摘要：隨著利率市場(chǎng)化進(jìn)程的推進(jìn)，利率衍生產(chǎn)品定價(jià)也越來(lái)越成為人們關(guān)注的問(wèn)題。對(duì)現(xiàn)有利率模型缺陷進(jìn)行修正，使其更貼近市場(chǎng)波動(dòng)特征，是目前中國(guó)定價(jià)模型研究的重點(diǎn)。主要對(duì)國(guó)內(nèi)外對(duì)于Libor市場(chǎng)模型及其CMS價(jià)差期權(quán)定價(jià)的現(xiàn)有研究進(jìn)行文獻(xiàn)述評(píng)，在此基礎(chǔ)上，提出該研究領(lǐng)域的進(jìn)一步研究方向?；陔S機(jī)波動(dòng)率機(jī)制轉(zhuǎn)換的Libor市場(chǎng)模型將成為對(duì)Libor所服從隨機(jī)過(guò)程建模的重要方向，同時(shí)該模型也是對(duì)CMS價(jià)差期權(quán)定價(jià)的基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：Libor市場(chǎng)模型；隨機(jī)波動(dòng)率；跳躍擴(kuò)散；機(jī)制轉(zhuǎn)換；CMS價(jià)差期權(quán)

中圖分類(lèi)號(hào)：F830文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：1673-291X（2014）16-0154-04

Libor作為國(guó)際金融市場(chǎng)上的一種重要基準(zhǔn)利率，對(duì)其所服從的隨機(jī)過(guò)程建模準(zhǔn)確與否也就成為以Libor為標(biāo)的的衍生產(chǎn)品尤其是奇異衍生產(chǎn)品定價(jià)正確與否的前提。金融市場(chǎng)對(duì)Libor所服從的隨機(jī)過(guò)程大都采用流行的Libor市場(chǎng)模型（LMM），然而標(biāo)準(zhǔn)的LMM存在各種缺陷并不能有效反映波動(dòng)率偏斜或者微笑等特征，這種缺陷對(duì)于奇異期權(quán)的定價(jià)顯得尤為重要。

因此，本文研究?jī)?nèi)容主要包括兩方面：第一，在標(biāo)準(zhǔn)的LMM基礎(chǔ)上，加入具有隨機(jī)波動(dòng)率、跳躍、機(jī)制轉(zhuǎn)換等性質(zhì)的波動(dòng)率隨機(jī)過(guò)程對(duì)LMM進(jìn)行擴(kuò)展。第二，對(duì)CMS價(jià)差期權(quán)進(jìn)行有效定價(jià)從而進(jìn)一步擴(kuò)展利率收益率曲線結(jié)構(gòu)。

根據(jù)上述研究?jī)?nèi)容，本文將主要文獻(xiàn)按一下結(jié)構(gòu)進(jìn)行回顧：（1）Libor市場(chǎng)模型的國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀；（2）CMS價(jià)差期權(quán)定價(jià)的國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀。

一、Libor市場(chǎng)模型文獻(xiàn)綜述

標(biāo)準(zhǔn)的LMM最初由Brace，Gatarek和Musiela（1997），Jamshiaian（1997）以及Miltersen，Sandmann和Sondermann（1997）提出。該模型提出后，不但獲得了市場(chǎng)和學(xué)術(shù)界的一致認(rèn)可，而且在現(xiàn)今早已成為了市場(chǎng)基準(zhǔn)模型。

從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)，LMM是著名HJM模型的離散化形式。LMM與HJM相對(duì)比，其主要的優(yōu)勢(shì)在于該模型構(gòu)建的是市場(chǎng)上可觀測(cè)的遠(yuǎn)期利率，而不是數(shù)學(xué)意義上抽象的瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率。并且利率衍生產(chǎn)品的定價(jià)在LMM框架下變得更為容易，尤其是利率上限、利率下限、利率互換期權(quán)等的定價(jià)同仍然是市場(chǎng)上最常用的Black（1976）公式保持一致。

