姚海祥，李仲飛

（1.廣東外語外貿(mào)大學(xué)信息學(xué)院，廣東廣州510006；2.中山大學(xué)管理學(xué)院，廣東廣州510275）

所以基于非參數(shù)估計框架的期望效用最大化模型為：

基于非參數(shù)估計框架的期望效用最大化最優(yōu)投資組合

姚海祥1，李仲飛2

（1.廣東外語外貿(mào)大學(xué)信息學(xué)院，廣東廣州510006；2.中山大學(xué)管理學(xué)院，廣東廣州510275）

本文基于期望效用最大化和非參數(shù)估計框架研究了最優(yōu)投資組合選擇問題。和以往大多文獻(xiàn)假定資產(chǎn)收益率服從某些特定分布不同資產(chǎn)收益率的分布類型無需作任何假設(shè)。首先在一般效用函數(shù)下，利用組合收益率密度函數(shù)的非參數(shù)核估計給出了期望效用的基本非參數(shù)估計公式，并建立了期望效用最大化投資組合選擇問題的基本框架。然后，在投資者具有冪效用函數(shù)的假定下，給出了期望效用具體的非參數(shù)計算公式，并給出了求解最大期望效用的數(shù)值算法。最后，利用中國證券交易所11支股票日收益率的真實數(shù)據(jù)給出了一個數(shù)值算例。本文提出的非參數(shù)估計框架具有一般性，還可以進(jìn)一步用來研究各種現(xiàn)實條件下（如各種現(xiàn)實不等式約束和具有交易成本）的投資組合管理問題。

投資組合選擇；冪效用函數(shù)；期望效用最大化模型；非參數(shù)估計；最優(yōu)投資策略

1 引言

目前關(guān)于投資組合選擇的研究主要以Neumann和Morgenstern［1］開創(chuàng)的期望效用最大化模型及Markowitz［2］開創(chuàng)的均值-方差模型（后來發(fā)展為一般的均值-風(fēng)險模型）兩條主線進(jìn)行展開。特別是期望效用最大化模型一直以來都是研究經(jīng)濟(jì)金融中的不確性決策問題的基本框架。Arrow［3］首先介紹了利用期望效用最大化模型研究投資組合選擇問題，并討論了最優(yōu)策略的有關(guān)性質(zhì)。Hart［4］和Cheng［5］研究了效用最大化模型的最優(yōu)策略隨著市場參數(shù)變化時的靜態(tài)比較分析。除了考慮投資策略外，Samuelson［6］和Merton［7］則同時考慮消費策略，并采用隨機(jī)最優(yōu)控制和動態(tài)規(guī)劃的方法進(jìn)一步研究了多階段和連續(xù)時間的最優(yōu)投資-消費問題。很多學(xué)者則把Merton［7］和Samuelson［6］的工作推廣到其它各種現(xiàn)實條件情形。如Munk［8］利用連續(xù)時間效用最大化模型研究了具有隨機(jī)投資機(jī)會集及消費習(xí)慣約束的投資和消費問題，Bensoussan［9］則考慮了通貨膨脹因素且真實價格只是部分可觀察情形下的最優(yōu)動態(tài)投資-消費問題。Canakoglu和?zekici［10］利用效用最大化模型研究了隨機(jī)市場環(huán)境下的多階段投資組合選擇問題。但這些研究大多是在資產(chǎn)收益率服從某些特定分布（如正態(tài)分布、離散狀態(tài)且已知概率分布、幾何布朗運動（連續(xù)時間情形））的假定下進(jìn)行的，或只討論模型和最優(yōu)策略的有關(guān)性質(zhì)。

眾所周知，經(jīng)濟(jì)計量學(xué)中的非參數(shù)估計不需事先設(shè)定要估計的模型具有特定形式，對先驗信息的要求很低，計算結(jié)果完全由樣本數(shù)據(jù)驅(qū)動，適應(yīng)于復(fù)雜多變的金融市場［11］。特別是，目前日益豐富的高頻金融數(shù)據(jù)庫也滿足非參數(shù)估計方法對樣本數(shù)據(jù)容量的要求。所以近年來有學(xué)者開始利用非參數(shù)估計方法研究金融風(fēng)險的計算，有興趣的讀者可參見Chen［12］、Jeong和Kang［13］和Yu Keming［14］等。但據(jù)作者所知，目前還沒發(fā)現(xiàn)有利用非參數(shù)估計方法結(jié)合期望效用最大化模型來研究投資組合選擇問題。本文基于非參數(shù)估計框架利用期望效用最大化模型研究了最優(yōu)投資組合選擇問題。

