王海靜

【摘 要】數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與數(shù)學(xué)應(yīng)用之間的橋梁。模型思想本身的局限性及其在實(shí)踐中的缺失、學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展特點(diǎn)等催生了解模思想。將已有抽象的數(shù)學(xué)概念還原成事物本身，使數(shù)學(xué)知識(shí)具有逆象形性，便于學(xué)生理解和接受，這是數(shù)學(xué)解模思想。

【關(guān)鍵詞】逆象形 模型思想 解模 生活原型

逆象形是將抽象的、非物質(zhì)的、無(wú)形的概念還原成事物本身，解模就是這樣一個(gè)還原的過(guò)程。解模是對(duì)一些抽象的數(shù)學(xué)概念、符號(hào)、公式等賦予一定的生活意義，使數(shù)學(xué)通過(guò)形象的事物表現(xiàn)出來(lái)，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不但有意義，而且有意思，以促進(jìn)學(xué)生更好地理解并接受。

一、數(shù)學(xué)模型思想的局限性

模型思想作為一種數(shù)學(xué)思想，具有高度的概括性、抽象性和工具性。在小學(xué)階段，它的這些特征則難以很好地實(shí)現(xiàn)。

1.有雛形而未成型。

小學(xué)階段是數(shù)學(xué)模型思想形成過(guò)程中的初始階段。如小學(xué)階段的“雞兔同籠”問(wèn)題滲透的是二元一次方程的模型思想，“數(shù)對(duì)”則是學(xué)習(xí)二維坐標(biāo)數(shù)學(xué)模型的初始階段。其重點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷模型的形成過(guò)程，使他們?cè)谔剿鞯倪^(guò)程中學(xué)會(huì)思考，無(wú)需強(qiáng)求他們非要運(yùn)用對(duì)應(yīng)的模型思想去解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

2.簡(jiǎn)約而不易理解。

數(shù)學(xué)模型的簡(jiǎn)約性是客觀存在的，在豐富的數(shù)學(xué)世界里，蘊(yùn)涵著變化多樣的數(shù)學(xué)模型，數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程就是把復(fù)雜的情境進(jìn)行分析簡(jiǎn)化，從而得出簡(jiǎn)約的數(shù)學(xué)模型。例如，我們?cè)谝龑?dǎo)學(xué)生充分理解長(zhǎng)方形周長(zhǎng)概念的基礎(chǔ)上，得出簡(jiǎn)約的數(shù)量關(guān)系：長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)=長(zhǎng)×2+寬×2。部分學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，甚至還會(huì)將數(shù)量關(guān)系進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)=（長(zhǎng)+寬）×2，可是我們?cè)趹?yīng)用模型的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，許多學(xué)生只是簡(jiǎn)單生硬地套用，也有學(xué)生用自己的方法來(lái)解決問(wèn)題，而對(duì)于這些簡(jiǎn)約、抽象的模型并不熱衷。

二、實(shí)踐中數(shù)學(xué)模型思想的缺失

數(shù)學(xué)模型思想的構(gòu)建固然重要，但由于教師缺乏對(duì)模型思想的深入思考，且受教師本身素質(zhì)的制約，在構(gòu)建模型的過(guò)程中，他們往往過(guò)于強(qiáng)調(diào)模型的成型，而忽視了小學(xué)生的思維特點(diǎn)，致使課堂中學(xué)生缺乏應(yīng)有的數(shù)學(xué)生活原型，缺乏參與的過(guò)程。

1.課堂中學(xué)生缺乏對(duì)建模情境的想象。

小學(xué)生的思維發(fā)展以形象性為主，他們無(wú)法對(duì)一些數(shù)學(xué)概念或數(shù)學(xué)原理的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程有清晰、深刻的理解，只能停留在操作表面及對(duì)表象進(jìn)行概括的水平上，不能脫離具體表象形成抽象的概念，自然也無(wú)法擺脫局部事實(shí)的片面性而把握數(shù)學(xué)的模型本質(zhì)。

