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        草圖法是解決“雞兔同籠”問題的捷徑

        2014-05-22 16:55:49詹素芳
        文理導航 2014年9期
        關鍵詞:條腿雞兔同籠草圖

        詹素芳

        雞兔同籠是北師大版五年級上冊第80~81頁的內容,解決雞兔同籠的方法很多,教材選“雞兔同籠”這個題材,主要不是為了解決“雞兔同籠”問題本身,而是要借助“雞兔同籠”這個載體讓學生經歷列表、嘗試和不斷調整的過程,從中體會出解決問題的一般策略——列表。在后面相應的練習中,相關的題目也都附上了草圖表格,能夠讓學生較好地運用這種基本的解題策略。

        一、草圖引入,建立初步概念

        師:請同學們看多媒體,一起讀一讀今天這節(jié)課我們學習什么內容。(板書課題:“雞兔同籠”)

        師:想一想,課題是“雞兔同籠”,說明今天所學習的問題一定跟什么和什么有關?

        生1:跟雞和兔有關。

        師:老師這里有一個與雞、兔有關的問題,大家想不想看一下呢?

        多媒體出示題目:籠子里有若干只雞和兔,從上面數,有8個頭。

        師:你們覺得這道題完整嗎?還差什么呢?

        生2:不完整,還差問題。

        師:現在老師再給你們一個問題——“雞和兔各有多少只”,那你認為雞和兔會各有多少只呢?

        師:還有其他的可能性嗎?把所有的可能性在小組內說一說。

        二、草圖列表,發(fā)現規(guī)律

        1.列表法

        師:為了直觀地表示出雞和兔可能有的只數,你們認為應該畫一個什么來表示呢?

        生3:畫一個表格。

        師(出示表格):為了能在排列的時候不重復、不遺漏,你們覺得在排列的時候不僅要考慮到雞和兔一共有8只,還要注意什么?

        生4:有序排列。觀察一下剛才填好的表格(如下),你能從中找到本題的答案嗎?

        師:現在老師再給你們一個條件——“從下面數有26條腿”,你們又能想到什么呢?

        師:說明這道題不僅和雞、兔的只數有關,還和它們腿的條數有關,所以在排列時還應該列出每種情況下它們一共有多少條腿。

        師:小組合作完成下面的表格。

        師:說一說,第一個空應該填一共有多少條腿,為什么?

        生5:第一個空應該填16,因為每只雞有2條腿,所以一共有8×2=16(條)腿。

        生6:第二個空應該填18,因為每只雞有2條腿,每只兔子有4條腿,所以一共有7×2+1×4=18(條)腿。

        ……

        師:觀察你們填好的表格,又發(fā)現了什么?

        師:像這樣,采用列表的方法,不重復、不遺漏地寫出所有可能的答案,這種逐一列舉的方法在數學中稱為列表法。

        師:如果雞和兔一共有一百多只,它們的腿一共有幾百條的時候,你們認為用列表法能找出答案嗎?同時,你覺得用列表法解決數據較大的問題時會如何?

        生7:能找出答案,但是數據較大時比較麻煩。

        師:現在我們根據上述題目就來探討有沒有其他的解題方法。

        三、草圖假設,減少復雜

        師:為了能夠找到更快捷的解決方法,首先思考一下,上面表格中的8和0是什么意思?

        生8:就是有8只雞和0只兔。

        師:那我們現在就假設籠子里面全是雞,籠子里一共有8×2=16(條)腿,而實際上有26條腿,這樣籠子里就少了26-16=10(條)腿,這說明什么?

        生9:說明籠子里不可能全是雞。

        師:假設算出的結果和實際的結果相差10條腿,說明這10條腿是受什么的影響?

        生:兔。

        師:剛才我們在表格里面觀察到,兔的只數每減少1只,雞的只數每增加1只,它們一共的腿數就會減少幾條?

        生10:2條。

        師:也就是說,這10里面有幾個2,就把幾只兔當成雞算。那到底是幾只兔呢?

        生11:應該是5只兔,因為10÷2=5。

        (上接第22頁)

        師:知道兔子的只數,那雞的只數又應該怎樣求呢?

