王紅霞，龔憲生，劉 巍，潘 飛

（1．重慶大學(xué)機(jī)械傳動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400044；2．重慶大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，重慶 400044；3．湖北汽車工業(yè)學(xué)院，湖北 十堰 442002）

環(huán)形鋼絲繩隔振器動(dòng)態(tài)特性建模與參數(shù)識(shí)別

王紅霞1，2，3，龔憲生1，2，劉 巍1，2，潘 飛1，2

（1．重慶大學(xué)機(jī)械傳動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400044；2．重慶大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，重慶 400044；3．湖北汽車工業(yè)學(xué)院，湖北 十堰 442002）

設(shè)計(jì)一種采用獨(dú)立鋼絲繩圈作為彈性阻尼元件的環(huán)形鋼絲繩隔振器。由于其結(jié)構(gòu)的獨(dú)特性，該隔振器具有非線性彈性剛度和垂向非對(duì)稱遲滯動(dòng)態(tài)特性。針對(duì)該特性，提出一種改進(jìn)的歸一化Bouc－Wen模型，采用分階段識(shí)別方法進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)研究，并對(duì)提出的模型和參數(shù)識(shí)別方法進(jìn)行周期性加載試驗(yàn)驗(yàn)證。結(jié)果表明：本文所提出模型以及參數(shù)識(shí)別方法對(duì)于該隔振器垂向非對(duì)稱遲滯動(dòng)態(tài)特性描述是非常準(zhǔn)確有效的，為該隔振器動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)方法奠定了基礎(chǔ)。

環(huán)形鋼絲繩隔振器；遲滯；改進(jìn)的歸一化Bouc－Wen模型；識(shí)別

鋼絲繩隔振器是一種典型的非線性阻尼遲滯隔振裝置，具有良好的干摩擦高阻尼特性，可以承受剪切、橫滾和拉壓載荷。廣泛應(yīng)用于工業(yè)、國(guó)防設(shè)備、電氣設(shè)備、航空航天、車輛及船舶等領(lǐng)域［1－5］。傳統(tǒng)鋼絲繩隔振器的鋼絲繩裝夾、大螺旋定型需要通過專用工裝完成，隔振器一旦成型，其彈性阻尼特性即在一定范圍內(nèi)確定，損壞后不易維修，只有更換。鑒于此，本文提出采用多個(gè)彼此獨(dú)立的鋼絲繩圈作為隔振器的彈性阻尼元件，組成如圖1所示的環(huán)形鋼絲繩隔振器。該隔振器繩圈裝夾更換方便，組裝靈活（鋼絲繩繩圈個(gè)數(shù)根據(jù)需要確定），以此改變隔振器的彈性和阻尼特性；而且維修容易，可以延長(zhǎng)隔振器使用壽命。建立理論模型對(duì)于分析掌握其動(dòng)態(tài)特性具有重要意義。前人對(duì)于螺旋型鋼絲繩隔振器進(jìn)行了多方面的研究，并取得了許多成果。Tinker等［6］關(guān)于鋼絲繩隔振器提出了速度n次方粘滯阻尼和非線性剛度組合模型，該模型與速度相關(guān)，許多研究表明［1，7－8］鋼絲繩隔振器的響應(yīng)與頻率無關(guān)。胡海巖［9］針對(duì)鋼絲繩隔振器提出了雙線性遲滯模型，該模型不能準(zhǔn)確描述環(huán)形鋼絲繩隔振器在垂向承受拉壓載荷時(shí)所展示的非對(duì)稱遲滯響應(yīng)特性。Bouc等［10－11］提出的由非線性微分方程控制的光滑滯回模型通過設(shè)置不同的模型參數(shù)來描述不同的非線性隔振器也包括鋼絲繩隔振器。但是隨著激勵(lì)振幅增加當(dāng)環(huán)形鋼絲繩隔振器在垂向承受拉壓載荷呈現(xiàn)出非對(duì)稱遲滯回線時(shí)，該模型就不能準(zhǔn)確的描述環(huán)形鋼絲繩的非對(duì)稱遲滯特性。針對(duì)該情況，Ni等［12－13］提出了改進(jìn)的Bouc-Wen模型來描述鋼絲繩隔振器的硬化重疊特性和非對(duì)稱遲滯響應(yīng)特性，但是采用該模型進(jìn)行參數(shù)識(shí)別時(shí)，在計(jì)算時(shí)遇到了困擾。模型參數(shù)識(shí)別往往會(huì)采用迭代算法，以尋找參數(shù)最優(yōu)值，合適選取初始參數(shù)非常困難，如果選取不合適就有可能無法收斂，無法識(shí)別參數(shù)或者得不到最優(yōu)參數(shù)。Ikhouane等［14］介紹了一種極限環(huán)識(shí)別方法，不采用迭代算法，不存在收斂性問題。只要符合該方法的適用范圍，就能準(zhǔn)確的識(shí)別出相應(yīng)的參數(shù)。

