徐金春

度量角的大小是小學(xué)階段學(xué)生必須掌握的一種基本的操作技能。在日常教學(xué)中，學(xué)生需要掌握的基本操作技能教學(xué)往往都是通過(guò)教師講解、演示、示范操作的基本程序和步驟，再由學(xué)生模仿操作并進(jìn)行強(qiáng)化練習(xí)。這樣的技能教學(xué)過(guò)程容易降低學(xué)生的思維水平，因?yàn)樵诓僮髦腥鄙偎伎寂c探究，更缺少猜想與創(chuàng)造。如何讓數(shù)學(xué)技能的教學(xué)更厚重些，而不是理解為學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)單的模仿與訓(xùn)練，我從以下三個(gè)方面結(jié)合自己日常教學(xué)中的所見(jiàn)所思略作探索。

一、量角，從學(xué)生需求處開(kāi)始

為什么要度量角的大??？在實(shí)際生活中學(xué)生能夠感受到“角的大小”的作用嗎？這些對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)都是很難想到的。同時(shí)，在我們平時(shí)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，看到的也更多是教師在引導(dǎo)學(xué)生思考“為何要學(xué)這個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)？這個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)有什么用”等這樣的問(wèn)題，而教師自己在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)卻往往忽略了這樣的深入考慮。因此，在我們自己平時(shí)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，特別是針對(duì)一些技能，教師要帶著問(wèn)題、帶著思考進(jìn)行教學(xué)，這樣就能避免學(xué)生簡(jiǎn)單地模仿與記憶。

以“角的度量”的學(xué)習(xí)為例。在學(xué)習(xí)之前，學(xué)生并沒(méi)有進(jìn)行“角的大小”比較的直觀經(jīng)驗(yàn)，也沒(méi)有量角的實(shí)際需求（但這種需求能夠激發(fā)）。因?yàn)椤敖恰笔翘N(yùn)含在客觀物體里的，需要抽象才能得到數(shù)學(xué)上的“角”（頂點(diǎn)、過(guò)頂點(diǎn)的兩條直直的邊、平面圖形等）。因此，在客觀物體里學(xué)生很少能直接看到數(shù)學(xué)上的“角”，在靜態(tài)中很難意識(shí)到“角的大小”的作用。所以，在教學(xué)前思考為什么要學(xué)習(xí)“角的度量”呢？怎樣的設(shè)計(jì)才能使技能教學(xué)避免學(xué)生簡(jiǎn)單地模仿與記憶呢？

曾經(jīng)看過(guò)著名特級(jí)教師華應(yīng)龍老師的《角的度量》一課的導(dǎo)入環(huán)節(jié)，華老師利用“三個(gè)不同傾斜度的滑梯”這樣一個(gè)簡(jiǎn)單而有效的情境，引發(fā)了學(xué)生對(duì)量角的需求。這樣的情境既符合學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，又能體現(xiàn)出“角的大小”的作用，使學(xué)生強(qiáng)烈地感受到“角的大小”是影響下滑速度的重要因素。雖然學(xué)生有這方面的生活經(jīng)驗(yàn)，但現(xiàn)實(shí)中的滑梯幾乎都是標(biāo)準(zhǔn)的、安全的，學(xué)生沒(méi)有思維上的對(duì)比和沖突，就不會(huì)有意識(shí)地思考下滑速度與“角”的大小之間存在本質(zhì)聯(lián)系。在課堂教學(xué)中，教師通過(guò)自行設(shè)計(jì)“三個(gè)變化的滑梯”激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，滿足了教師教的需要。同時(shí)，這三個(gè)滑梯也滲透著重要的函數(shù)思想：當(dāng)滑梯角度變大時(shí)，下滑的速度越來(lái)越大，即一個(gè)變量隨著另一個(gè)變量的變化而變化。學(xué)生在變化中感受“角的大小”的作用。

另外，量角的過(guò)程是學(xué)生更深刻地理解“角”概念的過(guò)程。雖然在此之前學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)了“角”，但并不精細(xì)和深刻。例如，學(xué)生僅會(huì)簡(jiǎn)單地判斷什么樣的圖形是“角”，知道“角”各部分的名稱(chēng)。至于如何抽象出“角”、“角的大小”的作用以及“角的大小”是否取決于角兩邊的長(zhǎng)短等問(wèn)題，學(xué)生的理解并不深刻，而這些都是“角”概念的重要內(nèi)容。所以技能教學(xué)的背后是對(duì)概念的深刻理解。

讓學(xué)生學(xué)有價(jià)值的數(shù)學(xué)，華老師對(duì)“量角”的技能教學(xué)就是促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念、思想方法的深入理解并感受其價(jià)值的教學(xué)。

