程 鋮，石曉軍，張順明

（1.北京航空航天大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，北京100191；2.中國(guó)人民大學(xué)財(cái)政金融學(xué)院，北京100872）

基于Esscher變換的巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)定價(jià)與數(shù)值模擬

程 鋮1，石曉軍2，張順明2

（1.北京航空航天大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，北京100191；2.中國(guó)人民大學(xué)財(cái)政金融學(xué)院，北京100872）

巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)是最重要的巨災(zāi)衍生工具之一，在我國(guó)有很好的發(fā)展前景。但巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)在我國(guó)推廣的一個(gè)主要技術(shù)障礙是，在信息較少的情況下，如何對(duì)巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)進(jìn)行快速的定價(jià)。本文提出了一種基于Esscher變換的巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)定價(jià)的解析表達(dá)公式，區(qū)別于以往文獻(xiàn)采用亞式期權(quán)或隨機(jī)時(shí)間變化的方法。這個(gè)方法的優(yōu)勢(shì)在于能夠反映巨災(zāi)指數(shù)的跳躍性、兩部性（損失期和延展期）、上界性特點(diǎn)。同時(shí)，Esscher變換的無套利等價(jià)性也賦予該方法堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)，有較好的延展性，可以使用多種分布過程。首先，具體給出漂移泊松、漂移伽馬和維納過程條件下的巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)定價(jià)公式。通過數(shù)值模擬分析結(jié)果與Black-Scholes公式結(jié)果及巨災(zāi)指數(shù)歷史數(shù)據(jù)的對(duì)比，認(rèn)為基于漂移伽馬過程的定價(jià)結(jié)果能更好地反映巨災(zāi)指數(shù)的特點(diǎn)。最終，指出了巨災(zāi)指數(shù)的開發(fā)和本文提出的方法在中國(guó)具有很好的應(yīng)用前景。

巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)；Esscher變換；漂移伽馬過程

1 引言

在我國(guó)，2008年汶川地震共計(jì)87150人死亡和失蹤，直接經(jīng)濟(jì)損失達(dá)到8451億元人民幣，直至2009年5月12日保監(jiān)會(huì)宣布這次地震的保險(xiǎn)理賠基本完成，合計(jì)理賠16.6億元［1］。損失和理賠的巨大差異揭示了我國(guó)巨災(zāi)保險(xiǎn)的空白，而究其原因是再保險(xiǎn)無法滿足巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)分散的要求。面對(duì)同樣的問題，巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)等衍生工具在國(guó)外已經(jīng)成為了重要的巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)管理工具。但在我國(guó)推行巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)的一個(gè)技術(shù)性的障礙是如何在信息比較少的條件下，對(duì)巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)進(jìn)行快速有效的估價(jià)。文獻(xiàn)中已有的巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)定價(jià)方法對(duì)參數(shù)和計(jì)算的要求都比較高，這些方法在目前狀況下不利于巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)在我國(guó)的推行。

本文的目的是提出一種新的快速且有堅(jiān)實(shí)理論基礎(chǔ)的巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)定價(jià)方法——基于保險(xiǎn)精算中Esscher變換的方法，給出以巨災(zāi)指數(shù)為標(biāo)的的巨災(zāi)期權(quán)定價(jià)的一種解析解。還運(yùn)用了多種能夠體現(xiàn)巨災(zāi)特點(diǎn)的分布過程對(duì)巨災(zāi)期權(quán)分別進(jìn)行定價(jià)。結(jié)合PCS巨災(zāi)損失指數(shù)的歷史數(shù)據(jù)對(duì)多種分布情況下的定價(jià)結(jié)果進(jìn)行了數(shù)值模擬比較，認(rèn)為基于伽馬分布純跳過程的定價(jià)結(jié)果是比較理想的巨災(zāi)期權(quán)定價(jià)公式。