圖1 環(huán)形鋼絲繩隔振器結(jié)構(gòu)示意圖Fig．1 Structural diagram of circular wire-cable vibration isolator

本文針對(duì)環(huán)形鋼絲繩隔振器，提出了一種改進(jìn)的歸一化Bouc-Wen模型，并采用分階段識(shí)別方法基于試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)研究。

1 環(huán)形鋼絲繩隔振器遲滯模型

針對(duì)摩擦型遲滯系統(tǒng)，Ikhouane［15］在Bouc-Wen模型基礎(chǔ)上提出了歸一化Bouc-Wen模型，該模型表述如下：

對(duì)于歸一化Bouc-Wen模型，選擇一組符合各參數(shù)條件的組合參數(shù)，如圖2所示由摩擦力引起的純遲滯力kωω（t）是有界的，而且在穩(wěn)定段上界時(shí)也就是說純遲滯力的上界值就是kω，下界值是－kω。

圖2 歸一化Bouc-Wen模型某一組參數(shù)下的純遲滯力曲線Fig．2 The pure hysteretic curve generated by a set of physically possible parameters of the normalized Bouc-Wen model

根據(jù)試驗(yàn)遲滯曲線，如圖3所示在垂向承受拉壓載荷呈現(xiàn)出非對(duì)稱遲滯回線，不能直接采用歸一化Bouc-Wen模型。為了獲得非對(duì)稱遲滯環(huán)，在歸一化Bouc-Wen模型中，純遲滯力乘以一個(gè)非線性放大因子，該放大因子可以用一個(gè)多項(xiàng)式來表示如下：

式中Fn是非線性放大因子，knj是放大系數(shù)，M表示多項(xiàng)式的階數(shù)。

為了準(zhǔn)確描述該隔振器非線性彈性剛度，在歸一化Bouc-Wen模型中引進(jìn)非線性彈性恢復(fù)力，采用另外一個(gè)多項(xiàng)式表示：

式中Fne是非線性彈性恢復(fù)力，knei是彈性系數(shù)，N表示多項(xiàng)式的階數(shù)。在參數(shù)識(shí)別時(shí)，這兩個(gè)多項(xiàng)式的階數(shù)和奇偶冪次的確定根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)和理論遲滯環(huán)的擬合度指標(biāo)來選取，通過調(diào)節(jié)M和N數(shù)值的不同，合理選取一種擬合度較好的模型參數(shù)。這在參數(shù)識(shí)別結(jié)果和擬合度指標(biāo)中將會(huì)體現(xiàn)出來如表1和2所示。根據(jù)試驗(yàn)遲滯特性提出一種改進(jìn)的歸一化Bouc-Wen模型如下：

圖3 環(huán)形鋼絲繩隔振器試驗(yàn)遲滯曲線Fig．3 Experimental hysteresis loop of circular wire-cable vibration isolator