例如教學(xué)《覆蓋的規(guī)律》時(shí)，教師往往會(huì)直接給出模型“總數(shù)-每次覆蓋的個(gè)數(shù)+1=得到不同和的個(gè)數(shù)”，學(xué)生按照教師給的模型解決了一個(gè)又一個(gè)問(wèn)題，很順利，結(jié)果也很準(zhǔn)確。于是我們看到，數(shù)學(xué)模型成了僵化的、僅供學(xué)生機(jī)械記憶的材料，學(xué)生未經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型的探究、發(fā)現(xiàn)、總結(jié)、驗(yàn)證等過(guò)程，就不能深入地理解，更難以形成自己的知識(shí)儲(chǔ)備。

2.教師缺乏對(duì)模型思想的深入思考。

應(yīng)試教育使我們急功近利，往往只關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果，而對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程重視不夠。對(duì)教材中隱含的模型思想未做深入的挖掘，使教師對(duì)數(shù)學(xué)模型思想的思考缺失，使得我們的課堂過(guò)于形式化，不具備更深刻的品質(zhì)。教師缺乏對(duì)模型思想的思考，只是簡(jiǎn)單地設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程，目的是教給學(xué)生解決問(wèn)題的技巧，這對(duì)學(xué)生的成長(zhǎng)是不利的。

例如，在教學(xué)《認(rèn)識(shí)位置》一課時(shí)，學(xué)生如果不能經(jīng)歷“第幾排第幾個(gè)”這樣一個(gè)具體的生活場(chǎng)景，就無(wú)法真正理解“數(shù)對(duì)”，更無(wú)法理解抽象的二維坐標(biāo)模型。在小學(xué)階段，教師無(wú)需過(guò)多強(qiáng)調(diào)抽象的模型，而應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷模型探究的過(guò)程。

根據(jù)布魯納的認(rèn)知發(fā)展理論，學(xué)習(xí)本身是一種認(rèn)識(shí)過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中，個(gè)體總是要對(duì)信息進(jìn)行整理加工，使其以一種易于掌握的形式加以儲(chǔ)存。含糊不清的信息會(huì)對(duì)新知識(shí)產(chǎn)生嚴(yán)重的干擾，給理解、記憶、數(shù)學(xué)思維及其應(yīng)用造成極大的困難。所以，適當(dāng)?shù)亟饽?，將?shù)學(xué)信息具體化，有利于學(xué)生理解與接受。

三、數(shù)學(xué)解模的實(shí)踐性思考

數(shù)學(xué)模型的形成體現(xiàn)的是數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)約美，它是一個(gè)發(fā)現(xiàn)與發(fā)展的過(guò)程，也是一個(gè)應(yīng)用的過(guò)程。數(shù)學(xué)本身就是對(duì)現(xiàn)實(shí)生活情境的一種抽象，而數(shù)學(xué)模型更是經(jīng)歷了多次抽象后的結(jié)果。將抽象的模型形成一種數(shù)學(xué)思想，這與小學(xué)生較為形象的思維表象是有一定距離的。在小學(xué)階段，更需要一個(gè)生動(dòng)、活潑的生活場(chǎng)景來(lái)幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)模型思想的逆象形轉(zhuǎn)變，可以使數(shù)學(xué)更貼近小學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，這就要求教師要善于將數(shù)學(xué)模型思想還原成事物本身，使數(shù)學(xué)問(wèn)題具有實(shí)際意義。

1.在生活情境中豐富模型的外延。

教學(xué)《用字母表示數(shù)》一課時(shí)，許多教師都是用一首有節(jié)奏的兒歌引入的，在這首兒歌中，有青蛙的嘴，還有眼睛和腿，又要跳下水，一直念下去，于是在具體的情境中抽象出了規(guī)律，并且用簡(jiǎn)單的字母表示。這個(gè)過(guò)程就是數(shù)學(xué)模型的抽象過(guò)程，在數(shù)學(xué)模型的抽象過(guò)程中，感受數(shù)學(xué)模型思想。在教學(xué)中，教師只有不斷努力縮小“形象思維”和“模型思想”之間的距離，才能使數(shù)學(xué)模型對(duì)學(xué)生的發(fā)展有真正意義上的促進(jìn)。

