班桂寧 陳倩 趙麗萍 許永峰

(廣西大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,廣西 南寧 530004)

基于p6階第三十五家族群的一類(lèi)新LA-群①

班桂寧 陳倩 趙麗萍 許永峰

(廣西大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,廣西 南寧 530004)

有限p-群;擴(kuò)張;階;LA-猜想

利用群的擴(kuò)張理論對(duì)p6階群Φ35(16)進(jìn)行了推廣,得到了一類(lèi)新的p-群,給出了它們的一些性質(zhì),并驗(yàn)證了它們都是LA-群.

對(duì)于有限p-群的自同構(gòu)群,有一個(gè)十分著名的LA-猜想,即:階大于p2的有限非循環(huán)p-群的階是其自同構(gòu)群的階的因子.而半個(gè)多世紀(jì)以來(lái),國(guó)內(nèi)外許多群論專(zhuān)家以及學(xué)者在LA-猜想問(wèn)題的研究上作了很大的貢獻(xiàn),有了許多有意義的結(jié)果[1～7].對(duì)于階小于等于p6(p為奇素?cái)?shù))的有限p-群的同構(gòu)分類(lèi)已經(jīng)由Rodney James在文獻(xiàn)[8]中給出.E.A.O'Brien和M.R.Vaughan-Lee也完成了p7階群的同構(gòu)分類(lèi).關(guān)于LA-猜想,俞曙霞、班桂寧等得到了許多有價(jià)值的結(jié)果.而研究一個(gè)群通常是從它的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)著手的.本文在前人LA-猜想研究的基礎(chǔ)上[8～15],基于Rodney James文獻(xiàn)[7],對(duì)p6階群Φ35家族的Φ35(16)進(jìn)行了推廣,得到了有限p-群的一個(gè)重要類(lèi),然后用Schreier群擴(kuò)張理論和自由群理論驗(yàn)證了所構(gòu)造出的群的存在性,并給出了所得群的一些性質(zhì),最后利用群的中心內(nèi)自同構(gòu)的特性證明了所得到的群為L(zhǎng)A-群.本文中,群G均為有限p-群,p為奇素?cái)?shù)且p≥3,所有的參數(shù)均非負(fù),符號(hào)Φ35等可參考文獻(xiàn)[7],其他符號(hào)若無(wú)特殊說(shuō)明均是標(biāo)準(zhǔn)的,具體可參考文獻(xiàn)[16].

1 相關(guān)引理

引理1.1[3](Van Dyek) 設(shè)G是由生成元x1,x2,…,xr和關(guān)系fi(x1,x2,…,xr)=1,i∈I所定義的群,H=〈a1,a2,…,ar〉(這些ai可能相同),?i∈I,fi(a1,a2,…,ar)=1,則存在唯一的滿(mǎn)同態(tài)σ:G= Fr/N→H使得xiN→ai,其中Fr=〈x1,…,xr〉為自由群,Y=〈{fi(x1,x2,…,xr)|i∈I}〉,N=YFr(Y在Fr中的正規(guī)閉包),G=Fr/N.如果|G|≤|H|＜+∞,則上述的σ為群同構(gòu)(即H是由生成元(a1,a2,…,ar)與定義關(guān)系fi(a1,a2,…,ar)=1,?i∈I所定義的群).

引理1.2[16]設(shè)G是群,a,b,c∈G,則

(1)[a,b]-1=[b,a];(2)[ab,c]=[a,c]b[b,c];(3)[a,bc]=[a,c][a,b]c.

引理1.3[16]設(shè)G是有限p-群,若c(G)＜p,則G正則.

引理1.4[16]設(shè)G是有限群,則G的全體中心內(nèi)自同構(gòu)組成Aut(G)的子群,并且它和Z(G/Z(G))是同構(gòu)的.

引理1.5[16]設(shè)G是群,a,b∈G且[a,b]∈Z(G),又設(shè)n是正整數(shù).則有(n)

2 主要結(jié)果

(1)t3-t4≥t1≥t4-t5時(shí),a=t+5t1-2t2+t4,故|R|=|G|·p4t1-3t2+t3+t4＞|G|,故群G為L(zhǎng)A-群.

(2)t4-t5≥t1≥t1-t2時(shí),a=t+6t1-2t2+t5,故|R|=|G|·p5t1-3t2+t3+t5＞|G|,故群G為L(zhǎng)A-群.

(ⅳ)t2-t3≥t3-t4≥t4-t5≥t5≥t1-t2時(shí),此時(shí)Z(G)的不變型為t-t2≥t2-t3≥t3-t4≥t4-t5≥t5≥t1-t2,

(1)t4-t5≥t1≥t5時(shí),a=t+6t1-2t2+t5,故|R|=|G|·p5t1-3t2+t3+t5＞|G|,故群G為L(zhǎng)A-群.

故在情形1下群G為L(zhǎng)A-群;對(duì)于情形2可以做類(lèi)似的推理證明.

至此,我們已經(jīng)證明了18種情況下的群滿(mǎn)足LA-猜想和LA(2)-猜想,根據(jù)引理1.2,這些LA-群是新的,也就是我們獲得了新的LA-群.除了可能重復(fù)的情況,對(duì)于中心Z(G)的分裂有多種方法,我們猜想用同樣的方法能證明他們滿(mǎn)足LA-猜想,我們將在另外的文章中作細(xì)致討論.

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[7]俞曙霞,班桂寧.具有循環(huán)中心和小中心商的有限p-群[J].廣西大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,1993,18(3):15-23.

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New LA-groups based on the order of p6of the thirty-fifth family group

BAN Guining CHEN Qian ZHAO Liping XU Yongfeng
(School of Mathematics and Information Sciences,Guangxi University,Nanning Guangxi,530004,China)

finite p-group;extension;order;LA-groups

After the order of p6ofΦ35(16)group is generalized by using the extension theory of group,a kind of new finite p-groups is obtained.And some properties of the new groups are given,which proves that the groups all belong to LA-groups.

O152.1

A

1009-9506(2014)08-0007-06

2014年6月8日

班桂寧,教授,博士,研究方向:有限群論與控制論.

國(guó)家自然科學(xué)基金,編號(hào):61074185;廣西自然科學(xué)基金,編號(hào):0832054.