關(guān)于巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)的定價(jià)已經(jīng)有相當(dāng)多的相關(guān)研究。第一類方法是將巨災(zāi)期權(quán)看成亞式期權(quán)［2］。這種方法早期研究的主要缺點(diǎn)是沒有考慮指數(shù)隨機(jī)跳躍，Cummins和German［3］加入了跳躍，但他們只考慮了損失期中的跳躍，而忽略了延展期中指數(shù)跳躍的可能。這類文獻(xiàn)最新的進(jìn)展是Chang，Chang和Lu［4］提出了基于亞式期權(quán)的兩步二叉樹方法，但是這種方法也未能完整考慮巨災(zāi)損失指數(shù)的在不同期間的跳躍性。第二類方法是隨機(jī)時(shí)間變換方法。Geman和Yor［5］建立了一個(gè)隨機(jī)時(shí)間變化定價(jià)模型，該模型雖然考慮了指數(shù)跳躍等因素，但最終也只給出了一個(gè)準(zhǔn)解析解。Chang等［6］給出的方法必須基于標(biāo)的資產(chǎn)期貨的交易時(shí)間，適用范圍有限。Biagini，Bregman和Meyer-Brandis［7］假設(shè)巨災(zāi)指數(shù)在損失期服從復(fù)合泊松過程，而在延展期服從Lévy過程。Wu Yangche等［8］采用了雙隨機(jī)泊松過程，只是在他們的模型中，強(qiáng)度系數(shù)服從均值回復(fù)過程。第三類方法是采用保險(xiǎn)精算的方法。Aase［9］以指數(shù)效用最大化的方法給巨災(zāi)期貨及其衍生品定價(jià)，并采用了含有隨機(jī)跳躍規(guī)模的復(fù)合泊松過程描述動(dòng)態(tài)的指數(shù)標(biāo)的資產(chǎn)。Aase［10］又提出了標(biāo)的資產(chǎn)在離散狀態(tài)空間下服從連續(xù)時(shí)間馬爾科夫過程，同時(shí)含有任意時(shí)間點(diǎn)發(fā)生的任意損失規(guī)模的跳躍的定價(jià)理論，這兩種方法的缺陷是都規(guī)定了保險(xiǎn)市場(chǎng)中所有參與者具有相同的效用函數(shù)、風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度恒定。Young和Zariphopoulou［11-12］、Hobson和Henderson［13］、Lim等［14］和Elliott和Siu［15］采用效用理論無差價(jià)定價(jià)方法。Chen等［16］提出了一種新的效用函數(shù)，SAHARA效用函數(shù)。但是，最近的文獻(xiàn)Ikefuji［17］指出效用最大化方法在求解巨災(zāi)期權(quán)價(jià)格的時(shí)候是十分脆弱的。國(guó)內(nèi)研究中，尚勤等［18］用泊松跳躍過程刻畫死亡率，利用王變換對(duì)巨災(zāi)死亡率債券進(jìn)行定價(jià)。丁波、巴曙松［19］構(gòu)建了中國(guó)地震巨災(zāi)期權(quán)定價(jià)模型用有效矩估計(jì)法對(duì)期權(quán)收益率進(jìn)行了估計(jì)。

上述文獻(xiàn)中，類似亞式期權(quán)方法未能很好地處理巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)的“兩部性”；時(shí)變方法在處理跳躍性、兩部性方法有很大進(jìn)步，但是常常難以得到解析解；基于效用的方法將個(gè)人的行為引入，但是，對(duì)個(gè)體面對(duì)巨災(zāi)的效用函數(shù)形式是什么還有很大的爭(zhēng)論，因而被認(rèn)為是比較脆弱的方法。事實(shí)上，就本文研究的PCS巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)還有另外一個(gè)重要特征——雙重上限性——需要考慮。而這個(gè)特性在上述文獻(xiàn)中沒有得到體現(xiàn)。

本文另辟蹊徑，提出基于Esscher變換的技術(shù)手段對(duì)巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)定價(jià)。該方法能處理巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)的三個(gè)關(guān)鍵特征：跳躍性、兩部合約期（損失期和延展期）、雙重上限性（低上限、高上限）。我們的方法的優(yōu)勢(shì)是假設(shè)少且可得到解析解，便于實(shí)際中的快速使用；具有很好的延展性，能夠運(yùn)用多種過程模擬的損失指數(shù)。而在理論上，Esscher變換方法隱含著無風(fēng)險(xiǎn)套利的假設(shè)。Buhlmann［20］首先提出了使用Esscher變換來確定等價(jià)鞅測(cè)度的方法，由于Esscher變換具有唯一對(duì)應(yīng)性，所以使用這個(gè)方法可以得到一個(gè)唯一的等價(jià)鞅測(cè)度。Esscher變換的這個(gè)基礎(chǔ)保證了我們的方法有著堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。在這個(gè)方面，Mürmann［21-23］與我們相似。但是Mürmann的文中假設(shè)指數(shù)服從帶有跳躍的復(fù)合泊松分布，而忽略了損失期與延展期的區(qū)別，使之不能回答巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)在延展期的定價(jià)問題。

2 模型

（1）巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)的主要特點(diǎn)