2.將抽象的數(shù)學(xué)概念還原成事物本身。

數(shù)學(xué)建模是解決問(wèn)題時(shí)借助模型處理各類問(wèn)題的方法，是將數(shù)學(xué)思想應(yīng)用于理論問(wèn)題和實(shí)踐問(wèn)題的實(shí)踐。教學(xué)《分?jǐn)?shù)的意義》一課， =c（a不能為0），a為什么不能為0，要求學(xué)生要會(huì)聯(lián)系除法的意義進(jìn)行講解，而現(xiàn)實(shí)是學(xué)生只是簡(jiǎn)單地記住了這個(gè)知識(shí)，并沒(méi)有真正理解。我們可以將這個(gè)抽象的字母公式還原成事物原型，如創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)，糖水的含糖率= ，如果糖水的重量為0，則不存在糖水，更談不上含糖率，所以是沒(méi)有意義的。這樣一個(gè)實(shí)際的數(shù)學(xué)模型，給了學(xué)生一個(gè)深刻而又直觀的認(rèn)識(shí)，便于學(xué)生理解和接受。

3.肢解模型，讓數(shù)學(xué)從無(wú)形到有形。

從根源上來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)是有形的，它富含了生活中所有事物的本身，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生對(duì)一些無(wú)形的數(shù)學(xué)概念賦予一定的物質(zhì)意義。教學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域的相關(guān)內(nèi)容時(shí)，要注意引導(dǎo)學(xué)生突破模型的局限性，大膽思考。例如，在學(xué)生掌握了長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形等平面圖形面積計(jì)算的推導(dǎo)過(guò)程及其計(jì)算方法之后，教學(xué)《圓面積的計(jì)算》一課時(shí)，我首先安排學(xué)生大膽猜想它的面積計(jì)算可能會(huì)和什么有關(guān)，根據(jù)以往學(xué)過(guò)的知識(shí)，學(xué)生想到了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，推測(cè)出可能會(huì)與長(zhǎng)方形的面積計(jì)算有關(guān)，再利用教師提供的學(xué)具，通過(guò)操作研究展開(kāi)具體的分析，從而找出它們之間內(nèi)在的聯(lián)系與規(guī)律，最終將圓通過(guò)剪、拼得出了近似的長(zhǎng)方形，而這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)相當(dāng)于圓周長(zhǎng)的一半，寬相當(dāng)于圓的半徑，長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬，所以圓的面積=πr2。

總而言之，通過(guò)解模，有利于促進(jìn)學(xué)生體會(huì)實(shí)際情景與數(shù)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系，豐富學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的途徑，激活他們?cè)賱?chuàng)造數(shù)學(xué)的濃厚興趣，也能讓學(xué)生更加體會(huì)到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)社會(huì)和生活的聯(lián)系。

注：本文獲2013年江蘇省“教海探航”征文一等獎(jiǎng)

（作者單位：江蘇省東?？h石榴中心小學(xué)）

【摘 要】數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與數(shù)學(xué)應(yīng)用之間的橋梁。模型思想本身的局限性及其在實(shí)踐中的缺失、學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展特點(diǎn)等催生了解模思想。將已有抽象的數(shù)學(xué)概念還原成事物本身，使數(shù)學(xué)知識(shí)具有逆象形性，便于學(xué)生理解和接受，這是數(shù)學(xué)解模思想。

【關(guān)鍵詞】逆象形 模型思想 解模 生活原型

逆象形是將抽象的、非物質(zhì)的、無(wú)形的概念還原成事物本身，解模就是這樣一個(gè)還原的過(guò)程。解模是對(duì)一些抽象的數(shù)學(xué)概念、符號(hào)、公式等賦予一定的生活意義，使數(shù)學(xué)通過(guò)形象的事物表現(xiàn)出來(lái)，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不但有意義，而且有意思，以促進(jìn)學(xué)生更好地理解并接受。

一、數(shù)學(xué)模型思想的局限性

模型思想作為一種數(shù)學(xué)思想，具有高度的概括性、抽象性和工具性。在小學(xué)階段，它的這些特征則難以很好地實(shí)現(xiàn)。

1.有雛形而未成型。

小學(xué)階段是數(shù)學(xué)模型思想形成過(guò)程中的初始階段。如小學(xué)階段的“雞兔同籠”問(wèn)題滲透的是二元一次方程的模型思想，“數(shù)對(duì)”則是學(xué)習(xí)二維坐標(biāo)數(shù)學(xué)模型的初始階段。其重點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷模型的形成過(guò)程，使他們?cè)谔剿鞯倪^(guò)程中學(xué)會(huì)思考，無(wú)需強(qiáng)求他們非要運(yùn)用對(duì)應(yīng)的模型思想去解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

