卜玨萍

(巢湖學(xué)院 數(shù)學(xué)系，安徽 巢湖238000)

0 引言

本文討論一類特殊的原點(diǎn)為三次冪零奇點(diǎn)的七次微分系統(tǒng)

由文獻(xiàn)［1］，容易驗(yàn)證，系統(tǒng)(1)原點(diǎn)為中心或焦點(diǎn)。

1 正文

由文獻(xiàn)［4］，對(duì)系統(tǒng)(1)可待定形式級(jí)數(shù)M(x，y)=y2+x4+ο(r4)以及正整數(shù)s 使得成立。再由文獻(xiàn)［4］給出的遞推公式，在Mathematica 軟件上計(jì)算可得

由于s 是正整數(shù)，故可得系統(tǒng)(1)原點(diǎn)的前兩個(gè)擬Lyapunov 常數(shù)為

且當(dāng)a02(a21+2b202)≠0 時(shí)，由ω7=ω9=0 可求得

以下取s=1，則可得:

定理1:對(duì)系統(tǒng)(1)，可逐項(xiàng)確定形式級(jí)數(shù)M(x，y)=y2+x4+ο(r4)，使得

其中，λm是系統(tǒng)(1)中原點(diǎn)的第m 個(gè)擬Lyapunov 常數(shù)，m=1，2，…，10.

由文獻(xiàn)［4］中的遞推公式，同時(shí)利用Mathematica 軟件繼續(xù)計(jì)算可得:

定理2:系統(tǒng)(1)中原點(diǎn)的前10 個(gè)擬Lyapunov 常數(shù)分別為:

當(dāng)λi=0(i=1，2，…，10)時(shí)，可得

或

故由(7)與(8)，得

定理3:系統(tǒng)(1)中原點(diǎn)的前10 個(gè)擬Lyapunov 常數(shù)全為零，當(dāng)且僅當(dāng)下列條件之一成立:

(i)當(dāng)(9)式成立時(shí)，系統(tǒng)(1)化為

此時(shí)，X=y+a21x2y+a03y3+a05y5+a07y7，Y=－2x3+b02y2，且

則由對(duì)稱原理，系統(tǒng)(1)的向量場對(duì)稱于x 軸，且原點(diǎn)為中心。

同理，系統(tǒng)(1)的向量場對(duì)稱于y 軸，且原點(diǎn)為中心。

2 結(jié) 語

由以上分析可得:

定理4:系統(tǒng)(1)中原點(diǎn)為中心的充要條件是原點(diǎn)的前10 個(gè)擬Lyapunov 常數(shù)全部為零，即定理3 中的兩組條件之一成立。

［1］Amelikin.B.B.，Lukashivich.H.A.，Sadovski.A.P..Nonlinear Oscillations in Second Systems［M］.BGY Lenin:B.I.Press，1982.

［2］Alvarez.M.J.，Gasull.A..Monodrama and stability for nilpotent critical points［J］.IJBC，2005，15(4):1253－1265.

［3］Alvarez.M.J.，Gasull.A..Cenerating limits cycles from a nilpotent critical point via normal forms［J］.J.Math.Anal.Appl，2006，318:271－287.

［4］劉一戎，李繼彬.平面向量場的若干經(jīng)典問題［M］.北京:科學(xué)出版社，2010.

［5］鹿永梅，劉一戎.一類四次系統(tǒng)的冪零中心條件與極限環(huán)分支［J］.邵陽學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2011，8(1):14－19.

［6］趙倩倩.一類原點(diǎn)為冪零奇點(diǎn)的七次系統(tǒng)的中心判定［J］.科技信息，2012(3):301－302.