一個(gè)有效的巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)定價(jià)要能體現(xiàn)出這類期權(quán)的主要特征。下面，以著名的PCS（Property Claim Services）巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)為例描述主要特征。根據(jù)PCS公司定義，巨災(zāi)是指當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)事故發(fā)生時(shí)，導(dǎo)致承保財(cái)產(chǎn)的損失超過2500萬美元以上的災(zāi)害。PCS巨災(zāi)損失指數(shù)是由損失額除以一億美元獲得，PCS巨災(zāi)期權(quán)是以該指數(shù)為標(biāo)的資產(chǎn)的歐式期權(quán)，Cante［24］，Davis［25］，F(xiàn)root［26］和Hoyt［27］中有詳細(xì)介紹。與普通歐式期權(quán)相比，它的第一個(gè)特點(diǎn)在于PCS巨災(zāi)損失指數(shù)具有跳躍性和不連續(xù)性，與B-S公式中的布朗運(yùn)動(dòng)假設(shè)不同。假設(shè)t時(shí)刻的巨災(zāi)損失指數(shù)為L(zhǎng)（t），令X（t）為指數(shù)的增長(zhǎng)率，即L（t）=L（0）eX（t），其中t≥0。

其次，根據(jù)交易規(guī)則PCS巨災(zāi)期權(quán)的整個(gè)合約期間被分為損失期和延展期兩部分，損失期分為3個(gè)月或12個(gè)月，延展期分為6個(gè)月或12個(gè)月，在不同期間內(nèi)損失指數(shù)的變化應(yīng)遵循不同的過程。不妨假設(shè)［0，T1］為損失期，［T1，T2］為延展期，A（t）與B（t）是兩個(gè)相互獨(dú)立的平穩(wěn)獨(dú)立增量過程，分別描述了在損失期和延展期的損失指數(shù)的增長(zhǎng)。若定價(jià)時(shí)刻在損失期內(nèi)，則令X（t）=A（t），且有X（0）=A（0）=0；若定價(jià)時(shí)刻在延展期內(nèi)，則X（t）為兩個(gè)獨(dú)立增量過程之和，即X（t）=A（T1）+B（t-T1）。因此，合約到期時(shí)指數(shù)的增長(zhǎng)率可以表示為：

請(qǐng)注意，當(dāng)t∈［0，T1］時(shí)，從t到到期時(shí)刻T2跨越了損失期和延展期，因而到期時(shí)損失指數(shù)的增長(zhǎng)率是A（T1-t）+B（T2-T1）；而t∈［T1，T2］時(shí)，從t到到期時(shí)刻T2都處于延展期，故到期損失指數(shù)的增長(zhǎng)率是B（T2-t）。

根據(jù)（1）利用連續(xù)復(fù)合增長(zhǎng)率的公式，容易得到到期時(shí)的標(biāo)的巨災(zāi)損失指數(shù)為：

最后，PCS巨災(zāi)期權(quán)還有上限期權(quán)的特點(diǎn)，它的上限有兩種，低上限（small cap）是損失指數(shù)不超過195點(diǎn)，高上限（large cap）則是指損失指數(shù)在200至495之間。保險(xiǎn)人可以根據(jù)以往巨災(zāi)損失的情況，選擇一檔上限。我們?cè)O(shè)上限H=200或500。則執(zhí)行價(jià)格為K的PCS巨災(zāi)期權(quán)的看漲期權(quán)到期收益為：

這個(gè)式子體現(xiàn)的經(jīng)濟(jì)含義是，為了控制巨災(zāi)期權(quán)合約的違約風(fēng)險(xiǎn)，將最大交割的價(jià)格限定為H，當(dāng)損失指數(shù)L（T2）超過H，只需要支付H-K。

（2）基于Esscher變換的巨災(zāi)期權(quán)定價(jià)的一般形式

Buhlmann［20］已證明可以得到用Esscher變換表示的唯一等價(jià)鞅測(cè)度。關(guān)于Esscher變換的基本內(nèi)容在Beard［28］，Beekman［29］，Breiman［30］，F(xiàn)eller［31］，Huebner［32］，Jensen［33］和Seal［34］中有詳細(xì)的敘述。根據(jù)金融經(jīng)濟(jì)學(xué)基本定理，金融資產(chǎn)的價(jià)格可以表示為等價(jià)鞅測(cè)度下以無風(fēng)險(xiǎn)利率折現(xiàn)的未來收益。在本文中有：L（t）=E*t［e-r（T2-t）L（T2）］，這里“*”表示經(jīng)過Esscher變換后獲得的風(fēng)險(xiǎn)中性等價(jià)鞅測(cè)度，其中r為無風(fēng)險(xiǎn)利率。也就是，在Esscher變換后的修正概率測(cè)度下，標(biāo)的損失指數(shù)可以表示為合約期末指數(shù)的期望用無風(fēng)險(xiǎn)利率直接折現(xiàn)。因而對(duì)于巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)，在t時(shí)刻的巨災(zāi)指數(shù)可以表示為：

