梁 進(jìn)，李文毅

（同濟(jì)大學(xué) 數(shù)學(xué)系，上海 200092）

從2009年底的迪拜債務(wù)危機(jī)到去年的歐洲債務(wù)危機(jī)，再到目前全球范圍內(nèi)的通脹危機(jī)，都顯示世界經(jīng)濟(jì)還沒(méi)有從美國(guó)次貸危機(jī)的陰霾中走出來(lái).這些危機(jī)凸顯場(chǎng)外衍生工具市場(chǎng)交易對(duì)手風(fēng)險(xiǎn)的重要性，特別是信用衍生工具.

大多數(shù)的場(chǎng)外衍生品交易都有交易對(duì)手的信用風(fēng)險(xiǎn).在巴塞爾協(xié)議II中，交易對(duì)手信用風(fēng)險(xiǎn)（counterparty credit risk，CCR）被定義為：“一樁交易的對(duì)手方可能在交易現(xiàn)金流最后結(jié)算前發(fā)生違約；如果這樁交易或資產(chǎn)組合在違約時(shí)對(duì)本方有正的經(jīng)濟(jì)價(jià)值，那么對(duì)本方就會(huì)發(fā)生經(jīng)濟(jì)上的損失.”過(guò)去的十年中，場(chǎng)外交易飛速發(fā)展，但直到2008年次貸危機(jī)爆發(fā)才使其違約風(fēng)險(xiǎn)被廣泛受到關(guān)注.這次金融危機(jī)造成了自1930年經(jīng)濟(jì)大蕭條后全球范圍內(nèi)的一次巨大的經(jīng)濟(jì)衰退.而交易對(duì)手信用風(fēng)險(xiǎn)也在這次金融危機(jī)中扮演了重要的角色.

信用違約互換（credit default swap，CDS）可以顯示市場(chǎng)中交易的“信用健康”.CDS的出現(xiàn)解決了信用風(fēng)險(xiǎn)的流動(dòng)性問(wèn)題，使得信用風(fēng)險(xiǎn)可以像市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)一樣進(jìn)行交易，從而轉(zhuǎn)移擔(dān)保方風(fēng)險(xiǎn)，同時(shí)也降低了企業(yè)發(fā)行債券的難度和成本.但是基于分散風(fēng)險(xiǎn)的原則，在錯(cuò)位風(fēng)險(xiǎn)的情況下，對(duì)信用衍生產(chǎn)品進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)度量與控制時(shí)有一個(gè)問(wèn)題令風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避方感興趣：一份風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)合約是否可由多名交易對(duì)手來(lái)承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)？如果是，那么他們之間的違約正負(fù)相關(guān)性怎樣影響風(fēng)險(xiǎn)？所以如何建立合理的數(shù)學(xué)模型來(lái)研究這樣的風(fēng)險(xiǎn)就是本文的課題.

交易對(duì)手估值調(diào)整（counterparty valuation adjustment，CVA）被用來(lái)估算交易對(duì)手的信用風(fēng)險(xiǎn).換句話說(shuō)，CVA就是考慮和不考慮交易對(duì)手違約風(fēng)險(xiǎn)情況下對(duì)某合約估值的差額.Pykhtin等［1］和Alavian等［2］對(duì)交易對(duì)手信用風(fēng)險(xiǎn)以及CVA作了概括和綜述.Brigo［3］在約化法的框架下考慮了交易對(duì)手信用風(fēng)險(xiǎn)，并對(duì)違約強(qiáng)度和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的相關(guān)性作了分析.他們還在文獻(xiàn)［4］中用約化法對(duì)考慮交易對(duì)手違約風(fēng)險(xiǎn)的權(quán)益信用違約互換（contingent credit default swap，CCDS）進(jìn)行了研究，同樣也對(duì)違約強(qiáng)度和利率的相關(guān)性作了分析，其違約強(qiáng)度被擴(kuò)展到跳擴(kuò)散過(guò)程.Brigo等［5］將交易對(duì)手信用風(fēng)險(xiǎn)的研究從單邊的擴(kuò)展到了雙邊.Li在文獻(xiàn)［6］考慮了帶交易對(duì)手信用風(fēng)險(xiǎn)的CDS定價(jià)是將回收率假設(shè)為隨機(jī)過(guò)程.魏嵬和姜禮尚［7］利用單因子模型對(duì)標(biāo)準(zhǔn)的單名CDS產(chǎn)品的CVA作了計(jì)算和分析.

