李學(xué)生

（山東大學(xué)物理學(xué)院 山東濟(jì)南 250100）

雙星運(yùn)行軌道的研究

李學(xué)生

（山東大學(xué)物理學(xué)院 山東濟(jì)南 250100）

文章首先把雙星運(yùn)動(dòng)看做二體問(wèn)題，研究以一個(gè)星體為參照系，另一個(gè)星體的軌跡為圓錐曲線，以系統(tǒng)的質(zhì)心為參照系，每一個(gè)星體的軌跡也是圓錐曲線，然后提出了行星與恒星之間也是雙星現(xiàn)象，地球與月球之間也是雙星現(xiàn)象，解釋了困擾物理學(xué)與天文學(xué)多年的行星運(yùn)行軌道的共面性、公轉(zhuǎn)的同向性難題，指出了研究行星運(yùn)行軌道時(shí)慣性質(zhì)量應(yīng)當(dāng)用折合質(zhì)量計(jì)算．

雙星現(xiàn)象 折合質(zhì)量 行星運(yùn)行軌道的共面性 行星公轉(zhuǎn)的同向性 萬(wàn)有引力定律的平權(quán)性

1 問(wèn)題的提出

物理雙星運(yùn)動(dòng)屬于二體問(wèn)題，早在1687年，牛頓發(fā)現(xiàn)萬(wàn)有引力定律后不久，似乎已經(jīng)徹底解決，但是現(xiàn)代物理學(xué)教材中一般只是指明雙星圍繞系統(tǒng)的質(zhì)心旋轉(zhuǎn)，沒(méi)有說(shuō)明如果以一個(gè)星體為參照系，另一個(gè)星體運(yùn)動(dòng)軌跡的形狀．現(xiàn)代天文學(xué)中雙星軌道擬合業(yè)已成為天體測(cè)量和天體力學(xué)的一個(gè)共同的熱點(diǎn)課題，有關(guān)研究有了長(zhǎng)足的進(jìn)展，同時(shí)也促進(jìn)了天體物理相應(yīng)領(lǐng)域的發(fā)展．

在二體問(wèn)題中，由于兩個(gè)物體都不是慣性系，如果以一個(gè)物體為參照系，另一個(gè)物體的慣性質(zhì)量必須用它們的折合質(zhì)量（約化質(zhì)量）μ代替，即其中m和M分別為兩個(gè)物體的質(zhì)量，這樣在非慣性系中就可以利用牛頓第二定律了．但是萬(wàn)有引力的計(jì)算中只能利用物體的實(shí)際質(zhì)量，此時(shí)引力質(zhì)量不等于慣性質(zhì)量，因此在雙星現(xiàn)象中，如果以其中一個(gè)星體為參照系，可利用折合質(zhì)量代替另一個(gè)星體的慣性質(zhì)量進(jìn)行計(jì)算．

2 運(yùn)行軌道的計(jì)算

我們?cè)O(shè)星體A和星體B兩個(gè)星體的質(zhì)量分別為M和m，星體A中心所在位置為復(fù)平面之原點(diǎn)O，在時(shí)刻t，星體B位于點(diǎn)P．即

這里r＝r（t），θ＝θ（t）均是t的函數(shù)，分別表示Z（t）的模和輻角．于是星體B的速度為

這是兩個(gè)未知函數(shù)的二階微分方程組．在確定某一星體B的軌道時(shí)，需要加上定解條件．我們?cè)O(shè)當(dāng)t＝0時(shí)，星體B正處于與星體A距離最遠(yuǎn)的位置，而此時(shí)位于正實(shí)軸上，距原點(diǎn)O為r0，星體B的線速度為v0，那么就有初始條件

式（4）～（9）就是星體B繞星體A運(yùn)行的軌跡的數(shù)學(xué)模型．將式（4）乘以r，即得

100的面積等于

顯然，這正是開普勒第二定律：從星體A指向星體B的線段在單位時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積相等．將式（10）改寫后代入式（5）得

于是我們得到了星體B運(yùn)動(dòng)形式的較為簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型