經(jīng)過化簡(jiǎn)，式（4）可以表示為：

這里我們假設(shè)MA［z，T1-t；h*1］表示經(jīng)過Esscher變換的參數(shù)為h*1，隨機(jī)過程A（T1-t）的矩母函數(shù)；相應(yīng)的MB［z，T2-T1；h*1］為經(jīng)過Esscher變換的參數(shù)為h*1，隨機(jī)過程B（T2-T1）的矩母函數(shù)，而MB［z，T2-t；h*2］為經(jīng)過Esscher變換的參數(shù)為h*2，隨機(jī)過程B（T2-t）的矩母函數(shù)。由于A（T1-t）與B（T2-T1）是相互獨(dú)立的，當(dāng)z=1時(shí)，所以式（5）可以改寫為：

由于定價(jià)時(shí)既可以是合約的損失期也可以是延展期，因而我們對(duì)于兩種情況分別討論：

（1）若定價(jià)處于合約的損失期時(shí)，即t∈［0，T1］。我們假設(shè)T1-t=u，這里的u∈［0，T1］。根據(jù)習(xí)慣，F(xiàn)（x）和f（x）分別表示概率分布和概率密度函數(shù)，令F（x，t；h）與f（x，t；h）分別表示某一隨機(jī)過程在參數(shù)為h的Esscher變換下的累積概率分布函數(shù)和概率密度函數(shù)。另外，為簡(jiǎn)潔起見，記ln［H/L（t）］=m，ln［K/L（t）］=n。

因?yàn)槠跈?quán)價(jià)格等于到期收益的期望通過無風(fēng)險(xiǎn)利率r折現(xiàn)，所以用C（t）表示t時(shí)刻的巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)價(jià)格為C（t）=e-r（T2-t）E*t［VC（T2）］。根據(jù)式（5）與式（6）可以得到以下結(jié)果：

記損失指數(shù)的聯(lián)合分布為FX=FAFB，上式可以簡(jiǎn)寫為：

對(duì)本式經(jīng)濟(jì)含義的理解，在后面進(jìn)行簡(jiǎn)單變形后（見10式）加以解釋。

（2）若定價(jià)處于合約的延展期，即t∈［T1，T2］。我們假設(shè)T2-t=v，其中v∈［0，T2-T1］。同理可以證明此時(shí)的期權(quán)價(jià)格為C（t）=

綜上所述，巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)的看漲期權(quán)定價(jià)公式

可以表示為：

同時(shí)，式（9）還可以改寫為：

下面來理解（10）式的經(jīng)濟(jì)含義。我們以t∈［0，T1］為例加以說明。首先，我們要理解的是，上面的結(jié)果是在一個(gè)新的概率測(cè)度下的結(jié)果。FX（m，T2-t；h*1+1）-FX（n，T2-t；h*1+1）本質(zhì)上表示在新的概率測(cè)度（即以參數(shù)為h*1+1的Esscher變換）下，巨災(zāi)損失指數(shù)超過執(zhí)行價(jià)格K同時(shí)小于上限額H的概率（要注意到ln［H/L（t）］=m，ln［K/L（t）］=n）。FX（m，T2-t；h*1）-FX（n，T2-t；h*1）是在參數(shù)為h*1的Esscher變換下，巨災(zāi)損失指數(shù)超過執(zhí)行價(jià)格K同時(shí)小于上限額H的概率。而為了防止出現(xiàn)違約而設(shè)定的上限決定了巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)的到期收益只包括限額與執(zhí)行價(jià)格之間的部分，因?yàn)槌^限額的部分以限額計(jì)算。這樣，就有公式的第三項(xiàng)e-r（T2-t）（H-K）［1-FX（m，T2-t；h*1）］，即超過限額時(shí)獲得的收益固定為H-K，相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)中性概率為1-FX（m，T2-t；h*1）。綜合以上分析，上述公式表明，巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)在t時(shí)刻的價(jià)格由兩部分組成：第一，巨災(zāi)指數(shù)乘以其超過執(zhí)行價(jià)格K且同時(shí)小于限額H 的風(fēng)險(xiǎn)中性概率，減去執(zhí)行價(jià)格乘以指數(shù)到期時(shí)超過執(zhí)行價(jià)格K小于限額H 的風(fēng)險(xiǎn)中性概率的現(xiàn)值；第二，巨災(zāi)指數(shù)超過限額H時(shí)的概率乘以限額與執(zhí)行價(jià)格K之差的現(xiàn)值。

3 具體分布下的定價(jià)模型

在（10）式的巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)的一般定價(jià)公式中，參數(shù)h*還沒有具體確定。根據(jù)不同的概率分布可以確定各自h*，從而進(jìn)一步獲得期權(quán)價(jià)格的確切的解析表達(dá)式。

