鄭其明

(南京化工職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇南京 210048)

0 引言

彩虹是常見的自然現(xiàn)象，常在夏日的雨后發(fā)生。對于彩虹形成的原因，早在十七世紀(jì)時，法國物理學(xué)家Rene Descartes就已經(jīng)用幾何光學(xué)的原理分析過［1］，此后物理學(xué)家通過波動光學(xué)和微分方程對彩虹原理解釋得更加精確［2］，但這些解釋對普通大學(xué)生而言很難理解。本文在基于光的折射定律的基礎(chǔ)上［3］，通過理論和實(shí)驗(yàn)兩個角度，利用簡單的數(shù)學(xué)方法，對彩虹形成原因進(jìn)行了解釋，讓學(xué)生更直觀地了解彩虹形成的原因，進(jìn)而利用本文提出的原理，發(fā)展出一種測量液體折射率的新方法。

1 虹形成原因的理論分析

虹的形成是由于光線射入空氣中的小水滴，經(jīng)另一側(cè)內(nèi)反射后，光線從同一側(cè)面折射出來，從而觀察到虹。由于陽光(白色光)是由7種單色光組成，不同單色光對水的折射率不同，白色光經(jīng)過水滴折射后，折射光線會分解成不同單色光，因此觀察到的虹是彩色的。最容易被觀察到的彩虹是經(jīng)過水滴一次內(nèi)反射后形成的，其觀察角往往在與水平面成α=42°角處［4］(即彩虹形成的觀察最大角度)。在適當(dāng)?shù)臈l件下肉眼也可以看到經(jīng)過多次內(nèi)反射后形成的高階彩虹。由于高階彩虹形成原理比較復(fù)雜，本文只研究單階彩虹的情況。

在一般教材或相關(guān)資料中都會介紹到彩虹與水平面形成42°的角，但一般并不說明形成42°的角的原因和其物理意義，本文從理論和實(shí)驗(yàn)兩個角度對此問題進(jìn)行分析。

圖1 彩虹形成原理的光路示意圖

考慮一道單色光在小水滴內(nèi)單次內(nèi)反射的情形，如圖1所示，θ為入射角，φ為折射角，光線經(jīng)過水滴內(nèi)反射和折射后的偏折角是入射角θ的函數(shù)，并隨著入射角的變化而變化，記作A(θ)。由圖可知，出射光線與水平線的夾角為α。有:

根據(jù)光的折射定律，設(shè)空氣的折射率為n，可得，sin θ=nsin φ，代入上式得:

同時由圖1可知，入射光線(或其延長線)到水滴中心寬度:h=Rsin θ，h隨著入射角θ的變化而變化，對具體小水滴而言，其半徑為常數(shù)，則有:

而A(θ)是關(guān)于 θ的函數(shù)，故有:對θ的導(dǎo)數(shù)即為A(θ)函數(shù)曲線上任意一點(diǎn)的斜率。所以，代入 dh=Rcos θdθ，可得:

由以上分析和式(2)可知，對一小段偏折出來的光線dA(θ)而言，所得到的入射光線的寬度越大，出射光線就越明亮，越容易通過肉眼觀察到。當(dāng)dh/dA(θ)取最大值時，即A'(θ)為極小值時，出射光線將會最強(qiáng)。

對函數(shù)關(guān)系式(1)求極值，取光對水的折射率為n=1.333，以 θ為橫坐標(biāo)，A(θ)為縱坐標(biāo)，由數(shù)學(xué)軟件可得到如下函數(shù)圖像［5］(如圖2所示)。并由圖像2可得，A(θ)可取極小值138°，因此虹最大觀察角 αmax=π－A(θ)=42°。當(dāng)然不同的單色光折射率不同，形成虹時其最大觀察角也不同，白色光形成虹時，各種單色光被分解開來，因此由陽光形成的虹是彩色的。

3 虹形成原因的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

以上理論分析的結(jié)果可以通過實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證。如圖3所示，取一個薄的圓柱形玻璃管注滿水，讓一束激光從玻璃管的一側(cè)射入，從玻璃管的同側(cè)和另一側(cè)都會有光線折射出來，改變?nèi)肷涔獾慕嵌?，觀察從玻璃管的兩側(cè)折射出來的光線的角度和強(qiáng)度的變化。