然而標(biāo)準(zhǔn)的LMM主要缺陷在于其并不能有效獲取可觀察到的市場(chǎng)波動(dòng)率偏斜或者微笑特征。未包含波動(dòng)率偏斜或者微笑特征的期權(quán)定價(jià)模型，在對(duì)于奇異期權(quán)的定價(jià)中可能會(huì)導(dǎo)致嚴(yán)重的定價(jià)錯(cuò)誤問(wèn)題。因此現(xiàn)有文獻(xiàn)提出各種對(duì)于LMM的擴(kuò)展模型來(lái)試圖包含市場(chǎng)波動(dòng)率偏斜或者微笑特征。

（一）國(guó)外Libor市場(chǎng)模型研究現(xiàn)狀

1.局部波動(dòng)率對(duì)LMM的擴(kuò)展

Andersen和Andreasen（2000）以標(biāo)準(zhǔn)的LMM為基礎(chǔ)，在擴(kuò)散項(xiàng)中引入非線性的遠(yuǎn)期利率來(lái)包含波動(dòng)率偏斜特征，并討論以利率上限、利率互換期權(quán)報(bào)價(jià)為基礎(chǔ)的校準(zhǔn)技術(shù)。他們以一般的CEV過(guò)程為例，推導(dǎo)出利率上限、利率互換期權(quán)定價(jià)的閉型解。

2.跳躍擴(kuò)散對(duì)LMM的擴(kuò)展

Eberlein和ouml;zkan（2005）提出基于Lévy過(guò)程的LMM（Lévy-LMM）并給出模型的無(wú)套利條件。除此之外，他們提出一種將一般指數(shù)過(guò)程代替隨機(jī)指數(shù)過(guò)程的方法，以及運(yùn)用雙向的拉普拉斯變換來(lái)得出利率上限、利率下限的精確定價(jià)公式。

Eberlein和koval（2006）以交叉貨幣期權(quán)為研究對(duì)象，在Lévy-LMM的基礎(chǔ)上將其擴(kuò)展到多幣種形式。除此之外，他們推導(dǎo)出交叉貨幣衍生產(chǎn)品的閉形定價(jià)公式，以及運(yùn)用雙向的拉普拉斯變換來(lái)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。

Belomestny和Schoenmakers（2011）提出一種高維跳躍空間下的跳躍擴(kuò)散LMM，并采用考慮了局部協(xié)方差結(jié)構(gòu)的非參數(shù)校準(zhǔn)算法對(duì)模型進(jìn)行校準(zhǔn)。他們同時(shí)采用快速傅立葉方法對(duì)Libor衍生產(chǎn)品進(jìn)行數(shù)值求解。

Eberlein和Grbac（2013）采用LMM對(duì)信用風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行建模。他們將通常定義的無(wú)違約的遠(yuǎn)期Libor擴(kuò)展成信用評(píng)級(jí)下的可違約債券并構(gòu)建了以評(píng)級(jí)為基礎(chǔ)的LMM。他們采用時(shí)間非齊次的Lévy過(guò)程為無(wú)違約和有違約前的Libor期限結(jié)構(gòu)的隨機(jī)過(guò)程。

Leippold和Str#981;mberg（2014）提出一種新的時(shí)變Lévy-LMM以對(duì)利率上線和利率互換期權(quán)進(jìn)行聯(lián)合定價(jià)。他們將時(shí)變分成三部分，第一部分能夠擬合波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu)；第二部分能夠產(chǎn)生隨機(jī)波動(dòng)率；第三部分包含了波動(dòng)率偏斜。