在獲得一般定價(jià)公式的過程中，注重的是對(duì)巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)的兩部性（即有損失期和延展期）以及上限特性。但是，對(duì)巨災(zāi)指數(shù)的統(tǒng)計(jì)特性還沒有很好地考慮。在設(shè)定具體分布時(shí)，考慮到巨災(zāi)的跳躍性和厚尾特性，我們選擇漂移泊松過程和漂移伽馬過程。

（1）漂移泊松過程

因?yàn)榫逓?zāi)的發(fā)生具有偶然性，因而巨災(zāi)發(fā)生后巨災(zāi)指數(shù)的變化也具有跳躍性和不連續(xù)性，所以這部分中，我用純跳躍過程模擬損失指數(shù)的移動(dòng)。此時(shí)我假設(shè)A（u）=k NA（u）-cAu，B（v）=k NB（v）-cBv，其中NA（u）與NB（v）分別為均值為λAu與λBv的泊松過程，k，cA，cB為正常數(shù)。根據(jù)Esscher變換的定義，參數(shù)為h的獨(dú)立增量過程A（u）與B（v）的矩母函數(shù)分別為：

MA（z，u；h）=exp｛［λAehk（ezk-1）-cAz］u｝

MB（z，v；h）=exp｛［λBehk（ezk-1）-cBz］v｝

當(dāng)定價(jià)在損失期時(shí)，有：

故此時(shí)的巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)價(jià)格為：

其中，Λ（x；λ）表示參數(shù)為λ的泊松分布累積概率函數(shù)。

同理，當(dāng)定價(jià)在延展期時(shí)，巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)的定價(jià)公式為：

（2）漂移伽馬過程

在這部分中，假設(shè)巨災(zāi)損失指數(shù)為連續(xù)變化的，但是為了體現(xiàn)出巨災(zāi)損失數(shù)額巨大的特點(diǎn)，我們選用具有厚尾的伽馬過程。依然令cA、cB為兩個(gè)正常數(shù)，假設(shè)A（u）=GA（u）-cAu，并且B（v）= GB（v）-cBv，GA（u）與GB（v）分別為參數(shù)是（αA，β）與（αB，β）的伽馬過程。根據(jù)Esscher變換的定義，參數(shù)為h的矩母函數(shù)為：

與漂移泊松過程的方法類似，當(dāng)定價(jià)在損失期時(shí)，因?yàn)椋?/p>

因此：

我們?cè)O(shè)：

最后我們得到巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)的定價(jià)公式為：

當(dāng)定價(jià)在延展期時(shí)，同理可得：

（3）維納過程

最后，為了方便與普通股票期權(quán)等作對(duì)比，也給出維納過程的公式，即該損失指數(shù)服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)。分別假設(shè)A（u）～N（ηAu，σ2Au），B（v）～N（ηBv，σ2Bv），根據(jù)Esscher變換的定義，參數(shù)為h的矩母函數(shù)為：

當(dāng)t∈［0，T1］時(shí)，期權(quán)價(jià)格為：

其中，η1*=

當(dāng)t∈［T1，T2］時(shí)，期權(quán)價(jià)格為：

4 模擬分析

為了驗(yàn)證基于Esscher變換模型的有效性，并檢驗(yàn)不同分布對(duì)指數(shù)模擬的效果。本節(jié)將對(duì)不同分布進(jìn)行數(shù)值模擬，比較其結(jié)果。首先利用PCS巨災(zāi)指數(shù)的歷史數(shù)據(jù)，比較分析三種分布的模擬效果?？梢垣@得1950年到2004年的年P(guān)CS巨災(zāi)指數(shù)，該數(shù)據(jù)來自ISO公司提供的調(diào)整后PCS巨災(zāi)指數(shù)，共55個(gè)樣本點(diǎn)，如圖1。從圖中可以看到，各個(gè)年份巨災(zāi)損失額度變化差異較大，從上世紀(jì)80年代后期，巨災(zāi)損失額度顯著增大，存在跳躍性。圖2給出了該指數(shù)增長(zhǎng)率的分布直方圖和概率密度曲線。可以計(jì)算出該指數(shù)增長(zhǎng)率均值為0.1，標(biāo)準(zhǔn)差為1.05，偏度為0.26。方差遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于均值，說明二項(xiàng)分布、伯努利分布等均值大于方差的分布是不適宜模擬巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)。偏度系數(shù)為正，表明該指數(shù)增長(zhǎng)率為右偏分布，正態(tài)分布等對(duì)稱分布也不適合。圖2也清晰地表現(xiàn)出巨災(zāi)指數(shù)增長(zhǎng)率呈現(xiàn)出右偏厚尾狀。

圖1 1950-2004年P(guān)CS巨災(zāi)指數(shù)

