段永瑞，李貴萍，霍佳震

（同濟大學經濟與管理學院，上海200092）

有限時域內部分缺貨的變質品生產-定價策略研究

段永瑞，李貴萍，霍佳震

（同濟大學經濟與管理學院，上海200092）

研究有限時域內對變質產品同時安排生產計劃和制定定價策略的問題。有限時域被劃分成同等長度的多個周期，產品以固定的生產率間歇生產，并以固定的速率發(fā)生變質。需求同時依賴于時間和產品價格，在每個周期內都允許缺貨且短缺量部分延遲訂購。目的是要尋求一個使有限時域內系統(tǒng)的平均利潤最大化的生產計劃和定價策略。在算例中，分別討論了需求隨時間增大和減小兩種不同的需求模式，采用Box復合算法，通過數(shù)值計算求得相應的最優(yōu)生產計劃和定價策略。分析表明：對于成長期或銷售季初的產品，系統(tǒng)應采用“小批量多批次”的生產方式；而對于衰退期或銷售季末的產品，應采用“大批量小批次”的生產方式。此外，不同類型的產品在不同需求模式下的定價策略有所不同：對于有限時域較短或變質率較高的產品，處于衰退期或銷售季末的定價要低于成長期或銷售季初的定價；相反，對于有限時域相對較長或變質率較低的產品，在衰退期或銷售季末的最優(yōu)定價要高于在成長期或銷售季初的定價。

有限時域；變質品；部分缺貨；生產；定價

1 引言

隨著時代的發(fā)展和科技的進步，產品的流行趨勢不斷變化、更新速度不斷加快，導致很多產品表現(xiàn)出了生命周期越來越短、品種數(shù)目越來越多的特點。比如時尚類、季節(jié)性產品和IT產品等，它們的計劃時域或銷售周期一般都是有限的，因此，有限時域對生產或庫存控制的影響就變得越來越重要。此外，由于計劃時域或銷售周期有限，這類產品如果不能在規(guī)定的期限內送達顧客手中，那么在存儲過程中就會由于腐敗、破損或更有競爭力的新產品出現(xiàn)等原因，致使其價值不斷減少，即在一定程度上會表現(xiàn)出“變質”的特性。變質產品的庫存研究是庫存控制領域的一個重要分支。Raafat［1］，Goyal和Giri［2］對早期變質產品庫存策略的相關研究給出了很好的綜述。綜上，研究有限時域內變質產品的生產或庫存控制問題變得更加迫切、更具現(xiàn)實意義。

Ghare和Schrader［3］首先假設需求為常數(shù)，提出了一個有限時域內常數(shù)變質產品的庫存補貨模型。隨后，Covert和Phillip［4］在考慮變化的變質率基礎上對Ghare等［3］的模型進行了擴展。Shah［5］通過引入允許缺貨的機制進一步對以上模型做了一般化處理。不難發(fā)現(xiàn)這些模型有一個共同的假設：需求為常數(shù)。事實上，對于處于生命周期成熟階段的產品，常數(shù)需求具有一定代表意義。但對于其他一些非成熟期的產品，其需求隨時間會發(fā)生變化。比如處在生命周期成長階段的產品或季節(jié)性、流行性產品在銷售季初時，隨著人們對其性能的逐漸了解以及對相應品牌的認可或是對流行的跟隨，需求會逐漸增大；反之，如果產品處于生命周期的衰退階段或者是在其銷售季末時，由于技術更新、消費者需求改變或流行的更替等原因，需求會隨時間而不斷減小。鑒于對現(xiàn)實情況的考慮，時變需求的概念逐漸被運用到庫存模型的構建中。Dave和Patel［6］構建了一個有限時域內需求線性時變且變質率為常數(shù)的庫存補貨模型。而Chakrabarti和Chaudhuri［7］在有限時域內考慮了線性時變需求、常數(shù)變質率以及完全延遲訂購的情況。Papachristos和Skouri［8］建立了一個有限時域內的連續(xù)盤點庫存模型，假設需求是與時間相關的任意連續(xù)的對數(shù)凹函數(shù)，產品的變質率為常數(shù)，允許缺貨且部分延遲訂購率是顧客等待時間的負指數(shù)函數(shù)。鄭惠莉和達慶利［9］提出了一個有限銷售期內需求和采購價格均為時變，等周期且各周期服務水平相同，缺貨時短缺量完全拖后的EOQ模型。鄭惠莉和達慶利［10］做了進一步的擴展，考慮了等周期且每個周期內服務水平可不同的情況。羅兵、楊帥和李宇雨［11］在鄭惠莉等［9］的基礎上提出了綜合考慮物品變質和存貨影響銷售率情況下的最優(yōu)采購策略。羅兵、楊帥和熊中楷［12］進一步考慮時變短缺量拖后率以及資金時間價值等因素對變質物品庫存管理的影響，建立了相應的EOQ模型。黃波、孟衛(wèi)東和熊中楷［13］考慮物品變質速度與保管時間線性相關，在有限銷售期內建立了一種在短缺量部分拖后條件下，需求隨時間指數(shù)增長、銷售和采購價格均隨時間指數(shù)下降的變質物品EOQ模型。

