蔡劍華,胡惟文, 覃業(yè)貴, 陳卿冶

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MT信號處理中小波分析與Hilbert-Huang變換的比較

蔡劍華*1,胡惟文1, 覃業(yè)貴2, 陳卿冶1

(1. 湖南文理學院 物理與電子科學學院,湖南 常德, 415000; 2. 解放軍93062部隊, 吉林 吉林, 132102)

以實測大地電磁信號為分析對象, 對比研究了小波分析和Hilbert-Huang變換在大地電磁(magneto- telluric, MT)信號分解和時頻分析上面的特點. 給出了小波分析和Hilbert-Huang變換的數(shù)學原理, 分析了2種方法在MT信號分解中的分解方法及其物理意義, 討論了2種方法在MT信號時頻譜表征能力上的異同, 為大地電磁信號分析方法的選擇提供用了有價值的參考.

大地電磁信號; Hilbert-Huang變換; 小波分析; 分解; 時頻分析

非線性信號處理方法是分析、處理非平穩(wěn)大地電磁信號的有力工具[1], 其中小波分析和Hilbert- Huang變換在地球物理領域應用的較為廣泛, 他們都能將信號進行自適應的分解, 并得到時頻譜圖, 揭示信號的時變特征, 尤其在希望獲得頻率成分隨時間變化規(guī)律的地震信號處理和大地電磁法中應用較多[2—4]. 本文以實測大地電磁信號為分析對象, 對比研究小波分析和Hilbert-Huang變換在大地電磁信號分解和時頻分析上面的優(yōu)缺點, 試圖為大地電磁信號分析方法的選擇提供用有價值的參考.

1 小波變換

則()被稱為一個基本小波函數(shù), 將小波函數(shù)()進行伸縮和平移變換就可以得到一組小波[5].

在連續(xù)情況下, 小波為:

通過適當?shù)剡x擇尺度因子和平移因子, 可得到一個伸縮窗[6].

在離散情況下, 小波為:

與函數(shù)()相應的離散小波變換系數(shù)及其重構公式為:

式(7)中是一個與信號無關的常數(shù).

2 Hilbert-Huang變換

2.1 經驗模態(tài)分解

經驗模態(tài)分解(empirical mode decomposition, EMD)是依據(jù)信號本身的時間尺度特征, 將信號分解為一組模態(tài)函數(shù)(intrinsic mode function, IMF)[11], IMF滿足以下2個定義條件[7]: ①對于一列數(shù)據(jù)極值點和過零點數(shù)目必須相等或至多相差一點; ②在任意點, 由局部極大點和極小點構成的兩條包絡線的平均值為0. EMD分解方法如下[7]: ①找出信號()的所有極大點和極小點, 將其用三次樣條函數(shù)分別擬合為原數(shù)據(jù)序列的上、下包絡線, 上、下包絡線的均值為平均包絡線1, 將原數(shù)據(jù)序列減去1可得到一個去掉低頻的新數(shù)據(jù)序列1. 一般1不是一個平穩(wěn)數(shù)據(jù)序列, 為此重復以上過程次, 使所得到的平均包絡線趨于0, 此時的1n就是第1個IMF(1), 它表示信號數(shù)據(jù)中的最高頻成分; ②用()減去1得到一個去掉高頻成分的新數(shù)據(jù)序列, 重復步驟(1), 得到一系列c和最后一個序列r,r代表()的均值或趨勢項. 那么原序列()可表示為IMF分量和一個殘余項的和:

2.2 Hilbert變換與時頻譜

獲得IMF分量后, 就可以對每階IMF(設為())作Hilbert變換, 得到:

為柯西主值.()和()共同組合為一解析信號(), 采用極坐標形式表示:

其中:

根據(jù)瞬時頻率的定義:

對每一階IMF作Hilbert變換, 并求出相應解析函數(shù)的幅值譜和瞬時頻率, 從而原始信號可以表示為[8]:

可見, 信號的幅值能表示為時間、瞬時頻率的函數(shù)(,), 從而獲得信號幅值的時間和頻率分布即Hilbert譜.