2.簡(jiǎn)約而不易理解。

數(shù)學(xué)模型的簡(jiǎn)約性是客觀存在的，在豐富的數(shù)學(xué)世界里，蘊(yùn)涵著變化多樣的數(shù)學(xué)模型，數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程就是把復(fù)雜的情境進(jìn)行分析簡(jiǎn)化，從而得出簡(jiǎn)約的數(shù)學(xué)模型。例如，我們?cè)谝龑?dǎo)學(xué)生充分理解長(zhǎng)方形周長(zhǎng)概念的基礎(chǔ)上，得出簡(jiǎn)約的數(shù)量關(guān)系：長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)=長(zhǎng)×2+寬×2。部分學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，甚至還會(huì)將數(shù)量關(guān)系進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)=（長(zhǎng)+寬）×2，可是我們?cè)趹?yīng)用模型的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，許多學(xué)生只是簡(jiǎn)單生硬地套用，也有學(xué)生用自己的方法來(lái)解決問(wèn)題，而對(duì)于這些簡(jiǎn)約、抽象的模型并不熱衷。

二、實(shí)踐中數(shù)學(xué)模型思想的缺失

數(shù)學(xué)模型思想的構(gòu)建固然重要，但由于教師缺乏對(duì)模型思想的深入思考，且受教師本身素質(zhì)的制約，在構(gòu)建模型的過(guò)程中，他們往往過(guò)于強(qiáng)調(diào)模型的成型，而忽視了小學(xué)生的思維特點(diǎn)，致使課堂中學(xué)生缺乏應(yīng)有的數(shù)學(xué)生活原型，缺乏參與的過(guò)程。

1.課堂中學(xué)生缺乏對(duì)建模情境的想象。

小學(xué)生的思維發(fā)展以形象性為主，他們無(wú)法對(duì)一些數(shù)學(xué)概念或數(shù)學(xué)原理的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程有清晰、深刻的理解，只能停留在操作表面及對(duì)表象進(jìn)行概括的水平上，不能脫離具體表象形成抽象的概念，自然也無(wú)法擺脫局部事實(shí)的片面性而把握數(shù)學(xué)的模型本質(zhì)。

例如教學(xué)《覆蓋的規(guī)律》時(shí)，教師往往會(huì)直接給出模型“總數(shù)-每次覆蓋的個(gè)數(shù)+1=得到不同和的個(gè)數(shù)”，學(xué)生按照教師給的模型解決了一個(gè)又一個(gè)問(wèn)題，很順利，結(jié)果也很準(zhǔn)確。于是我們看到，數(shù)學(xué)模型成了僵化的、僅供學(xué)生機(jī)械記憶的材料，學(xué)生未經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型的探究、發(fā)現(xiàn)、總結(jié)、驗(yàn)證等過(guò)程，就不能深入地理解，更難以形成自己的知識(shí)儲(chǔ)備。

2.教師缺乏對(duì)模型思想的深入思考。

應(yīng)試教育使我們急功近利，往往只關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果，而對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程重視不夠。對(duì)教材中隱含的模型思想未做深入的挖掘，使教師對(duì)數(shù)學(xué)模型思想的思考缺失，使得我們的課堂過(guò)于形式化，不具備更深刻的品質(zhì)。教師缺乏對(duì)模型思想的思考，只是簡(jiǎn)單地設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程，目的是教給學(xué)生解決問(wèn)題的技巧，這對(duì)學(xué)生的成長(zhǎng)是不利的。

例如，在教學(xué)《認(rèn)識(shí)位置》一課時(shí)，學(xué)生如果不能經(jīng)歷“第幾排第幾個(gè)”這樣一個(gè)具體的生活場(chǎng)景，就無(wú)法真正理解“數(shù)對(duì)”，更無(wú)法理解抽象的二維坐標(biāo)模型。在小學(xué)階段，教師無(wú)需過(guò)多強(qiáng)調(diào)抽象的模型，而應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷模型探究的過(guò)程。