為求得星體B的軌跡方程，要消去變量t，令

那么式（13）可以寫為這就是星體B的軌跡方程，是一條平面二次曲線．由于星體B繞星體A運(yùn)行，故必有0＜e＜1，這樣我們得到了開普勒第一定律：星體B的軌道是以星體A為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓．

由于r在t＝0時(shí)取到最大值r0（星體B與星體A距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)），而θ＝0，這意味著此時(shí)函數(shù)cos（-θ0）取到最小值-1，于是就有

從而星體B軌跡的方程為

從上面的推導(dǎo)可以看出在雙星現(xiàn)象中由于以其中一個(gè)星體為參照系另一個(gè)星體的軌跡都是圓錐曲線，所以兩個(gè)星體的軌道共面．

3 星體運(yùn)行速度的計(jì)算

設(shè)星體B的運(yùn)行周期為T，那么利用開普勒第二定律即式（11），有

式（20）左端為星體B軌跡橢圓所圍的面積，記為S，由于橢圓的半長(zhǎng)軸

半短軸

從而有

將上式代入式（20），解得

由于星體B的運(yùn)行滿足開普勒第二定律即式（11），而該式可改寫為

從而可得

如果我們要求t＝T1時(shí)相應(yīng)的θ和r，則意味著首先要解方程

在求出了t＝T1時(shí)的θ＝后，立即可以由式（19）得到相應(yīng)的r，再用式（13）求出此時(shí)星體B的角速度繼而得到線速度．

4 以雙星系統(tǒng)的質(zhì)心為參照系

在忽略了其他對(duì)于雙星的作用時(shí)，只考慮雙星構(gòu)成的孤立系統(tǒng)，則質(zhì)心將做勻速直線運(yùn)動(dòng)或靜止．星體B位于P點(diǎn)，星體A位于S點(diǎn)，質(zhì)量分別是m 和M，質(zhì)心在C點(diǎn)，星體B距質(zhì)心為r1，星體A距質(zhì)心為r2，相距為r，如圖1所示．

圖1

可將質(zhì)心看作慣性系．在慣性系中，對(duì)于行星B應(yīng)用牛頓第二定律有

所以星體B繞質(zhì)心做圓錐曲線運(yùn)動(dòng)．同理，可以推導(dǎo)出星體A也繞質(zhì)心做圓錐曲線運(yùn)動(dòng)．

5 天文學(xué)中的應(yīng)用

宇宙中的二體問(wèn)題，如果只考慮萬(wàn)有引力，同時(shí)忽略其他星體的影響，以質(zhì)心為參照系都是雙星現(xiàn)象，以一個(gè)星體為參照系另一個(gè)星體的運(yùn)動(dòng)軌跡都是圓錐曲線軌道，只有這樣才滿足萬(wàn)有引力定律的平權(quán)性，符合科學(xué)的簡(jiǎn)單性原則．在研究行星運(yùn)行軌道時(shí)，恒星和行星都不是嚴(yán)格的慣性系，以質(zhì)心為參照系，才可以按照慣性系處理．現(xiàn)代物理學(xué)研究太陽(yáng)系運(yùn)行時(shí)把太陽(yáng)當(dāng)做慣性系只是近似成立，其實(shí)不完全滿足萬(wàn)有引力定律的平權(quán)性原則，地太系統(tǒng)也應(yīng)當(dāng)看做是雙星現(xiàn)象．在經(jīng)典力學(xué)中日心說(shuō)與地心說(shuō)都是正確的，與廣義相對(duì)論的觀點(diǎn)一致，只不過(guò)由于太陽(yáng)的質(zhì)量遠(yuǎn)大于行星的質(zhì)量，其他行星的擾動(dòng)較小，把太陽(yáng)按照慣性系計(jì)算誤差較小，研究行星的運(yùn)行軌道比較簡(jiǎn)單，這也是哥白尼的日心說(shuō)優(yōu)于地心說(shuō)的原因．