現(xiàn)實生活中，產品的需求除了與時間相關外也受價格的影響，通常價格越高，需求會越?。环粗?，則越大。Cohen［14］構建了需求受價格線性影響的定價與補貨模型。Chen等［15］提出了一個需求與時間和價格同時相關的變質品庫存模型，并在多周期的有限時域內考慮了通貨膨脹和時間價值的影響。Chen Xin和Simchi-Levi［16］考慮了一個在有限時域內同時進行定價和庫存控制的周期盤點庫存模型，假設不同周期內的需求是關于價格的獨立隨機變量，允許缺貨且完全延遲訂購。Hsieh和Dye［17］考慮通貨膨脹的影響，構建了一個有限時域內變質產品的定價和訂購模型，假設需求與時間和價格同時相關并且允許對價格進行周期性上下調整，常數(shù)變質率，部分延遲訂購且延遲訂購率與顧客等待時間相關。彭作和與田澎［18］建立了一個有限銷售期內需求是價格的減函數(shù)、變質率為常數(shù)且考慮貨幣時間價值的變質商品臨時價格折扣模型。

不論假設需求是與時間相關還是對價格敏感，以上文獻大多只是考慮有限時域內產品的訂購、定價問題或兩者的結合，很少涉及生產管理。Sana、Goyal和Chaudhuri［19］在線性時變需求、常數(shù)生產率和變質率并且完全延遲訂購的假設基礎上構建了一個有限時域內變質產品的生產庫存模型。Diponegoro和Sarker［20］在固定生產率、需求率以及交貨時間的假設基礎上研究了有限時域的生產問題。隨后，Diponegoro和Sarker［21］進一步將問題拓展到時變需求的情況。Yang［22］構建了有限時域內需求、生產和變質均與時間相關且部分延遲訂購的生產庫存模型，并給出使系統(tǒng)總成本最小的最優(yōu)解存在的條件。但以上文獻均沒有考慮產品定價對需求及生產策略的影響。

本文考慮有限時域內產品的需求同時依賴于時間和價格，部分缺貨且部分延遲訂購率與等待時間負相關，產品以固定的生產率進行間歇生產并以固定的速率發(fā)生變質的生產和定價問題，從生產商的角度出發(fā)，探討在有限時域內如何制定生產計劃和定價策略，即有限時域內最優(yōu)的周期數(shù)、每個周期內開始生產和停止生產的時間點以及產品的最優(yōu)定價，以最大化系統(tǒng)的平均利潤。在算例中，分別討論了需求隨時間增大和減小兩種不同的需求模式。最后，運用Box復合算法［23］，通過數(shù)值計算求解兩種需求模式下的最優(yōu)生產計劃和最優(yōu)定價，并對相關參數(shù)的靈敏度進行分析。

2 假設與符號

模型中用到的假設和符號如下：

（1）有限時域H被劃分成n個同等長度的周期，那么每個周期的長度為H/n，其中n為決策變量之一。

（2）需求D與時間t和價格p同時線性相關，即D（t，p）=a+bt+cp，其中a≥0，b≠0，c＜0，

t∈［0，H］。當b＞0時，表示需求隨時間的變化而增大；當b＜0時，表示需求隨時間的變化而減小。

（3）變質率θ為常數(shù)。

（4）產品的生產率R有限且為常數(shù)，R＞D（t，p）+θI（t），其中I（t）表示t時刻的即時庫存水平。

（5）允許缺貨且短缺量部分延遲訂購。文中采用Abad［24］模型中用到的部分延遲訂購率B（τ）= K0e-K1τ，K0＜1，K1≥0，其中B（τ）表示部分延遲訂購率，τ表示顧客的等待時間。