3 MT信號的小波分解與時頻譜

圖1中EH-4儀器采用低頻工作模式, 采樣率為12 kHz. 由于數(shù)據(jù)量龐大, 此處僅取E分量的4 096個點進行分析. 小波變換在不同尺度下分解信號是多分辨率的, 小波變換的尺度因子使得小波變換具有“變焦距特性”, 被譽為數(shù)學上的顯微鏡, 小波變換中可改變尺度因子得到一個伸縮窗. 圖2(a)所示為利用sym5小波基對實測數(shù)據(jù)進行分解的小波分解圖. 圖中, a6及d1—d6是小波分解后得到的小波分量, 其中a6為第6層分解的近似系數(shù)、d1—d6為前6層分解的高頻系數(shù), 各層系數(shù)對應于從高頻到低頻的濾波過程.

圖1 原始的大地電磁信號

小波分解中小波基函數(shù)的選擇不是任意的, 也不是唯一的. 因此, 小波基的選擇是小波分析在實際應用中的一個重要問題. 如圖2(b)所示為相同的圖1所示信號采用db5小波基分解后的分解圖. 可見, 其分解系數(shù)與圖2(a)所示是不盡相同的, 尤其是高頻部分的信息. 同一個問題小波基不同, 其結果也不同, 甚至相差很大.

圖3所示為利用sym5小波基分析得到的大地電磁信號時頻譜圖. 從圖3中可清楚地看出大地電磁信號能量隨時頻的分布情況, 譜圖表現(xiàn)出良好的局部化特征, 較精確地描述了大地電磁信號的時頻分布. 但也可以清楚地看到在大地電磁信號小波譜中, 能量呈分散特征, 分別率也不高, 存在混疊的現(xiàn)象, 且除主成分外還存在的諧波成分, 其對應的頻率范圍也被展寬.

圖3 大地電磁信號的小波時頻圖

4 MT信號的EMD分解和時頻譜

EMD分解技術在時間域中表現(xiàn)為從小尺度到大尺度的層層濾波, 在頻率域中EMD分解過程表現(xiàn)為從高頻到低頻的層層分解, 無需選擇基函數(shù), 是完全自適應于被分解的信號的. 采用EMD方法對圖1所示的大地電磁信號進行分解, 圖4所示為大地電磁信號的EMD分解圖及其各階對應的功率譜. 從圖4中可知, 信號被自適應的分解為9層, 其中imf1為白噪聲, imf2—imf8為優(yōu)勢子頻帶, residual為趨勢項, 每一階IMF分量都有不同的振幅和頻率, 這為大地電磁信號的去噪等后續(xù)工作帶來了方便. 整個頻段內低頻成分的振幅較大, 這與進行數(shù)據(jù)采集時使用儀器的低頻模式采樣的事實相吻合, 也說明了分解的正確性.

按照式(12)計算得到信號的Hilbert能量譜如圖5所示. 從圖5中可以得出: 對比圖3中小波分析方法得到的時頻譜圖, 圖3中時頻譜表現(xiàn)的優(yōu)勢頻率與Hilbert能量譜中表征的優(yōu)勢頻率是一致的, 說明信號的能量主要集中在低頻部分, 這與信號的實際吻合得很好. 但圖5所示所示的Hilbert能量譜清晰而詳細地顯示了大地電磁信號能量隨時頻的具體分布. 與圖3相比可以得到: Hilbert譜具有更好的局部化能力和更好的時頻聚集性, 大地電磁數(shù)據(jù)的突變點、持續(xù)時段和頻帶能量分布均能夠清晰地顯現(xiàn); HHT方法對大地電磁數(shù)據(jù)的動態(tài)變化過程刻畫得比較清楚, 反應了每時段都有各自的頻率特性、能量差異, 小波時頻譜圖難以揭示出這些細微性變化.