3.隨機(jī)波動(dòng)率模型

Joshi和Rebonato（2003）在DD-LMM模型的基礎(chǔ)上，假設(shè)在時(shí)間τ時(shí)，確定性的遠(yuǎn)期利率瞬時(shí)波動(dòng)率方程服從以下形式：σ（τ）=（a+bτ）e-cτ+d。并假設(shè)參數(shù)a、b、logc、logd相互獨(dú)立且均服從Ornstein-Uhlenbeck過(guò)程，即當(dāng)e代表上述四個(gè)任一參數(shù)時(shí)具有以下形式de=λe（γe-e）dt+σedW（e）

t。

Piterbarg（2003）以互換期權(quán)為研究對(duì)象，在DD-LMM模型的基礎(chǔ)上引入了隨機(jī)波動(dòng)率過(guò)程，從而形成了DD-SV-LMM具體形式如下：

dLn（t）=（βLn（t）+（1-β）Ln（0））σk（t；n）（μk（t；n）+

dWk（t））

dz（t）=θ（z0-z（t））dt+ηdV（t）

z（0）=z0

〈dV，dW〉=0

Andersen和Brotherton-Ratcliffe（2005）在LMM基礎(chǔ)上引入了具有均值回歸的性質(zhì)的隨機(jī)波動(dòng)率過(guò)程，并通過(guò)近似展開(kāi)技術(shù)提出了利率上限、利率互換期權(quán)的閉形的定價(jià)公式。

Wu和Zhang（2006）在LMM的基礎(chǔ)上采用多重因子隨機(jī)波動(dòng)率方式進(jìn)行擴(kuò)展。隨機(jī)波動(dòng)率服從平方根擴(kuò)散過(guò)程，并與遠(yuǎn)期利率相關(guān)。除此之外，他們運(yùn)用傅里葉變換得出互換期權(quán)的閉形解。

Belomestny，Mathew 和Schoenmakers（2009）提出一種具有高維平方根波動(dòng)率過(guò)程的LMM擴(kuò)展模型。作為關(guān)鍵問(wèn)題，他們要求局部協(xié)方差結(jié)構(gòu)也保持隨機(jī)的波動(dòng)率，并運(yùn)用快速傅立葉方法對(duì)模型進(jìn)行數(shù)值求解。

Ladkau，Schoenmakers和Zhang（2013）提出一種具有替代擴(kuò)散的多維隨機(jī)波動(dòng)率LMM（DD-SV-LMM），其各自的遠(yuǎn)期Libor由平方根隨機(jī)波動(dòng)率過(guò)程驅(qū)動(dòng)。同時(shí)，他們提出一種新的仿射近似方法并運(yùn)用傅立葉變換方法對(duì)利率上限和利率互換期權(quán)進(jìn)行定價(jià)。

4.馬爾科夫機(jī)制轉(zhuǎn)換模型

Elliott和Valchev（2004）提出一種機(jī)制轉(zhuǎn)換隨機(jī)波動(dòng)率擴(kuò)展的LMM。該模型中，瞬時(shí)遠(yuǎn)期Libor波動(dòng)率服從連續(xù)時(shí)間其次馬爾科夫鏈，同時(shí)波動(dòng)率參數(shù)服從機(jī)制轉(zhuǎn)換性質(zhì)的平方根過(guò)程。他們以該模型為基礎(chǔ)求解出利率上限的解析解，并且運(yùn)用近似方法求解出利率互換期權(quán)的解析式。

Rebonato和Kainth（2004）在Joshi和Rebonato（2003）隨機(jī)波動(dòng)率模型的基礎(chǔ)上引入了兩機(jī)制隨機(jī)波動(dòng)率，克服了單一隨機(jī)波動(dòng)率模型的缺陷，更好的解釋了隱含波動(dòng)率。

Steinrücke，Zagst和Swishchuk（2013）在LMM的基礎(chǔ)上通過(guò)對(duì)擴(kuò)散項(xiàng)的擴(kuò)展引入了具有馬爾科夫機(jī)制轉(zhuǎn)換性質(zhì)的跳躍擴(kuò)散（MSJD）項(xiàng)。除此之外，他們證明了其無(wú)套利條件，以及運(yùn)用傅里葉定價(jià)技術(shù)衍生出了利率上限、利率下限、利率互換期權(quán)的定價(jià)公式。