本章的余下部分是按以下方式組織的。首先，在一般效用函數(shù)下，我們通過組合收益率密度函數(shù)的非參數(shù)估計得到了期望效用的基本非參數(shù)估計公式，并建立了研究期望效用最大化投資組合選擇問題的基本框架。然后，在投資者具有冪效用函數(shù)的假定下，我們給出了期望效用具體的非參數(shù)計算公式，并給出了求解期望效用最大化模型的具體數(shù)值算法。最后，利用中國股票市場真實數(shù)據(jù)，給出了一個數(shù)值算例說明了我們研究結(jié)果的可行性及有效性。

2 一般效用函數(shù)下基于非參數(shù)估計的期望效用最大化模型

設(shè)市場上有n種資產(chǎn)（可以全是風(fēng)險資產(chǎn)也可以含有一種無風(fēng)險資產(chǎn)），它們的收益率向量為=（ξ1，ξ2，…ξn）′?？紤]投資組合（比例向量）W=（w1，w2，…，wn）′，這里A′表示矩陣A的轉(zhuǎn)置。則投資組合的收益率為

其中，當(dāng)允許買空時，有?=Rn；當(dāng)不允許買空時，有：

?=｛W=（w1，w2，…，wn）′∈Rn｜w1≥0，w2≥0，…，wn≥0｝

為了保證最優(yōu)解存在，U（·）通常要滿足某些數(shù)學(xué)性質(zhì)，如凹性和單調(diào)遞增性。

由于一般情況我們知道很少關(guān)于組合收益率ξp或資產(chǎn)收益率向量ξ→密度函數(shù)的信息，而非參數(shù)估計方法則不需要事先對分布類型作假定，對先驗信息的要求非常低。所以在本文，我們首先采用非參數(shù)估計方法來估計ξp或的分布，得到期望效用E［U（W′）］的非參數(shù)估計，然后在此基礎(chǔ)上研究效用最大化投資組合選擇問題。因為資產(chǎn)收益率向量是多維的，如果我們利用非參方法估計它的多維密度函數(shù)，其估計量的收斂速度會非常慢，即會出現(xiàn)所謂的“維數(shù)災(zāi)難”［11］。因此，在本文我們通過估計組合收益率ξp（一維）的密度函數(shù)得到E［U（W′）］的非參數(shù)估計。

其中k（·）是核函數(shù)，而h=h（T）則為光滑參數(shù)，通常稱為窗寬（bandwidth或window width）。當(dāng)核函數(shù)k（·）和窗寬h（·）滿足如下條件（i）和（ii）時，可以證明由（2）式所定義的非參數(shù)核估計量（x）是p（x）的一致估計量［11］。

所以基于非參數(shù)估計框架的期望效用最大化模型為：

但（4）和（5）式中窗寬h和核函數(shù)k（·）是需要待定選擇的，為了使模型更合理，下面我們介紹窗寬h（·）和核函數(shù)k（·）的選擇。

理論和實踐都表明，窗寬h（·）的選擇是至關(guān)重要的。下面我們介紹選取最優(yōu)窗寬h（·）的兩個常用方法。

（1）拇指法則（rule-of-thumb）：h=1.06σT，

（2）最小二乘交叉（least squared cross-validation）法：

另外一方面，雖然核函數(shù)的選擇對非參數(shù)核估計量有效性的影響并不是十分重要的［15］，但其影響也不容忽視。Epanechnikov［16］證明了在所有具有緊支撐（compact support）的非負(fù)核函數(shù)里，canonical Epanechnikov核函數(shù)：

是最優(yōu)的核函數(shù)，其中：

下面我們先給定窗寬h，并選取canonical Epanechnikov核函數(shù)，將（7）式代入（4）式，進(jìn)一步得到期望效用［U（W′）］的表達(dá)式為：

從而此時基于非參數(shù)估計框架的期望效用最大化模型為：

其中g(shù)（W，h）由（8）給出。由（8）式知，只要我們選 定 U（·），則 可 計 算的表達(dá)式，從而可得到g（W，h）的具體表達(dá)式。下面我們以冪效用函數(shù)為例，給出期望效用^E［U（W′ξ→）］的具體非參數(shù)計算公式g（W，h），并分別在采用“拇指法則”和“最小二乘交叉”選擇窗寬h時給出求解期望效用最大化模型的數(shù)值算法。