根據(jù)布魯納的認(rèn)知發(fā)展理論，學(xué)習(xí)本身是一種認(rèn)識(shí)過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中，個(gè)體總是要對(duì)信息進(jìn)行整理加工，使其以一種易于掌握的形式加以儲(chǔ)存。含糊不清的信息會(huì)對(duì)新知識(shí)產(chǎn)生嚴(yán)重的干擾，給理解、記憶、數(shù)學(xué)思維及其應(yīng)用造成極大的困難。所以，適當(dāng)?shù)亟饽＃瑢?shù)學(xué)信息具體化，有利于學(xué)生理解與接受。

三、數(shù)學(xué)解模的實(shí)踐性思考

數(shù)學(xué)模型的形成體現(xiàn)的是數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)約美，它是一個(gè)發(fā)現(xiàn)與發(fā)展的過(guò)程，也是一個(gè)應(yīng)用的過(guò)程。數(shù)學(xué)本身就是對(duì)現(xiàn)實(shí)生活情境的一種抽象，而數(shù)學(xué)模型更是經(jīng)歷了多次抽象后的結(jié)果。將抽象的模型形成一種數(shù)學(xué)思想，這與小學(xué)生較為形象的思維表象是有一定距離的。在小學(xué)階段，更需要一個(gè)生動(dòng)、活潑的生活場(chǎng)景來(lái)幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)模型思想的逆象形轉(zhuǎn)變，可以使數(shù)學(xué)更貼近小學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，這就要求教師要善于將數(shù)學(xué)模型思想還原成事物本身，使數(shù)學(xué)問(wèn)題具有實(shí)際意義。

1.在生活情境中豐富模型的外延。

教學(xué)《用字母表示數(shù)》一課時(shí)，許多教師都是用一首有節(jié)奏的兒歌引入的，在這首兒歌中，有青蛙的嘴，還有眼睛和腿，又要跳下水，一直念下去，于是在具體的情境中抽象出了規(guī)律，并且用簡(jiǎn)單的字母表示。這個(gè)過(guò)程就是數(shù)學(xué)模型的抽象過(guò)程，在數(shù)學(xué)模型的抽象過(guò)程中，感受數(shù)學(xué)模型思想。在教學(xué)中，教師只有不斷努力縮小“形象思維”和“模型思想”之間的距離，才能使數(shù)學(xué)模型對(duì)學(xué)生的發(fā)展有真正意義上的促進(jìn)。

2.將抽象的數(shù)學(xué)概念還原成事物本身。

數(shù)學(xué)建模是解決問(wèn)題時(shí)借助模型處理各類問(wèn)題的方法，是將數(shù)學(xué)思想應(yīng)用于理論問(wèn)題和實(shí)踐問(wèn)題的實(shí)踐。教學(xué)《分?jǐn)?shù)的意義》一課， =c（a不能為0），a為什么不能為0，要求學(xué)生要會(huì)聯(lián)系除法的意義進(jìn)行講解，而現(xiàn)實(shí)是學(xué)生只是簡(jiǎn)單地記住了這個(gè)知識(shí)，并沒(méi)有真正理解。我們可以將這個(gè)抽象的字母公式還原成事物原型，如創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)，糖水的含糖率= ，如果糖水的重量為0，則不存在糖水，更談不上含糖率，所以是沒(méi)有意義的。這樣一個(gè)實(shí)際的數(shù)學(xué)模型，給了學(xué)生一個(gè)深刻而又直觀的認(rèn)識(shí)，便于學(xué)生理解和接受。

