謝迎春

(玉溪第二高級職業(yè)中學,云南 玉溪 653100)

廣義Vakhnenko方程的破扭波分支

謝迎春

(玉溪第二高級職業(yè)中學,云南 玉溪 653100)

廣義Vakhnenko方程;相圖;異宿軌線;破扭波

用動力系統(tǒng)平面分支方法,研究一個廣義Vakhnenko方程的破扭波分支.在β=3的條件下,獲得破扭波解的隱式表達式,作出破扭波解的平面圖,直觀的顯示了破扭波的平面結構.

此后方程(1)稱為廣義Vakhnen ko方程.

文獻[3]討論了β∈Z,β≠0,1時,方程(1)的行波結構,給出了一些精確行波解,其中,包括β=2時的破扭波解.文獻[4]在β=3的條件下,獲得了周期圈波和圈孤子解.本文用文獻[3～5]中的方法繼續(xù)研究方程(1),發(fā)現(xiàn)方程(1)存在破扭波結構.為此,筆者在β=3的條件下,推導出破扭波得隱式解,并用數(shù)學軟件Mathematica描繪出其破扭波的平面圖形.

1 相圖分支

作變換ξ=x-ct,u(x,t)=φ(ξ),其中常數(shù)c是波速.在此變換下,方程(1)可化為下列常微分方程

對方程(3)積分一次,得行波方程

φ=c是系統(tǒng)(5)的一條奇直線,因此系統(tǒng)(5)是一個不連續(xù)系統(tǒng).令

系統(tǒng)(5)變?yōu)檫B續(xù)系統(tǒng)

除了φ=c外,(5)和(7)有相同的拓撲結構.共同有首次積分

其中h是積分常數(shù).

在下面的討論中,取β=3,并設α≠0.

由平衡點理論知,系統(tǒng)(7)的平衡點有下列性質:

圖1 g＜-αc時,過鞍點的

2 破扭波

且φc＜φα時,φc是極大點,φα是極小點;當α＜0且φc＞φα時,φc是極大點,φα是極小點;當α＜0且φc＜φα時,φc是極小點,φα是極大點.

令

根據(jù)上面的推導,得下面的定理.

定理 β=3,α≠0,g＜-αc,h=-f0(φα)時,方程(1)有四個破扭波解.

①α＞0時,破扭波解分別是(15)和(16);

②α＜0時,破扭波解分別是(19)和(20).

例1 取α=1,g=-1,有φα=1,f0(1)=-9.再取c=-2,h=9,得φ1=-3.5.再取φ0=0,把相關數(shù)據(jù)分別代入(15)和(16)中,在ξ-u平面上可畫出兩個破扭波圖,見圖2(a)和(b).

圖2 β=3,α=1,g=-1,c=-2,h=-9,時,方程(1)的兩個破扭波圖

例2 取α=-1,g=-1,有φα=-1,f0(-1)=-9.再取c=2,h=9,得φ1=3.5.再取φ0=0,把相關數(shù)據(jù)分別代入(19)和(20)中,在ξ-u平面上可畫出兩個破扭波圖,見圖3(a)和(b).

圖3 β=3,α=-1,g=-1,c=2,h=9,時,方程(1)的兩個破扭波圖

3 結束語

本文研究了廣義Vakhnenko方程,發(fā)現(xiàn)此方程在某些特定的參數(shù)條件下,存在破扭波解.取定β=3,計算出了破扭波的隱函數(shù)表示式,并通過破扭波的隱式解,用數(shù)學軟件Mathematica畫出了破扭波的平面圖形,見圖2和圖3.通過平面圖,我們能清晰地了解到破扭波的結構.

[1]Matsuno Y.Cusp and loop soliton solutions of short-wave models for the Camassa-Holm and Degasperis-Procesi equations[J].Phys.Lett.A,2006(359):451-7.

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[4]Xie S,Li A.The Periodic Loop-wave Solution and Loop Soliton Solution of the Generalized Vakhnenko Equation [J].Mathematical Computation September,2013,2(3):68-72.

[5]謝迎春.Fornberg-Whitham方程的周期圈波解[J].玉溪師范學院學報,2009,25(12):22-25.

The Bifurcations of Breaking Kink Wave for Generalized Vakhnenko Equation

XIE Yingchun
(No.2 Vocational Senior High School,Yuxi,Yunnan 653100,China)

generalized Vakhnenko equation;phase portrait;Heteroclinic orbit;Breaking kink wave

The bifurcations of breaking kink wave for generalized Vakhnenko equation are investigated by using the dynamical system theory.Underβ=3,the implicit expressions of breaking kink wave are given.The planar graphs of breaking kink waves are simulated by using software Mathematica,the plane structures of breaking kink wave are clearly showed.

O175.24

A

1009-9506(2014)08-0018-05

2014年3月6日

謝迎春,高級教師,研究方向:微分方程、中學數(shù)學教學.