2 環(huán)形鋼絲繩隔振器模型參數(shù)識(shí)別

針對(duì)式（5）和（6）采用兩階段法進(jìn)行模型參數(shù)辨識(shí)。第一階段先識(shí)別非線性彈性恢復(fù)力Fne和非線性放大因子Fn；根據(jù)識(shí)別結(jié)果提取由摩擦力引起的純遲滯響應(yīng)，在第二階段識(shí)別純遲滯響應(yīng)中的各參數(shù)。

2.1 階段1：識(shí)別非遲滯參數(shù)

如圖2所示，由摩擦力引起的純遲滯響應(yīng)kωωFn是有界的，當(dāng)x在穩(wěn)定段取值時(shí)，相對(duì)于x軸是對(duì)稱的，在穩(wěn)定段恢復(fù)力在加載和卸載時(shí)分別表示為：

式中fu、fl為環(huán)形鋼絲繩隔振器在穩(wěn)定段的上下遲滯恢復(fù)力。由于采集的試驗(yàn)數(shù)據(jù)是離散的，因此式（7）寫成離散形式為：

式中下角標(biāo)k為離散數(shù)據(jù)第k個(gè)點(diǎn)，k取值為1，2，…，K，K為離散數(shù)據(jù)的長(zhǎng)度。先識(shí)別Fne的相關(guān)參數(shù)，由方程（8）可知：

方程（4）寫成離散形式為：

式中yik＝，kne＝［kne1，kne2，…，kneN］是非線性剛度系數(shù)矢量，ynek＝［y1k，y2k，…，yNk］是線性化變形矢量。誤差函數(shù)為：

對(duì)應(yīng)的線性最小二乘式為：

采用線性最小二乘法求解方程（12）從而求得非線性剛度系數(shù)［kne1，kne2，…，kneN］。

對(duì)于非線性放大因子的參數(shù)識(shí)別采用同樣的方法。由方程（8）可知：

假定在穩(wěn)定段，x可以取穩(wěn)定段任意值，為了便于計(jì)算，在本程序中x取x（t）在任一周期內(nèi)的平均值x0。這樣可得：

把式（14）代入式（13）可得：

方程（3）寫成離散形式為：

式中yjk＝，kn＝［kn1，kn2，…，knM］是放大系數(shù)矢量，ynk＝［y1k，y2k，…，yNk］是線性化變形矢量。

采用方程（12）同樣的優(yōu)化方法求得放大系數(shù)矢量［kn1，kn2，…，knM］。

2.2 階段2：識(shí)別純遲滯響應(yīng)中的各參數(shù)

在果蔬病害生物保鮮研究中發(fā)現(xiàn)的拮抗細(xì)菌主要是芽胞桿菌，其次是假單胞桿菌。芽胞桿菌屬好氧或兼性厭氧菌，抗逆能力強(qiáng)，繁殖速度快，營(yíng)養(yǎng)要求簡(jiǎn)單，容易定殖在植物表面，適合作為生防制劑。目前，應(yīng)用于果蔬防腐的有枯草芽胞桿菌、多粘芽胞桿菌和蠟狀芽胞桿菌等[6]。

一般情況下，非線性狀態(tài)變量是無法測(cè)量的，然而在許多實(shí)際情況下，滯后的極限環(huán)可以通過實(shí)驗(yàn)得到［8］。由摩擦力引起的純遲滯極限環(huán)響應(yīng)可由方程（5）求得：

式中θ（t）＝kωω是純遲滯恢復(fù)力。由方程（10）和（16）可知，方程（17）寫成離散形式為：

采用極限環(huán)法［14］識(shí)別純遲滯響應(yīng)中的各參數(shù)。方程（6）寫成分段函數(shù)為：

其中：當(dāng)x＝x*時(shí)，θ（x*）＝0。

純遲滯響應(yīng)其余參數(shù)的識(shí)別由試驗(yàn)數(shù)據(jù)提取的純遲滯環(huán)的加載曲線求得，如圖4所示。假定xm是某一周期內(nèi)純遲滯環(huán)加載曲線的最小位移值，選取一個(gè)點(diǎn)x*1滿足條件xm＜x*1＜x*或者ωx*1＜0，另外再取兩個(gè)點(diǎn)x*3＞x*2＞x*，把x*2，x*3兩個(gè)點(diǎn)代入方程（22）可以確定參數(shù)n如下式：把x*1點(diǎn)代入方程（19）中x·＞0，ω＜0時(shí)的表達(dá)式，可以確定參數(shù)σ如下式：