3.肢解模型，讓數(shù)學(xué)從無(wú)形到有形。

從根源上來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)是有形的，它富含了生活中所有事物的本身，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生對(duì)一些無(wú)形的數(shù)學(xué)概念賦予一定的物質(zhì)意義。教學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域的相關(guān)內(nèi)容時(shí)，要注意引導(dǎo)學(xué)生突破模型的局限性，大膽思考。例如，在學(xué)生掌握了長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形等平面圖形面積計(jì)算的推導(dǎo)過(guò)程及其計(jì)算方法之后，教學(xué)《圓面積的計(jì)算》一課時(shí)，我首先安排學(xué)生大膽猜想它的面積計(jì)算可能會(huì)和什么有關(guān)，根據(jù)以往學(xué)過(guò)的知識(shí)，學(xué)生想到了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，推測(cè)出可能會(huì)與長(zhǎng)方形的面積計(jì)算有關(guān)，再利用教師提供的學(xué)具，通過(guò)操作研究展開(kāi)具體的分析，從而找出它們之間內(nèi)在的聯(lián)系與規(guī)律，最終將圓通過(guò)剪、拼得出了近似的長(zhǎng)方形，而這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)相當(dāng)于圓周長(zhǎng)的一半，寬相當(dāng)于圓的半徑，長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬，所以圓的面積=πr2。

總而言之，通過(guò)解模，有利于促進(jìn)學(xué)生體會(huì)實(shí)際情景與數(shù)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系，豐富學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的途徑，激活他們?cè)賱?chuàng)造數(shù)學(xué)的濃厚興趣，也能讓學(xué)生更加體會(huì)到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)社會(huì)和生活的聯(lián)系。

注：本文獲2013年江蘇省“教海探航”征文一等獎(jiǎng)

（作者單位：江蘇省東?？h石榴中心小學(xué)）

【摘 要】數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與數(shù)學(xué)應(yīng)用之間的橋梁。模型思想本身的局限性及其在實(shí)踐中的缺失、學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展特點(diǎn)等催生了解模思想。將已有抽象的數(shù)學(xué)概念還原成事物本身，使數(shù)學(xué)知識(shí)具有逆象形性，便于學(xué)生理解和接受，這是數(shù)學(xué)解模思想。

【關(guān)鍵詞】逆象形 模型思想 解模 生活原型

逆象形是將抽象的、非物質(zhì)的、無(wú)形的概念還原成事物本身，解模就是這樣一個(gè)還原的過(guò)程。解模是對(duì)一些抽象的數(shù)學(xué)概念、符號(hào)、公式等賦予一定的生活意義，使數(shù)學(xué)通過(guò)形象的事物表現(xiàn)出來(lái)，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不但有意義，而且有意思，以促進(jìn)學(xué)生更好地理解并接受。

一、數(shù)學(xué)模型思想的局限性

模型思想作為一種數(shù)學(xué)思想，具有高度的概括性、抽象性和工具性。在小學(xué)階段，它的這些特征則難以很好地實(shí)現(xiàn)。

1.有雛形而未成型。

小學(xué)階段是數(shù)學(xué)模型思想形成過(guò)程中的初始階段。如小學(xué)階段的“雞兔同籠”問(wèn)題滲透的是二元一次方程的模型思想，“數(shù)對(duì)”則是學(xué)習(xí)二維坐標(biāo)數(shù)學(xué)模型的初始階段。其重點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷模型的形成過(guò)程，使他們?cè)谔剿鞯倪^(guò)程中學(xué)會(huì)思考，無(wú)需強(qiáng)求他們非要運(yùn)用對(duì)應(yīng)的模型思想去解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

2.簡(jiǎn)約而不易理解。

數(shù)學(xué)模型的簡(jiǎn)約性是客觀存在的，在豐富的數(shù)學(xué)世界里，蘊(yùn)涵著變化多樣的數(shù)學(xué)模型，數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程就是把復(fù)雜的情境進(jìn)行分析簡(jiǎn)化，從而得出簡(jiǎn)約的數(shù)學(xué)模型。例如，我們?cè)谝龑?dǎo)學(xué)生充分理解長(zhǎng)方形周長(zhǎng)概念的基礎(chǔ)上，得出簡(jiǎn)約的數(shù)量關(guān)系：長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)=長(zhǎng)×2+寬×2。部分學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，甚至還會(huì)將數(shù)量關(guān)系進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)=（長(zhǎng)+寬）×2，可是我們?cè)趹?yīng)用模型的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，許多學(xué)生只是簡(jiǎn)單生硬地套用，也有學(xué)生用自己的方法來(lái)解決問(wèn)題，而對(duì)于這些簡(jiǎn)約、抽象的模型并不熱衷。