本文將在模型［7］基礎(chǔ)上考慮含多交易對(duì)手的單名CDS產(chǎn)品的CVA計(jì)算模型，通過(guò)分析考慮交易對(duì)手之間違約的相關(guān)性，分別用單因子CIR（Cox-Ingersoll-Ross）模型和單因子反CIR模型刻畫正負(fù)相關(guān)性，并在約化方法的框架下得到CVA的計(jì)算模型，并在這個(gè)基礎(chǔ)上作了一些數(shù)值結(jié)果的分析，同時(shí)將多交易對(duì)手的CDS與標(biāo)準(zhǔn)的CDS的CVA值進(jìn)行做比較分析，進(jìn)而得出一些有指導(dǎo)意義的結(jié)論.

1 建立模型

1.1 多交易對(duì)手單名CDS的現(xiàn)金流分析

現(xiàn)在考慮多交易對(duì)手的單名CDS合約的現(xiàn)金流，假設(shè)這張合約中有兩個(gè)交易對(duì)手B1，B2，一個(gè)參考公司C，對(duì)應(yīng)符號(hào)的上、下標(biāo)i（i＝1，2，3）做如下的假設(shè)：交易對(duì)手Bi→i（i＝1，2），參考公司C→i＝3.

在約化法框架下，違約可用強(qiáng)度模型來(lái)刻畫.假設(shè)τi表示第i（i＝1，2，3）公司的違約時(shí)間，定義違約指示過(guò)程，其中Hi是這三個(gè)違約過(guò)程生成的信息流.即，其中以及σ－域流，對(duì)所有t∈R＋.ht包含了這份合約是否終止的所有信息.假設(shè)其中為市場(chǎng)上所有可知信息.假設(shè)τi是Gt-停時(shí)，即事件（τi≤t）（i＝1，2，3）屬 于σ－域 流Gt.所 以τi是 概 率 空 間 （Ω，Gt，｛Gt｝t≥0，P）上的隨機(jī)時(shí)間，其中P是風(fēng)險(xiǎn)中性概率.

在標(biāo)準(zhǔn)CDS基礎(chǔ)上考慮多交易對(duì)手，其他條件不變.如保費(fèi)是定期支付，賠付在違約發(fā)生時(shí)，剩余保費(fèi)將在下個(gè)支付日支付.合約到期日為T，參考貸款面值為1.保費(fèi)支付日為t1＜t2＜…＜tM＝T，M為總期數(shù)，Δt為相鄰保費(fèi)支付日間隔，R1為參考公司的回收率.新的假定是：如果一個(gè)交易對(duì)手在參考公司違約之前違約，則該交易對(duì)手所擔(dān)保的比例馬上結(jié)算，而投資者與另一交易對(duì)手的合約繼續(xù).如果參考公司C在兩個(gè)交易對(duì)手之前發(fā)生違約，CDS賣方B1，B2按相應(yīng)比例a1，a2進(jìn)行賠付，分別為：ai（1－R1），（i＝1，2，a1＋a2＝1），則多交易對(duì)手的單名CDS合約的具體現(xiàn)金流如圖1所示.圖中，τ3為參考公司違約時(shí)刻，a1（1－R1）為交易對(duì)手B1的賠付，a2（1－R1）為交易對(duì)手B2的賠付.其中，R2為CDS賣方B1，B2發(fā)生違約時(shí)的回收率.

圖1 多交易對(duì)手信用違約互換現(xiàn)金流圖Fig.1 Cash flow of the multi-counterparties credit default swap products

1.2 含多交易對(duì)手單名CDS合約的CVA計(jì)算模型

假設(shè)r為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，U為考慮了CCR的含多交易對(duì)手的單名CDS的價(jià)值，V為不考慮CCR的含多交易對(duì)手的單名CDS的價(jià)值，λi表示第i（i＝1，2，3）公司的違約強(qiáng)度.如果CDS賣方Bi（i＝1，2）先于參考公司違約，買方的損失（或收益）為［8］ai（R2U＋－U－）.站在t時(shí)刻，不含CCR的多交易對(duì)手CDS合約的價(jià)值為：

其中：U＋＝max｛U，0｝，U－＝min｛U，0｝，r為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率.