圖2 PCS巨災(zāi)指數(shù)增長(zhǎng)率直方圖

為了進(jìn)一步檢驗(yàn)本文中列舉三種隨機(jī)過程的模擬效果，我們也分別作出具有與歷史數(shù)據(jù)相同均值、標(biāo)準(zhǔn)差的漂移泊松過程、漂移伽馬過程和維納過程。泊松過程和伽馬過程的取值范圍大于零，我們通過漂移項(xiàng)進(jìn)行調(diào)整，使之與歷史數(shù)據(jù)的均值相等，而漂移項(xiàng)不影響隨機(jī)過程的方差。最終得到的三種隨機(jī)過程的密度函數(shù)曲線如圖3：

圖3 三種過程的密度函數(shù)

維納過程對(duì)稱分布與PCS指數(shù)增長(zhǎng)率的右偏性不符，漂移泊松過程和漂移伽馬過程都是右偏分布，漂移伽馬過程拖尾更長(zhǎng)，應(yīng)更適合于刻畫巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)的厚尾特征。下面的模擬計(jì)算顯示基于漂移伽馬過程的巨災(zāi)期權(quán)價(jià)格要遠(yuǎn)高于基于漂移泊松過程和維納過程的結(jié)果。這個(gè)差異體現(xiàn)了厚尾特性帶來的影響。

下面我利用上述三種過程進(jìn)行巨災(zāi)期權(quán)的理論價(jià)格的模擬計(jì)算。首先，假設(shè)初始時(shí)刻的損失指數(shù)L（0）=100，無風(fēng)險(xiǎn)利率r=0.08，我們?cè)谀M中此只計(jì)算低上限的情況，即H=200。雙重上限的情況只是計(jì)算更麻煩一些，在模擬方法和結(jié)果方面并無本質(zhì)區(qū)別。考慮損失期為1年，延展期為6個(gè)月。同時(shí)我們假設(shè)延展期和損失期的指數(shù)分布的均值分別為ηA=0.1，ηB=0.2，令標(biāo)準(zhǔn)差為均值的2倍，分別為σA=0.2，σB=0.4，偏度系數(shù)分別為γA=1，γB=0.5。

經(jīng)過計(jì)算，漂移泊松過程的參數(shù)為λA=1，λB= 4，cA=0.1，cB=0.6，k=0.2，其模擬結(jié)果為：

表1 漂移泊松過程價(jià)格模擬結(jié)果

經(jīng)過計(jì)算，漂移伽馬過程的參數(shù)與其模擬結(jié)果分別為：

表2 漂移伽馬過程價(jià)格模擬結(jié)果

維納過程A（u）與B（v）是對(duì)稱分布的，且二者的均值都為0，相當(dāng)于只有一個(gè)參數(shù)σ2。令損失期的σA=0.2，延展期的σB=0.4。其模擬結(jié)果為

表3 維納過程價(jià)格模擬結(jié)果

因?yàn)榫逓?zāi)指數(shù)期權(quán)與普通期權(quán)的區(qū)別主要是其災(zāi)害發(fā)生的偶然性以及災(zāi)害發(fā)生后損失的跳躍性，因而為了比較巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)與普通歐式看漲期權(quán)的差異，我們先對(duì)期權(quán)應(yīng)用Black-Scholes公式進(jìn)行定價(jià)。因?yàn)榈狡谑找嫒缦拢?/p>

故t時(shí)刻期權(quán)的價(jià)值為：

其中Φ（x）表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，d1（y），d2（y）與B-S公式中相同，即：

根據(jù)Black-Scholes公式的定價(jià)結(jié)果為：

表4 Black-Scholes價(jià)格模擬結(jié)果

通過以上得出數(shù)值結(jié)果，可以看出巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)與普通期權(quán)一樣，若其他條件不變的情況下，隨著到期時(shí)間增大，期權(quán)的價(jià)值下降（圖4）；隨著執(zhí)行價(jià)格上升而價(jià)值減?。▓D5）。

圖4 期權(quán)價(jià)格比較（K=100）

圖5 期權(quán)價(jià)格比較（t=0）

同時(shí)可以發(fā)現(xiàn)，Black-Scholes公式求得的結(jié)果與維納過程、漂移泊松過程的價(jià)值范圍大體相近，而漂移伽馬過程則遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于它們。我們認(rèn)為這是由于伽馬分布本身的厚尾特點(diǎn)決定的，厚尾分布大大提高了巨災(zāi)發(fā)生的概率，因而期權(quán)的價(jià)值顯著增大。