二、實(shí)踐中數(shù)學(xué)模型思想的缺失

數(shù)學(xué)模型思想的構(gòu)建固然重要，但由于教師缺乏對(duì)模型思想的深入思考，且受教師本身素質(zhì)的制約，在構(gòu)建模型的過(guò)程中，他們往往過(guò)于強(qiáng)調(diào)模型的成型，而忽視了小學(xué)生的思維特點(diǎn)，致使課堂中學(xué)生缺乏應(yīng)有的數(shù)學(xué)生活原型，缺乏參與的過(guò)程。

1.課堂中學(xué)生缺乏對(duì)建模情境的想象。

小學(xué)生的思維發(fā)展以形象性為主，他們無(wú)法對(duì)一些數(shù)學(xué)概念或數(shù)學(xué)原理的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程有清晰、深刻的理解，只能停留在操作表面及對(duì)表象進(jìn)行概括的水平上，不能脫離具體表象形成抽象的概念，自然也無(wú)法擺脫局部事實(shí)的片面性而把握數(shù)學(xué)的模型本質(zhì)。

例如教學(xué)《覆蓋的規(guī)律》時(shí)，教師往往會(huì)直接給出模型“總數(shù)-每次覆蓋的個(gè)數(shù)+1=得到不同和的個(gè)數(shù)”，學(xué)生按照教師給的模型解決了一個(gè)又一個(gè)問(wèn)題，很順利，結(jié)果也很準(zhǔn)確。于是我們看到，數(shù)學(xué)模型成了僵化的、僅供學(xué)生機(jī)械記憶的材料，學(xué)生未經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型的探究、發(fā)現(xiàn)、總結(jié)、驗(yàn)證等過(guò)程，就不能深入地理解，更難以形成自己的知識(shí)儲(chǔ)備。

2.教師缺乏對(duì)模型思想的深入思考。

應(yīng)試教育使我們急功近利，往往只關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果，而對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程重視不夠。對(duì)教材中隱含的模型思想未做深入的挖掘，使教師對(duì)數(shù)學(xué)模型思想的思考缺失，使得我們的課堂過(guò)于形式化，不具備更深刻的品質(zhì)。教師缺乏對(duì)模型思想的思考，只是簡(jiǎn)單地設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程，目的是教給學(xué)生解決問(wèn)題的技巧，這對(duì)學(xué)生的成長(zhǎng)是不利的。

例如，在教學(xué)《認(rèn)識(shí)位置》一課時(shí)，學(xué)生如果不能經(jīng)歷“第幾排第幾個(gè)”這樣一個(gè)具體的生活場(chǎng)景，就無(wú)法真正理解“數(shù)對(duì)”，更無(wú)法理解抽象的二維坐標(biāo)模型。在小學(xué)階段，教師無(wú)需過(guò)多強(qiáng)調(diào)抽象的模型，而應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷模型探究的過(guò)程。

根據(jù)布魯納的認(rèn)知發(fā)展理論，學(xué)習(xí)本身是一種認(rèn)識(shí)過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中，個(gè)體總是要對(duì)信息進(jìn)行整理加工，使其以一種易于掌握的形式加以儲(chǔ)存。含糊不清的信息會(huì)對(duì)新知識(shí)產(chǎn)生嚴(yán)重的干擾，給理解、記憶、數(shù)學(xué)思維及其應(yīng)用造成極大的困難。所以，適當(dāng)?shù)亟饽＃瑢?shù)學(xué)信息具體化，有利于學(xué)生理解與接受。

三、數(shù)學(xué)解模的實(shí)踐性思考

數(shù)學(xué)模型的形成體現(xiàn)的是數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)約美，它是一個(gè)發(fā)現(xiàn)與發(fā)展的過(guò)程，也是一個(gè)應(yīng)用的過(guò)程。數(shù)學(xué)本身就是對(duì)現(xiàn)實(shí)生活情境的一種抽象，而數(shù)學(xué)模型更是經(jīng)歷了多次抽象后的結(jié)果。將抽象的模型形成一種數(shù)學(xué)思想，這與小學(xué)生較為形象的思維表象是有一定距離的。在小學(xué)階段，更需要一個(gè)生動(dòng)、活潑的生活場(chǎng)景來(lái)幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)模型思想的逆象形轉(zhuǎn)變，可以使數(shù)學(xué)更貼近小學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，這就要求教師要善于將數(shù)學(xué)模型思想還原成事物本身，使數(shù)學(xué)問(wèn)題具有實(shí)際意義。