圖4 環(huán)形鋼絲繩隔振器純遲滯力曲線Fig．4 The pure hysteretic curve of circular wire-cable vibration isolator

2.3 參數(shù)識(shí)別結(jié)果

參照以上各參數(shù)識(shí)別方法對(duì)本研究中的環(huán)形鋼絲繩隔振器在激勵(lì)信號(hào)為正弦位移，振幅為5 mm，頻率為5 Hz，多項(xiàng)式階數(shù)M和N不同時(shí)模型參數(shù)識(shí)別結(jié)果如表1所示：

表1 不同多項(xiàng)式階數(shù)M和N模型參數(shù)識(shí)別結(jié)果Tab.1 Model parameter identification results of different polynomial order number M and N

3 動(dòng)態(tài)試驗(yàn)

圖5 環(huán)形鋼絲繩隔振器試驗(yàn)裝置Fig．5 Actual setup of circular wire-cable vibration isolator

3.1 試驗(yàn)系統(tǒng)

動(dòng)態(tài)性能測(cè)試試驗(yàn)裝置如圖5所示：該試驗(yàn)是在電磁振動(dòng)實(shí)驗(yàn)臺(tái)（MPA406／M232）上完成的。隔振器下夾板通過上夾具與三爪卡盤相連。上夾具與力傳感器連接，三爪卡盤通過機(jī)架與地基相連。隔振器上夾板通過下夾具與電磁振動(dòng)臺(tái)體相連，激光位移傳感器固定在機(jī)架上?；謴?fù)力和位移信號(hào)同時(shí)采集。激勵(lì)信號(hào)采用正弦位移信號(hào)，激勵(lì)幅值在1～5 mm，頻率范圍3～9 Hz。

該實(shí)驗(yàn)采用鋼絲繩結(jié)構(gòu)為6X19＋I(xiàn)WS，繩圈中徑為50 mm，繩圈個(gè)數(shù)為6，鋼絲繩直徑為5 mm的鋼絲繩環(huán)彈性阻尼元件組成的環(huán)形鋼絲繩隔振器。在隔振器垂向做拉壓試驗(yàn)。

3.2 試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理

式中｛f｝＝｛f0f1f2…和｛a｝＝｛a0a1a2…是ft和x（t）的諧波分量矢量，ω是激振圓頻率，m是傅里葉階數(shù)，根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)選取。當(dāng)試驗(yàn)采集的數(shù)字信號(hào)滿足一些特定的條件［7］可以采用Ni［13］提出的頻域非因果濾波方法對(duì)采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）高頻去噪，求得諧波分量｛f｝，然后重構(gòu)測(cè)量周期信號(hào)。

4 模型驗(yàn)證

擬合曲線與試驗(yàn)曲線誤差的大小是評(píng)價(jià)和比較本文提出的環(huán)形鋼絲繩隔振器預(yù)測(cè)擬合模型和預(yù)測(cè)方法的依據(jù)。常用的指標(biāo)是均方根誤差（RMSE），表達(dá)式如下：

式中pk是擬合曲線離散響應(yīng)值，fk是試驗(yàn)數(shù)據(jù)。另外針對(duì)非線性模型，張世強(qiáng)［17］提出一個(gè)更有效的曲線回歸擬合優(yōu)度指標(biāo)RNL為：