        生12:雞的只數為8-5=3(只)。

        師:哪位同學能大膽地到黑板上板書一下過程,并把你的思路口述給大家聽呢?

        師:如果假設全是兔,又應該怎么算呢?請大家動手試一試。

        四、鞏固草圖,學以致用

        出示題目:自行車和三輪車共10輛,總共有26個輪子。自行車和三輪車各有多少輛?

        師:用你喜歡的方法完成本題,并在小組內匯報你的答案和解題思路。

        五、回顧草圖,反思提升

        師:本節(jié)課我們學了哪些知識?你還有什么疑問?

        五、課后思考,拓展延伸

        出示題目:籠子里有若干只雞和兔,從上面數,有35個頭;從下面數,有94條腿。雞和兔各有幾只?

        師:你能用方程解或其他方法解決這類問題嗎?課后動手試試。

        六、草圖運用,作業(yè)提升

        (1)52名同學去劃船,一共乘坐11只船,其中每只大船坐6人,每只小船坐4人。求大船和小船各幾只?

        (2)100個和尚吃了100個面包,大和尚1人吃3個,小和尚3人吃1個。求大小和尚各有多少人?

        師:收集一下,還有什么方法可以解決“雞兔同籠”的問題?

        ……

        【課后反思】

        通過對這節(jié)課的6個環(huán)節(jié)的實踐,我獲得了如下的啟示:

        一、怎樣進行草圖操作,是真正充分展示學生的思維過程

        《新標》指出:課堂教學要充分暴露學生的思維。此是眾所周知的,那是不是如第二次試教那樣:從探討最差的開始,先展示只有1種的,再展示2種的……就是充分地暴露了學生的思維過程了呢?答案是否定的。關鍵在于我要想方設法用草圖主動地展示學生的思維歷程。展示學生的思維過程并不是必須將學生的思維動態(tài)、思維結果一覽無余地陳列在他人面前,更確切的就是讓學生能主動地經歷從不完善到完善的思維過程,這樣才實現由形式地展示學生的思維過程到實質地經歷。本節(jié)課主要著眼于學生能力的培養(yǎng),通過創(chuàng)設自主學習的空間,引導學生通過課前自學、課上思考、討論合作、交流匯報等活動,了解“雞兔同籠”問題,體驗和感受古代數學問題的趣味性,從而激發(fā)學生對數學學習的興趣。

        二、怎樣步步緊扣,才能充分發(fā)激發(fā)學生的思維動力

        草圖的設置是指向的主體應是思考者(學生)本身,只有這樣,學生才會積極去思考,才能充分激發(fā)學生的思維動力。同時,問題的措詞要注意技巧性,符合學生的認知特點和心理特點。同樣為了引發(fā)學生類比他人的優(yōu)點尋找自己的問題所在,試想,如問:你覺得你哪些方面做得不夠?問題直接指向去尋找學生本人的短處,我想學生思考的積極性就會大大降低,而改為問:比較你的想法和他的想法,你有什么想法?問題的開口度較大,學生既可以反思自己的不夠,努力的方向,及自己的所思所得。他們想的不是自己的不夠之處,而是自己的一種感悟和啟發(fā),思維的深度是前者遠遠所不及的。

        三、通過草圖引導學生感受數學的魅力與價值

        本節(jié)課為了讓學生進一步感受到我國古代數學的魅力,課尾有意設計具有趣味性、生活性的題目,使學生體會到此類問題在現實中的廣泛存在,進而彰顯了本節(jié)課的學習價值。從無意猜想到草圖法的思維經歷了從無序到有序、從特殊到一般、從借鑒到創(chuàng)新、從膚淺到深刻的過程,這不僅是一種有關教與學的探討,更像是思想上的一場無聲細雨,浸潤人的心靈。

        作為教師,面對一個個鮮活的生命,我們的教學不能遵循固定、沒有激情的程序,而要實現師生互動、心靈之間的對話,喚醒學生智慧的生命體驗。讓我們的課堂,涌動生命的激情、閃爍智慧的火花、延伸成長的足跡!