1.在生活情境中豐富模型的外延。

教學(xué)《用字母表示數(shù)》一課時(shí)，許多教師都是用一首有節(jié)奏的兒歌引入的，在這首兒歌中，有青蛙的嘴，還有眼睛和腿，又要跳下水，一直念下去，于是在具體的情境中抽象出了規(guī)律，并且用簡(jiǎn)單的字母表示。這個(gè)過(guò)程就是數(shù)學(xué)模型的抽象過(guò)程，在數(shù)學(xué)模型的抽象過(guò)程中，感受數(shù)學(xué)模型思想。在教學(xué)中，教師只有不斷努力縮小“形象思維”和“模型思想”之間的距離，才能使數(shù)學(xué)模型對(duì)學(xué)生的發(fā)展有真正意義上的促進(jìn)。

2.將抽象的數(shù)學(xué)概念還原成事物本身。

數(shù)學(xué)建模是解決問(wèn)題時(shí)借助模型處理各類問(wèn)題的方法，是將數(shù)學(xué)思想應(yīng)用于理論問(wèn)題和實(shí)踐問(wèn)題的實(shí)踐。教學(xué)《分?jǐn)?shù)的意義》一課， =c（a不能為0），a為什么不能為0，要求學(xué)生要會(huì)聯(lián)系除法的意義進(jìn)行講解，而現(xiàn)實(shí)是學(xué)生只是簡(jiǎn)單地記住了這個(gè)知識(shí)，并沒(méi)有真正理解。我們可以將這個(gè)抽象的字母公式還原成事物原型，如創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)，糖水的含糖率= ，如果糖水的重量為0，則不存在糖水，更談不上含糖率，所以是沒(méi)有意義的。這樣一個(gè)實(shí)際的數(shù)學(xué)模型，給了學(xué)生一個(gè)深刻而又直觀的認(rèn)識(shí)，便于學(xué)生理解和接受。

3.肢解模型，讓數(shù)學(xué)從無(wú)形到有形。

從根源上來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)是有形的，它富含了生活中所有事物的本身，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生對(duì)一些無(wú)形的數(shù)學(xué)概念賦予一定的物質(zhì)意義。教學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域的相關(guān)內(nèi)容時(shí)，要注意引導(dǎo)學(xué)生突破模型的局限性，大膽思考。例如，在學(xué)生掌握了長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形等平面圖形面積計(jì)算的推導(dǎo)過(guò)程及其計(jì)算方法之后，教學(xué)《圓面積的計(jì)算》一課時(shí)，我首先安排學(xué)生大膽猜想它的面積計(jì)算可能會(huì)和什么有關(guān)，根據(jù)以往學(xué)過(guò)的知識(shí)，學(xué)生想到了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，推測(cè)出可能會(huì)與長(zhǎng)方形的面積計(jì)算有關(guān)，再利用教師提供的學(xué)具，通過(guò)操作研究展開(kāi)具體的分析，從而找出它們之間內(nèi)在的聯(lián)系與規(guī)律，最終將圓通過(guò)剪、拼得出了近似的長(zhǎng)方形，而這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)相當(dāng)于圓周長(zhǎng)的一半，寬相當(dāng)于圓的半徑，長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬，所以圓的面積=πr2。

總而言之，通過(guò)解模，有利于促進(jìn)學(xué)生體會(huì)實(shí)際情景與數(shù)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系，豐富學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的途徑，激活他們?cè)賱?chuàng)造數(shù)學(xué)的濃厚興趣，也能讓學(xué)生更加體會(huì)到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)社會(huì)和生活的聯(lián)系。

注：本文獲2013年江蘇省“教海探航”征文一等獎(jiǎng)

（作者單位：江蘇省東?？h石榴中心小學(xué)）