卜玨萍
(巢湖學(xué)院 數(shù)學(xué)系,安徽 巢湖238000)
本文討論一類特殊的原點為三次冪零奇點的七次微分系統(tǒng)
由文獻(xiàn)[1],容易驗證,系統(tǒng)(1)原點為中心或焦點。
由文獻(xiàn)[4],對系統(tǒng)(1)可待定形式級數(shù)M(x,y)=y2+x4+ο(r4)以及正整數(shù)s 使得成立。再由文獻(xiàn)[4]給出的遞推公式,在Mathematica 軟件上計算可得
由于s 是正整數(shù),故可得系統(tǒng)(1)原點的前兩個擬Lyapunov 常數(shù)為
且當(dāng)a02(a21+2b202)≠0 時,由ω7=ω9=0 可求得
以下取s=1,則可得:
定理1:對系統(tǒng)(1),可逐項確定形式級數(shù)M(x,y)=y2+x4+ο(r4),使得
其中,λm是系統(tǒng)(1)中原點的第m 個擬Lyapunov 常數(shù),m=1,2,…,10.
由文獻(xiàn)[4]中的遞推公式,同時利用Mathematica 軟件繼續(xù)計算可得:
定理2:系統(tǒng)(1)中原點的前10 個擬Lyapunov 常數(shù)分別為:
當(dāng)λi=0(i=1,2,…,10)時,可得
或
故由(7)與(8),得
定理3:系統(tǒng)(1)中原點的前10 個擬Lyapunov 常數(shù)全為零,當(dāng)且僅當(dāng)下列條件之一成立:
(i)當(dāng)(9)式成立時,系統(tǒng)(1)化為
此時,X=y+a21x2y+a03y3+a05y5+a07y7,Y=-2x3+b02y2,且
則由對稱原理,系統(tǒng)(1)的向量場對稱于x 軸,且原點為中心。
同理,系統(tǒng)(1)的向量場對稱于y 軸,且原點為中心。
由以上分析可得:
定理4:系統(tǒng)(1)中原點為中心的充要條件是原點的前10 個擬Lyapunov 常數(shù)全部為零,即定理3 中的兩組條件之一成立。
[1]Amelikin.B.B.,Lukashivich.H.A.,Sadovski.A.P..Nonlinear Oscillations in Second Systems[M].BGY Lenin:B.I.Press,1982.
[2]Alvarez.M.J.,Gasull.A..Monodrama and stability for nilpotent critical points[J].IJBC,2005,15(4):1253-1265.
[3]Alvarez.M.J.,Gasull.A..Cenerating limits cycles from a nilpotent critical point via normal forms[J].J.Math.Anal.Appl,2006,318:271-287.
[4]劉一戎,李繼彬.平面向量場的若干經(jīng)典問題[M].北京:科學(xué)出版社,2010.
[5]鹿永梅,劉一戎.一類四次系統(tǒng)的冪零中心條件與極限環(huán)分支[J].邵陽學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版,2011,8(1):14-19.
[6]趙倩倩.一類原點為冪零奇點的七次系統(tǒng)的中心判定[J].科技信息,2012(3):301-302.