        (作者單位:浙江省開化縣華埠鎮(zhèn)中心小學)

        雞兔同籠是北師大版五年級上冊第80~81頁的內容,解決雞兔同籠的方法很多,教材選“雞兔同籠”這個題材,主要不是為了解決“雞兔同籠”問題本身,而是要借助“雞兔同籠”這個載體讓學生經歷列表、嘗試和不斷調整的過程,從中體會出解決問題的一般策略——列表。在后面相應的練習中,相關的題目也都附上了草圖表格,能夠讓學生較好地運用這種基本的解題策略。

        一、草圖引入,建立初步概念

        師:請同學們看多媒體,一起讀一讀今天這節(jié)課我們學習什么內容。(板書課題:“雞兔同籠”)

        師:想一想,課題是“雞兔同籠”,說明今天所學習的問題一定跟什么和什么有關?

        生1:跟雞和兔有關。

        師:老師這里有一個與雞、兔有關的問題,大家想不想看一下呢?

        多媒體出示題目:籠子里有若干只雞和兔,從上面數,有8個頭。

        師:你們覺得這道題完整嗎?還差什么呢?

        生2:不完整,還差問題。

        師:現在老師再給你們一個問題——“雞和兔各有多少只”,那你認為雞和兔會各有多少只呢?

        師:還有其他的可能性嗎?把所有的可能性在小組內說一說。

        二、草圖列表,發(fā)現規(guī)律

        1.列表法

        師:為了直觀地表示出雞和兔可能有的只數,你們認為應該畫一個什么來表示呢?

        生3:畫一個表格。

        師(出示表格):為了能在排列的時候不重復、不遺漏,你們覺得在排列的時候不僅要考慮到雞和兔一共有8只,還要注意什么?

        生4:有序排列。觀察一下剛才填好的表格(如下),你能從中找到本題的答案嗎?

        師:現在老師再給你們一個條件——“從下面數有26條腿”,你們又能想到什么呢?

        師:說明這道題不僅和雞、兔的只數有關,還和它們腿的條數有關,所以在排列時還應該列出每種情況下它們一共有多少條腿。

        師:小組合作完成下面的表格。

        師:說一說,第一個空應該填一共有多少條腿,為什么?

        生5:第一個空應該填16,因為每只雞有2條腿,所以一共有8×2=16(條)腿。

        生6:第二個空應該填18,因為每只雞有2條腿,每只兔子有4條腿,所以一共有7×2+1×4=18(條)腿。

        ……

        師:觀察你們填好的表格,又發(fā)現了什么?

        師:像這樣,采用列表的方法,不重復、不遺漏地寫出所有可能的答案,這種逐一列舉的方法在數學中稱為列表法。

        師:如果雞和兔一共有一百多只,它們的腿一共有幾百條的時候,你們認為用列表法能找出答案嗎?同時,你覺得用列表法解決數據較大的問題時會如何?

        生7:能找出答案,但是數據較大時比較麻煩。

        師:現在我們根據上述題目就來探討有沒有其他的解題方法。

        三、草圖假設,減少復雜

        師:為了能夠找到更快捷的解決方法,首先思考一下,上面表格中的8和0是什么意思?

        生8:就是有8只雞和0只兔。

        師:那我們現在就假設籠子里面全是雞,籠子里一共有8×2=16(條)腿,而實際上有26條腿,這樣籠子里就少了26-16=10(條)腿,這說明什么?

        生9:說明籠子里不可能全是雞。

        師:假設算出的結果和實際的結果相差10條腿,說明這10條腿是受什么的影響?

        生:兔。

        師:剛才我們在表格里面觀察到,兔的只數每減少1只,雞的只數每增加1只,它們一共的腿數就會減少幾條?

        生10:2條。

        師:也就是說,這10里面有幾個2,就把幾只兔當成雞算。那到底是幾只兔呢?

        生11:應該是5只兔,因為10÷2=5。

        (上接第22頁)

        師:知道兔子的只數,那雞的只數又應該怎樣求呢?