在太陽(yáng)系中由于太陽(yáng)的質(zhì)量遠(yuǎn)大于所有行星以及其衛(wèi)星的質(zhì)量之和，因此每個(gè)行星與太陽(yáng)組成系統(tǒng)的質(zhì)心與太陽(yáng)系的質(zhì)心相距很近，可以近似認(rèn)為是太陽(yáng)的質(zhì)心以太陽(yáng)系的質(zhì)心為一個(gè)焦點(diǎn)做橢圓運(yùn)動(dòng)．由于太陽(yáng)系中太陽(yáng)和行星是雙星現(xiàn)象，根據(jù)前面的計(jì)算可以得出雙星運(yùn)行的軌道始終共面，因此行星始終也和太陽(yáng)共面——始終在太陽(yáng)運(yùn)行的軌道所在的平面上，這樣就可以解釋為何太陽(yáng)系中所有行星的運(yùn)行軌道基本共面這個(gè)困擾天文學(xué)多年的難題，當(dāng)然由于每個(gè)行星與太陽(yáng)組成系統(tǒng)的質(zhì)心不完全重合以及其他行星的擾動(dòng)等因素，因此行星的運(yùn)行軌道有一定傾角．從雙星運(yùn)動(dòng)的軌跡可以得知，行星的公轉(zhuǎn)方向與太陽(yáng)的公轉(zhuǎn)方向相同，這樣就可以解釋為何行星的公轉(zhuǎn)方向相同以及大部分行星的公轉(zhuǎn)方向相同（公轉(zhuǎn)方向不相同的金星可能時(shí)受到太陽(yáng)系外其他星體碰撞的影響）這個(gè)疑難問(wèn)題，類似地可以理解衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)同向性、軌道共面性等問(wèn)題，有些學(xué)者從太陽(yáng)系的形成過(guò)程解釋軌道的共面性，但是無(wú)法理解幾乎每一個(gè)行星的衛(wèi)星都具有共面性、同向性的問(wèn)題，不可能都是巧合．也就是說(shuō)，行星與它的衛(wèi)星之間也應(yīng)當(dāng)認(rèn)為是雙星現(xiàn)象，例如盡管地月系統(tǒng)的質(zhì)心在地球上，但是與地球的質(zhì)心并不重合，應(yīng)該是地球的質(zhì)心繞著地月系統(tǒng)的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)，選擇地月系統(tǒng)的質(zhì)心為參照系才能直接利用經(jīng)典力學(xué)處理，如果以地球?yàn)閰⒄障?，月球的慣性質(zhì)量也應(yīng)當(dāng)用地球、月球的折合質(zhì)量計(jì)算．類似地以太陽(yáng)為參照系，地球的慣性質(zhì)量應(yīng)當(dāng)用太陽(yáng)與地球的折合質(zhì)量代替，以恒星為參照系，行星的慣性質(zhì)量與引力質(zhì)量相等只是近似成立．

1 Einstein A．相對(duì)論的意義．北京：科學(xué)出版社，1961．16

2 ?？薆 A．空間、時(shí)間和引力理論．北京：科學(xué)出版社，1965．19

3 Einstein．相對(duì)論：相對(duì)論的本質(zhì)．Einstein文集．北京：商務(wù)印館，1976．455

Studyon the Orbit of Double- star

Li Xuesheng
（School of Physics，Shandong University，Jinan，Shandong 250100）

the thesis firstlytreats the relative motion of double- star as motion issue of two separate objects．Once taking one star of the double- star as frame of reference，we result in the orbit of the other star is taper curve．If we just take mass center of system as frame of reference，we consequentlyresult in both orbits of the double- star are taper curves．And finally，we arrive at our conclusion that relative motion situation between related planets and star are too in double-star model，even the earth and the moon are double- star too．This of course gives demonstrative answers to issues of coplanarity and uniform orientation of planet revolution orbits around star，which virtually puzzled modern physics and astronomy many years．And of course，it is still necessary to point out herein，when we come to study planet obit，the planet mass in calculation should be the conduplicate mass．

double- star phenomena；equivalent quality；orbit coplanarity of planet；uniform orientation of planet revolution orbit；affirmative law of universal gravitation

2014- 03- 04）