（二）國(guó)內(nèi)Libor市場(chǎng)模型研究現(xiàn)狀

劉魁（2006）研究LMM對(duì)可贖回區(qū)間累積型產(chǎn)品的定價(jià)方法。通過(guò)布朗橋占用時(shí)間的分布，給出了計(jì)算Libor落在區(qū)間內(nèi)天數(shù)的簡(jiǎn)便方法，極大地提高了計(jì)算的效率，并且得到了與市場(chǎng)報(bào)價(jià)相一致的計(jì)算結(jié)果。

劉暢（2008）以國(guó)內(nèi)發(fā)行的兩種遠(yuǎn)期利率衍生產(chǎn)品為例，對(duì)標(biāo)準(zhǔn)LMM進(jìn)行系統(tǒng)討論，并對(duì)模型的相關(guān)參數(shù)進(jìn)行校準(zhǔn)。作者運(yùn)用蒙特卡羅模擬模擬方法中的歐拉方法和改進(jìn)的歐拉方法對(duì)模型進(jìn)行數(shù)值求解。

蔣承，郭黃斌和崔小勇（2010）以利率上限為研究對(duì)象，在標(biāo)準(zhǔn)LMM參數(shù)的校準(zhǔn)基礎(chǔ)上，得到遠(yuǎn)期利率的瞬時(shí)波動(dòng)率，并利用蒙特卡羅模擬法與構(gòu)建二叉樹(shù)的方法對(duì)利率上限進(jìn)行定價(jià)。

何平（2013）以匯豐銀行于2010年末發(fā)行的一款掛鉤美元LIBOR利率的區(qū)間累積型結(jié)構(gòu)式理財(cái)產(chǎn)品為研究對(duì)象，討論了在LIBOR市場(chǎng)模型下區(qū)間累積型利率衍生品的定價(jià)過(guò)程，并運(yùn)用蒙特卡羅模擬方法對(duì)區(qū)間累積型利率衍生產(chǎn)品進(jìn)行數(shù)值求解。

馬俊海，張強(qiáng)（2013）以可贖回外匯結(jié)構(gòu)性存款為研究對(duì)象，在標(biāo)準(zhǔn)LMM基礎(chǔ)上加入了Heston隨機(jī)波動(dòng)率過(guò)程。他們運(yùn)用Black逆推參數(shù)校準(zhǔn)方法和MCMC參數(shù)估計(jì)方法對(duì)模型中的局部波動(dòng)率和隨機(jī)波動(dòng)率過(guò)程中的參數(shù)進(jìn)行校準(zhǔn)和估計(jì)。

從上述文獻(xiàn)可以看出，國(guó)外學(xué)者對(duì)于LMM的擴(kuò)展較國(guó)內(nèi)學(xué)者更為深入，國(guó)內(nèi)學(xué)者對(duì)于LMM的擴(kuò)展僅僅局限于隨機(jī)波動(dòng)率過(guò)程。但是國(guó)外學(xué)者對(duì)于LMM的擴(kuò)展又存在各種局限性，諸如：局部波動(dòng)率模型的缺陷在于雖然波動(dòng)率具有單調(diào)偏斜性質(zhì)，但是并不能產(chǎn)生波動(dòng)率微笑特征。跳躍擴(kuò)散模型的局限性在于對(duì)于為了產(chǎn)生波動(dòng)率偏斜或者微笑，遠(yuǎn)期Libor利率需要產(chǎn)生較大的跳躍幅度，即遠(yuǎn)期利率的大幅下降，而這種情況對(duì)于利率而言并不現(xiàn)實(shí)。隨機(jī)波動(dòng)率模型的主要需解決的問(wèn)題在于為了引入偏斜特征，從而使得驅(qū)動(dòng)遠(yuǎn)期Libor利率和隨機(jī)波動(dòng)率的隨機(jī)微分方程具有相關(guān)性。因此，進(jìn)一步對(duì)LMM進(jìn)行擴(kuò)展具有現(xiàn)實(shí)的研究意義。