（6）A表示生產準備成本，Cp表示單位產品的生產成本，Ch表示單位產品單位時間的庫存持有成本，Cs表示單位產品單位時間的缺貨成本，Co表示損失一單位需求的機會成本，Cd表示單位產品的變質成本。

3 建立模型

一個生產系統(tǒng)需要同時制定有限時域內的生產計劃和定價策略。假設有限時域H被劃分成n個同等長度的周期，如圖1所示，第i（i=1，2，…，n）個周期的期初庫存水平為0，生產從Ti-1時刻開始到t′i時刻結束，這段時間內在滿足需求和變質后庫存不斷累積并在t′i時刻達到最大，在時間段［t′i，ti］內累積的庫存在需求和變質的作用下逐漸下降并在ti時刻下降到0。接著發(fā)生缺貨，缺貨量在時間段［ti，Si］內積累。在Si時刻生產重新開始，在時間段［Si，Ti］內累積的缺貨量和當前的需求均被滿足，在周期末（即Ti時刻）庫存水平變?yōu)?，新的周期開始。生產與庫存以同樣的模式從第1個周期開始不斷重復直到第n個周期結束。目的是最大化系統(tǒng)在有限時域內的平均利潤，即決定在有限時域H內，n取多少？t′i和Si分別為多少？以及產品的最優(yōu)定價p為多少？

圖1 第i個周期內庫存隨時間變化示意圖

由于一個周期內不發(fā)生缺貨的時間越長，顧客需求的滿足率就越高，即服務水平越高，所以在文獻中常用不發(fā)生缺貨的時間段在一個周期內所占的比例來表示系統(tǒng)的服務水平［19］。如圖1所示，對于第i個周期［Ti-1，Ti］，在時間段［Ti-1，ti］內沒有缺貨發(fā)生，那么用r表示服務水平，則

此外，為了方便計算，分別令：

由（1）-（3）以及假設，可得：

當t∈［Ti-1，t′i］時，即時庫存水平I（t）滿足：

當t∈［t′i，ti］時，I（t）滿足：

從ti時刻開始發(fā)生缺貨，假設對于未被滿足的需求，系統(tǒng)采用“先到先得”的原則，即先到的需求在有貨時將先被滿足。如圖1所示，在時間段［ti，Si］內沒有進行生產，只有延遲訂購的需求，所以當t∈［ti，Si］時，等待時間τ=Si-t-I（t）/R。在Si時刻生產重新開始，所以在時間段［Si，Ti］內，由時間段［ti，Si］累積的缺貨量不斷減少；同時，新的缺貨量（即在時間段［Si，Ti］內的需求）還在不斷產生。因此，在t∈［Si，Ti］時刻，顧客的等待時間τ=-I（t）/R。

由上面的分析容易得到，當t∈［ti，Si］時，即時庫存水平I（t）的變化可表示為：

當t∈［Si，Ti］時，有：

求解微分方程（5）-（8），分別得到：

此外，由（6）式中的初始條件I（ti）=0，得到：

將（4）代入，化簡可得：

同理，由（8）式中I（Ti）=0，得到

由（9）可求得，在時間段［Ti-1，t′i］內總的庫存量為：

由（10）求得時間段［t′i，ti］內總的庫存量為：

由（11）和（12）求得時間段［ti，Si］和［Si，Ti］內總的缺貨量分別為：

再由（4）、（13）和（14）知變量t′i、ti、Si和Ti均可由r和p來表示，因此問題可重新表述為對有限時域內的周期數(shù)n、服務水平r和產品價格p的決策。下面以n，r和p為決策變量進行分析。

