顧翠伶，何奇龍

(周口師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系，河南 周口 466001)

模糊多屬性群決策的Vague集方法*

顧翠伶，何奇龍

(周口師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系，河南 周口 466001)

介紹Vague集的基本理論，分析現(xiàn)有記分函數(shù)的不足，提出一種改進(jìn)的記分函數(shù);給出一種基于Vague集求解模糊多屬性群決策問(wèn)題的新方法，該方法利用新的記分函數(shù)對(duì)決策方案進(jìn)行排序，選出最優(yōu)方案;以實(shí)例說(shuō)明該方法的可行性與有效性.

Vague集;多屬性群決策;記分函數(shù);模糊集;隸屬度

自1965年Zadeh提出模糊集理論，模糊集理論就被廣泛應(yīng)用到模糊多屬性決策問(wèn)題中.根據(jù)群體的意見(jiàn)和偏好來(lái)制定統(tǒng)一的決策方案是人類決策的重要形式.模糊多屬性群決策問(wèn)題從單個(gè)決策者的獨(dú)斷情形轉(zhuǎn)變?yōu)槎鄠€(gè)決策者集議的情形，會(huì)給決策分析帶來(lái)更多復(fù)雜性，并產(chǎn)生一系列新的問(wèn)題.許多學(xué)者對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行了研究，給出了一些解決模糊多屬性決策問(wèn)題的方法和建議.

Vague集是由Gau和Buehre于1993年提出的，它是Zaded模糊集的一種推廣形式.Vague集的主要特點(diǎn)在于考慮真隸屬度、假隸屬度的同時(shí)也考慮未知信息部分.將Vague集理論應(yīng)用到解決模糊決策問(wèn)題中，也是一個(gè)重要的研究?jī)?nèi)容［1-8］.基于Vague集理論的群決策方法的研究，具有代表性的是Szmidt［12］等提出的群決策方法，該方法考慮到各個(gè)專家對(duì)不同目標(biāo)的不同偏好，基于Vague集的擇優(yōu)關(guān)系，并利用距離公式對(duì)群體的一致性進(jìn)行估計(jì).此外周曉光、張強(qiáng)對(duì)基于Vague集的群決策方法及模糊群決策中專家意見(jiàn)的匯總進(jìn)行了研究.此處是在這些已有研究結(jié)果的基礎(chǔ)上，提出一種改進(jìn)的基于Vague集解決模糊多屬性群決策問(wèn)題的方法，并以實(shí)例說(shuō)明了方法的可行性.

1 Vague集基本理論

定義1［10］設(shè)U是一非空集合，它的元素用χ表示，U上的Vague集A是指U上的一對(duì)隸屬函數(shù)tχ和fχ，即

滿足tA(χ)+fA(χ)≤1且0≤tA(χ)≤1，0≤fA(χ)≤1．

這里tA稱為Vague集A的真隸屬函數(shù)，表示χ∈A的證據(jù)的隸屬度下界;fA稱為Vague集A的假隸屬函數(shù)，表示χ?A的證據(jù)的隸屬度下界．

設(shè)A為一個(gè)Vague集，當(dāng)U為連續(xù)時(shí)，Vague集可以表示成

當(dāng)U為離散時(shí)，Vague集可以表示成

定義2［2］設(shè)Vague值χ=［tχ，1-fχ］，y=［ty，1-fy］，其中tχ，fχ，ty，fy∈［0，1］且tχ+fχ≤1，ty+fy≤1．定義Vague值的運(yùn)算與關(guān)系如下

定義3［2］設(shè)論域U={χ1，χ2，…，χn}，A，B為U上兩個(gè)Vague集，其中:．定義Vague集的運(yùn)算如下

2 一個(gè)新的記分函數(shù)

模糊多屬性群決策基本問(wèn)題可以描述為，設(shè)決策方案集合A={A1，A2，…，Am}，群中共有L位決策者J1，J2，…，JL．每個(gè)決策者Jk依據(jù)自己選擇的屬性集C={C1，C2，…，Cn}對(duì)每一個(gè)候選方案進(jìn)行獨(dú)立評(píng)價(jià)．每一個(gè)決策者對(duì)方案評(píng)價(jià)的可信度不盡相同，因此給每個(gè)決策者一個(gè)權(quán)重Wk，(k=1，2，…，L)．目的是根據(jù)各屬性的綜合評(píng)價(jià)值對(duì)方案進(jìn)行排序和擇優(yōu)．在解決模糊多屬性群決策問(wèn)題時(shí)，許多學(xué)者利用Vague集理論的方法來(lái)解決這類復(fù)雜的問(wèn)題．

利用Vague集求解模糊多屬性群決策問(wèn)題，就是從用Vague集表示的各屬性指標(biāo)的備選方案中選出滿足決策要求的最優(yōu)方案．由于Vague值在一般條件下不存在大小或包含關(guān)系，需要將Vague值所反映的信息轉(zhuǎn)換成具體實(shí)數(shù)值進(jìn)行比較．目前多用記分函數(shù)來(lái)表示決策方案滿足決策者要求的程度，并且記分函數(shù)的值越大，方案越優(yōu)．依據(jù)評(píng)價(jià)函數(shù)E，學(xué)者們已經(jīng)提出了多種排序方法．現(xiàn)有的記分函數(shù)有下列幾種．