二、CMS價(jià)差期權(quán)定價(jià)的文獻(xiàn)綜述

CMS價(jià)差期權(quán)作為CMS類(lèi)期權(quán)中的一種重要產(chǎn)品，對(duì)其產(chǎn)品結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析并有效建模成為一項(xiàng)熱點(diǎn)，有效定價(jià)的CMS價(jià)差期權(quán)能夠進(jìn)一步擴(kuò)展利率收益率曲線結(jié)構(gòu)。

（一）國(guó)外CMS價(jià)差期權(quán)定價(jià)研究現(xiàn)狀

Mercurio，Pallavicini和Banca等（2005）采用高斯短期利率模型以及隨機(jī)化的參數(shù)對(duì)CMS為基礎(chǔ)的衍生產(chǎn)品進(jìn)行定價(jià)。他們簡(jiǎn)單的定價(jià)模型能夠很好地?cái)M合互換期權(quán)微笑以及CMS價(jià)差期權(quán)的市場(chǎng)價(jià)格。

Antonov和Arneguy（2009）以加入隨機(jī)波動(dòng)率的Libor市場(chǎng)模型（SV-LMM）為基礎(chǔ)對(duì)歐式常到期日互換（CMS）產(chǎn)品進(jìn)行一系列的近似定價(jià)。對(duì)于CMS價(jià)差期權(quán)，他們采用非線性測(cè)度變換技術(shù)，并使用二維拉普拉斯變換求解出帶有復(fù)雜伽馬函數(shù)的閉型解析式。

Wu 和Chen（2009）以多因子Libor市場(chǎng)模型（Multifactor-LMM）為基礎(chǔ)對(duì)三種利率期權(quán)（Libor 與Libor、Libor與互換利率、互換利率與互換利率）進(jìn)行定價(jià)。他們以CMS價(jià)差期權(quán)為例，提出一種在LMM框架下近似求解遠(yuǎn)期互換利率分布的方法。

Belomestny，Kolodko 和Schoenmakers（2010）以標(biāo)準(zhǔn)的Libor市場(chǎng)模型（LMM）為基礎(chǔ)采取兩種近似方法對(duì)CMS價(jià)差期權(quán)進(jìn)行定價(jià)。第一種近似方法是對(duì)LMM的直接衍生。第二種近似方法是以線性的互換模型為假設(shè)，采用凸性調(diào)整技術(shù)進(jìn)行定價(jià)。

Hanton 和Henrard （2010）以多因子HJM模型為基礎(chǔ)，對(duì)CMS、CMS價(jià)差類(lèi)以及其他相似衍生產(chǎn)品進(jìn)行分析并求解出近似定價(jià)公式。他們近似方法分為以下兩種：以近似的期望方程求解出精確的解析解和以精確的期望方程求解出近似的解析解。他們的實(shí)證研究證明后者的近似誤差更小。

Joshi和Yang（2010）運(yùn)用替代擴(kuò)散互換市場(chǎng)模型（DD-SMM）對(duì)CMS價(jià)差期權(quán)進(jìn)行定價(jià)和對(duì)沖。他們發(fā)現(xiàn)CMS價(jià)差期權(quán)與平價(jià)的Black隱含波動(dòng)率偏斜呈現(xiàn)弱相關(guān)性。

Lutz和Kiesel（2011）在流行的Libor市場(chǎng)模型中加入了隨機(jī)波動(dòng)率過(guò)程（SV-LMM）推導(dǎo)出CMS價(jià)差期權(quán)快速但精確的定價(jià)公式。他們的定價(jià)方法是基于快速估計(jì)Cox-Ingersoll-Ross（CIR）過(guò)程的密度函數(shù)而得出的。結(jié)合近似的互換利率動(dòng)態(tài)方程，他們最終推導(dǎo)出CMS價(jià)差期權(quán)的半解析解。