（i）由（4），（15）和（16）可知，在第i個周期內總的庫存量Invi為：（ii）由（4），（17）和（18）可知，在第i個周期內總的缺貨量Shori為：

其中：

（iii）此外，在第i個周期內損失的銷售量Losti為：

（iv）在第i個周期內生產的產品總量prodi為：

（v）在第i個周期內變質的產品總量為：θInvi

綜上可知，在整個時域［0，H］內，構成系統(tǒng)利潤函數(shù)的各組成要素分別為：

（i）生產準備成本：n A

因此，系統(tǒng)在時域［0，H］內的平均利潤可以表示為：

AP=（收益-生產準備成本-生產成本-持有成本-變質成本-缺貨成本-機會成本）/H

從而：

由此，本文所討論的問題可表述為：

max AP（r，p）

其中Pm是一個常數(shù)，表示在定價決策中產品價格的上限，可根據(jù)市場情況要求銷售經理具體給定。在模型（19）中r和p是顯性變量，而ki和di是關于r和p的函數(shù)，屬于隱性變量?？梢钥闯?，模型（19）屬于目標函數(shù)為多變量非線性函數(shù)且約束條件為不等式的規(guī)劃問題，而Box復合算法［17］正是一個對非線性目標函數(shù)和非線性不等式約束條件的優(yōu)化問題非常有效的順序搜索技術，并且無需像經典的優(yōu)化技術那樣計算導數(shù)。此外，因為初始設定的點隨機分布在整個可行域范圍內，所以這一過程能夠獲得全局最大值。因此，本文運用Box復合算法對模型（19）進行求解。

4 算法

對于目標函數(shù)為多變量非線性函數(shù)且約束條件

其中，隱性變量XN+1，...，XM是顯性獨立變量X1，X2...，XN的函數(shù)。約束條件的上下限Hk和Gk均為常數(shù)。

用Box復合算法求解（20）的具體步驟為：

（1）生成由k（k≥N+1）個點構成的初始結構。這k個點包含一個初始可行點和k-1個附加點，其中k-1個附加點是由隨機數(shù)和每個獨立變量的約束條件產生的，可由下面的式子表示：

其中Ri，j是0-1之間的隨機數(shù)。

（2）以上選擇的點必須滿足所有顯性和隱性約束條件。在任意時刻，如果選定的點不滿足顯性約束條件，那么將該點向相應范圍內移動δ；如果不滿足隱性約束條件，則將該點移動距剩余點的中心一半的距離，即：

這個過程不斷重復，直到滿足所有的隱性約束條件。

（3）分別在每個點處都計算目標函數(shù)的值。取到最小函數(shù)值的點向剩余點的中心移動α倍的該點到剩余點的中心的距離，即：

（4）若在連續(xù)的試驗中，某點持續(xù)取得最小的函數(shù)值，則將該點移動距剩余點的中心一半的距離。

（5）檢驗新產生的點是否滿足約束條件，如果不滿足，則返回第2步；如果滿足則到第6步。

（6）當每個點到所有點的中心的距離都小于等于ε（ε是預先給定的一個精確度）時，則認為函數(shù)收斂。

（7）結束。

5 算例

這一節(jié)主要是模型的求解，分別考慮需求隨時間增大和減小兩種不同的模式，即b＞0和b＜0。

（1）需求隨時間增大（b＞0）

令R=300件/月，H=6個月，A=120元，Cp= 6元/件，Cd=0.4元/件，Ch=0.3元/件/月，Cs= 4.5元/件，Co=5元/件，a=100件，b=4件，c=-3件，K0=0.9，K1=0.6，θ=0.05，Pm=30元。如表1所示，有限時域內的最優(yōu)周期數(shù)為n*=7，最優(yōu)服務水平為r*=0.872，產品的最優(yōu)定價為p*= 16.705以及最優(yōu)策略下系統(tǒng)的最優(yōu)平均利潤為AP*=1342.6。

表1 需求隨時間增大模式下的最優(yōu)解(b＞0)

（2）需求隨時間減?。╞＜0）

為了保證兩種需求模式具有可比性，我們使其它參數(shù)的取值保持不變，令b=-4件，如表2所示，相應的最優(yōu)周期數(shù)為n*=1，最優(yōu)服務水平為r*= 0.832，產品的最優(yōu)定價為p*=17.185，最優(yōu)策略下系統(tǒng)的最優(yōu)平均利潤為AP*=308.267。

表2 需求隨時間減小模式下的最優(yōu)解(b＜0)