        生12:雞的只數為8-5=3(只)。

        師:哪位同學能大膽地到黑板上板書一下過程,并把你的思路口述給大家聽呢?

        師:如果假設全是兔,又應該怎么算呢?請大家動手試一試。

        四、鞏固草圖,學以致用

        出示題目:自行車和三輪車共10輛,總共有26個輪子。自行車和三輪車各有多少輛?

        師:用你喜歡的方法完成本題,并在小組內匯報你的答案和解題思路。

        五、回顧草圖,反思提升

        師:本節(jié)課我們學了哪些知識?你還有什么疑問?

        五、課后思考,拓展延伸

        出示題目:籠子里有若干只雞和兔,從上面數,有35個頭;從下面數,有94條腿。雞和兔各有幾只?

        師:你能用方程解或其他方法解決這類問題嗎?課后動手試試。

        六、草圖運用,作業(yè)提升

        (1)52名同學去劃船,一共乘坐11只船,其中每只大船坐6人,每只小船坐4人。求大船和小船各幾只?

        (2)100個和尚吃了100個面包,大和尚1人吃3個,小和尚3人吃1個。求大小和尚各有多少人?

        師:收集一下,還有什么方法可以解決“雞兔同籠”的問題?

        ……

        【課后反思】

        通過對這節(jié)課的6個環(huán)節(jié)的實踐,我獲得了如下的啟示:

        一、怎樣進行草圖操作,是真正充分展示學生的思維過程

        《新標》指出:課堂教學要充分暴露學生的思維。此是眾所周知的,那是不是如第二次試教那樣:從探討最差的開始,先展示只有1種的,再展示2種的……就是充分地暴露了學生的思維過程了呢?答案是否定的。關鍵在于我要想方設法用草圖主動地展示學生的思維歷程。展示學生的思維過程并不是必須將學生的思維動態(tài)、思維結果一覽無余地陳列在他人面前,更確切的就是讓學生能主動地經歷從不完善到完善的思維過程,這樣才實現由形式地展示學生的思維過程到實質地經歷。本節(jié)課主要著眼于學生能力的培養(yǎng),通過創(chuàng)設自主學習的空間,引導學生通過課前自學、課上思考、討論合作、交流匯報等活動,了解“雞兔同籠”問題,體驗和感受古代數學問題的趣味性,從而激發(fā)學生對數學學習的興趣。

        二、怎樣步步緊扣,才能充分發(fā)激發(fā)學生的思維動力

        草圖的設置是指向的主體應是思考者(學生)本身,只有這樣,學生才會積極去思考,才能充分激發(fā)學生的思維動力。同時,問題的措詞要注意技巧性,符合學生的認知特點和心理特點。同樣為了引發(fā)學生類比他人的優(yōu)點尋找自己的問題所在,試想,如問:你覺得你哪些方面做得不夠?問題直接指向去尋找學生本人的短處,我想學生思考的積極性就會大大降低,而改為問:比較你的想法和他的想法,你有什么想法?問題的開口度較大,學生既可以反思自己的不夠,努力的方向,及自己的所思所得。他們想的不是自己的不夠之處,而是自己的一種感悟和啟發(fā),思維的深度是前者遠遠所不及的。

        三、通過草圖引導學生感受數學的魅力與價值

        本節(jié)課為了讓學生進一步感受到我國古代數學的魅力,課尾有意設計具有趣味性、生活性的題目,使學生體會到此類問題在現實中的廣泛存在,進而彰顯了本節(jié)課的學習價值。從無意猜想到草圖法的思維經歷了從無序到有序、從特殊到一般、從借鑒到創(chuàng)新、從膚淺到深刻的過程,這不僅是一種有關教與學的探討,更像是思想上的一場無聲細雨,浸潤人的心靈。

        作為教師,面對一個個鮮活的生命,我們的教學不能遵循固定、沒有激情的程序,而要實現師生互動、心靈之間的對話,喚醒學生智慧的生命體驗。讓我們的課堂,涌動生命的激情、閃爍智慧的火花、延伸成長的足跡!