那么多交易對(duì)手CDS合約的CVA在t時(shí)刻的估值為

1.3 單因子CIR模型

（1）多交易對(duì)手與參考公司之間違約相關(guān)性為正相關(guān)情形

考慮利用單因子模型來(lái)建立參考公司違約與交易對(duì)手違約之間的相關(guān)性.在前言部分分析CDS的信用風(fēng)險(xiǎn)中，已經(jīng)強(qiáng)調(diào)了利率作為宏觀經(jīng)濟(jì)變量的重要性.利率不僅關(guān)系到整個(gè)國(guó)家的經(jīng)濟(jì)運(yùn)行，同樣對(duì)每個(gè)投資者也是十分重要的投資因素.所以利用rt表示公共因子即系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)因子，而βit（i＝1，2，3）則表示第i公司違約的特有因子即非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)因子，得到下面的單因子模型：

式中，bi和ci都是非負(fù)常數(shù)，并且是相互獨(dú)立的隨機(jī)過(guò)程.

假設(shè)瞬時(shí)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率rt和βit（i＝1，2，3）都由CIR過(guò)程驅(qū)動(dòng)，即

其中κi、θi和σi是正的常數(shù)，并且滿足Feller條件是相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)（i＝0，1，2，3）.

（2）多交易對(duì)手與參考公司之間違約相關(guān)性為負(fù)相關(guān)情形

現(xiàn)在考慮參考公司與交易對(duì)手之間的違約是負(fù)相關(guān)的，即宏觀利率因素對(duì)兩者的影響是反向的.為保證所有的（i＝1，2，3）均為正，假設(shè)［8］：

其中bi和ci均為非負(fù)常數(shù)，同樣假設(shè)是相互獨(dú)立的隨機(jī)過(guò)程.這樣之間的違約相關(guān)性為正相關(guān)，而分別與之間的違約相關(guān)性為負(fù)相關(guān)的.

（3）一個(gè)交易對(duì)手與參考公司之間的違約相關(guān)性為正相關(guān)而另一個(gè)交易對(duì)手與參考公司之間的違約相關(guān)性為負(fù)相關(guān)情形

現(xiàn)在考慮參考公司與交易對(duì)手之間的違約有正相關(guān)的，也有負(fù)相關(guān)的情形，即宏觀利率因素對(duì)一個(gè)交易對(duì)手的影響為正，另一個(gè)為負(fù)，此時(shí)假定：

其中bi和ci均為非負(fù)常數(shù)，同樣假設(shè)是相互獨(dú)立的隨機(jī)過(guò)程.這樣之間的違約相關(guān)性為正相關(guān)之間的違約相關(guān)性是負(fù)相關(guān)的.

模型（3）中第①式含有1／rt項(xiàng)，其為CIR過(guò)程的倒數(shù)，滿足反 CIR過(guò)程［9］（inverse CIR process，ICIR）.

2 模型求解

本文的模型求解分為線性的和非線性的，首先解決線性問(wèn)題的解.

2.1 模型的線性問(wèn)題求解

2.1.1 單因子CIR模型的情形

建立了單因子CIR模型后，便可以對(duì)CVA值式（1）進(jìn)行求解了.觀察式（1），求解關(guān)鍵在于求類似于的條件期望.將模型（2）代入這兩個(gè)期望表達(dá)式可化為求解 如 下 兩 個(gè) 基 本 類 型 的 期 望：和.對(duì)于形式（I）的期望，可以通過(guò)求解下面偏微分方程的 Cauchy問(wèn)題其中k為常數(shù)：

偏微分方程（5）有仿射形結(jié)構(gòu)解［10］.即存在函數(shù)A（t，x）和B（t，x），使得

2.1.2 單因子反CIR模型的情形

仿照文獻(xiàn)［9］中的方法，最后可得方程（6）的解：

2.2 模型的非線性問(wèn)題求解

將式（1）寫成如下形式：

其中，W1（t）和W2（t）可以寫成和H（f（r），t；u）的函數(shù)形式，而后一部分非線性條件期望利用Feynman-Kac公式后，得到非線性偏微分方程：

3 數(shù)值分析

利用第2.2節(jié)提出的迭代方法對(duì)含多交易對(duì)手的CDS合約的CVA值進(jìn)行計(jì)算，迭代的具體方法是：將有方程右端的非線性項(xiàng)用不考慮交易對(duì)手違約的模型解析解代替，將方程變成一個(gè)線性方程組，該問(wèn)題有第2.2節(jié)中得到的封閉解，然后將此解析解再代入方程右端的非線性項(xiàng).這樣反復(fù)，經(jīng)過(guò)一定的迭代步數(shù)，就能得到y(tǒng)i（t）近似解，進(jìn)而得到U（t）近似解.通過(guò)對(duì)結(jié)果的數(shù)值分析可得：① 驗(yàn)證迭代的收斂性以及收斂速度；② 考察系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)因子對(duì)含多交易對(duì)手CDS合約的CVA的影響；③ 考察含多交易對(duì)手CDS合約的CVA與合約期限的關(guān)系；④分析含多交易對(duì)手的違約相關(guān)性對(duì)CVA值的影響，并與標(biāo)準(zhǔn)CVA進(jìn)行比較.

