摘要：統(tǒng)計(jì)過(guò)程中的控制圖如今已經(jīng)成為質(zhì)量管理中一種不可缺少的工具，已經(jīng)成為一種控制的潮流和方法，它的中心思想就是預(yù)防為主，第一次就把事情做對(duì)，消除一些變異的因素和區(qū)分兩種不同性質(zhì)的波動(dòng)。經(jīng)過(guò)對(duì)大量文獻(xiàn)的認(rèn)真研究和學(xué)習(xí)，關(guān)于統(tǒng)計(jì)過(guò)程中的控制圖，所提出的是假定過(guò)程均值不變等條件下，通過(guò)軸承的半徑分析，用指數(shù)加權(quán)平均的控制方法來(lái)處理相關(guān)問(wèn)題。目前為止還沒(méi)有將其與常規(guī)控制圖整合在一起，因此通過(guò)其與回歸模型的方法相建立，來(lái)解決實(shí)際中的問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：指數(shù)加權(quán)滑動(dòng)平均（EWMA）；控制圖；自回歸模型

中圖分類(lèi)號(hào)：F0文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：1673-291X（2014）16-0010-03

1924年，休哈特在美國(guó)貝爾實(shí)驗(yàn)室第一次發(fā)明質(zhì)量控制圖的概念，經(jīng)過(guò)數(shù)年的發(fā)展已經(jīng)逐漸成為質(zhì)量工作管理中不可缺少的工具之一，過(guò)程控制是為了貫徹預(yù)防為主，在統(tǒng)計(jì)過(guò)程控制中，利用休哈特常規(guī)控制圖時(shí)，我們總是假定過(guò)程均值不變，同時(shí)隨機(jī)誤差獨(dú)立同分布，服從均值為0、方差為σ2的正態(tài)分布。但在實(shí)際應(yīng)用中，這些前提假設(shè)是很難實(shí)現(xiàn)的，無(wú)法獲得相應(yīng)的數(shù)據(jù)，許多過(guò)程中都存在自相關(guān)的現(xiàn)象，獨(dú)立性也很難成立。這就使得常規(guī)控制圖方法難以繼續(xù)使用。這時(shí)可以用指數(shù)加權(quán)滑動(dòng)平均（EWMA）控制圖方法處理相關(guān)的問(wèn)題?？梢杂脮r(shí)間序列對(duì)于自相關(guān)過(guò)程的觀測(cè)值進(jìn)行適當(dāng)?shù)臄M合，得出模型，再用其預(yù)測(cè)值、殘差來(lái)構(gòu)造控制圖。本文通過(guò)具體數(shù)據(jù)分別做指數(shù)加權(quán)滑動(dòng)平均、自回歸模型擬合及常規(guī)控制圖，通過(guò)實(shí)際得到的圖形簡(jiǎn)單地做了比較。

一、指數(shù)加權(quán)滑動(dòng)平均（EWMA）控制圖

EWMA控制圖上的點(diǎn)包含了所有前面子組的信息，它能探測(cè)過(guò)程的微小漂移。EWMA控制圖同樣適用于單個(gè)觀測(cè)值的情況。由前所訴，EWMA 控制圖不受過(guò)程均值不變，同時(shí)隨機(jī)誤差獨(dú)立同分布，服從均值為0、方差為σ2的正態(tài)分布等條件限制，常用于處理序列數(shù)據(jù)。在EWMA控制圖中繪制的統(tǒng)計(jì)量為當(dāng)前值與歷史數(shù)據(jù)的加權(quán)平均，即

Zt=λxt+（1-λ）Zt-1

對(duì)于比較大的t，當(dāng){xt}獨(dú)立同分布，服從均值為μ、方差為σ2的正態(tài)分布時(shí)，樣本統(tǒng)計(jì)Zt量近似服從正態(tài)分布，且

E（Zt）=μ，Var（Zt）=σ2

[1-（1-λ）2t]

隨著t的增大，[1-（1-λ）2t]趨近于1。

繪制EWMA控制圖時(shí)，要求給定權(quán)重λ。（1-λ）表示EWMA對(duì)歷史測(cè)量值的權(quán)重，若（1-λ）越大（λ越?。┍硎練v史對(duì)于現(xiàn)在的影響越重。權(quán)重λ決定了EWMA對(duì)于當(dāng)前數(shù)據(jù)突然發(fā)生變化的能力，具有時(shí)效性。λ越小，時(shí)效性不強(qiáng)，則Zt的時(shí)間序列圖更加平穩(wěn)。EWMA 控制圖的優(yōu)點(diǎn)就是，當(dāng)較小值或較大值進(jìn)入計(jì)算時(shí)不會(huì)嚴(yán)重影響到這些控制圖。對(duì)于權(quán)重λ的選取，Montgomery（1991）推薦使用0.05<<λ<<0.25。一般λ常取0.08，0.10，0.15，更要根據(jù)實(shí)際情況而定。

下面給出具體例子。數(shù)據(jù)來(lái)源（見(jiàn)參考文獻(xiàn)[1]中例3.6.4）。此例是單個(gè)觀測(cè)值的情況，給出了不同時(shí)間測(cè)得的50個(gè)凸輪軸的軸承直徑。給定權(quán)重λ值為0.2，用指數(shù)加權(quán)滑動(dòng)平均的公式，具體得到Zt的值（初始值Z0=x0）。