3 冪效用函數(shù)情形下期望效用的非參數(shù)計算公式

當(dāng)γ＜1時，U′′（x）=（γ-1）xγ-2＜0，此時對應(yīng)的投資者是風(fēng)險厭惡的；當(dāng)γ=1時，U′′（x）= 0，對應(yīng)的投資者是風(fēng)險中性的；當(dāng)γ＞1時，U′′（x）=（γ-1）xγ-2＞0，則對應(yīng)的投資者是風(fēng)險偏好的。對于允買空情形，為了保證優(yōu)化問題（9）最優(yōu)解的存在性，我們規(guī)定γ＜1；對于不允買空情形，我們對γ的大小則不需要作任何限制。

顯然：當(dāng)γ＞0時，U（x）定義域Θ=｛x｜x≥0｝；當(dāng)γ＜0時，定義域Θ=｛x｜x＞0｝。為數(shù)學(xué)上處理方便，我們統(tǒng)一U（x）的定義域為Θ=｛x｜x≥0｝。若模型求解后出現(xiàn)最優(yōu)投資策略使得x=0且U（x）沒意義，則另外討論。

（i）情形1：當(dāng)γ=-1時。此時，將（10）式代入（8）式可得：

現(xiàn)在，我們假定U（·）為冪效用函數(shù)，即具有如下形式：

（ii）情形2：當(dāng)γ=-2時。此時，將（10）式代入

（8）式可得：

（iii）情形3：當(dāng)γ=-3時。此時，將（10）式代入（8）式可得：

令xi=W′Ri+ah，yi=W′Ri-ah，則有-xiyi=a2h2-（W′Ri）2，xi+yi=2W′Ri，代入上式得：

（iv）情形4：當(dāng)γ≠-1，γ≠-2，γ≠-3時。此時，將（10）式代入（8）式可得：

代回W′Ri和h，并令

4 冪效用函數(shù)情形下效用最大化模型的求解

為簡單起見，我們先采用拇指法則選擇窗寬h。對于給定組合收益率ξp=W′ξ→的樣本集｛W′R1，W′R2，…，W′RT｝下，則由計量經(jīng)濟(jì)學(xué)理論知ξp的標(biāo)準(zhǔn)差估計量為：

其中，對于γ的不同情形，g（W，h）的具體表達(dá)式分別由（11）～（14）式給出。要注意的是，對于γ＜0情形，我們求得最優(yōu)解W*，h*之后，還要檢驗是不是滿足（W*）′Ri-ah*≠0。若滿足，則W*，h*就是最終的最優(yōu)解，若不滿足，或求解失敗，需要重新進(jìn)行求解。

最優(yōu)化問題（17）的特點是只有當(dāng)不等式約束W′Ri-ah≥0（i=1，2，…，T）成立時，其目標(biāo)函數(shù)才有意義，所以如果所采用的數(shù)值求解算法，在迭代過程中出現(xiàn)某些W′Ri-ah≥0不成立，則迭代無法進(jìn)行，從而導(dǎo)致求解失敗。為了克服這個困難，我們可以引入一些輔助參數(shù)，使目標(biāo)函數(shù)的自然定義域沒有受到限制。如我們可以引入?yún)?shù)s2i=W′Ri-ah≥0，i=1，2，…，T，把不等式約束轉(zhuǎn)化為等式約束。又注意到，從而：

此時可把目標(biāo)函數(shù)｛-g（W，h）｝改寫成關(guān)于W，s1，…，sT的函數(shù)，即令f（W，s1，…，sT）=：-g（W，h），則f（·）的自然定義域沒有限制。下面，對于不同情形的γ，我們給出f（W，s1，…，sT）的相應(yīng)表達(dá)式。

對于情形1，由（11）式有：

對于情形3，由（13）式有：

對各種情形得到f（W，s1，…，sT）的表達(dá)式后。若允許買空，最優(yōu)化問題（17）可轉(zhuǎn)化為：

若不允許買空，由于wj≥0，j=1，2，…，n，我們可以同時引入?yún)?shù)l2j=wj≥0。從而，若不允許買空，最優(yōu)化問題（17）可轉(zhuǎn)化為：

最優(yōu)化問題（22）和（23）都是帶非線性等式約束的非線性最優(yōu)化問題，目前求解的數(shù)值算法很多，如Lagrange法、外罰函數(shù)法、乘子法、梯度投影法、序列二次規(guī)劃法，等等。本文介紹利用乘子法來求解最優(yōu)化問題（22）和（23）。乘子法的基本思想是：在原問題Lagrange函數(shù)的基礎(chǔ)上再加上適當(dāng)?shù)牧P函數(shù)，把原問題的求解轉(zhuǎn)化為一系列無約束優(yōu)化問題來求解，可以說是Lagrange法和外罰函數(shù)法的結(jié)合，克服了單純使用Lagrange法或外罰函數(shù)法的缺陷。為了說明乘子算法的步驟，現(xiàn)在我們考慮一個一般等式約束優(yōu)化問題：