Wu 和Chen（2011）提出一種具有非零執(zhí)行價(jià)格的CMS價(jià)差期權(quán)近似定價(jià)公式。他們采用一般的對(duì)數(shù)正態(tài)分布來(lái)近似兩種CMS利率的分布。對(duì)于具有非零執(zhí)行價(jià)格的CMS價(jià)差期權(quán)他們采用多因子LMM為定價(jià)模型。

（二）國(guó)內(nèi)CMS價(jià)差期權(quán)定價(jià)研究現(xiàn)狀

廖容晨（2007）以標(biāo)準(zhǔn)的LMM為基礎(chǔ)對(duì)CMS價(jià)差類(lèi)期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，解決了HJM模型利率為負(fù)的可能性，利率爆炸以及瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率無(wú)法從市場(chǎng)上直接觀察的問(wèn)題。

楊繡碧（2010）利用CMS利率近似于Libor的線性組合特征來(lái)設(shè)定LMM下CMS利率的近似隨機(jī)過(guò)程。對(duì)于CMS價(jià)差期權(quán)，他們推導(dǎo)出三因子LMM下的無(wú)套利解析公式。

蔡昱宏（2012）以標(biāo)準(zhǔn)的LMM為基礎(chǔ)通過(guò)蒙特卡羅模擬方法對(duì)CMS價(jià)差類(lèi)期權(quán)進(jìn)行定價(jià)。

陳曦（2012）采用互換市場(chǎng)模型（SMM）對(duì)CMS衍生產(chǎn)品進(jìn)行定價(jià)。對(duì)于CMS價(jià)差期權(quán)作者運(yùn)用條件積分方法求解出希臘值來(lái)近似表示其定價(jià)公式。同時(shí)作者通過(guò)廣義SMM利用各波動(dòng)率參數(shù)獲取漂移項(xiàng)的估計(jì)值。

從上述文獻(xiàn)可以看出，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)于CMS價(jià)差期權(quán)的定價(jià)大多采用LMM或者SMM，但是LMM相較于SMM具有更簡(jiǎn)便的計(jì)算過(guò)程，因此采用LMM比SMM更具有可操作性。同時(shí)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)于采用的LMM大多為標(biāo)準(zhǔn)LMM或者SV-LMM，其存在一定的局限性。因此，采用進(jìn)一步擴(kuò)展的LMM對(duì)CMS價(jià)差期權(quán)定價(jià)具有現(xiàn)實(shí)的研究意義。

三、未來(lái)研究展望

綜上所述，為了進(jìn)一步體現(xiàn)市場(chǎng)中的波動(dòng)率偏斜或者微笑特征，本研究擬在隨機(jī)波動(dòng)率Libor市場(chǎng)模型的基礎(chǔ)上，加入跳躍擴(kuò)散項(xiàng)并賦予機(jī)制轉(zhuǎn)換性質(zhì)以形成具有機(jī)制轉(zhuǎn)換性質(zhì)的隨機(jī)波動(dòng)率跳躍擴(kuò)散Libor市場(chǎng)模型，從而構(gòu)成機(jī)制轉(zhuǎn)換下的隨機(jī)波動(dòng)率和跳躍擴(kuò)散雙重因子驅(qū)動(dòng)的Libor市場(chǎng)模型以期更好的擬合Libor利率走勢(shì)。同時(shí)本研究運(yùn)用擴(kuò)展的LMM通過(guò)各種近似方法對(duì)CMS價(jià)差期權(quán)進(jìn)行有效定價(jià)。

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[責(zé)任編輯 吳明宇]

收稿日期：2014-03-26

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金（71271190）；浙江財(cái)經(jīng)大學(xué)校級(jí)科研重點(diǎn)項(xiàng)目資助（2013YJS008）

作者簡(jiǎn)介：孫斌（1990-），男，浙江杭州人，碩士研究生，從事資本市場(chǎng)研究。