Zt=0.2xt+（1-0.2）Zt-1

將目標(biāo)值50作為μ的估計(jì)（此處是以起點(diǎn)時(shí)間初始值50作為μ的估計(jì)），對(duì)上述數(shù)據(jù)做EWMA控制圖（如下頁(yè)圖1所示）。

從該圖可以看到控制限在第11個(gè)樣本開(kāi)始穩(wěn)定。從EWMA控制圖上可看出，樣本點(diǎn)對(duì)目標(biāo)值50的漂移。

二、自回歸模型（auto regression model，AR）

自回歸（AR（n））模型是時(shí)間序列ARMA中的一種特例，即ARMA（n，0）只有自回歸部分，沒(méi)有移動(dòng)平均部分。其實(shí)ARMA模型才是更一般的平穩(wěn)的時(shí)間序列模型，只是由于文中例子的數(shù)據(jù)模擬后得到模型，便以此說(shuō)明比較。對(duì)于后面所說(shuō)得到AR（n）模型，求出預(yù)測(cè)值和殘差均是基于AR（n）模型。對(duì)于一般的ARMA模型，同理亦可操作。

對(duì)于時(shí)間序列AR（n）模型具有如下一般結(jié)構(gòu)：

xt=#981;0+#981;1xt-1+#981;2xt-2+…+#981;nxt-n+εt

E（εt）=0，Var（εt）=σ2

ε，E（εtεs）=0，s≠t

E（εtxs）=0，#8704;s

對(duì)于本文數(shù)據(jù)，作出軸承直徑數(shù)據(jù)的自相關(guān)圖與偏自相關(guān)圖分別（見(jiàn)下頁(yè)圖2、圖3）。

可以看出大致的自相關(guān)圖是拖尾的，偏自相關(guān)圖時(shí)1階截尾的，由ARMA模型的判別條件符合模型AR（1）。擬合AR（1）模型：

xt=#981;0+#981;1xt-1+εt

通過(guò)顯著性檢驗(yàn)，延遲各階的LB統(tǒng)計(jì)量的P值均顯著大于0.05，殘差通過(guò)白噪聲檢驗(yàn)，所以該擬合模型顯著成立。得到AR（1）模型為：

（xt-48.55）=0.74（xt-1-48.55）+εt

xt=12.62+0.74xt-1+εt

以此模型做預(yù)測(cè)值，用測(cè)量值減去預(yù)測(cè)值得到殘差r。下圖給出觀測(cè)值（●）、預(yù)測(cè)值（*）、95%上下限（——）：

三、基于AR模型所得殘差做指數(shù)加權(quán)滑動(dòng)平均（EWMA）控制圖

由于時(shí)間序列的預(yù)測(cè)值和觀測(cè)值之間的殘差可以極大地弱化過(guò)程的自相關(guān)性，并可以近似認(rèn)為各個(gè)時(shí)刻的殘差都是相互獨(dú)立的，因此可以采用一般的各種控制圖方法進(jìn)行監(jiān)控。在此，用上述所得的殘差做EWMA控制圖（見(jiàn)圖5），（取目標(biāo)值為1.444是對(duì)應(yīng)于初始值50的殘差值）

四、軸承直徑的EWMA控制圖對(duì)比其殘差的EWMA控制圖

對(duì)比軸承直徑的EWMA控制圖（見(jiàn)上頁(yè)圖1）和殘差EWMA控制圖（見(jiàn)圖4），兩圖的曲線波動(dòng)輪廓一致，但是軸承直徑的EWMA控制圖漂移幅度幅度遠(yuǎn)大于殘差EWMA控制圖。殘差的 EWMA控制圖對(duì)于目標(biāo)值的漂移超出控制限的值的個(gè)數(shù)少于軸承直徑的EWMA控制圖?？梢?jiàn)軸承直徑的EWMA控制圖要比殘差EWMA控制圖更靈敏。但是軸承直徑在本例中是自相關(guān)的，而殘差是獨(dú)立的。對(duì)于存在自相關(guān)，超出控制限的值對(duì)于其附近時(shí)間點(diǎn)值的的影響較大，所以連帶一片的值都會(huì)超出控制限。

五、總結(jié)

EWMA控制圖，不受正態(tài)假定的限定，圖上的每個(gè)點(diǎn)包含著前面所有子組的信息，具有檢出過(guò)程目標(biāo)值小漂移的敏感性。對(duì)于時(shí)間序列來(lái)說(shuō)，除了EWMA控制圖，本文還用的擬合出時(shí)間序列模型，求出預(yù)測(cè)值、殘差，再用殘差作EWMA控制圖。

參考文獻(xiàn)：

[1]周紀(jì)薌，茆詩(shī)松.質(zhì)量管理統(tǒng)計(jì)方法(第2版)[M].北京：中國(guó)統(tǒng)計(jì)出版社，2008.

[2]王燕.應(yīng)用時(shí)間序列分析(第3版)[M].北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，2012.

[3]王海宇，等.平穩(wěn)自相關(guān)過(guò)程的EWMA控制圖[J].工業(yè)工程，2006，(3).

[4]崔敬巍，謝里陽(yáng).自相關(guān)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)控制方法研究[J].機(jī)械制造，2006，(9).

[責(zé)任編輯 吳高君]

收稿日期：2014-03-08

作者簡(jiǎn)介：魏關(guān)軍（1976-），男，河南潢川人，質(zhì)量經(jīng)理，碩士研究生，從事質(zhì)量管理研究。