圖5 大地電磁信號的Hilbert 時頻譜

5 結論

小波變換是一種被廣泛應用于大地電磁信號分析的方法, 它克服了短時傅里葉分析中窗口大小不隨頻率變化的缺點, 是一種比較理想的信號處理數(shù)學工具. 但小波譜的能量在頻率范圍內分布較寬, 并存在選擇小波基和確定分解層數(shù)的問題. HHT方法中其EMD分解是完全自適應于信號的, 具有多分辨分析和完全重構的特性; 且取消了窗函數(shù)的作用, 具有完全的局部時頻特性. Hilbert時頻譜可準確描述大地電磁信號的時變特征, 能更好地揭示電磁場信號的分布規(guī)律, 是一種更精確的MT信號分析方法.

[1] 王書明, 王家映. 大地電磁信號統(tǒng)計特征分析[J]. 地震學報, 2004, 26(6): 669—674.

[2] 嚴家斌, 劉貴忠, 柳建新. 小波變換在天然電磁場信號時間序列處理中的應用[J]. 地質與勘探, 2008, 44(3): 75—78.

[3] CAI Jianhua, TANG Jingtian, HUA Xirui. An analysis method for magnetotelluric data based on the Hilbert-Huang Transform [J]. Exploration Geophysics, 2009, 40: 197—205.

[4] 湯井田, 化希瑞, 曹哲民, 等. Hilbert-Huang變換與大地電磁噪聲壓制[J]. 地球物理學報, 2008, 51(2): 603—610.

[5] Donoho D L. De-noising by soft-thresholding [J]. IEEE Transaction on Information Theory, 1995, 41(3):613-627.

[6] Donoho D L, Johnstone I M. Adapting to unknown smoothness via wavelet shrinkage [J]. J American Statist Assoc, 1995, 90: 1200—1224.

[7] Huang N E, Shen Z, Long S R, et al. The empirical mode decomposition and the Hilbert spectrum for nonlinear and non-stationary time series analysis [J]. Proc R Soc Lond Ser A, 1998, 454: 93—95.

[8] Huang N E, Wu M L, Long S R, et al. A confidence limit for the empirical mode decomposition and Hilbert spectral analysis [J]. Proceeding of Royal Society London A, 2003, 459: 2317—2345.

Comparison of wavelet analysis and Hilbert-Huang transform in MT signal procession

CAI JianHua1,HU WeiWen1, QING YeGui2, CHEN QinYe1

(1. Department of Physics and Electronics, Hunan University of Arts and Science, Changde 415000, China; 2. Chinese People's Liberation Army 93062 Troops, Jilin 132102, China)

Measured magnetotelluric signal is taken as the analysis object, and comparative study of wavelet analysis and Hilbert-Huang transform is applied in magnetotelluric (MT) signal procession from signal decomposition to time-frequency analysis. The mathematical theory of Wavelet analysis and Hilbert-Huang transform are expressed. The decomposition method of two ways and their physical significance for MT signal are analyzed, and the similarities and differences to characterize the spectrum of MT signal are discussed between the two methods. These provide a valuable reference foe the choice of analysis method of magnetotelluric signal procession.

magnetotelluric signal; Hilbert-Huang transform; wavelet analysis; decomposition; time-frequency analysis

P 631

1672-6146(2014)02-0029-06

10.3969/j.issn.1672-6146.2014.02.007

通訊作者email: cjh1021cjh@163.com.

2014-05-04

國家自然科學基金項目(41304098), 湖南省自然科學基金項目(12JJ4034); 湖南省教育廳青年項目(13B076); 湖南文理學院重點學科建設項目資助-無線電物理; 湖南省重點實驗室“光電信息集成與光學制造技術”; “湖南省光電信息技術校企聯(lián)合人才培養(yǎng)基地”; 常德市科技局博士創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)項目(2013BS01); 常德市科技局項目(2011JC02).

(責任編校:劉剛毅)