摘 要 用等價(jià)無(wú)窮小量做代換是計(jì)算極限的一種常用、方便、有效的方法，本文針對(duì)等價(jià)無(wú)窮小在求復(fù)合函數(shù)極限中是否可以代換的問(wèn)題給出了一些充分條件，并給了一則反例。

關(guān)鍵詞 復(fù)合函數(shù) 等價(jià)無(wú)窮小 代換 反例

中圖分類號(hào)：O171 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

On the Application of Equivalent Infinitesimal

Limit in Seeking the Composite Function

SONG Juan

（Suzhou University of Science and Technology， Suzhou， Jiangsu 215009）

Abstract Equivalence Infinitesimal do substitution is a method of calculating the limit of common， convenient and effective method， aiming at seeking equivalent infinitesimal composite function limits the question whether you can substitute some sufficient conditions are given， and gave a the counter-example.

Key words composite function； equivalent infinitesimal limit； substitution； counter-example

關(guān)于極限的理論與計(jì)算是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一。在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，極限的計(jì)算，特別是在未定式的計(jì)算中，無(wú)窮小是一個(gè)重要的概念。但在剛開始學(xué)習(xí)的時(shí)候，不少學(xué)生對(duì)于無(wú)窮小的認(rèn)識(shí)比較模糊，有些甚至是錯(cuò)誤的，特別對(duì)于等價(jià)無(wú)窮小在極限運(yùn)算尤其是復(fù)合函數(shù)求極限過(guò)程中是否可以替換存在疑惑。本文對(duì)等價(jià)無(wú)窮小在求復(fù)合函數(shù)極限中的應(yīng)用做了一定程度的探討。我們從學(xué)生所做的一道題目開始分析：

引例 求

解： = = = 1

這里先進(jìn)行了等價(jià)無(wú)窮小代換①②：～，～，再用洛必達(dá)法則對(duì)分子分母分別求導(dǎo)，問(wèn)這種解法對(duì)否？

事實(shí)上，一般地，若～，～，且 ， 存在不為0，則 = = 1。

證明： = = = · = · = 1

同理可證 =1，故有 = =1。

而上題顯然符合此條件，故這種做法是可行的，雖然學(xué)生也許并未認(rèn)識(shí)到其中的理論依據(jù)。

下面給出一條定理，強(qiáng)調(diào)等價(jià)無(wú)窮小在復(fù)合函數(shù)式中的替換所需滿足的條件。

定理③設(shè)，為（或）時(shí)的兩個(gè)無(wú)窮小，且～，而為時(shí)的無(wú)窮小量，且有～，則當(dāng)（或）時(shí)，～。

證明：當(dāng)時(shí)，因?yàn)?=0，利用等價(jià)無(wú)窮小的傳遞性得～～～；

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?=0，利用等價(jià)無(wú)窮小的傳遞性得～～～。

需要注意的是，對(duì)無(wú)窮小，（）規(guī)范的替換是～（），但也可以做這樣的替換：～（）只是因?yàn)橛?jì)算式中以上定理的條件一般均滿足，這樣做在計(jì)算結(jié)果上是正確的，并且這種替換也可以用等價(jià)無(wú)窮小的傳遞性來(lái)解釋。

例1 求。

解：（規(guī)范解）當(dāng)（）時(shí)，有～，～，所以

～，～

從而 = = 1。

另解：（不規(guī)范解） = = =1。

不規(guī)范解從結(jié)論上正確的原因是由于～～～，～～～，故以上第二種解法也是正確的。

例2 求。

解：（規(guī)范解）

= = = =

另解：（不規(guī)范解） =

= = =

不規(guī)范解從結(jié)論上正確的原因是由于

～1～～，

～～故以上結(jié)果正確。

然而，在一般情形下，對(duì)于復(fù)合函數(shù)的中間變量，不能隨意用等價(jià)無(wú)窮小代換。下面給出一則反例：

設(shè)，=，

當(dāng)時(shí)，顯然有～，～，且 = 0， = 0，而且 = 1，但是不存在。

事實(shí)上，因?yàn)椋?/p>

當(dāng)為充分小的有理數(shù)時(shí)：

（1）若均為無(wú)理數(shù)，由于當(dāng)時(shí)，（且充分小），，且與一一對(duì)應(yīng)，

所以集合={，是有理數(shù)，}的基數(shù)為，從而的基數(shù)為，④故當(dāng)取中的無(wú)理數(shù)時(shí)，必定既可為有理數(shù)又可為無(wú)理數(shù)，所以既可為，又可為，或者既可為，又可為，再由無(wú)理數(shù)在任一區(qū)間內(nèi)的稠密性，即知不存在。

（2）若既可為無(wú)理數(shù)，又可為有理數(shù)，則既可為，又可為，由有理數(shù)在任一區(qū)間內(nèi)的稠密性，同樣可知不存在。

（3）若均為有理數(shù)，這種情形是不可能的。

綜上所述，不存在。

利用等價(jià)無(wú)窮小替換可使計(jì)算極限時(shí)化繁為簡(jiǎn)，變難為易，但在極限式特別是復(fù)合函數(shù)極限式的計(jì)算過(guò)程中，并不是所有的無(wú)窮小都可以用它們各自的等價(jià)無(wú)窮小替換，這種替換是有條件的，稍不注意就會(huì)出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤。因此，在使用等價(jià)無(wú)窮小代換時(shí)，應(yīng)做到有理有據(jù)。

注釋

① 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編.高等數(shù)學(xué).上冊(cè)[M].北京：高等教育出版社，2007.4.

② 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析.上冊(cè)[M].北京：高等教育出版社，2001.6.

③ 陳新明.用等價(jià)無(wú)窮小代換求極限中的一些問(wèn)題[J].高等數(shù)學(xué)研究，2008（5）.

④ 劉文.與的無(wú)理性.數(shù)學(xué)通報(bào)，1963.8.