        (作者單位:浙江省開化縣華埠鎮(zhèn)中心小學)

        雞兔同籠是北師大版五年級上冊第80~81頁的內容,解決雞兔同籠的方法很多,教材選“雞兔同籠”這個題材,主要不是為了解決“雞兔同籠”問題本身,而是要借助“雞兔同籠”這個載體讓學生經歷列表、嘗試和不斷調整的過程,從中體會出解決問題的一般策略——列表。在后面相應的練習中,相關的題目也都附上了草圖表格,能夠讓學生較好地運用這種基本的解題策略。

        一、草圖引入,建立初步概念

        師:請同學們看多媒體,一起讀一讀今天這節(jié)課我們學習什么內容。(板書課題:“雞兔同籠”)

        師:想一想,課題是“雞兔同籠”,說明今天所學習的問題一定跟什么和什么有關?

        生1:跟雞和兔有關。

        師:老師這里有一個與雞、兔有關的問題,大家想不想看一下呢?

        多媒體出示題目:籠子里有若干只雞和兔,從上面數,有8個頭。

        師:你們覺得這道題完整嗎?還差什么呢?

        生2:不完整,還差問題。

        師:現在老師再給你們一個問題——“雞和兔各有多少只”,那你認為雞和兔會各有多少只呢?

        師:還有其他的可能性嗎?把所有的可能性在小組內說一說。

        二、草圖列表,發(fā)現規(guī)律

        1.列表法

        師:為了直觀地表示出雞和兔可能有的只數,你們認為應該畫一個什么來表示呢?

        生3:畫一個表格。

        師(出示表格):為了能在排列的時候不重復、不遺漏,你們覺得在排列的時候不僅要考慮到雞和兔一共有8只,還要注意什么?

        生4:有序排列。觀察一下剛才填好的表格(如下),你能從中找到本題的答案嗎?

        師:現在老師再給你們一個條件——“從下面數有26條腿”,你們又能想到什么呢?

        師:說明這道題不僅和雞、兔的只數有關,還和它們腿的條數有關,所以在排列時還應該列出每種情況下它們一共有多少條腿。

        師:小組合作完成下面的表格。

        師:說一說,第一個空應該填一共有多少條腿,為什么?

        生5:第一個空應該填16,因為每只雞有2條腿,所以一共有8×2=16(條)腿。

        生6:第二個空應該填18,因為每只雞有2條腿,每只兔子有4條腿,所以一共有7×2+1×4=18(條)腿。

        ……

        師:觀察你們填好的表格,又發(fā)現了什么?

        師:像這樣,采用列表的方法,不重復、不遺漏地寫出所有可能的答案,這種逐一列舉的方法在數學中稱為列表法。

        師:如果雞和兔一共有一百多只,它們的腿一共有幾百條的時候,你們認為用列表法能找出答案嗎?同時,你覺得用列表法解決數據較大的問題時會如何?

        生7:能找出答案,但是數據較大時比較麻煩。

        師:現在我們根據上述題目就來探討有沒有其他的解題方法。

        三、草圖假設,減少復雜

        師:為了能夠找到更快捷的解決方法,首先思考一下,上面表格中的8和0是什么意思?

        生8:就是有8只雞和0只兔。

        師:那我們現在就假設籠子里面全是雞,籠子里一共有8×2=16(條)腿,而實際上有26條腿,這樣籠子里就少了26-16=10(條)腿,這說明什么?

        生9:說明籠子里不可能全是雞。

        師:假設算出的結果和實際的結果相差10條腿,說明這10條腿是受什么的影響?

        生:兔。

        師:剛才我們在表格里面觀察到,兔的只數每減少1只,雞的只數每增加1只,它們一共的腿數就會減少幾條?

        生10:2條。

        師:也就是說,這10里面有幾個2,就把幾只兔當成雞算。那到底是幾只兔呢?

        生11:應該是5只兔,因為10÷2=5。

        (上接第22頁)

        師:知道兔子的只數,那雞的只數又應該怎樣求呢?