式中，RNL把殘差平方和與相對(duì)誤差有機(jī)地結(jié)合在一起，RNL愈接近于1，表示識(shí)別參數(shù)所擬合的曲線擬合優(yōu)度愈好。擬合遲滯環(huán)與試驗(yàn)遲滯環(huán)比較圖如圖6所示。擬合度指標(biāo)RMSE和RNL如表2所示。由圖6可知，除了在轉(zhuǎn)折點(diǎn)的地方存在差異之外，試驗(yàn)曲線和模型擬合曲線非常吻合。

圖6 試驗(yàn)和理論擬合遲滯環(huán)Fig．6 The measured and predicted hysteresis loops

表2 模型擬合遲滯環(huán)的擬合度指標(biāo)RMSE和RNLTab.2 The RMSE and RNLof the predicted hysteresis loops

5 結(jié) 論

針對(duì)環(huán)形鋼絲繩隔振器，提出了一種改進(jìn)的歸一化Bouc-Wen模型，并采用兩階段識(shí)別方法對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)研究。同時(shí)對(duì)模型進(jìn)行驗(yàn)證，得到主要結(jié)論如下：

（1）兩階段識(shí)別方法在參數(shù)識(shí)別過程中不涉及迭代算法，不存在初始參數(shù)選取的困擾和收斂性問題，提高了計(jì)算效率。

（2）為了模擬非對(duì)稱遲滯環(huán)，引入的兩個(gè)個(gè)多項(xiàng)式的階數(shù)選取不同，模型擬合度不同。基于試驗(yàn)數(shù)據(jù)合理選擇多項(xiàng)式的階數(shù)，可以得到比較理想的擬合效果。

（3）對(duì)提出的模型和采用的參數(shù)識(shí)別方法進(jìn)行周期性加載試驗(yàn)驗(yàn)證。結(jié)果表明：試驗(yàn)曲線和模型擬合曲線吻合的很好。該模型對(duì)于環(huán)形鋼絲繩隔振器垂向非對(duì)稱遲滯環(huán)的動(dòng)態(tài)特性的描述是準(zhǔn)確和有效的。為建立環(huán)形鋼絲繩隔振器動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)方法以及下一步研究環(huán)形繩圈彈性阻尼元件結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)其剛度和阻尼的影響奠定了基礎(chǔ)。

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Modeling and parametric identification for dynamic behavior of a circular wire-cable vibration isolator

WANG Hong-xia1，2，3，GONG Xian-sheng1，2，LIU Wei1，2，PAN Fei1，2
（1．State Key Laboratory of Mechanical Transmission，Chongqing University，Chongqing 400044，China；2．College of Mechanical Engineering，Chongqing University，Chongqing 400044，China；3．Hubei Automotive Industrial Institute，Shiyan 442002，China）

A circular wire-cable vibration isolator was designed by adopting independent wire rope loops as elastic damping elements．Owing to its unique structure，the isolator exhibited nonlinear elastic stiffness and dynamic behavior of asymmetric hysteresis in its tension compression mode．In the present study，a modified normalized Bouc-Wen model was proposed to describe the hysteretic behaviour of a circular wire-cable vibration isolator．A two-stage identification method was developed for identifying its modal parameters．Periodic loading tests were conducted to validate the proposed model and identification method．The results showed that the proposed model and identification method are effective for accurate description of asymmetric hysteretic dynamic behavior in the tension compression mode of circular wire-cable vibration isolator．The results laid a foundation for dynamic design method of circular wire-cable vibration isolators．

circular wire-cable vibration isolator；hysteresis；modified normalized Bouc-Wen model；identification

TU112

A

10．13465／j．cnki．jvs．2014．23．010

國(guó)家自然科學(xué)基金（51175525）；973資助項(xiàng)目（2014CB049403）；湖北汽車工業(yè)學(xué)院博士基金（BK201406）；重慶大學(xué)機(jī)械傳動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室自主研究基金（0301002109137）

2013－08－20 修改稿收到日期：2013－12－12

王紅霞女，博士生，講師，1977年12月生

龔憲生男，教授，博士生導(dǎo)師，1956年生