǎn)）的選取無關(guān)，點(diǎn)O可任選.一般總是將點(diǎn)O選在特殊位置.

這樣引導(dǎo)學(xué)生“解剖”定義，使學(xué)生看到抽象的數(shù)學(xué)術(shù)語和符號與現(xiàn)實(shí)存在的具體事物和現(xiàn)象之間的聯(lián)系，了解整個定義的結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)了學(xué)生思維的縝密性.

至此，兩異面直線所成角的概念完全建立了，在這個過程中滲透了把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題這一化歸的數(shù)學(xué)思想方法.

五、運(yùn)用新概念，培養(yǎng)思維的深刻性

思維的深刻性主要表現(xiàn)在理解能力強(qiáng)，能抓住概念、定理的核心及知識的內(nèi)在聯(lián)系，準(zhǔn)確地掌握概念的內(nèi)涵及使用的條件和范圍.在用概念判別命題的真?zhèn)螘r，能抓住問題的實(shí)質(zhì)；在用概念解題時，能抓住問題的關(guān)鍵.

鞏固深化階段：在學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)概念之后，應(yīng)立即引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)概念解決“引入概念”時提出的問題（或其他問題），在運(yùn)用中鞏固概念.使學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)概念，既是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)，又是進(jìn)行再認(rèn)識的工具.如此往復(fù)，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，成為實(shí)踐——認(rèn)識——再實(shí)踐——再認(rèn)識的過程，達(dá)到培養(yǎng)思維深刻性的目的.

當(dāng)然，應(yīng)用的設(shè)計應(yīng)由易到難，循序漸進(jìn)，形成梯度，拾級而上，以促進(jìn)學(xué)生思維的合理過渡.

例1求本課開始時的幾對異面直線所成的角及距離.

啟發(fā)學(xué)生尋求一題多解，不僅可以使所學(xué)知識融會貫通，還可使學(xué)生掌握多種解題方法，并學(xué)會從眾多解法中，優(yōu)選最佳方法.從而培養(yǎng)思維的靈活性和廣闊性.

例2M，N分別是正方體ABCD-A1B1C1D1中BB1，CC1的中點(diǎn)，求MN與AD所成的角.

思路1：過M點(diǎn)作MG∥BC交CC1于G，MG，MN所成的銳角（或直角）為所求.

思路2：連BC1，則BC與BC1所成的角（銳角或直角）為所求.

思路3：連BC1，AD1，則AD與AD1所成的角（銳角或直角）為所求.

這樣設(shè)計至少有兩個好處：其一，加深了學(xué)生對概念的理解；其二，再一次激起了學(xué)生思維的浪花.

六、分析錯解成因，培養(yǎng)思維的批判性

思維的批判是指思維嚴(yán)謹(jǐn)而不疏漏，能準(zhǔn)確地辨別和判斷，善于覓錯、糾錯，以批判的眼光觀察事物和審視思維的活動.

深化階段：對數(shù)學(xué)概念的理解要防止片面性.除在運(yùn)用概念時，用典型的例子從正面加深對概念的理解、鞏固概念之外，還應(yīng)針對某些概念的定義中有些關(guān)鍵性的字眼不易被學(xué)生所理解，容易被忽視；某些概念的條件比較多，學(xué)生常顧此失彼，不易全面掌握；某些概念與它的鄰近概念相似，不易區(qū)別等等.采用舉反例，從反面來加深學(xué)生對概念的內(nèi)涵與外延的理解，培養(yǎng)思維的批判性.