其中x=（x1，x2，…，xn）′∈Rn，h（x）=（h1（x），h2（x），…，hm（x））′∈Rm。

參考馬昌鳳［17］，下面我們給出最優(yōu)化問題（P）的乘子算法的步驟。

步驟1：給定x0∈Rn，λ1∈Rm，σ1＞0，充分小的正數(shù)ε，及0＜θ＜1，η＞1，令k：=1。

步驟2：以xk-1為初始點，求解如下無約束子問題的極小值點xk：

（SP） min φ（x，λk，σk）=z（x）-λk′h（x）+｜｜h（x）｜｜2。

步驟3：若｜｜h（xk）｜｜＜ε，停算，輸出xk；否則，轉(zhuǎn)步驟4。

步驟4：若｜｜h（xk）｜｜≥θ｜｜h（xk-1）｜｜，令σk+1=ησk；否則σk+1=σk。

步驟5：令λk+1=λk-σkh（xk）。

步驟6：令k：=k+1，轉(zhuǎn)步驟2。

其中，｜｜·｜｜表示歐氏模。在步驟2中，涉及到求解無約束非線性規(guī)劃問題（SP），目前的數(shù)值求解算法有很多，比如我們可采用基于BFGS校正公式的擬牛頓法，詳見馬昌鳳［17］。

如果采用最小二乘交叉驗證法選擇窗寬h，則期望效用最大化模型為：

最優(yōu)化問題（24）和我們平時遇到的最優(yōu)化問題有所不同，它的特點是，它的一個約束條件也是最優(yōu)化問題（稱之為下層優(yōu)化問題）。在數(shù)學(xué)上我們稱這一類優(yōu)化問題是雙層優(yōu)化問題，雙層優(yōu)化問題的求解通常更困難。當(dāng)最優(yōu)化問題（24）的下層優(yōu)化問題是凸的、可微的和正則的，則它能夠用其最優(yōu)性條件來代替。從而此時最優(yōu)問題（24）可轉(zhuǎn)化為如下單層優(yōu)化問題：

其中，?h是關(guān)于h的求導(dǎo)算子。最優(yōu)問題（25）是一個經(jīng)典的非線性等式約束優(yōu)化問題，正如前面所說的目前有很多數(shù)值算法對它進(jìn)行求解［18］。但最優(yōu)化問題（24）的下層優(yōu)化問題并不一定是凸的，目前也有很多數(shù)值方法來求解此類雙層優(yōu)化問題，有興趣的讀者可參考［19］、Dempe［20］、Colson［18］及相關(guān)文獻(xiàn)。但這些方法大多很復(fù)雜，為此，本文介紹另一種簡單的處理方法。我們的處理方法是把最優(yōu)化問題（24）分解為兩個相互關(guān)聯(lián)的最優(yōu)化問題。其中一個是，給定h，求以下最優(yōu)化問題：

而另一個是，給定W ，求以下最優(yōu)化問題：

顯然，分解后的兩個最優(yōu)化問題就不是雙層優(yōu)化問題了，有很多數(shù)值算法可對它們進(jìn)行求解。比如，我們可采用前面所介紹的乘子法求解最優(yōu)化問題（26），采用擬牛頓法求解最優(yōu)化問題（27）。假如已經(jīng)得到了求解最優(yōu)化問題（26）和（27）的數(shù)值算法，我們建議采用如下反復(fù)迭代的算法來求解最優(yōu)化問題（24）。

步驟1：給定初始估計量W0，和充分小的ε＞0，并取k：=0；

步驟2：令W=Wk，求解最優(yōu)問題（27）得其最優(yōu)數(shù)值解hk；

步驟3：令h=hk，求解最優(yōu)化問題（26）得其最優(yōu)數(shù)值解Wk+1，如果｜｜Wk+1-Wk｜｜＜ε，停止迭代，輸出Wk+1和hk，否則，令k：=k+1，轉(zhuǎn)第2步。

5 實例分析

作為結(jié)論的直接應(yīng)用和說明，下面我們給出一個具體的實例（本算例所有的計算都通過編寫程序在Mat Lab上進(jìn)行，而且數(shù)據(jù)及計算結(jié)果都取4位有效數(shù)字）。