本文圖形中的基本對(duì)應(yīng)參數(shù)取定如下：

3.1 單因子CIR模型的情形

圖2和表1都顯示當(dāng)?shù)螖?shù)n≥5時(shí)，U（t）幾乎不發(fā)生變化，說(shuō)明了迭代的收斂速度非?？?即利用本文的模型計(jì)算CDS的CVA值有較高的效率.

圖2 CDS價(jià)格關(guān)于約合期限T的關(guān)系Fig.2 The relationship between CDS price and T

圖3和圖4分別顯示了含多交易對(duì)手單名CDS合約的CVA值與公共因子rt，合約期限T的關(guān)系.含多交易對(duì)手CDS合約的CVA值與合約期限正相關(guān)，且在T相對(duì)較小時(shí)CVA增長(zhǎng)較快.這點(diǎn)說(shuō)明，當(dāng)合約期限較長(zhǎng)時(shí)，交易對(duì)手違約的可能性增大，故

圖3 CDS價(jià)格關(guān)于利率r的關(guān)系Fig.3 The relationship between CDS price and interest rate r

圖4 CVA關(guān)于約合期限T的關(guān)系Fig.4 The relationship between CVA and T

CVA值相應(yīng)增大.含多交易對(duì)手CDS合約的CVA值與利率亦正相關(guān)，利率增大時(shí)，表明整個(gè)市場(chǎng)收緊，違約風(fēng)險(xiǎn)加大，故CVA值也會(huì)增大；從圖中也可看出，在利率較小時(shí)，CVA變化較小，反之亦然.

圖5顯示含多交易對(duì)手CDS合約的CVA值與合約賣方中B1和B2之間相關(guān)性的關(guān)系，含多交易對(duì)手CDS合約的CVA值與交易對(duì)手之間的違約相關(guān)性為正相關(guān).即如果交易對(duì)手之間的相關(guān)性大，一旦其中一個(gè)交易對(duì)手違約則多交易對(duì)手都違約的風(fēng)險(xiǎn)也大，故其CVA值也會(huì)大.

圖5 CVA關(guān)于交易對(duì)手違約正相關(guān)比例系數(shù)的關(guān)系Fig.5 The relationship between CVA and correlation coefficient of counterparties

圖6顯示含多交易對(duì)手CDS合約的CVA值以及標(biāo)準(zhǔn)的CDS的CVA值與交易對(duì)手和參考公司之間的違約相關(guān)性之間的關(guān)系，它們都隨著交易對(duì)手與參考公司之間違約相關(guān)性的增大而增大.這時(shí)交易對(duì)手和參考公司違約的可能性增大，故其CVA值也會(huì)增大，同時(shí)看到隨著交易對(duì)手與參考公司之間違約相關(guān)性的增大，含多交易對(duì)手CDS合約的CVA值比標(biāo)準(zhǔn)的CDS的CVA值要小.

表1 CVA迭代差值與迭代次數(shù)之間的關(guān)系Tab.1 The relationship between iteration difference of CVA and the number of iterations

3.2 單因子反CIR模型的情形

圖7顯示含多交易對(duì)手的CVA值與合約賣方中B1和B2之間違約相關(guān)性為負(fù)情形下的關(guān)系.它們違約負(fù)相關(guān)性越大，CVA值越小.這時(shí)當(dāng)一方交易對(duì)手違約的可能性增大時(shí)，另一方交易對(duì)手違約的可能性反而降低，故其CVA值減小.

圖6 CVA關(guān)于交易對(duì)手與參考實(shí)體違約的正相關(guān)比例系數(shù)的關(guān)系Fig.6 The relationship between CVA and the positive correlation coefficient of counterparty and the reference company

圖7 CVA關(guān)于交易對(duì)手之間違約負(fù)相關(guān)比例系數(shù)的關(guān)系Fig.7 The relationship between CVA and the negative correlation coefficient of counterparties

圖8顯示含多交易對(duì)手單名CDS合約的CVA值以及標(biāo)準(zhǔn)CDS的CVA值與交易對(duì)手和參考公司之間的違約相關(guān)性之間的關(guān)系.