圖2和圖3分別給出了在兩種需求模式的最優(yōu)策略下，庫存水平隨時間的變化情況，橫軸表示時間，縱軸表示庫存水平。

當b＞0時，系統(tǒng)的最優(yōu)周期數(shù)為7；當b＜0時，最優(yōu)周期數(shù)為1。如果需求隨時間增大（b=4時），如圖2所示，最優(yōu)的生產策略是多安排幾次生產（n =7）且每次生產較少的量（每次生產補充庫存到達的水平均在30-40件之間）；此外，隨著需求的不斷

圖2 b＞0時有限時域內庫存隨時間的變化

圖3 b＜0時有限時域內庫存隨時間的變化

增大，每個周期的最大庫存水平也不斷增大。如果需求隨時間減小（b=-4時），如圖3所示，則最優(yōu)的生產策略是安排較少的生產次數(shù)（n=1），但每次生產較多的量（一次生產使庫存水平達到約180件）。同時，我們也可以發(fā)現(xiàn)需求隨時間減小時的最大缺貨量（約為20件）遠大于需求隨時間增大時的最大缺貨量（平均約為5-6件）。

6 靈敏度分析

這一節(jié)主要分析兩種需求模式下（b＞0和b＜0）相關參數(shù)變化的靈敏度。在給定其它參數(shù)不變的情況下，每次僅改變指定參數(shù)的值，變化程度為分別增加50%和25%以及減少25%和50%。兩種需求模式下的相應參數(shù)變化時最優(yōu)解的靈敏度變化情況分別見表3和表4。在表3與表4中“參數(shù)取值”、“n*”、“r*”、“p*”和“AP*”各列分別表示相應參數(shù)下的最優(yōu)解，為了容易觀察參數(shù)變化的靈敏度，我們在同一個表格中分別用“參數(shù)變化（%）”、“r*（%）”、“p*（%）”和“AP*（%）”各列表示與之對應的百分比變化情況。

由表3，當需求隨時間逐漸增大，即b＞0時：

（1）有限時域內的最優(yōu)周期數(shù)（n*）隨著有限時域（H）、基本需求（a）和需求對時間的靈敏度（b）的減小而減小；而隨著價格對需求的影響度（｜c｜）以及產品的變質率（θ）的減小而增加。又因為a和b的減小都會使需求下降，而｜c｜的減小弱化了價格對需求的影響，相對而言增加了產品的需求，可見，最優(yōu)周期個數(shù)隨著需求的增加而增加、隨著需求的減小而減小。

（2）最優(yōu)服務水平r*和最優(yōu)定價p*對參數(shù)a、c和θ的取值變化比較敏感。

表3 需求隨時間增大模式下的最優(yōu)解靈敏度分析(b＞0)

表4 需求隨時間減小模式下的最優(yōu)解靈敏度分析(b＜0)

（3）當基本需求（a）增加50%時，最優(yōu)服務水平（r*）下降11%，而最優(yōu)定價（p*）增加26%并且系統(tǒng)平均利潤（AP*）增加96%；當基本需求（a）減少50%時，最優(yōu)服務水平（r*）需提升8%，而最優(yōu)定價（p*）需降低21%，同時系統(tǒng)平均利潤（AP*）也將下降73%。這說明需求的變化對系統(tǒng)采取的策略有重要影響，當需求較大時可以適當降低對服務水平的要求，提高單位定價來追求更高的邊際收益，從而獲得更多的利潤；當需求較小時要通過降低價格和提升服務水平來吸引并留住顧客，從而增加收益。

（4）當價格對需求的影響度（｜c｜）增加50%時，最優(yōu)服務水平（r*）增加8%，最優(yōu)定價（p*）降低21%，同時系統(tǒng)平均利潤（AP*）也減少32%；而當｜c｜減少50%時，最優(yōu)服務水平（r*）將降低15%，最優(yōu)定價（p*）增加32%，此時系統(tǒng)平均利潤（AP*）增加59%。與現(xiàn)實情況相符，當系統(tǒng)的定價對需求的影響較大時，系統(tǒng)將采取提升服務水平和降低價格的策略；而當價格對系統(tǒng)需求的影響較小時，系統(tǒng)將通過降低服務水平且提高價格的策略來增加系統(tǒng)利潤。