5 結(jié)語

從運(yùn)用的角度來看，巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)定價(jià)方法的巨大挑戰(zhàn)在于能夠同時(shí)處理巨災(zāi)指數(shù)的三個(gè)關(guān)鍵特征：跳躍性、兩部性（損失期和延展期）、上界性特點(diǎn)，同時(shí)又不能失之于過度繁難。就我們所知，文獻(xiàn)中的方法鮮有勝任。而在中國(guó)，由于巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)尚付闕如，歷史信息積累少，這又進(jìn)一步要求給出一個(gè)合理的分布假設(shè)，以簡(jiǎn)化模型的使用。為此，本文提出了一種基于Esscher變換的巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)的定價(jià)方法，可以得到期權(quán)定價(jià)的解析解，使用簡(jiǎn)單易行。而就分布假設(shè)而言，我們推薦使用漂移伽馬過程。通過與巨災(zāi)的歷史數(shù)據(jù)比較，該過程的厚尾特點(diǎn)更好地模擬了巨災(zāi)損失的特征。我們的模擬結(jié)果也表明它明顯優(yōu)于其他分布。

本文提出的方法在我國(guó)有實(shí)際應(yīng)用前景。我們建議由監(jiān)管部門（如保監(jiān)會(huì)）或權(quán)威的行業(yè)組織作為巨災(zāi)指數(shù)的發(fā)布機(jī)構(gòu)?？紤]到中國(guó)保險(xiǎn)市場(chǎng)的高集中度，在計(jì)算巨災(zāi)指數(shù)時(shí)可以只參考前幾家保險(xiǎn)公司的損失數(shù)據(jù)，收集數(shù)據(jù)時(shí)相對(duì)簡(jiǎn)單。先計(jì)算每家保險(xiǎn)公司一個(gè)季度或一年內(nèi)已經(jīng)發(fā)生的巨災(zāi)損失的索賠額，再根據(jù)不同保險(xiǎn)公司對(duì)于該風(fēng)險(xiǎn)收取的保費(fèi)分?jǐn)傇诋?dāng)季或當(dāng)年的數(shù)額進(jìn)行加權(quán)平均，最終得到巨災(zāi)指數(shù)，將其作為巨災(zāi)保險(xiǎn)期權(quán)的標(biāo)的指數(shù)。然后，運(yùn)用本的方法，在漂移伽馬過程的假設(shè)下，對(duì)巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)進(jìn)行快速估計(jì)，作為保險(xiǎn)公司對(duì)巨災(zāi)期權(quán)定價(jià)的基礎(chǔ)參考值。

［1］中國(guó)保監(jiān)監(jiān)督管理委員會(huì).“5.12”汶川特大地震保險(xiǎn)理賠工作基本完成［EB/OL］.（2009-05-11）.http：// www.circ.gov.on/tabid/106/InfoID/100457/frtid/ 3871/Default.aspx.

［2］Cummins J D，German H.An Asian option approach to the valuation of insurance futures contracts［R］.Working Papers，Wharton Financial Institutions，1993.

［3］Cummins J D，German H.Pricing catastrophe insurance futures and call spreads：An arbitrage approach［J］. Journal of Fixed Income，1995，4（March）：46-57.

［4］Chang W C，Chang S K J，Lu W.Pricing and hedging catastrophe-linked risk in discrete time［J］.Insurance：Mathematics and Economics，2008，43：422-430.

［5］German H，Yor M.Stochastic time changes in catastrophe option pricing［J］.Insurance：Mathematics and E-conomics，1997，21：185-193.

［6］Chang W C，Chang S K J，Yu M.Pricing catastrophe insurance futures call spreads：A randomized operational time approach［J］.Journal of Risk and Insurance，1996，63（4）：599-617.

［7］Biagini F，Bregman Y，Meyer-Brandis T.Pricing of catastrophe insurance options written on a loss index with reestimation［J］.Insurance：Mathematics and Economics，2008，43（2）：214-222.

［8］Wu Yangche，Chung S L.Catastrophe risk management with counterparty risk using alternative instruments［J］.Insurance：Mathematics and Economics.2010，47（2）：234-245.

［9］Aase K K.An equilibrium model of catastrophe insurance futures and spreads［J］.The Geneva Papers on Risk and Insurance Theory，1999，24（1），69-96.

［10］Aase K K.A Markov model for the pricing of catastrophe insurance futures and spreads［J］.Journal of Risk and Insurance，2001，68（1）：25-50.

［11］Young V R.Pricing in an incomplete market with an affine term structure［J］.Mathematical Finance，2004，14（3）：359-381.

［12］Young V R，Zariphopoulou T.Pricing dynamic insurance risks using the principle of equivalent utility［J］. Scandinavian Actuarial Journal，2002，4：246-279.

［13］Hobson D，Henderson V.Utility indifference pricingan overview［M］//Carmona R.Indifference pricing：Theory and applications Princeton：Princeton University Press，2009.

［14］Lim T，Quenez M C.Portfolio optimization in a defaults model under full/partial information［J］.Quantitative Finance，2010.

［15］Elliott R J，Siu T K.A stochastic differential game for optimal investment of an insurer with regime switching［J］.Quantitative Finance，2011，11（3）：365-380.