        生12:雞的只數為8-5=3(只)。

        師:哪位同學能大膽地到黑板上板書一下過程,并把你的思路口述給大家聽呢?

        師:如果假設全是兔,又應該怎么算呢?請大家動手試一試。

        四、鞏固草圖,學以致用

        出示題目:自行車和三輪車共10輛,總共有26個輪子。自行車和三輪車各有多少輛?

        師:用你喜歡的方法完成本題,并在小組內匯報你的答案和解題思路。

        五、回顧草圖,反思提升

        師:本節(jié)課我們學了哪些知識?你還有什么疑問?

        五、課后思考,拓展延伸

        出示題目:籠子里有若干只雞和兔,從上面數,有35個頭;從下面數,有94條腿。雞和兔各有幾只?

        師:你能用方程解或其他方法解決這類問題嗎?課后動手試試。

        六、草圖運用,作業(yè)提升

        (1)52名同學去劃船,一共乘坐11只船,其中每只大船坐6人,每只小船坐4人。求大船和小船各幾只?

        (2)100個和尚吃了100個面包,大和尚1人吃3個,小和尚3人吃1個。求大小和尚各有多少人?

        師:收集一下,還有什么方法可以解決“雞兔同籠”的問題?

        ……

        【課后反思】

        通過對這節(jié)課的6個環(huán)節(jié)的實踐,我獲得了如下的啟示:

        一、怎樣進行草圖操作,是真正充分展示學生的思維過程

        《新標》指出:課堂教學要充分暴露學生的思維。此是眾所周知的,那是不是如第二次試教那樣:從探討最差的開始,先展示只有1種的,再展示2種的……就是充分地暴露了學生的思維過程了呢?答案是否定的。關鍵在于我要想方設法用草圖主動地展示學生的思維歷程。展示學生的思維過程并不是必須將學生的思維動態(tài)、思維結果一覽無余地陳列在他人面前,更確切的就是讓學生能主動地經歷從不完善到完善的思維過程,這樣才實現由形式地展示學生的思維過程到實質地經歷。本節(jié)課主要著眼于學生能力的培養(yǎng),通過創(chuàng)設自主學習的空間,引導學生通過課前自學、課上思考、討論合作、交流匯報等活動,了解“雞兔同籠”問題,體驗和感受古代數學問題的趣味性,從而激發(fā)學生對數學學習的興趣。

        二、怎樣步步緊扣,才能充分發(fā)激發(fā)學生的思維動力

        草圖的設置是指向的主體應是思考者(學生)本身,只有這樣,學生才會積極去思考,才能充分激發(fā)學生的思維動力。同時,問題的措詞要注意技巧性,符合學生的認知特點和心理特點。同樣為了引發(fā)學生類比他人的優(yōu)點尋找自己的問題所在,試想,如問:你覺得你哪些方面做得不夠?問題直接指向去尋找學生本人的短處,我想學生思考的積極性就會大大降低,而改為問:比較你的想法和他的想法,你有什么想法?問題的開口度較大,學生既可以反思自己的不夠,努力的方向,及自己的所思所得。他們想的不是自己的不夠之處,而是自己的一種感悟和啟發(fā),思維的深度是前者遠遠所不及的。

        三、通過草圖引導學生感受數學的魅力與價值

        本節(jié)課為了讓學生進一步感受到我國古代數學的魅力,課尾有意設計具有趣味性、生活性的題目,使學生體會到此類問題在現實中的廣泛存在,進而彰顯了本節(jié)課的學習價值。從無意猜想到草圖法的思維經歷了從無序到有序、從特殊到一般、從借鑒到創(chuàng)新、從膚淺到深刻的過程,這不僅是一種有關教與學的探討,更像是思想上的一場無聲細雨,浸潤人的心靈。

        作為教師,面對一個個鮮活的生命,我們的教學不能遵循固定、沒有激情的程序,而要實現師生互動、心靈之間的對話,喚醒學生智慧的生命體驗。讓我們的課堂,涌動生命的激情、閃爍智慧的火花、延伸成長的足跡!

        (作者單位:浙江省開化縣華埠鎮(zhèn)中心小學)

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