(1)Chen和Tan提出的記分函數(shù)［11］:

Chen和Tan提出的這種記分函數(shù)說(shuō)明，若真隸屬函數(shù)較假隸屬函數(shù)越大具有優(yōu)勢(shì)，則方案就越滿足決策者的要求．也即是記分函數(shù)S(E(Ai))的值越大，方案Ai越優(yōu)．

(2)Hong和Choi的方法［8］:

這種方法的出發(fā)點(diǎn)是決策者對(duì)某個(gè)方案的已知信息越多，越滿足決策者的要求，即方案越優(yōu)．

(3)李凡［7］等提出的記分函數(shù)S1和S2:

這種方法用兩個(gè)函數(shù)進(jìn)行排序，先根據(jù)S1進(jìn)行排序，在S1的值相等的情況下，再根據(jù)S2進(jìn)行判斷．

(4)劉華文［2］提出的記分函數(shù):

在該方法中，L(E(Ai))的值越大，決策方案Ai越能滿足決策的要求．這種方法注重支持意見(jiàn)對(duì)決策結(jié)果的影響，忽視了反對(duì)意見(jiàn)對(duì)決策結(jié)果的影響，是一種較為樂(lè)觀的決策方法．

(5)周珍［4］等給出的記分函數(shù):

其中，0≤α≤1，0≤β≤1，0≤α+β≤1．α，β的取值方法是，對(duì)于一般的情況，即tAi-fAi≠0時(shí)，有

當(dāng)特殊情況發(fā)生時(shí)，有

這時(shí)依據(jù)決策者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度取值．當(dāng)決策者持樂(lè)觀態(tài)度時(shí)，取α＞β;當(dāng)決策者持中立態(tài)度時(shí)，取α=β;當(dāng)決策者持悲觀的態(tài)度，取α＜β．在這種方法中，Z(E(Ai))值越大，方案就越好．

上述各種記分函數(shù)或多或少地存在一些不足和缺陷，文獻(xiàn)［6］中給出了具體的比較與實(shí)例分析．在文獻(xiàn)［6］中作者給出了下面的記分函數(shù):

雖然該記分函數(shù)考慮了Vague集支持隸屬度相對(duì)優(yōu)勢(shì)、已知信息和棄權(quán)部分3方面信息的影響，克服了前面幾種記分函數(shù)的一些不足，但仍有一定的問(wèn)題．

例如，E(A1)=［0．5，0．8］，E(A2)=［0．5，0．5］，由該記分函數(shù)可以得到X(E(A1))=0．91，X(E(A2))=1，所以有X(E(A1))＜X(E(A2))，即方案A2優(yōu)于方案A1．利用投票模型來(lái)解釋:A1有5人贊成，2人反對(duì)，3人棄權(quán);A2有5人贊成，5人反對(duì)，無(wú)棄權(quán)．方案A2給出了比A1更多的信息，但在實(shí)際決策中，人們更易選擇方案A1．

為了克服這些問(wèn)題，給出一種改進(jìn)的更切合實(shí)際的記分函數(shù):

若tAi=1，fAi=0，這時(shí)候模糊屬性決策就退化為經(jīng)典的多屬性決策，可以認(rèn)為是效果最好的決策方案，即若兩個(gè)方案A1，A2，都有tA1=1，fA1=0，fA2=0，認(rèn)為這兩個(gè)方案的效果是一樣的，且是所有決策方案中最好的決策方案．這種改進(jìn)的記分函數(shù)的決策規(guī)則是，T(E(Ai))的值越大，方案Ai越優(yōu)．

利用記分函數(shù)對(duì)上面的例題進(jìn)行分析，可以得到

所以方案A1優(yōu)于方案A2，結(jié)果更符合實(shí)際情況．

3 模糊多屬性群決策模型

設(shè)L位決策者J1，J2，…，JL評(píng)價(jià)m個(gè)方案A1，A2，…，Am，每一個(gè)決策者Jk，k=1，2，…，L，依據(jù)自己選擇的屬性C1，C2，…，Cn，對(duì)每一個(gè)方案進(jìn)行獨(dú)立的評(píng)價(jià)．并用w1，w2，…，wn表示各個(gè)決策屬性的重要性．同時(shí)用W1，W2，…，W2表示每個(gè)決策者的評(píng)價(jià)的相對(duì)重要性．每個(gè)決策者采用的方案屬性及其權(quán)值可以是相同的，也可以是不同的;關(guān)于屬性指標(biāo)及權(quán)值的表示方式可以是數(shù)字或語(yǔ)言;涉及的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)可以是精確的數(shù)據(jù)，也可以是不精確的數(shù)據(jù)［12］．

采用Vague集處理模糊多屬性群決策問(wèn)題的步驟如下:

(1)構(gòu)造模糊群決策矩陣．

每個(gè)決策者對(duì)方案集的決策矩陣為

在專家組成的團(tuán)隊(duì)里，各個(gè)專家意見(jiàn)的重要性不盡相同，這里引用文獻(xiàn)［10］中確定專家意見(jiàn)的權(quán)重的方法，第k個(gè)專家的權(quán)重rk為

其中ek是分配給專家的分?jǐn)?shù)．并且這里ek=max{e1，e2，…，eL}，min(e1，e2，…，eL)＞0．

由矩陣(2)和公式(3)，可以得到模糊群決策矩陣

(2)求模糊屬性權(quán)值．

設(shè)W={wkj}L×n(k=1，2，…，L)，其中wkj是由決策者Jk分配給屬性Cj的模糊權(quán)值，它表示屬性Cj在決策者Jk心目中的相對(duì)重要程度．

其中wkj仍為Vague值，在此記wkj=［twkj，1-fwkj］=［twkj，t*wkj］．由矩陣(5)和公式(3)，可以得到這L位決策者對(duì)于各屬性的綜合分配權(quán)值為

(3)由矩陣(4)和向量(6)可以求得綜合所有信息后的模糊決策向量為

(4)根據(jù)記分函數(shù)求得每個(gè)決策方案的得分，從而求出最佳的決策方案．因?yàn)橐呀?jīng)求得各個(gè)決策方案的綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)，所以可以利用新的記分函數(shù)公式(1)計(jì)算各個(gè)決策方案的得分T(E(Vi))，分?jǐn)?shù)越高的方案越為人們所接受，其中得分最高的方案也即是所要求的最佳的決策方案．

4 實(shí)例分析

假設(shè)有方案集A={A1，A2，A3}，決策者群體J={J1，J2，J3}，3位決策者選用相同的方案屬性集C{C1，C2，C3，C4}．3位決策者關(guān)于4個(gè)屬性對(duì)方案的模糊評(píng)價(jià)分別為P1，P2和P3:

在這里假設(shè)對(duì)3位決策者的評(píng)價(jià)的可信性不同，因而分配的權(quán)重也不同，分別設(shè)他們的權(quán)重為e1=0．8，e2=0．7，e3=0．6，利用公式(3)計(jì)算各個(gè)決策者的相對(duì)權(quán)重．由此可以得出r1=0．381，r2=0．333，r3=0．286．

假設(shè)決策者J1，J2，J3分配給屬性C1，C2，C3，C4的模糊權(quán)重如表1所示，表示屬性Cj在決策者Jk心目中的相對(duì)重要程度．

表1 決策者J1，J2，J3分配給各屬性的模糊權(quán)重

綜合3位決策者得到的方案的模糊評(píng)價(jià)矩陣為

3位決策者對(duì)于屬性的綜合評(píng)價(jià)值為

由新的Vague集的記分函數(shù)公式(1)，分別求得綜合決策向量V的每個(gè)分量的得分為

由V1，V2，V3的得分以及對(duì)方案的評(píng)判規(guī)則可以知道，A1為最佳的決策方案．

5 總 結(jié)

對(duì)于模糊多屬性群決策問(wèn)題，基于Vague集的基本理論，在已有的記分函數(shù)的基礎(chǔ)上，提出一種改進(jìn)的記分函數(shù)，并給出一種新的基于Vague集解決模糊多屬性群決策問(wèn)題的方法．將新的記分函數(shù)應(yīng)用到此問(wèn)題的解決中，有效地解決了問(wèn)題，并且計(jì)算簡(jiǎn)單，具有一定的優(yōu)勢(shì)．盡管每種記分函數(shù)都能在一定程度上解決多屬性決策的方案擇優(yōu)問(wèn)題，但是對(duì)于記分函數(shù)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)卻是有待進(jìn)一步解決的問(wèn)題．

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Vague Set Method of Fuzzy Multi-attribute Group Decision-making

GU Cui-ling，HE Qi-long
(Department of Mathematics and Information Science，Zhoukou Normal College，Henan Zhoukou 466001，China)

This paper introduces the basic theory of Vague set，analyzes the deficiencies of existing score function，advances a kind of improved score function，and gives a kind of new method for solving fuzzy multiattribute group decision-making problem based on Vague set.This method uses new score function to rank the decision-making schemes and selects the optimal scheme.This paper uses practical examples to verify the feasibility and validity of this method.

Vague set;multi-attribute group decision-making;score function;fuzzy set;degree of membership

O159;TP18

A

1672-058X(2014)01-0034-06

責(zé)任編輯:李翠薇

2013-06-30;

2013-09-10.

周口師范學(xué)院青年科學(xué)基金重點(diǎn)資助項(xiàng)目(zksyqn201310B);國(guó)家自然基金委-河南省人民政府人才培養(yǎng)聯(lián)合基金項(xiàng)目(U1204618).

顧翠伶(1986-)，女，河南項(xiàng)城人，助教，碩士研究生，從事模糊多屬性決策研究.