隨機(jī)選取中國深滬證券交易所上市的11支股票：三峽新材（600293）、金晶科技（600586）、瑞泰科技（002066）、深康佳B（200016）、深華發(fā)A（000020）、海信電器（600060）、青松建化（600425）、方大集團(tuán)（000055）、金瑞礦業(yè)（600714）、西部資源（600139）和鑫科材料（600255）。這11支股票涉及的行業(yè)包括：玻璃及玻璃制品、電器、水泥、金屬制品、鋼鐵、能源和有色金屬等。選取從2009年1月5日至2011年3月31日交易日的原始數(shù)據(jù)（為表達(dá)和計算方便，其中單位為1/5，即將數(shù)據(jù)擴(kuò)大為原來的5倍），得T=544個日毛收益率樣本數(shù)據(jù)｛R1，R2，…，RT｝。其中，收益率采用如下計算形式：第i個資產(chǎn)第t個交易日的收益為Rit=，其中Pit和Pit-1分別表示第i個資產(chǎn)在第t和（t-1）個交易日的收盤價。通過計算得c= 1.06T-15=0.3007，

為簡單起見，本算例假定投資者具有冪效用函數(shù)，并采用拇指法則選擇窗寬h。即對于允許和不允許買空兩種情形分別求解最優(yōu)化問題（22）和（23）。求解時取初始解為：

對于不同的γ，根據(jù)本文模型，我們可求解出最優(yōu)投資組合和相應(yīng)最大期望效用。在允許和不允許買空的兩種條件下，其數(shù)值計算結(jié)果分別由表1和表2給出。其中，對于允許買空條件下，為了保證模型（22）最優(yōu)解存在，我們只考慮小于1的γ值，對于不允許買空的條件下，我們則考慮了包括大于等于1的γ值。

從表1和表2我們可以發(fā)現(xiàn)，（i）對于允許和不允許買空的兩種情形，參數(shù)γ取值對最優(yōu)投資組合都是有影響的，但最優(yōu)投資策略對參數(shù)γ的變化有時比較敏感，有時則不太敏感。

表1 允許買空條件下各種γ的最優(yōu)投資組合和最大期望效用

表2 不允許買空條件下各種γ的最優(yōu)投資組合和最大期望效用

6 結(jié)語

本文基于非參數(shù)估計框架研究了一般效用函數(shù)下期望效用最大化投資組合選擇問題，并在投資者具有冪效用函數(shù)的情形下，給出了模型的具體形式及求解的具體數(shù)值算法。最后，為了說明本文結(jié)論的應(yīng)用，我們基于中國股票市場真實數(shù)據(jù)給出了一個數(shù)值算例。雖然本文只是考慮了較為理想的簡單情形（如市場是無摩擦的）。但本文提出的框架和方法具有一般性，還可以進(jìn)一步用來研究各種現(xiàn)實條件下（如各種現(xiàn)實不等式約束和具有交易成本）的投資組合管理問題。

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Expected Utility Maximization Optimal Portfolio Selection Based on Nonparametric Estimation Framework

YAO Hai-xiang1，LI Zhong-fei2
（1.School of Informatics，Guangdong University of Foreign Studies，Guangzhou 510006，China；2.Business School，Sun Yat-sen University，Guangzhou 510275，China）

An optimal portfolio selection problem based on the expected utility maximization and nonparametric estimation framework is investigated in this paper.Unlike most studies in which the assets'returns are supposed to obey some special distribution forms，any assumption about the distributions of the assetreturns are not required in this paper.Firstly in case of general utility function，using the nonparametric estimation of the portfolio return's density function，the basis nonparametric calculated formula for expected utility is given，and the basic framework for expected utility maximization portfolio selection problem is established.Then，under the assumption that investors hold the power utility function，the specific nonparametric estimated formula for expected utility is obtained，and the specific numerical algorithms for the optimal investment strategy of the utility maximization model is proposed.Finally，a numerical example based on real daily return data of 11 stocks from Chinese stock market is given to illustrate the usefulness and effectiveness of our results.The nonparametric estimation framework introduced in this paper is general and adaptive.It can be used to investigate the portfolio selection model under various realistic conditions，such as inequality constraints and transaction costs.

portfolio selection；power utility function；expected utility maximization model；nonparametric estimation；optimal investment strategy

F830.59；F224

：A

1003-207(2014)01-0001-09

2011-12-16；

2013-06-30

國家自然科學(xué)基金重點項目（71231008）；廣東省高等學(xué)校高層次人才項目；廣東省自然科學(xué)基金項目（S2011010005503）；廣東省高等院?？萍紕?chuàng)新項目（2012KJCX0050）；廣東省科技計劃項目（2012B040305009）；“全國統(tǒng)計科學(xué)”研究計劃一般項目（2013LY101）

姚海祥（1978-），男（漢族），廣東增城人，廣東外語外貿(mào)大學(xué)信息學(xué)院，副教授，博士，研究方向：金融工程、風(fēng)險管理.