［16］Chen An，Pelsser A，Vellekoop M.Modeling nonmonotone risk aversion using SAHARA utility functions［J］.Journal of Economic Theory，2011，146（5）：2075-2092.

［17］Ikefuji M，Laeven R J A，Magnus J R，et al.Expected utility and catastrophic risk in a stochastic economy-climate model［R］.CentER Discussion Paper Series，2010.

［18］尚勤，秦學(xué)志，周穎穎，巨災(zāi)死亡率債券定價(jià)模型研究［J］.系統(tǒng)工程學(xué)報(bào)，2010，25（2）：203-208.

［19］丁波，巴曙松.中國(guó)地震巨災(zāi)期權(quán)定價(jià)機(jī)制研究［J］.中國(guó)管理科學(xué)，2010，18（15）：34-39.

［20］Buhlmann H.An economic premium principle［J］. ASTIN Bulletin，1980，11（1）：52-60.

［21］Mürmann A.Pricing catastrophe insurance derivatives［R］.Discussion Paper，F(xiàn)inancial Markets Group，2001.

［22］Mürmann A.Actuarially consistent valuation of catastrophe derivatives［J］.Working paper，2003.

［23］Mürmann A.Market price of insurance risk implied by catastrophe derivatives［J］.North American Actuarial Journal，2006，12（3），221-227.

［24］Canter M S，Cole J B，Sandor R L.Insurance derivatives：A new asset class for the capital markets and anew hedging tool for the insurance industry［J］.Journal of Applied Corporate Finance，1997，10（3），69-83.

［25］Davis M H A.Option pricing in incomplete markets［M］//Dempster M A H，Pliska S R.Mathematics of derivatives securities.Cambridge：Cambridge University Press，1997.

［26］Froot K A.The market for catastrophe risk：A clinical examination［J］.Journal of Finance Economics，2001，60，529-571.

［27］Hoyt R E，McCullough K A.Catastrophe insurance options：Are they zero-beta assets？［J］.Journal of Insurance Issues，1999，22（2），147-163.

［28］Beard R E，Pentikinen T，Pesonen E.Risk theory：The stochastic basis of insurance［M］.London：Chapman and Hall，1984.

［29］Beekman J A.Two stochastic processes［J］.Stockholm：Almqvist&Wiksell，1974.

［30］Breiman L.Probability［M］.Menlo Park，Calif.：Addison-Wesley，1968.

［31］Feller W.An introduction to probability theory and its applications［M］.New York：Wiley，1971.

［32］Huebner S S.Foundation monograph series［M］. Homewood，Ill.：Irwin，1979.

［33］Jensen J L.Saddle point approximations to the distribution of the total claim amount in some recent risk models［J］.Scandinavian Actuarial Journal，1991，（2）：154-68.

［34］Seal H L.The stochastic theory of a risk business［J］. New York：Wileym，1969.

Catastrophe Index Options Pricing Using Esscher-Transformation and Numerical Simulation

CHENG Cheng1，SHI Xiao-jun2，ZHANG Shun-ming2
（1.School of Economics and Management，Beijing University of Aeronautics and Astronautics，Beijing 100191，China；2.School of Finance，Renmin University of China，Beijing 100872，China）

Catastrophe index options are kinds of the most important catastrophe derivatives at present and hence have large potential in China.However，a major obstacle in the usage of this instrument in China is how to price it under given limited market information as there is not yet an actively traded market for it in China.A closed-form formula of the catastrophe index options pricing based on Esscher transformation is proposed in this paper which has a sound theoretical foundation.Three major features of the catastrophe index：jumping，two periods and two caps can be captured by the proposed method.Moreover，the flexibility of Esscher transformation allaws the method to apply to various distributions.Thus formulas of catastrophe index options pricing are obtained under shifted Poisson，shifted Gamma and Wiener processes respectively in this paper.Simulation part compares the different formulas with the standard Black-Scholes theorem as well as historical PCS catastrophe loss indices，which indicates that the shifted Gamma process is a good candidate for the implied stochastic process of the catastrophe index options pricing.The exploration of catastrophe index option and application of our method is of practical relevance in China.

catastrophe options；Esscher transformation；Shifted Gamma process

JEL；G22；G32；G13

：A

1003-207(2014)01-0020-09

2011-12-29；

2012-10-10

國(guó)家自然基金資助項(xiàng)目（71172014）；國(guó)家杰出青年科學(xué)基金項(xiàng)目（70825003）

程鋮（1987-），女（滿族），北京人，北京航空航天大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院金融學(xué)研究生，研究方向：保險(xiǎn)經(jīng)濟(jì)學(xué)、金融工程、風(fēng)險(xiǎn)管理.