當(dāng)交易對(duì)手都與參考公司間的違約為負(fù)相關(guān)時(shí)，含多交易對(duì)手單名CDS合約的CVA值隨著交易對(duì)手與參考公司之間違約相關(guān)性的增大而減小，由于參考公司違約的可能性增大，則交易對(duì)手的違約可能性降低，其CVA減小.

圖8 CVA關(guān)于交易對(duì)手與參考實(shí)體之間違約的負(fù)相關(guān)比例系數(shù)的關(guān)系Fig.8 The relationship between CVA and the negative correlation coefficient of counterparty and the reference company

當(dāng)兩交易對(duì)手與參考公司間的違約相關(guān)性一正一負(fù)時(shí)，含多交易對(duì)手的CVA值隨著交易對(duì)手與參考公司之間違約相關(guān)性的增大而減小.即參考公司違約可能性增大，交易對(duì)手違約可能性此長(zhǎng)彼消，但總體降低，其CVA減小.

從圖中看出多交易對(duì)手的CDS與標(biāo)準(zhǔn)CDS的比較結(jié)果.在只要有交易對(duì)手間違約相關(guān)性一致時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)CDS合約的CVA值比多交易對(duì)手CDS合約的CVA值要大，即此時(shí)多交易對(duì)手可以降低風(fēng)險(xiǎn)；而交易對(duì)手與參考公司違約相關(guān)不一致時(shí)，多交易對(duì)手的CDS合約的CVA值可能更大.

4 結(jié)論

本文研究了含多交易對(duì)手違約的單名CDS的CVA值的測(cè)算.通過(guò)分析考慮交易對(duì)手與參考公司之間違約的相關(guān)性，分別得到了三種不同單因子模型下CVA的計(jì)算模型，分別為多交易對(duì)手都與參考公司之間的違約相關(guān)性為正相關(guān)的情形；一個(gè)交易對(duì)手與參考公司之間的違約相關(guān)性為正相關(guān)而另一個(gè)交易對(duì)手與參考公司之間的違約相關(guān)性為負(fù)相關(guān)的情形；多交易對(duì)手都與參考公司之間的違約相關(guān)性為負(fù)相關(guān)的情形.它們的計(jì)算最終都化為非線性偏微分方程的數(shù)值解來(lái)表達(dá).通過(guò)一個(gè)收斂速度較快的迭代算法，作了一些數(shù)值結(jié)果的分析，并且將結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)的單名的CDS的CVA值進(jìn)行做比較分析，得到以下結(jié)果：

（1）交易對(duì)手與參考公司間違約的相關(guān)性為正時(shí)，多交易對(duì)手信用違約互換（CDS）合約的交易對(duì)手估值調(diào)整（CVA）值和標(biāo)準(zhǔn)的CDS的CVA值都隨交易對(duì)手與參考公司間違約相關(guān)性的增大而增大，同時(shí)多交易對(duì)手的CVA值比標(biāo)準(zhǔn)的CVA值要小.即當(dāng)交易對(duì)手與參考公司間的違約都是正相關(guān)時(shí)，相關(guān)性將加大風(fēng)險(xiǎn)，但多交易對(duì)手將降低風(fēng)險(xiǎn).

（2）交易對(duì)手與參考公司間違約的相關(guān)性都為負(fù)時(shí)，多交易對(duì)手CDS合約的CVA值和標(biāo)準(zhǔn)CDS的CVA值都隨著交易對(duì)手與參考公司之間違約相關(guān)性的增大而減小.即當(dāng)交易對(duì)手與參考公司之間違約負(fù)相關(guān)時(shí)，相關(guān)性將降低風(fēng)險(xiǎn).

（3）兩交易對(duì)手與參考公司間的違約相關(guān)性一正一負(fù)的CVA值比兩個(gè)都為負(fù)的CVA值要大；而標(biāo)準(zhǔn)的CVA值也比兩個(gè)都為負(fù)的CVA值要大.即當(dāng)交易對(duì)手與參考公司之間違約負(fù)相關(guān)時(shí)，另加負(fù)相關(guān)的交易對(duì)手將降低風(fēng)險(xiǎn)，而另加正相關(guān)的交易對(duì)手將增大風(fēng)險(xiǎn).

致謝：感謝Anis Ben Brahim一起參與文章的討論，并對(duì)文章提出了建設(shè)性的意見(jiàn).

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