（5）當產品的變質率（θ）增加50%時，最優(yōu)服務水平（r*）將下降5%，產品的最優(yōu)定價（p*）提高13%，同時系統(tǒng)平均利潤（AP*）將減少26%；反之，當產品的變質率（θ）減少50%時，最優(yōu)服務水平（r*）將提升8%，產品的最優(yōu)定價（p*）將需降低21%，而系統(tǒng)的平均利潤（AP*）將增加116%。由此可見，產品的變質特性對庫存和定價策略將產生重要的影響，并在很大程度上影響著系統(tǒng)的利潤。對于高變質性產品來說，系統(tǒng)可通過降低服務水平即延長缺貨時間來減少在庫產品的數(shù)量，通過延遲交付策略使產品能夠被及時消費，從而減少由變質帶來的損失；同時也可以通過提高產品價格來補償對持有高變質產品的風險及機會成本。對于變質率比較小的產品而言，系統(tǒng)應采取的最優(yōu)策略是通過提高顧客的服務水平和降低產品價格盡可能地吸引更多的顧客，從而增加系統(tǒng)收益。

由表4，當需求隨著時間的變化逐漸減小，即b＜0時：

（1）最優(yōu)服務水平r*、最優(yōu)定價p*以及平均利潤AP*對參數(shù)a和c的取值變化表現(xiàn)敏感，并且與b＞0時的變化情況相似。

（2）當參數(shù)b和θ的取值發(fā)生變化時，最優(yōu)服務水平r*、最優(yōu)定價p*以及平均利潤AP*的變化都不靈敏，這與b＞0時的情況不同。也就是說，當產品的需求隨著時間的變化逐漸減小時（比如時令性很強的服裝在季末銷售時），變質率對系統(tǒng)的最優(yōu)策略影響不大。

此外，對比分析表3和表4中的對應數(shù)據(jù)，得到下面的結論：

（1）隨著有限時域的延長，當需求隨時間增大時，最優(yōu)服務水平逐漸提升、產品的最優(yōu)定價逐漸降低、系統(tǒng)的平均利潤逐漸增加；而當需求隨時間減小時，最優(yōu)服務水平逐漸下降、產品的最優(yōu)定價逐漸提高、系統(tǒng)的平均利潤逐漸減少，即隨著有限時域的延長，最優(yōu)服務水平、產品的最優(yōu)定價和系統(tǒng)的平均利潤在兩種需求模式下的變化方向恰好相反。另外，比較兩種需求模式下對應結果的靈敏度發(fā)現(xiàn)：對有限時域的變化，兩種模式下的最優(yōu)定價均表現(xiàn)出不敏感，最優(yōu)服務水平的變化在b＜0的情況下比b＞0時敏感，與之相反，平均利潤的變化在b＞0的情況下比b＜0時敏感。

（2）當產品的有限時域較短時，需求隨時間減小模式下的最優(yōu)定價要低于需求隨時間增大模式下的定價，也就是說對于某類有限時域或銷售時期較短的產品而言，處于衰退期的定價要低于成長期的定價。滿足此類定價模式的產品有手機、電腦、MP3/ MP4等技術更新較快的IT類產品。當有限時域比較長時，需求隨時間減小的模式下產品的最優(yōu)定價要高于需求隨時間增大的模式。這也說明當產品處于成長期時，要通過較低的定價來獲得更多的需求，從而增加收益；而當產品處于衰退期或在銷售季末時，最優(yōu)的策略是采取較高的定價來增加單位產品的收益。在現(xiàn)實生活中也存在適用此類定價模式的相應產品，如水果、蔬菜等時令性很強的產品或以這些產品為原材料生產的其它產品，隨著季節(jié)的來臨需求不斷增加，同時市場上產品的價格也相對較低，但當處于銷售季末或過季時，需求不斷減小同時市場價格卻有所提高。

（3）當產品的變質率較大時，需求隨時間減小模式下的定價要低于需求隨時間增大模式下的定價；而當產品的變質率較小時，卻是需求隨時間減小模式下的定價高于需求隨時間增大模式下的定價。換句話說，對于高變質類產品，如果處于銷售季末或生命周期末，系統(tǒng)的最優(yōu)定價是采取比銷售季初或生命周期初時低的價格，以便吸引更多的需求、盡早減少持有庫存，從而降低由變質帶來的損失；對于低變質性產品（或極端情況下的不發(fā)生變質的產品），銷售季末的最優(yōu)定價要比季節(jié)初時的定價更高一點。