二、量角，往學(xué)生難點(diǎn)處深入

現(xiàn)在很多教師在教學(xué)《角的度量》一課時(shí)，都會(huì)在課堂上花費(fèi)很長(zhǎng)時(shí)間讓學(xué)生在自制“紙制量角器”上“畫(huà)角”。但本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是“量角的大小”，為什么要不厭其煩地讓學(xué)生“畫(huà)角”呢？這是由“角的度量”的本質(zhì)所決定的。

“角的度量”的本質(zhì)就是所要測(cè)量的“角”與“標(biāo)準(zhǔn)的角”（已經(jīng)知道大小的“角”）能夠完全重合。唯有如此，我們才能知道要測(cè)量的角的大小。學(xué)生理解“角的度量”的本質(zhì)有兩方面的難點(diǎn)：一方面，學(xué)生看不到量角器上的“角”，這與學(xué)生對(duì)角的概念的理解比較膚淺有關(guān)。另一方面，即使看到了量角器上的“角”，也不知道怎樣才能使量角器上的“角”與所測(cè)量的“角”重合。量角器上“角”的頂點(diǎn)在中心，兩條邊都可以作為角的“始邊”，要度量的角與哪條始邊重合呢？這需要學(xué)生根據(jù)所要測(cè)量的角的特征決定。另外，所要測(cè)量的角的兩條邊的長(zhǎng)度不確定，不能恰好和量角器上的刻度線重合，也會(huì)給學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來(lái)困難。

真正把握了教學(xué)的難點(diǎn)，教師就可以在“該出手時(shí)出手”，設(shè)計(jì)有針對(duì)性有深度的活動(dòng)（如多次畫(huà)不同角度的“角”）進(jìn)行適時(shí)點(diǎn)撥與引導(dǎo)，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到量角的本質(zhì)。

三、量角，在學(xué)生思辨處創(chuàng)新

在角的度量中兩個(gè)角的重合與長(zhǎng)度度量中兩條線段的重合從本質(zhì)上說(shuō)是一致的，但學(xué)生在理解這兩種不同量的度量時(shí)，其難度是不一樣的。因?yàn)檎J(rèn)識(shí)一維空間比較容易，量長(zhǎng)度沒(méi)有困難，但量角度時(shí)就產(chǎn)生了很大困難，主要體現(xiàn)為度量要“從頭開(kāi)始”的思維定勢(shì)。試想，在以往的度量的學(xué)習(xí)中，哪一類(lèi)度量不是從頭開(kāi)始的？度量長(zhǎng)度是這樣，度量質(zhì)量也是這樣（但面積的度量不是這樣，而是通過(guò)公式計(jì)算得到）。凡是度量的量不是從頭開(kāi)始，學(xué)生學(xué)起來(lái)就有困難。如“認(rèn)識(shí)鐘表”，鐘面是一個(gè)封閉的結(jié)構(gòu)，沒(méi)有頭和尾，把哪兒作為認(rèn)識(shí)的起點(diǎn)呢？因此要先認(rèn)識(shí)“整時(shí)”與“半時(shí)”，然后再認(rèn)識(shí)其他時(shí)間。所以就有了很多教師在教學(xué)“角的度量”時(shí)，都會(huì)遇到很多學(xué)生是按照右上圖方法量角的。顯然，這不是巧合。

學(xué)生按照上述方法量角是很自然的。值得注意的是，這種辦法也有其合理性：這樣“量角”只要把所讀出的度數(shù)除以2就得到所測(cè)量角的度數(shù)。

給學(xué)生這樣的思維創(chuàng)造的空間，發(fā)明新的方法，在使用自己獨(dú)創(chuàng)方法的過(guò)程中，通過(guò)案例分析比較兩種方法的優(yōu)劣性，從而感受到自己方法的局限性。例如，只能測(cè)量銳角；當(dāng)所測(cè)量的角接近直角時(shí)，會(huì)帶來(lái)比較大的誤差等。

另外，假如學(xué)生就用這樣的方法量角，為了避免上述局限，是否可以重新設(shè)計(jì)量角器呢？量角器畢竟只是一個(gè)工具，而工具是人創(chuàng)造的，只要合理、無(wú)矛盾并能夠解決實(shí)際問(wèn)題，創(chuàng)造什么樣的工具皆可由人來(lái)決定。事實(shí)上，無(wú)論怎樣設(shè)計(jì)量角器，其本質(zhì)和現(xiàn)行的量角器是一樣的，即將半圓平均分為180份，每份是1度。這是因?yàn)槲覀兡芨兄目臻g是歐幾里得空間。這樣的活動(dòng)也可以再一次讓學(xué)生感受到什么是數(shù)學(xué)：數(shù)學(xué)是創(chuàng)造但絕對(duì)不是隨心所欲、胡編亂造，要符合邏輯。

給學(xué)生寬廣的視野和進(jìn)一步思考的空間，讓學(xué)生感受、體驗(yàn)到在數(shù)學(xué)技能學(xué)習(xí)中所蘊(yùn)含的思想與方法，不僅是生活所需，更是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)及其他學(xué)科的重要基礎(chǔ)。endprint