圖2 偏折角與入射角的函數(shù)關(guān)系圖像

由實(shí)驗(yàn)觀察的現(xiàn)象可知，當(dāng)入射光的角度發(fā)生變化時，從兩側(cè)折射出來光線角度和強(qiáng)度都會產(chǎn)生變化。當(dāng)從同側(cè)折射出來的光線與水平面夾角為最大時，這時從同側(cè)折射出來的光線強(qiáng)度最強(qiáng)、寬度最窄，其折射光線將形成一束明亮的細(xì)光束(如圖4(b)所示)，而在其他角度時，從同側(cè)折射出來的光線較寬，亮度也較暗(如圖4(a)所示)。本實(shí)驗(yàn)過程中使用是綠色激光，其相對于純水的折射率為1.333，當(dāng)從同側(cè)折射出的光線與水平面夾角為42°左右時，出射光的寬度最窄、強(qiáng)度最強(qiáng)。由實(shí)驗(yàn)可以看出，當(dāng)光線以不同角度入射時，經(jīng)過水滴反射和折射后，從不同側(cè)面折射出的光線的角度與強(qiáng)度都會產(chǎn)生變化，當(dāng)從同側(cè)面折射出來的光線與水平面夾角為最大角度時，折射出來的光線的寬度最窄、強(qiáng)度最大，在這個角度上也就最容易看到折射出來的光線。在其它角度上觀察到的折射光線都比較弱，不容易觀察到。當(dāng)然對于彩虹的形成而言，當(dāng)陽光照射向水滴時，在折射光線與水平面成42°角度方位上就容易觀察到彩虹。若將本文實(shí)驗(yàn)中使用的綠色激光換成一束白色自然光，就可以模擬彩虹形成的現(xiàn)象。

圖3 激光射入注滿水的薄圓柱形玻璃管時的情形

4 利用虹形成原理測量液體的折射率

根據(jù)上面對虹形成的原因分析過程可以看出，當(dāng)折射率不同時，從水滴中折射出來的光線與水平面最大夾角αmax也不同。如果能測量出從水滴中折射出來的光線與水平面最大夾角αmax，并得出最大夾角與液體折射率之間的關(guān)系，就可得到一種全新的測量折射率的方法。

圖4 從圓柱體同側(cè)折射出光線寬度與強(qiáng)度隨出射光角度的變化

在上述分析中已經(jīng)得出關(guān)系式(1)。又由圖1可知:sin θ=h/R，設(shè) sin θ=h/R=，其中R為水滴的半徑。代入式(1)可得:

其中，n為液體的折射率，對于已知液體而言，其折射率為常數(shù)，α隨著變化而變化。

當(dāng)dα/d=0時，α取最大值。當(dāng)α取最大值時，由上式可得。代入式(3)得:

由式(4)可知，取不同的折射率為n的液體可得到不同的αmax，利用數(shù)學(xué)軟件可繪制出(4)式的函數(shù)圖像［5］，如圖5所示，并可列出相應(yīng)的數(shù)據(jù)表，如表1所示。

圖5 αmax與折射率的函數(shù)關(guān)系

表1 αmax與折射率的數(shù)值關(guān)系

圖5為αmax與折射率n的函數(shù)關(guān)系圖。如果光束照射過某液滴的αmax可以被精確測量，那么由式(4)的關(guān)系式可推得出此液體的折射率n。由于圖5應(yīng)用在實(shí)際的測量上很不方便，于是為了方便由αmax的量測查出與其相對應(yīng)的折射率n的值，利用圖5的結(jié)果制作了表1。只要測量出某一液體的αmax，就可以利用表1查出此液體相對應(yīng)的折射率n。與傳統(tǒng)測量液體的折射率方法相比，利用此方法測量液體折射率有以下幾個優(yōu)點(diǎn):

(1)由式(4)推導(dǎo)過程可知，該公式推導(dǎo)沒有取近似，不存在系統(tǒng)誤差，并且αmax與n具有嚴(yán)格一對一關(guān)系，因此只要測量一個參數(shù)αmax就能夠計(jì)算出液體折射率，需要測量參數(shù)少，測量誤差就小，測量結(jié)果的精度就高。

(2)參數(shù)αmax是光從水滴中折射時出來時，折射光線與水平面最大夾角，此時折射光線最窄、最強(qiáng)，容易通過視覺確定其位置，因此參數(shù)αmax比較容易準(zhǔn)確測量。在條件許可時αmax容易實(shí)現(xiàn)自動測量，可以減少由于人為因素造成的誤差。

(3)該測量所需要的儀器少，實(shí)驗(yàn)裝置結(jié)構(gòu)簡單，一般實(shí)驗(yàn)室都能進(jìn)行此測量。

(4)在進(jìn)行測量時，既可以固定液體，測量不同單色光對同一種液體的折射率，又可以改變液體，測量同一種光對不同液體的折射率，測量方便易行。

在常溫下，通過實(shí)驗(yàn)測得綠色激光對飽和食鹽水的αmax值為35°，查所對應(yīng)的折射率表，可以得到，綠光對飽和食鹽水折射率:

與用其他方法測量的結(jié)果相比較，運(yùn)用本文提出方法測量的結(jié)果的準(zhǔn)確性更高。

同時由式(4)可知，αmax與水滴的半徑無關(guān)，只與液體的折射率有關(guān)。在彩虹形成時，空氣中小水滴的半徑并不相同，但由于是同種液體，所有小水滴形成的αmax都約是42°，根據(jù)幾何學(xué)原理，很容易證明出來所觀察到的虹常常是圓弧形。只不過當(dāng)水滴半徑越大，觀察到的虹越明亮。

5 結(jié)語

虹是一種常見的自然現(xiàn)象，但要從理論上對虹進(jìn)行準(zhǔn)確的解釋是不容易的，本文從理論和實(shí)驗(yàn)兩個角度解釋了虹形成的原因，文中理論推導(dǎo)過程中使用的數(shù)學(xué)工具簡單，避開了復(fù)雜的數(shù)學(xué)技巧，容易為普通大學(xué)生掌握和應(yīng)用，本文的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證也容易在實(shí)驗(yàn)室開展，并且在理論和實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上發(fā)展出更為精確的一種測量折射率的新方法。本文提出的方法對拓展學(xué)生知識面，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用物理學(xué)與數(shù)學(xué)原理對自然現(xiàn)象進(jìn)行解釋，提升學(xué)生運(yùn)用知識的能力是十分有益的。同時本文提出的測量折射率的新方法，對液體折射率測量同樣有著實(shí)際意義。

［1］Marion J B.Thornton S T.Classical Dynamics［M］.Harcourt Brace＆ Company，1995:217.

［2］John David Jackson，Classical Electrodynamics［M］.John Wiley ＆Sons，1999.

［3］姚啟鈞.光學(xué)教程［M］.4版.北京:高等教育出版社，2009.

［4］郁道銀，談恒英.工程光學(xué)［M］.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2003.

［5］張磊.MATLAB實(shí)用教程［M］.北京:人民郵電出版社，2008.

［6］Wolfgang G，Peter H.Interface analysis in biosensor design［J］.Biosensors＆ Bioelectronics，1995，10(9):853-883.

［7］鄭其明.基于邁克爾遜干涉原理的反射式光電檢測儀測量高分子材料的折射率［J］.安徽師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2012，35(1):32-34.

ZHENG Qi-ming.Measurements of Refractive Index of Polymer Materials Using Photoelectricity Reflectometry Based on Michelson Interference Method［J］.Journal of Anhui Normal University(Natural Science)，2012，35(1):32-34.

［8］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)［M］.上海:同濟(jì)大學(xué)出版社，2009.

［9］呂斯驊，段家忯.新編基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)［M］.北京:高等教育出版社，2006.

［10］沈元華，陸申龍.基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)［M］.北京:高等教育出版社，2003.

［11］孫禮林，馮 松，李慶海，等.聚氧乙烯(PEO)、丙烯酰胺與甲基丙烯酸甲酯三元共聚物的合成與表征［J］.安徽師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2003，26(3):249-252.

SUN Li-lin，F(xiàn)ENG Song，LI Qing-hai，SHEN Liang-jun.Synthsis and characterization of tri-copolymer poly(ethylene oxide)macromonomer acrylamide and methyl methacrylate［J］.Journal of Anhui Normal University(Natural Science)，2003，26(3):249-252.

［12］萬新軍，褚道葆，陳聲培，等.不銹鋼表面修飾納米合金膜電極的電催化活性研究［J］.安徽師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2007，30(5):567-569.

WAN Xin-jun， CHU Dao-bao， CHEN Sheng-pei， et al.Electrocatalytic Activities of the Film Electrode Modified Nanocrystalline Alloy on the Stainless Steel［J］.Journal of Anhui Normal University(Natural Science)，2007，30(5):567-569.

［13］Tearney G J，Brezinski M E，Southern J F，et al.Determination of the refractive index of highly scattering human tissue by optical coherence tomography［J］.Appl Opt，1995，20(21):2258-2260.

［14］左則文.等厚干涉法測量薄膜厚度的兩種方法［J］.安徽師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2012，35(1):32-34.

ZUO Ze-wen.Two Methods for Measuring the Thickness of Films Based on Equal Thickness Interference［J］.Journal of Anhui Normal University(Natural Science)，2012，35(1):32-34.

［15］房曉勇.固體物理學(xué)［M］.哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2004.