摘 要 極限是微積分的靈魂，本文通過(guò)兩道函數(shù)極限例題的一題多解，培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性和靈活性，實(shí)現(xiàn)能力上實(shí)現(xiàn)一個(gè)“飛躍” 。

關(guān)鍵詞 極限 思維 高等數(shù)學(xué)

中圖分類(lèi)號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Multiple Solutions to a Problem of Function

Limit in Higher Mathematics Teaching

YANG Miaomiao， WANG Junhua

（Zhengzhou Institute of Technology， Zhengzhou， Henan 451150）

Abstract The limit is the calculus of soul， through a two limit function examples of multiple solutions， to cultivate the students' thinking agility and flexibility， to achieve a \"leap\" of implementation ability.

Key words limit； thinking； higher mathematics teaching

極限是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的概念。它在一些問(wèn)題中，尤其是在幾何問(wèn)題和物理問(wèn)題中為求精確解時(shí)而產(chǎn)生的。從極限思想的產(chǎn)生到極限理論的確定，經(jīng)歷了大約兩千年的時(shí)間。極限理論的確定是微分和積分有了堅(jiān)實(shí)的邏輯基礎(chǔ)，并使微積分在當(dāng)今科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域得以更廣泛、更合理、更深刻的應(yīng)用和發(fā)展。極限是微積分的靈魂。

對(duì)于函數(shù)求極限的方法有多種，學(xué)生往往比較難掌握。課本中對(duì)計(jì)算函數(shù)極限提供了幾種計(jì)算方法，例如：利用極限定義；極限的運(yùn)算法則；利用等價(jià)無(wú)窮小量替換；函數(shù)的連續(xù)性；夾逼準(zhǔn)則；導(dǎo)數(shù)定義；洛必達(dá)法則；利用拉格朗日中值定理；一些已知極限等等。但在解同一個(gè)問(wèn)題時(shí)，由于不同的人，抓住問(wèn)題的特點(diǎn)不同，或者運(yùn)用的知識(shí)不同，對(duì)同一個(gè)問(wèn)題可能采用各種不同的解法，這就是一題多解 。筆者認(rèn)為，在極限教學(xué)過(guò)程中可以從不同角度分析所求函數(shù)極限的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，進(jìn)而利用一題多解，從而加深對(duì)極限知識(shí)的理解，訓(xùn)練學(xué)生多向思維的能力，還增加學(xué)生學(xué)習(xí)的趣味性。下面通過(guò)兩道例題進(jìn)行分析：

例1 求極限

解法一：利用導(dǎo)數(shù)定義 （） =

原式 = =

解法二：三角函數(shù)和差化積

= 2

原式 = =

利用第一重要極限 = 1

上式 = 2· =

解法三：利用等價(jià)無(wú)窮小替換→0， 得

→，

原式 = =

= = =

解法四：“”未定式，利用羅比達(dá)法則得

原式 = =

解法五：令函數(shù) （） = 在區(qū)間[]或[]上滿足拉格朗日中值定理的條件，得原式 = （介于與之間）。

例2 求極限·

解法一：利用第二重要極限 =

原式 = =

= = =

解法二：利用羅比達(dá)法則

原式 =

解法三：利用等價(jià)無(wú)窮小替換→0， ，

則→+， →0， （1+ ）

原式 = · （1+ ） = · =

解法四：令函數(shù) （） = （）在區(qū)間[]或[]上滿足拉格朗日中值定理的條件，得 （下轉(zhuǎn)第52頁(yè)）（上接第42頁(yè)）

原式 = ·[] = ··

= = （介于與之間）

當(dāng)然不是每道題都有多種解法，一題多解是手段不是目的。一題多解的可能性來(lái)源于能直接或間接利用上述多種工具的條件。經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)“一題多解”的訓(xùn)練，能培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性和靈活性。只有思維“活躍”了，解法上“合理”了，才能在能力上實(shí)現(xiàn)一個(gè)“飛躍”，在“一題多解”訓(xùn)練時(shí)，同時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)各種解法進(jìn)行比較，讓發(fā)散的思維再收斂到最佳解題方法上去。

參考文獻(xiàn)

[1] 王振吉，王斌.高等數(shù)學(xué)及其應(yīng)用[M].北京理工大學(xué)出版社，2012：23-60.

[2] 同濟(jì)大學(xué)等.高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）[M].高等教育出版社，2008：14-89.