摘 要 均值不等式在很多領(lǐng)域都占有重要的地位，但它的應(yīng)用是一個(gè)難點(diǎn)，本文從初等數(shù)學(xué)，高等數(shù)學(xué)，實(shí)際生活三個(gè)方面論述了均值不等式的應(yīng)用，有利于對(duì)均值不等式的進(jìn)一步理解及應(yīng)用。

關(guān)鍵詞 均值不等式 應(yīng)用 技巧

中圖分類(lèi)號(hào)：G634.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

On the Application of Mean Inequality

WANG Dongmei

（School of Mathematics， Jilin Normal University， Siping， Jilin 136000）

Abstract Mean inequality occupies an important position in many areas， but its application is a difficult point， this article from elementary mathematics， advanced mathematics， practical life three aspects discuss mean inequality； it is beneficial for further understanding of the mean inequality and applications.

Key words mean inequality； application； skill

均值不等式是數(shù)學(xué)科目在初級(jí)甚至高級(jí)階段應(yīng)用概率比較大的一個(gè)基本不等式。 均值不等式的等量關(guān)系及非等量關(guān)系大量存在于自然界中，基本的數(shù)學(xué)關(guān)系就包括非等關(guān)系和等于關(guān)系，這在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用研究中有著十分重要的應(yīng)用。

1 在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

1.1 簡(jiǎn)單累加累乘

利用均值不等式證明不等式是一個(gè)學(xué)習(xí)難點(diǎn)，這里介紹一下技巧。

根據(jù)北京召開(kāi)的第二十屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)為基礎(chǔ)，我們可以很容易的解答此題。

例1 已知，，>0，則（ + ）（ + ） + （ + ）≥2。

解 左邊≥··2 + ·2 = 22。

其中等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng) = = 時(shí)成立。

像這樣，首先看已知條件，運(yùn)用均值不等式的定義，再通過(guò)論證、推導(dǎo)等得出我們要證的結(jié)論，是今后常常用到的方法，這種方法對(duì)知識(shí)的綜合性要求比較高。

1.2 求最值

利用均值不等式求最值是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)。 運(yùn)用時(shí)必須具備三個(gè)必要條件—— 即一正（各項(xiàng)的值為正）、二定（各項(xiàng)的和或積為定值）、三相等（取等號(hào)的條件）。應(yīng)用均值不等式求最值有直接求最值、巧妙變形求最值、結(jié)合待定系數(shù)法求最值三個(gè)層次，下面通過(guò)具體實(shí)例說(shuō)明如何求最值。

能通過(guò)拆項(xiàng)、換元、平方等多種變形技巧，湊成“和為定值求積的最值”或“ 積為定值求和的最值” ， 這是應(yīng)該掌握的第二層次。

例2 已知 = 1， 求 = ∣∣的最小值。

解： = = ≥

= = 1。

當(dāng)且僅當(dāng) = ， = 1，即 = = 1或 = = 1時(shí)， = 1 。

總結(jié)：在研究均值不等式時(shí)，往往先研究均值不等式的幾何背景，并且對(duì)均值不等式的幾何背景進(jìn)行解釋?zhuān)沟梦覀兛梢愿又庇^的看出結(jié)論，從而良好地把握問(wèn)題。在這個(gè)過(guò)程中，可以適度的提供空間的探究，通過(guò)大量且縝密的思考，可以準(zhǔn)確地得出問(wèn)題的結(jié)論。此外，加強(qiáng)重視均值不等式解決實(shí)際問(wèn)題，循序漸進(jìn)地堆應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)及能力的培養(yǎng)。

2 對(duì)于高等數(shù)學(xué)均值不等式的作用

例3 求極限。

解：利用元均值不等式

≤ ，

有

即0≤<， 故 = 1。

3 利用均值不等式解決極值問(wèn)題

通常，求解函數(shù)極值題型，首先，寫(xiě)出此函數(shù)的解析式，之后，判斷是否可以利用均值不等式來(lái)解決此題。利用微積分解決極值問(wèn)題是可行并且是有效的，除此之外，求解一些極值問(wèn)題中的特殊類(lèi)型也可用均值不等式。運(yùn)用均值不等式可以解決諸多相像的問(wèn)題。但是，利用均值不等式，解答一些特殊的極值問(wèn)題簡(jiǎn)潔又方便，非常獨(dú)到。解決這類(lèi)問(wèn)題只要求很少的基礎(chǔ)知識(shí)，非常容易理解。

4 利用均值不等式注意事項(xiàng)

（1）不同的均值不等式對(duì)實(shí)數(shù)的取值范圍有不同的要求，如果實(shí)數(shù)在二次根號(hào)下，要求實(shí)數(shù)大于等于零。（2）均值不等式是帶有等號(hào)的不等式，在解答此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，首先，要考慮等號(hào)成立的條件。（3）為了便于掌握均值不等式，可以運(yùn)用多種形式，例如，符號(hào)表達(dá)、圖形表達(dá)、生活用語(yǔ)。把生活語(yǔ)言表述成符號(hào)，容易看出其與均值不等式的密切關(guān)系。（4）解答圓的直徑與弦長(zhǎng)大小的比較也可用均值不等式，體現(xiàn)了均值不等式的幾何意義。這是一個(gè)典型的幾何問(wèn)題，在實(shí)際應(yīng)用中有很多用處。（5）在周長(zhǎng)相等的全部矩形中，面積是最大的是正方形。在面積相等的全部矩形中，周長(zhǎng)最小的是正方形。這個(gè)結(jié)論通過(guò)反復(fù)驗(yàn)證、分析，具有普遍意義。

5 總結(jié)

均值不等式是中學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)，但是它的應(yīng)用很廣泛，尤其是在求函數(shù)最值的時(shí)候。事實(shí)上，利用均值不等式求最值，“一正、二定、三相等”的條件很重要，特別是“等號(hào)條件的成立”。但是，在運(yùn)用均值不等式的時(shí)候，往往就容易產(chǎn)生這樣或那樣的錯(cuò)誤。

通過(guò)本文的闡述，讓我們了解均值不等式的應(yīng)用，提醒讀者正確使用均值不等式。利用均值不等式的常用技巧進(jìn)行歸納，另外，利用均值不等式求配湊，也是一個(gè)重點(diǎn)。通過(guò)本文的概括，有助于進(jìn)一步了解均值不等式的使用。本文是對(duì)利用均值不等式求最值的方法的延伸。

在以前的學(xué)習(xí)中，均值不等式經(jīng)常會(huì)接觸，只不過(guò)不夠全面。在重新研究均值不等式的過(guò)程中，其性質(zhì)可以全面的總結(jié)，對(duì)均值不等式的性質(zhì)以及研究整理均值不等式的過(guò)程，進(jìn)行周密的討論。學(xué)習(xí)對(duì)應(yīng)的方法以及思路，從而提高對(duì)均值不等式的認(rèn)識(shí)。另外，可以根據(jù)實(shí)際的情況，對(duì)均值不等式問(wèn)題，做出適當(dāng)?shù)臄U(kuò)展，也可以在教學(xué)中予以改進(jìn)和提高。

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