7 結語

在產品的銷售周期越來越短和變質越來越常見的市場背景下，本文考慮了一個有限時域內變質產品的生產-定價問題，假設需求與時間和銷售價格均線性相關，允許缺貨且部分延遲訂購，在此基礎上構建模型并通過數(shù)值方法給出特定參數(shù)條件下模型的最優(yōu)解。此外，在算例中，考慮了需求隨時間增大和減小兩種不同的需求模式，并分別對這兩種模式下參數(shù)的靈敏度進行了分析和比較，我們發(fā)現(xiàn)需求模式的不同對有限時域內的最優(yōu)生產策略及系統(tǒng)收益有較大影響。生產商可據(jù)此在不同的市場環(huán)境下調整自己的策略，當市場需求隨時間增大時（如處于成長期的產品），可采用小批量多批次的生產方式，根據(jù)市場需求的變化靈活地決定每次的生產量；當市場需求隨時間減小時（如處于衰退期的產品），建議生產商安排較少的生產周期，同時增大每次的生產量，即大批量小批次，由此可以減少由機器啟動帶來的生產準備成本。此外，對于不同性質的產品其定價策略在不同需求模式下也各有不同。與產品處于成長期或銷售季節(jié)開始時相比較，如果某類產品的有限時域較短或變質率比較大，則在衰退期或銷售季末應采用降價的策略來消除庫存、減少損失；相反，如果產品的有限時域較長或變質率不大，則在衰退期或銷售季末可通過適當提升產品價格來增加邊際收益。

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A Production-pricing Strategy for Deteriorating Items with Partial Backlogging Over a Finite Horizon

DUAN Yong-rui，LI Gui-ping，HUO Jia-zhen
（School of Economics and Management，Tongji University，Shanghai 200092，China）

With the development of science and technology，the upgrade rate of products is faster than ever，and the trend of popularity varies continuously.All of these lead to the shorter sales period and production planning horizon.In addition，more and more products are possessed of the characteristic of perishability and limited lifetime.Therefore，the influence of the sales period and perishability of the products on the production planning and pricing cannot be neglected anymore.The issue of joint production planning and pricing decision for perishable items over a finite horizon is studied in this paper.The finite horizon，H，is divided into several cycles with the same interval，and the length of each cycle is H/n.The production rate，R and the deterioration rate，θ，are constants.The demand rate of the products denoted by D（t，p）is dependent on time and price linearly，and D（t，p）=a+bt+cp（a≥0，b≠0，c＜0）.The unsatisfied demand is partially backlogged，and the backlogging rate B（τ）=K0e-K1τ，＜1，k1≥0.The aim of this paper is to find a joint production and pricing policy maximizing the average profit over the finite horizon.The Box complex algorithm is presented to obtain the optimal solution of the proposed model.To illustrate the effectiveness of the model and algorithm，some numerical examples are presented and two demand patterns are considered respectively：the demand is increasing or decreasing over time.The optimal production and pricing policies in the two situations are developed through the Box complex algorithm.It is indicated that for products in the growth stage or at the beginning of sales season，the system should adopt the‘low-volume multi-batch'mode of production.However，for products in the decline stage or at the end of the sales season，‘multi-volume small batch'mode of production is preferred.In addition，the pricing strategies for products with different characteristics and demand patterns are different.For products with shorter sale horizon or higher deterioration rate，the price in the decline stage or at the end of the sales season is lower than that in the growth stage or at the beginning of sales season；however，for products with longer horizon or lower deterioration rate，the price in the decline stage or at the end of the sales season is higher than that in the growth stage or at the beginning of sales season.The model and algorithm addressed in this paper can be used to help making joint decision of production planning and pricing for enterprise producing perishable items.

finite horizon；deteriorating items；partial backlogging；production；pricing

F273.2

：A

1003-207(2014)01-0094-10

2012-02-26；

2013-01-18

國家自然科學基金資助項目（71002020，71371139）；上海浦江人才計劃（12PJC069）；中央高?；究蒲袠I(yè)務費專項資金

段永瑞（1975-），女（漢族），山西太原人，同濟大學經濟與管理學院，副教授，研究方向：供應鏈管理、服務運作管理.